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6.1 等差数列（精练）（提升版）
题组一 等差中项
1．（2022·全国·模拟预测（理））已知数列 是等差数列， ， 是方程 的两根，则数
列 的前20项和为（ ）
A． B． C．15 D．30
【答案】D
【解析】 ， 是方程 的两根，所以 ，又 是等差数列，
所以其前20项和为 ．故选：D
2．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A．28 B．34 C．40 D．44
【答案】D
【解析】因为 ，所以由 ，可得所以 ，所以 ，
故选：D
3．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据等差数列公式及性质可得 ，所以 ，
所以 .故选：D
4．（2022·江西·南昌十中高三阶段练习（理））已知数列 为等差数列，且满足 ，则数
列 的前11项和为（ ）A．40 B．45 C．50 D．55
【答案】D
【解析】因为数列 为等差数列，故 等价于 ，故可得 .
又根据等差数列前 项和性质 .故选：D.
4．（2022·河北石家庄·二模）等差数列 的前n项和记为 ，若 ，则 （ ）
A．3033 B．4044 C．6066 D．8088
【答案】C
【解析】由等差数列 知， ，所以 ，
故选：C
5．（2022·河南平顶山）已知 为正项等差数列 的前n项和，若 ，则 （ ）
A．22 B．20 C．16 D．11
【答案】A
【解析】由题意设正项等差数列 的首项为 ，公差为 故由 得： ，
即 ，故 ，故选：A
6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 且 ，则
（ ）
A．-3 B．3 C． D．
【答案】B
【解析】 ,∴数列 是以2为公差的等差数列，
，
， ， ，故选：B.
题组二 等差数列的前n项和性质1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列 是等差数列， 为数列 的前 项和，
， ，则 （ ）
A．10 B．15 C．20 D．40
【答案】C
【解析】数列 是等差数列， 为数列 的前 项和，
根据等差数列的性质得到： 仍成等差数列，
记 ，设 ，
， ，
，
，
计算可得到结果为：20.故选：C.
2．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
【答案】B
【解析】由等差数列 的前 项和的性质可得： ， ， 也成等差数列，
， ，解得 ．故选：B．
3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校一模（理））已知等差数列 的前 项和为 ， ，
则 （ ）
A． B．13 C．-13 D．-18
【答案】D
【解析】由 ，可设∵ 为等差数列，∴S，S S，S S 为等差数列，
3 6 3 9 6
即a， 6a， 成等差数列，∴ ，即 ∴ 故选:D.
4．（2022·陕西·武功县普集高级中学一模（文））设Sn是等差数列{an}的前n项和，若 ，则 等
于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据等差数列的性质，若数列 为等差数列，则 ， ， ， 也成等差数列；
又 ，则数列 ， ， ， 是以 为首项，以 为公差的等差数列
则 ， ， 故选：A．
5．（2022·重庆八中模拟预测）已知等差数列 与等差数列 的前 项和分别为 和 ，且 ，
那么 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设等差数列 的公差分别为 和
,即
,即 ①,即 ②
由①②解得
故选：C
6．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列 与等差数列 的前n项和分别为 ， ，若对任意自然
数n都有 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意， .故选：C.
7．（2022·全国·高三专题练习）等差数列 的前 项和为 ，若 且 ，则( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设 的公差为d，∵ ∴ ，
即{ }为等差数列，公差为 ，由 知 ，故
故选：A﹒8．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， 分别是等差数列 ， 的前n项和，且
，则 ______．
【答案】
【解析】因为 为等差数列，所以 ，所以
.故答案为：
9．（2022·辽宁·大连市一0三中学模拟预测）已知数列 是等比数列， 为其前 项和，若 ，
，则 ______．
【答案】60
【解析】 为等比数列， ， ， ， ，也构成等比数列，
又 ， ， 该等比数列首项为4，公比为2，项数为4，则 ，
故答案为：60
10．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则数列 公差
为___________.
【答案】4
【解析】由等差数列性质可知， 又 ，∴ ,
解得， 故答案为：4
题组三 等差数列的最值
1．（2022·江西赣州·二模（文））已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则使得前项和 取得最大值时 的值为（ ）
A．2022 B．2021 C．1012 D．1011
【答案】D
【解析】因为等差数列 的前 项和为 ， ， ，
所以 ，
所以 ， ，
所以 ， ，即等差数列 的公差 ，
所以， 时， ； 时， ，
所以，使得前 项和 取得最大值时 的值为 .故选：D
2．（2022·全国·高三专题练习）已知 是等差数列 的前 项和， ， ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 的最小值为 .
故选：C.
3．（2022·浙江省浦江中学高三期末）设等差数列 的公差为d，其前n项和为 ，且 ，
，则使得 的正整数n的最小值为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】D
【解析】由 ，得 ，因为 是等差数列，所以 ， ， ，
， ， ，
所以 ，
使得 的正整数n的最小值为 .故选: D.
4．（2022·浙江省新昌中学模拟预测）设等差数列 的前n项和为 ，首项 ，公差 ，若对任
意的 ，总存在 ，使 ．则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得 则得 ，即 ，
令 得 ，即 ①，即得 .
因为首项 ，公差 ，则得 ，即 .
又因为 ，所以 ，代入①得 .
当 时，由 得
即 ，所以 即
因此当 或11时， 的最小值为 .故选：C
5．（2022·全国·高三专题练习）若 是等差数列，首项 ， ， ，则使前
项和 成立的最小正整数 是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为等差数列 中， ， ，所以公差 ， ， ，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
根据等差数列的性质可知， 时， ； 时， .
故使前 项和 成立的最小正整数 是 .
故选：D.
6．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列{a}的前n项和为Sn，且满足S >0，S <0，则
n 15 16
中最大的项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵等差数列前n项和 ，
由S >0，S <0，得 ，∴ ，
15 16
若视为函数则对称轴在 之间，∵ ，∴Sn最大值是 ，
分析 ，知 为正值时有最大值，故为前8项，又d＜0， 递减，前8项中 递增，
∴前8项中 最大 最小时 有最大值，∴ 最大．
7．（2022·湖南永州·三模）（多选）已知等差数列 是递减数列， 为其前 项和，且 ，则
（ ）
A． B．
C． D． 、 均为 的最大值【答案】BD
【解析】因为等差数列 是递减数列，所以， ，所以， ，故A错误；
因为 ，所以 ，故B正确；
因为 ，故C错误；
因为由题意得， ，所以， ，故D正确；故选：BD
8．（2022·四川成都·模拟预测（理））已知数列 是等差数列，且 ．若
是 和 的等差中项，则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为数列 是等差数列，所以 是正项等比数列，
又 ，所以 ，解得 或-1（舍），
又因为 是 和 的等差中项，所以 ，
则 ，即 ．所以 ，
令 ，则 ，所以 ，
当且仅当 时，即 时取等号．故选：A．
9．（2022·广东·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，则使 时
的 的最小值为_________ .【答案】
【解析】当 为偶数时，令 ，
，
又 ，即 ，
即 为偶数时，使 时的 的最小值为810；
当 为奇数时，令 ，
，
令 ，所以 （验证符合题意），
即 为奇数时，使 时的 的最小值为809；
综上可得： 的最小值为809，
故答案为：809.
10．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知等差数列{ }的前n项和是 ， ， ，则数列{| |}中值
最小的项为第___项．
【答案】10
【解析】由题意得： ，∴ ，
，∴ ， ，
∴ ，故等差数列{ }为递减数列，即公差为负数，
因此 的前9项依次递减，从第10项开始依次递增，
由于 ，∴{| |}最小的项是第10项，
故答案为：10
11．（2022·陕西·长安一中模拟预测（理））设等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，，则当满足 成立时，n的最小值为___________.
【答案】31
【解析】等差数列 的前n项和为 ， ，由 得： ，
即 ，数列 的公差 ，因此，数列 是首项为正的递减数列，
又 ，则当 时， ，而 ，因此，当 时，
，
所以当满足 成立时，n的最小值为31.
故答案为：31
12．（2022·全国·高三专题练习）设 ， 为实数，首项为 ，公差为 的等差数列 的前 项和为 ，
满足： ，且 ，则 的最小值为_________．
【答案】88
【解析】由题意， .
.设 .
则
．
因为关于 的方程有实数解，故 .
即 ，解得 或 （舍去）.
故 .此时 ，满足 ．
即 的最小值为88.故答案为：88．题组四 等差数列的综合运用
1．（2022·广东江门）（多选）已知数列 的前n项和为 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． 是递增数列 B．
C．当 ，或17时， 取得最大值 D．
【答案】BC
【解析】因为 ，所以 两式相减得 ，
当 时， 适合上式，所以 ，
因为 ，所以数列 是递减数列，由 ，解得 ，且
所以当 或17时， 取得最大值，
所以
，
.故选：BC
2．（2022·广东·金山中学高三阶段练习）（多选）设等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，已知
， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】对于AB，因为 ， ，所以 ，解得 ， ，所以AB正确，
对于C，所以 ，对称轴为 ，因为 ，
所以当 时， 取得最大值，所以 ，所以C错误，
对于D，令 ，则 ，解得 ，或 ，因为 ，所以 ，所以
，所以D错误，故选：AB
3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和 ，则下列结论正确的是
（ ）
A．数列 是等差数列
B．数列 是递增数列
C． ， ， 成等差数列
D． ， ， 成等差数列
【答案】D
【解析】 ，
∴ 时，
时， ． 时，不满足
∴数列 不是等差数列；
，因此数列 不是单调递增数列；，因此 ， ， 不成等差数列．
． ．
∴ 成等差数列．
故选：D
4．（2022·全国·高三专题练习）（多选）设等差数列 的前 项和为 ，公差为 .已知 ， ，
，则（ ）
A．数列 的最小项为第 项 B．
C． D． 时， 的最大值为
【答案】ABC
【解析】对于C选项，由 且 ，可知 ，故C正确；
对于B选项，由 ，可得 ，故B正确；
对于D选项，因为 ， ，
所以，满足 的 的最大值为 ，故D错误；
对于A选项，由上述分析可知，当 且 时， ；
当 且 时， ，
所以，当 且 时， ，
当 且 时， ，当 且 时， .
由题意可知 单调递减，
所以当 且 时， ，
由题意可知 单调递减，即有 ，
所以 ，
由不等式的性质可得 ，
从而可得 ，
因此，数列 的最小项为第 项，故A正确.
故选：ABC.
5．（2022·河北张家口·三模）（多选）已知公差为d的等差数列 的前n项和为 ，则（ ）
A． 是等差数列 B． 是关于n的二次函数
C． 不可能是等差数列 D．“ ”是“ ”的充要条件
【答案】AD
【解析】由 知， ，
则 ，所以 是等差数列，故A正确；
当 时， 不是n的二次函数，故B不正确；
当 时， ，则 ，所以 是等差数列，故C不正确；
当 时， ，故 ，
，
所以“ ”是“ ”的充要条件，故D正确.
故选：AD.
题组五 等差数列的实际运用
1．（2022·全国·高三专题练习）2022北京冬奥会开幕式将我国二十四节气融入倒计时，尽显中国人之浪漫．
倒计时依次为：大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、处暑、立秋、大暑、
小暑、夏至、芒种、小满、立夏、谷雨、清明、春分、惊蛰、雨水、立春，已知从冬至到夏至的日影长等
量减少，若冬至、立冬、秋分三个节气的日影长之和为31.5寸，冬至到处暑等九个节气的日影长之和为
85.5寸，问大暑的日影长为（ ）
A．4.5寸 B．3.5寸 C．2.5寸 D．1.5寸
【答案】B
【解析】因为从冬至到夏至的日影长等量减少，所以构成等差数列 ，
由题意得： ，则 ，
，则 ，
所以公差为 ，所以 ，
故选：B
2．（2022·江西·模拟预测（理））“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数
学著作《孙子算经》卷下第十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，
五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有一个相关的问题：将1到2021这2021个自然数中被5除
余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为（ ）
A．58 B．59 C．60 D．61
【答案】A【解析】因为由1到2021这2021个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序所构成的数
列是一个首项为23，公差为35的等差数列，所以该数列的通项公式为 ．因为
，所以 ．即该数列的项数为58．故选：A
3．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））《孙子算经》一书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子60
颗，人别加3颗．问：五人各得几何？”其大意为“有5人分60个橘子，他们分得的橘子数构成公差为3
的等差数列，问5人各得多少个橘子？”根据上述问题的已知条件，则分得橘子最多的人所得的橘子数为
（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】D
【解析】依题意，这5人得到的橘子数按从小到大的顺序排成一列构成公差 的等差数列 ，
而数列 的前5项和 ，由 ，解得 ，则 ，
所以分得橘子最多的人所得的橘子数为18.
故选：D
4．（2022·宁夏·平罗中学三模（理））朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中
“如像招数”五向中有如下一段话：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日
转多七人，”其大意为“官府陆续派遣1864人修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人
数比前一天多7人”，则派出总人数为708人时，共用时（ ）
A．7天 B．8天 C．9天 D．10天
【答案】B
【解析】由题意可知，每天派出的人数构成一个等差数列 ，其中首项 ，公差 ，
记数列 的前n项和为 ，则 ，
当 时，解得 ．故选：B．
5．（2022·全国·高三专题练习（理））某公园有一块等腰梯形状的空地，现准备在空地上铺上大理石，使
它成为一个运动场地，若第一排需要大理石8片，从第二排开始后面每一排比前一排多2片，共需铺10排，
则这块空地共需大理石（ ）A．160片 B．170片 C．180片 D．190片
【答案】B
【解析】因为这10排大理石片数构成一个首项为8，公差为2的等差数列，
所以 ．
故选：B．
6．（2022·辽宁·东北育才学校模拟预测）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十
天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、
酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干
由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅” ，
以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”
重新开始，即“丙子” ，以此类推.今年是辛丑年，也是伟大、光荣、正确的中国共产党成立 周年，
则中国共产党成立的那一年是（ ）
A．辛酉年 B．辛戊年 C．壬酉年 D．壬戊年
【答案】A
【解析】由题意知，天干是公差为 的等差数列，地支为公差为 的等差数列，
且 ， ，
因为 年为辛丑年，则 年前的天干为“辛”，地支为“酉”，可得到 年为辛酉年，
故选：A.
7．（2022·全国·高三专题练习）电影《刘三姐》中有一个“舟妹分狗”的片段.其中，罗秀才唱道:三百条
狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀?舟妹唱道；九十九条圩上卖，九十九条
腊起来，九十九条赶羊走，剩下三条，财主请来当奴才（讽刺财主请来对歌的三个奴才）.事实上，电影中
罗秀才提出了一个数学问题：把 条狗分成 群，每群都是单数， 群少， 群多，数量多的三群必须都
是一样的，否则就不是一少三多，问你怎样分?舟妹已唱出其中一种分法，即 ，那么，所有分
法的种数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设少的 群狗有 条，多的 群狗每群有 条， 、 ，且 .
根据题意， ，则 一定是 的倍数，可设 ，由 ，得 ，则 ，即 .
由 为奇数，则 为奇数，即 ，
于是分配方法有以下 种： 、 、 、 、 、
、 、 、 、 、 、
.
故选：D.
8．（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构， 是桁，相邻桁的水平距
离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中 是举，
是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 ．已知
成公差为0.1的等差数列，且直线 的斜率为0.725，则 （ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
【答案】D
【解析】设 ，则 ，依题意，有 ，且 ，
所以 ，故 ，故选：D
