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第 03 讲 成对数据的统计分析 (精练）
A 夯实基础 B 能力提升 C 综合素养
A 夯实基础
一、单选题
1．（2022·全国·高二课时练习）下列关于回归分析与独立性检验的说法正确的是（ ）
A．回归分析和独立性检验没有什么区别
B．回归分析是对两个变量准确关系的分析，而独立性检验是分析两个变量之间的不确定性关系
C．回归分析研究两个变量之间的相关关系，独立性检验是对两个变量是否具有某种关系的一种检验
D．独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系
2．（2022·陕西西安·高一期末）如图是根据 的观测数据 得到的散点图，可以判断
变量 具有线性相关关系的有（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
3．（2022·辽宁大连·高二期末）为考察一种新药预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数
据后将所得结果填入相应的 列联表中.由列联表中的数据计算得 .参照附表，下列结论正确的
是（ ）
0.025 0.010 0.005 0.001
5.02 6.635 7.879 10.828
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物有效”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物无效”
C．有99.99%以上的把握认为“药物有效”
D．有99.99%以上的把握认为“药物无效”
4．（2022·全国·高二课时练习）如图是某地区2012年至2021年的空气污染天数Y（单位：天）与年份X
的折线图．根据2012年至2016年的数据，2017年至2021年的数据，2012年至2021年的数据分别建立线
性回归模型 ， ， ，则（ ）A． ， B． ，
C． ， D． ，
5．（2022·安徽·歙县教研室高二期末）已知变量 的成对样本数据的四个样本点
，用最小二乘法得到回归方程 过点 的直线方程为
，给出下列4个命题：
① ；
② ；
③ ；
④点 一定在直线 上.
其中正确的命题的个数是（ ）
参考公式： ， ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2022·山东滨州·高二期末）针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关
联进行了一次调查，其中被调查的男生､女生人数均为 人，男生中喜欢短视频的人数占男生人
数的 ，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的 .零假设为 ：喜欢短视频和性别相互独立.若依据
的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，则 的最小值为（ ）
附： ，附表：
0.05 0.01
3.841 6.635
A．7 B．8 C．9 D．107．（2022·辽宁·高三期末）某工厂为了对研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行
试销，得到如下数据：
单价x元 9 9.2 9.4 9.6 9.8 10
销量y件 100 94 93 90 85 78
（附：对于一组数据（x，y），（x，y）…（xn，yn），其回归直线 的斜率的最小二乘估计值
1 1 2 2
为 参考数值： ， ）；预计在今后的销售中，销量与单价仍
然服从这种线性相关关系，且该产品的成本是5元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为（
）A．9.4元 B．9.5元 C．9.6元 D．9.7元
8．（2022·山西省长治市第二中学校高二阶段练习）中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地.茶的发现和利
用已有四千七百多年的历史，且长盛不衰，传遍全球.为了弘扬中国茶文化，某酒店推出特色茶食品“金萱
排骨茶”，为了解每壶“金萱排骨茶”中所放茶叶量x（单位：克）与食客的满意率y的关系，通过调查
研究发现选择函数模型 来拟合y与x的关系，根据以下数据：
茶叶量x/克 1 2 3 4 5
4.34 4.36 4.44 4.45 4.51
可求得y关于x的回归方程为（ ）
（附：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为
， ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2022·全国·高二课时练习）为了增强学生的身体素质，某校将冬天长跑作为一项制度固定下来，每天
大课间例行跑操．为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，研究人员随机调查了相同人数的男、女学生，
发现男生中有80%喜欢跑步，女生中有40%不喜欢跑步，且有95%的把握判断喜欢跑步与性别有关，但没
有99%的把握判断喜欢跑步与性别有关，则被调查的男、女学生的总人数可能为（ ）
A．120 B．130 C．240 D．250
10．（2022·山东聊城·高二期末）对具有相关关系的两个变量 和 进行回归分析时，经过随机抽样获得
成对的样本数据 ，则下列说法正确的是（ ）A．若两变量 、 具有线性相关关系，则回归直线至少经过一个样本点
B．变量 、 的线性相关系数 的绝对值越接近 ，则两个变量 与 的线性相关程度越强
C．用残差平方和来比较两个模型的拟合效果时，残差平方和越小，模型的拟合效果越好
D．用 来刻画回归模型的拟合效果时，若所有样本点都落在一条斜率为非零的直线上，
则 的值为
三、填空题
11．（2022·内蒙古·满洲里市第一中学高一期末）某地，第x年该地人均收入y的部分数据如下表：
年份 2015 2016 2017 2018 2019
年份编号x 1 2 3 4 5
年人均收入y（万元） 0.5 0.6 1 1.4 m
根据表中所数据，求得y与x的线性回归方程为： ，则2019年该地区实际年人均收入为
___________万元.
12．（2022·全国·高三专题练习） 和 的散点图如图所示，则下列说法中所有正确命题的序号为______.
① ， 是负相关关系；
② ， 之间不能建立线性回归方程；
③在该相关关系中，若用 拟合时的相关指数为 ，用 拟合时的相关指数为 ，则
.
四、解答题
13．（2022·陕西渭南·高一期末）每到夏季，许多人选择到水上乐园游玩，某水上乐园统计了开业后第3~7
天每天的游客人数 （百人）的数据，得到下面的表格：
第 天 3 4 5 6 7
游客人数 （百人） 1.5 2 3 3.5 5
(1)若 与 具有线性相关关系，求 关于 的线性回归方程；(2)已知该水上乐园每天最大的游客承载量为1000人，如果某天的游客数量预计会超过该水上乐园每天最
大的游客承载量，则当天需采取限流措施，根据（1）中的回归方程估计：从第几天开始，该水上乐园需
要采取限流措施？
附：线性回归方程 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ， ．
14．（2022·全国·高二课时练习）某市自2021年1月启动对“车不让人行为”处罚以来，斑马线前机动车
抢行不文明行为得以根本改变，但作为交通重要参与者的行人，闯红灯通行却频有发生，带来了较大的交
通安全隐患，同时也使机动车的通畅率降低．该市交警部门在某十字路口根据以往的检测数据，得到行人
闯红灯的概率约为0.4，并从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯情况得到
如下 列联表：
30岁及以下 30岁以上 总计
闯红灯 60
未闯红灯 80
总计 200
近期，为了整顿“行人闯红灯”这一项不文明及违法行为，交警部门在该十字路口对闯红灯行人试行经济
处罚，并在试行经济处罚后从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，得到下表：
处罚金额（单位：
5 10 15 20
元）
闯红灯的人数 50 40 20 0
将统计数据所得频率作为概率，完成下列问题．
(1)将 列联表填写完整（不需写出填写过程），并根据表中数据分析，在未对闯红灯行人试行经济处罚
前，是否有99.9%的把握认为闯红灯与年龄有关？
(2)当处罚金额为10元时，行人闯红灯的概率比不进行处罚降低多少？
(3)结合调查结果，谈谈如何治理行人闯红灯现象．
B 能力提升
1．（2022·江苏·盐城中学模拟预测）某抽奖系统中，抽得的物品可分为5星，4星和3星，其中一种抽奖
种类中的抽奖系统的概率和相关保底机制如下：
物品类别 5星 4星 3星基础概率 0.600% 5.100% 94.300%
基础概率：在没有任何其他机制的影响下，单次抽奖抽中指定类别奖品的概率．
保底机制：现假定玩家 从未进行过抽奖，则玩家抽取5星（或4星）的概率会随者未抽中5星（或4
星）的次数增加而改变，相关机制如下表所示：
连续未抽中4星的次数i
下一次抽中4星的概率 5.100%
连续未抽中5星的次数i
下一次抽中5星的概率 0.600%
注：① 表示 中的最小值：
②抽中4星的概率和抽中5星的概率的增加值从抽中3星的概率中等量扣除；
③若发现下一次抽奖中，抽中4星的概率和抽中5星的概率的和大于1，则下一次抽奖抽中5星的概率等于
表中的值（记为p），而抽中4星的概率为 ．
现记玩家 获得1个5星物品所需要的最大抽奖次数为N；
(1)统计10名玩家 抽到第一个五星的总次数和中途抽到四星的次数如下表所示：
玩家序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
总次数y 30 78 64 80 85 79 55 83 66 81
四星个数x 4 8 7 9 9 8 6 9 8 9
计算得： ，已知y与x之间存在很强的线性相关关系，求出其线
性回归方程，并求出使得 最小的x（回归方程中的 和 取两位小数）
参考公式：回归直线方程 斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
．
2．（2022·河北唐山·高二期末）为过接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某校开展了“冰雪答题
王”冬奥知识竞赛活动，现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩
（满分为100分）为6组： ， ， ， ， ， ，得到如图所示的频
率分布直方图.(1)求a的值；
(2)记A表示事件“从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取一名学生，该学生的比赛成绩不低于80
分”，估计A的概率；
(3)在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成低于90分为“非优秀”，请
将下面的 列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？
优秀 非优秀 合计
男生 40
女生 50
合计 100
参考公式及数据： ， .
0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
C 综合素养
1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（文））2022年春节前，受疫情影响，各地鼓励市民接种新冠疫苗第三
针.某市统计了该市4个地区的疫苗接种人数与第三针接种人数（单位：万），得到如下表格：
A区 B区 C区 D区
疫苗接种人数x/万 6 8 10 12第三针接种人数y/万 2 3 5 6
(1)请用相关系数说明y与x之间的关系可用线性回归模型拟合，并求y关于x的线性回归方程
（若 ，则线性相关程度很高，可用直线拟合）.
参考公式和数据：相关系数 ，回归方程 中斜率和截距的最小二乘估
计公式分别为 ， ， .
2．（2022·河南新乡·高二期中（文））为研究男体育特长生的身高与体重之间的关系，从某校的男体育特
长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
身高x（ ） 178 173 158 167 160 173 166 169
体重y（ ） 66 61 50 58 53 66 57 57(1)根据最小二乘法的思想与公式求得身高与体重的线性回归方程为 .利用已经求得的线性回
归方程，完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值 （保留两位有效
数字）.
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
体重y（ ） 66 61 50 58 53 66 57 57
残差 -0.5 -1.5 -0.5 0.3 0.9
(2)通过残差分析，对于残差绝对值最大的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误，已知
通过重新采集发现，该组数据的体重应该为58kg.请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出男体育特长
生的身高与体重的线性回归方程.
参考公式： ， ， ， .参考数
据： ， ， ， ， .
3．（2022·山东淄博·模拟预测）小叶紫檀是珍稀树种，因其木质好备受玩家喜爱，其幼苗从观察之日起，
第x天的高度为ycm，测得数据如下：
1 4 9 16 25 36 49
0 4 7 9 11 12 13
数据的散点图如图所示：为近似描述y与x的关系，除了一次函数 ，还有 和 两个函数可选．
(1)从三个函数中选出“最好”的曲线拟合y与x的关系，并求出其回归方程（ 保留到小数点后1位）；
(2)判断说法“高度从1000cm长到1001cm所需时间超过一年”是否成立，并给出理由．
参考公式： ， ．
参考数据（其中 ， ）： ， ， ， ， ， ，
， ， ， ．
