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10.3 椭圆（精练）（基础版）
题组一 椭圆的定义及应用
1．（2022江西月考）已知 是椭圆 上一点， ， 为椭圆的左，右焦点，且 ，
则 ( )
A．1 B．3 C．5 D．9
【答案】B
【解析】对椭圆方程 变形得， ，易得椭圆长半轴的长为5，
由椭圆的定义可得， ，
又因为 ，所以 .故答案为：B.
2．（2022·江西模拟）“ ”是“方程 表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分杂件
C．充要杂件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】由 ，可得 ，
当 时，方程可化为 ，此时方程表示圆，所以充分性不成立；
反之：方程 表示椭圆，则满足 ，即 且 ，
所以 不成立，即必要性不成立，
所以“ ”是“方程 表示椭圆”的既不充分也不必要条件.
故答案为：D.3．（2022奉贤期中）已知椭圆 则（ ）
A．C 与C 顶点相同 B．C 与C 长轴长相同
1 2 1 2
C．C 与C 短轴长相同 D．C 与C 焦距相等
1 2 1 2
【答案】D
【解析】椭圆 中， ，则
则C 的顶点为 ，长轴长为 ，短轴长为4，焦距为 ；
1
同理，椭圆 中， ，则
则C 的顶点为 ，长轴长为4，短轴长为4 ，焦距为 ；
1
故ABC错误，D正确. 故答案为：D
4．（2022·南充模拟）已知椭圆 的左焦点为 ，过点 的直线
与椭圆 相交于不同的两点 ，若 为线段 的中点， 为坐标原点，直线 的斜率为 ，
则椭圆 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】直线 过点 ，所以 ， 设 ，
由 两式相减并化简得 ，即 ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 .故答案为：B
5．（2022·宝鸡模拟）“ ”是“方程 表示焦点在x轴上椭圆”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】∵方程 表示焦点在x轴上的椭圆， ，解得： ，
“ ”是“方程 表示焦点在x轴上椭圆”的必要不充分条件.
故答案为：C.
6．（2022·佛山模拟）若椭圆 的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是 .
【答案】（1，2）
【解析】因为椭圆 的焦点在y轴上， 所以 ，解得 ，即实数k的
取值范围为（1，2）.故答案为：（1，2）
7．（2022·郑州模拟）已知椭圆 的左、右焦点分别为F，F，O为坐标原点，椭圆上一点P
1 2
满足|OP|＝3，则△FPF 的面积为 ．
1 2
【答案】7【解析】由题意得： ，解得： ，所以 ，设出 ，则 ，
解得： ，故 故答案为：7
8．（2022·株洲模拟）已知 、 是椭圆 的两个焦点，M为椭圆上一点，若 为直
角三角形，则 ．
【答案】
【解析】在椭圆 中， ， ， ，则 .
（1）若 为直角，则 ，该方程组无解，不合乎题意；
（2）若 为直角，则 ，解得 ，
；
（3）若 为直角，同理可求得 .综上所述， .故答案为： .
9．（2022·奉贤模拟）已知曲线 的焦距是10，曲线上的点 到一个焦点的距离是2，则点
到另一个焦点的距离为 .
【答案】 或10【解析】由题意，曲线的半焦距为5，若曲线是焦点在x轴上的椭圆，则a>16，所以
，而椭圆上的点 到一个焦点距离是2，则点 到另一个焦点的距离为
；
若曲线是焦点在y轴上的椭圆，则02，不合题意，所以点P到上焦点的距离为2，则它到下焦点的距离
.
故答案为： 或10.
10．（202·深圳月考）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 是椭圆 上
的一点，且 ，则 面积为 ．
【答案】
【解析】由题意知 ，
设|PF|=m，|PF|=n，则 ，即
1 2
解得mn=12，
所以三角形 面积为 .故答案为：
11（2021商丘）设 为椭圆 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，
且 ，则四边形 的面积为 .
【答案】18
【解析】由条件可知四边形 为矩形，设 则 ，
所以 ，即 ，即四边形 的面积为 .
故答案为：18．
题组二 椭圆的离心率
1．（2022·眉山模拟）已知 ， 分别是椭圆 的左顶点和右焦点， 是椭圆上
一点，直线 与直线 相交于点 .且 是顶角为120°的等腰三角形，则该椭圆的离心
率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，设直线 与 轴的交点为 ，由 是顶角为120°的等腰三角形，知
， .于是，在 中 .
而 ，故 .
结合 得 ，即 ，解得 .
故答案为：C.
2．（2022·贵州贵阳）设 ， 是椭圆 ： 的左、右焦点， 为直线 上一点，
是底角为 的等腰三角形，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，点 为直线 上一点， 是底角为 的等腰三角形，
可得 ，所以 ，整理得 ，所以 ，
所以椭圆 的离心率为 .故选B．3．（2022·陕西咸阳市）已知椭圆 为C的左､右焦点， 为C
上一点，且 的内心 ，若 的面积为2b，则n的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【解析】由题意可得， 的内心 到x轴的距离就是内切圆的半径.又点P在椭圆C上，
.又 ，
，即 ，解得 或 （舍），
.又 ，解得 .
故选：C.
4．（2021·乐清市知临中学高三月考）已知椭圆和双曲线有相同的焦点 ，它们的离心率分别为 ，
是它们的一个公共点，且 .若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】设 ，椭圆的长半轴长为 ，双曲线的实半轴长为 ，焦点为 ，不妨设 在第
一象限，
则 ，解得 ，
中由余弦定理得 ，即 ，
所以 ，
， ，又 ， ，所以 ，
，所以 ．
故选：B．
5．（2021·江西新余·高三（理））已知 是椭圆 的左焦点，椭圆 上一点
关于原点的对称点为 ，若 的周长为 ．则离心率 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】P与Q关于原点对称，则Q(-2，-1)，
，
又三角形PQF的周长为 ，
设圆的右焦点为M，则由椭圆的性质可得 ，，得 ，
将点P代入椭园方程可得： ，解得 ，
，
则离心率 ，
故选A．
6（2022·广东）已知椭圆 的左焦点为F，过点F且倾斜角为45°的直线l与椭圆交于
A，B两点（点B在x轴上方），且 ，则椭圆的离心率为___________.
【答案】
【解析】设 ，由题意知， 的斜率为 ，则直线方程为 ，
设 ，联立直线和椭圆的方程得 ，
整理得 ，则 ， ，
且 ，可得 ，则 ， ，
所以 ，可得 ，所以
故答案为： ．题组三 椭圆的标准方程
1．（2022湖北月考）已知椭圆 的两个焦点分别为 ，P是椭圆上一点，
，且C的短半轴长等于焦距，则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，因为 ，所以 ， ，
故椭圆C的标准方程为 。 故答案为：D.
2．（2022·昌吉期中）已知椭圆过点 和点 ，则此椭圆的方程是（ ）
A． B． 或
C． D．以上均不正确
【答案】A【解析】设椭圆方程为：mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)，因椭圆过点 和点 ，
于是得 ，解得 ，所以所求椭圆方程为 。故答案为：A
3．（2022福州期中）方程 化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵方程 ，
表示平面内到定点 、 的距离的和是常数 的点的轨迹，
∴它的轨迹是以 为焦点，长轴 ，焦距 的椭圆；
∴ ；
∴椭圆的方程是 ，即为化简的结果．
故答案为：D．
4．（2022·宁德期中）已知焦点在 轴上的椭圆的离心率为 ，它的长轴长等于圆 ：
的直径，则椭圆的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意可设椭圆的标准方程为 ，半焦距为 ，由 ，半径为4，
故有 ，又 ， ，
.
所以椭圆的标准方程为 .故答案为：B
5．（2022·温州期中）已知椭圆一个焦点 ，离心率为 ，则椭圆的标准方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为椭圆一个焦点 ，所以椭圆的的焦点在横轴上，且 ，
又因为该椭圆的离心率为 ，所以有 ，
所以 ，因此椭圆的方程为： ，
故答案为：D
6．（2022朝阳期中）若椭圆 的一个焦点为 ，则m的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】依题意，椭圆焦点在 轴，所以 . 故答案为：C
7．（2022·浙江月考）阿基米德是古希腊著名的数学家，物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面
积除以圆周率 等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知在平面直角坐标系 中，椭圆 ：的面积为 ，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆 的标准
方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意 ，解得 ，所以椭圆方程为 。
故答案为：A．
8．（2022·深圳期中）已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，P是C上一
点， 垂直于x轴， ，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 垂直于x轴， ，
所以 ，所以 ，则 ，
所以C的方程为 .
故答案为：C.
9．（2022江都期中）阿基米德是古希腊著名的数学家､物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积
除以圆周率 等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知在平面直角坐标系 中，椭圆
的面积为 ，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆 的标准
方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】椭圆的面积除以圆周率 等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，且椭圆
的面积为 ，所以 ，又因为两焦点与短轴的一个端点构成等边三角
{ab=8√3
{ a=4
形，所以得 a=2c ，解得 ， 所以椭圆 的标准方程是 。故答案为：A
b=2√3
a2=b2+c2
10．（2022沈阳期中）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到
椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为 ，则椭圆的面积公式为 ，若椭圆
的离心率为 ，面积为 ，则椭圆的标准方程为（ ）A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】B
【解析】根据题意 ，可得 ，
所以椭圆的标准方程为 或 .故答案为：B
11．（2022·攀枝花月考）已知椭圆的对称中心为坐标原点 ，一个焦点为直线 与
轴的交点，离心率为 ，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】椭圆的对称中心为坐标原点O，一个焦点为直线l：x-2y-4=0与x轴的交点，
可得焦点坐标(4，0)，所以c=4，离心率为 ，解得 ，所以
，所以所求椭圆方程为： .故答案为：A.12．（2022·长安月考）已知椭圆C的焦点为 ，过F 的直线与C交于A，B两点.若
2
， ，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ ， ∴
又∵ ，∴ ， 又|BF |+|BF |=2a，
1 2
a 3a
∴|BF |= ，|BF |= ，|AF |=a，∴在Rt△AFO中， ，
2 2 1 2 2 2
在△BF F 中，由余弦定理得 ，
1 2
则由 得 ，∴b2=a2-c2=3-1=2，
则C的方程为： ， 故答案为：B
13（2022西青期末）已知直线 经过椭圆 的左焦点 ，且与
椭圆在第二象限的交点为M，与 轴的交点为N， 是椭圆的右焦点，且 ，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，直线 与 轴的交点 ，
又直线 过椭圆 的左焦点，所以 ，即 ，
因为直线 与椭圆在第二象限的交点为M，与y轴的交点为 ，
且 ，所以 ，即 ，
又由 ，所以椭圆的方程为 。故答案为：D.
题组四 直线与椭圆的位置关系
1．（2022云南）直线y＝x＋1与椭圆x2＋ ＝1的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【答案】C
【解析】联立 消去y，得3x2＋2x－1＝0，
因为Δ＝22＋12＝16＞0，所以直线与椭圆相交.
2．（2022黑龙江）若直线 和圆 没有交点，则过点 的直线与椭圆 的交
点个数为（ ）
A．2个 B．至少一个 C．1个 D．0个
【答案】A
【解析】 直线 和圆 没有交点， 直线与圆相离，圆心 ，半径，即
点 在以原点为圆心，半径为2的圆内，
又椭圆 短轴长为4， 圆 =2内切于椭圆， 点 在椭圆内，
则过点 的直线与椭圆 的交点个数为2个.
故选：A.
3．（2022·江西 ）已知直线 与椭圆 恒有公共点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． 或
C． 且 D． 且
【答案】C
【解析】由题意，直线 ，可得直线恒过定点 ，
要使得直线 与椭圆 恒有公共点，
只需点 在椭圆的内部或在椭圆上，可得 ，
即实数 的取值范围为 且 .
故选：C.
4．（2022江苏）已知以 ， 为焦点的椭圆与直线 有且仅有一个交点，则椭圆
的长轴长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设椭圆长轴长为 （且 ，则椭圆方程为 ．
由 ，可得 ，
因为直线与椭圆只有一个交点，则 ，即 ．
解得 或 或 ，
又由 ，所以 ，所以长轴长 ．
故选： ．
5（2021·全国高三专题练习）已知直线 与椭圆 相交于与A，B两点，若椭圆上存
在点C，使得 ，则点C的坐标为______________.
【答案】 或
【解析】设 ， ，
由 消去x整理得 ， ，
则 ， ，
所以 ， ，
又 ，则点C在以 为直径的圆上（不与 、 重合），
即点C在圆 上，
由 可得 或 .
故答案为： 或 .
题组五 弦长1．（2022上海）椭圆 中，以点 为中点的弦所在直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设弦的两端点为A(x,y),B(x,y)，代入椭圆得 ，
1 1 2 2
两式相减得 ，即 ，
即 ，又 即 ，即 ，
∴弦所在的直线的斜率为 ，故选：C.
2．（2022·北京）直线 与椭圆 相交 两点，点 是椭圆上的动点，则 面积的
最大值为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】B
【解析】由题意联立方程组 ，解得 或 ，
因为 两点在椭圆上关于原点对称，不妨取 ，
则 ,
设过点C与AB平行的直线为 ，则 与AB的距离即为点C到AB的距离，也就是 的
边AB上的高，
当 与椭圆相切时， 的边AB上的高最大， 面积也最大，联立 ，得： ，
令判别式 ，解得 ，
此时 与 间的距离也即是 的边AB上的高为 ，
所以 的最大面积为 ，
故选：B.
3．（2022·上海市）已知直线 交椭圆 于 两点，且线段 的中点为 ，则直线 的斜率
为______.
【答案】
【解析】由题意，设 ，因为 的中点为 ，所以 .
又 .
于是 ，即所求直线的斜率为 .
故答案为： .
4．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 ( )与直线 交于A、B两点，
，且 中点的坐标为 ，则此椭圆的方程为________．
【答案】【解析】由于 的中点坐标为 且满足直线方程 ，
即有 ，解得 ，则 的中点坐标为 ．
设 ， ，由 得 ，
则 ，
∵ 的中点坐标为 ，∴ ，即 ，
则 ，即 ，故 ，
又 ，
解得 ，故 ．
∴椭圆方程为 ．
故答案为： ．
5．（2022·江苏）若椭圆 的弦AB被点 平分，则AB所在的直线方程为______．
【答案】
【解析】设直线与椭圆的交点为
为 的中点， ；
两点在椭圆上，则
两式相减得 ；则 ； ；
故所求直线的方程为 ，即 ；
故答案为：
6．（2022·河北）已知椭圆 的一个焦点与抛物线 的焦点重合，过点
且斜率为 的直线交椭圆 于 ， 两点，若 是线段 的中点，则椭圆 的方程为 __．
【答案】
【解析】根据题意，抛物线 的焦点为 ，则椭圆 的焦点在 轴上，且 ，
可以设该椭圆的标准方程为： ，则 ，①
设 点坐标为 ， ， 点坐标为 ， ，有 ②， ③，
② ③可得： ④，
又由直线 的斜率为 ，则 ，
的中点 的坐标为 ，则 、 ，
代入④中，可得 ，
又由 ，则 ， ，
故要求椭圆的标准方程为： ；
故答案为： ．
7．（2021·黑龙江）已知椭圆 ，过 点作直线 交椭圆 于 ， 两点，且点 是 的中
点，则直线 的方程是___________.
【答案】【解析】设 ，
因为点 是 的中点，可得 ，
由 ，两式相减得 ，
即 ，所以直线 的方程为 ，即 .
故答案为： .
8．（2022·贵州贵阳）已知椭圆 的离心率是 ，点 在椭圆 上．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 的直线 与椭圆 交于 两点， 求 为坐标原点)面积的最大值．
【答案】(1) ；(2) .
【解析】（1）由题意可得 ，解得 ，故椭圆C的标准方程为 ；
（2）由题意可知直线 的斜率存在，
设直线 ，
联立 ，整理得 ，
，
所以 ， 即 或 ，则 ，
故 ，
点 到直线 的距离 ，
则 的面积 ，
设 ，则 ，
故 ， 当且仅当 时，等号成立，
即 面积的最大值为 ．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知动点 与平面上点 ， 的距离之和等于 .
(1)求动点 的轨迹 方程；
(2)若经过点 的直线 与曲线 交于 ， 两点，且点 为 的中点，求直线 的方程.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）解：设点 的坐标为 ， ， 由椭圆定义可知，点 轨迹是以
， 为焦点的椭圆， ， ， ， 动点 的轨迹 的方程为 ．
（2）解：显然直线 的斜率存在且不等于 ，设 ， ，则 ， ，又 、
在椭圆上，所以 ， ，两式相减得 ，即
所以 ，即 ，即 ，所以直线 的方程为 ，即 ；
10．（2022·河北）已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ，短轴
顶点分别为 、 ，四边形 的面积为32.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)直线 交椭圆 于 ， 两点，若 的中点坐标为 ，求直线 的方程.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)因为离心率 ，所以 ，因为 ，所以 .
因为四边形 的面积为32，所以 ，所以 ， ，
故椭圆 的标准方程为
(2)设 ， ，则
两式相减得 ，所以 .
因为 的中点坐标为 在椭圆内部，所以 ，所以直线 的斜率为1，
故直线 的方程为 ，即 .
