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§2.4 函数性质的综合应用
题型一 函数的单调性与奇偶性
例1 (1)(2020·新高考全国Ⅰ)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝
0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是( )
A．[－1,1]∪[3，＋∞)
B．[－3，－1]∪[0,1]
C．[－1,0]∪[1，＋∞)
D．[－1,0]∪[1,3]
答案 D
解析 因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，
则f(0)＝0.
又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，
画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，
则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示．
(1) (2)
当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，
则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.
当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，
则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.
故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]．
(2)若函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，对于任意两个正数 x ，x(xx·f(x)．记a＝25f(0.22)，b＝f(1)，c＝－log 3 ，则a，b，c的大小关系为(
2 1 1 2 5
)
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>c>a D．c>b>a
答案 A
解析 构造函数g(x)＝，
函数g(x)的定义域为{x|x≠0}，∵函数f(x)为R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
g(－x)＝＝＝g(x)，
则函数g(x)为偶函数，
对于任意两个正数x，x(xx·f(x)，
2 1 1 2
则>，
即g(x)>g(x)，
1 2
则函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
∵a＝25f(0.22)＝f ＝g，
b＝f(1)＝g(1)，
c＝－log 3 ＝－f(－log 5)
5 3
＝g(log 5)，
3
∵log 5>log 3＝1>，
3 3
则g(log 5)b>c.
3
思维升华 (1)解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式
的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)．
(2)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一
单调区间上，进而利用其单调性比较大小．
跟踪训练1 (2022·南京质检)已知函数f(x)＝－x－x3，x ，x ，x∈R，且x ＋x>0，x ＋
1 2 3 1 2 2
x>0，x＋x>0，则f(x)＋f(x)＋f(x)的值( )
3 3 1 1 2 3
A．一定大于零
B．一定小于零
C．等于零
D．正负都有可能
答案 B
解析 函数f(x)的定义域为R，
又f(－x)＝－(－x)－(－x)3＝x＋x3
＝－f(x)，
所以函数f(x)是R上的奇函数，
由单调性的运算性质可知，函数f(x)是R上的减函数，
因为x＋x>0，x＋x>0，x＋x>0，
1 2 2 3 3 1
即x>－x，x>－x，x>－x，
1 2 2 3 3 1所以f(x)0(x≠x)恒成立．则f ，f(4)，f 的大小关系正确的是( )
1 2
A．f >f(4)>f
B．f(4)>f >f
C．f >f(4)>f
D．f >f >f(4)
答案 C
解析 由f(x＋1)＝－f(x)可得
f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，
所以f(x)的周期为2，
因为f(x－2)为奇函数，所以f(x)为奇函数，
因为当x∈[0,1)时，>0，
所以f(x)在[0,1)上单调递增，
因为f(x)为奇函数，所以f(x)在(－1,0)上单调递增，
所以f(x)在(－1,1)上单调递增，
因为f ＝f ＝f ，
f(4)＝f(4－2×2)＝f(0)，
f ＝f ＝f ，
所以f >f(0)>f ，
即f >f(4)>f .
题型三 函数的奇偶性与对称性
例3 (1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，则以下函数中图象一定关于点(－1，0)成中心对
称的是( )
A．y＝(x－1)f(x－1)
B．y＝(x＋1)f(x＋1)
C．y＝xf(x)＋1
D．y＝xf(x)－1
答案 B
解析 构造函数g(x)＝xf(x)，该函数的定义域为R，所以g(－x)＝－xf(－x)＝－xf(x)＝－
g(x)，
函数g(x)为奇函数，
故函数g(x)的图象的对称中心为原点．
函数y＝(x＋1)f(x＋1)的图象可在函数g(x)的图象上向左平移1个单位长度，
故函数y＝(x＋1)f(x＋1)图象的对称中心为(－1,0)．(2)(2022·扬州模拟)写出一个满足f(x)＝f(2－x)的偶函数f(x)＝________.
答案 cos πx(常数函数也可，答案不唯一)
解析 取f(x)＝cos πx，证明过程如下：
f(x)＝cos πx的定义域为R，
由f(－x)＝cos(－πx)＝cos πx＝f(x)，
故f(x)为偶函数，
又f(2－x)＝cos[π(2－x)]＝cos(2π－πx)＝cos πx＝f(x)．
思维升华 由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等．
跟踪训练3 定义在R上的奇函数f(x)，其图象关于点(－2,0)对称，且f(x)在[0,2)上单调递增，
则( )
A．f(11)0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x ，x ，x ，x ，则x ＋x ＋x ＋x 的值为(
1 2 3 4 1 2 3 4
)
A．8 B．－8 C．0 D．－4
答案 B
解析 因为f(x－4)＝－f(x)，
所以f(x)＝－f(x＋4)，
所以f(x＋8)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为8，
又因为f(x)是奇函数，在[0,2]上单调递增，
作出函数的大致图象如图所示，
由图象可知f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上的四个不同的根x ，x ，x ，x ，两个关于直线x＝
1 2 3 4
－6对称，两个关于直线x＝2对称，
所以x＋x＋x＋x＝－6×2＋2×2＝－8.
1 2 3 4
6．已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且对于任意的 θ∈[0，π]都有
f(sin2θ－msin θ)＋f(2m－3)<0恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m>2 B．m<2
C．m≥2 D．m≤2
答案 A
解析 由定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，
得f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，
所以f(sin2θ－msin θ)＋f(2m－3)<0，
f(sin2θ－msin θ)<－f(2m－3)，
f(sin2θ－msin θ)－2m＋3，
即m>对任意的θ∈[0，π]恒成立，
记2－sin θ＝t，t∈[1,2]，则sin θ＝2－t，
所以m>＝－＋4，
因为t＋≥2，当且仅当t＝1时取等号，
所以－＋4的最大值为2，所以m>2.
7．(多选)(2022·运城模拟)已知偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，下列说法正确的是( )
A．函数f(x)是以2为周期的周期函数
B．函数f(x)是以4为周期的周期函数
C．函数f(x＋2)为偶函数
D．函数f(x－3)为偶函数
答案 BC
解析 依题意知f(x)是偶函数，且f(x)＋f(2－x)＝0，
f(x)＝－f(2－x)＝－f(x－2)，所以A错误．
f(x)＝－f(x－2)＝－[－f(x－2－2)]＝f(x－4)，
所以B正确．
f(x＋2)＝f(x－2＋4)＝f(x－2)
＝f(－(x－2))＝f(－x＋2)，
所以函数f(x＋2)为偶函数，C正确．
若f(x－3)是偶函数，
则f(x－3)＝f(－x－3)＝f(x＋3)，
则函数f(x)是周期为6的周期函数，这与上述分析矛盾，所以f(x－3)不是偶函数．D错误．
8．(多选)已知f(x)为奇函数，且f(x＋1)为偶函数，若f(1)＝0，则( )
A．f(3)＝0
B．f(3)＝f(5)
C．f(x＋3)＝f(x－1)
D．f(x＋2)＋f(x＋1)＝1
答案 ABC
解析 因为函数f(x＋1)为偶函数，
所以f(x＋1)＝f(1－x)，
又因为f(x)是R上的奇函数，
所以f(x＋1)＝f(1－x)＝－f(x－1)，
所以f(x＋2)＝－f(x)，
f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)的周期为4，
又因为f(1)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝0，
f(5)＝f(1)＝0，
故A，B正确；
f(x＋3)＝f(x＋3－4)＝f(x－1)，
所以C正确；
f(2)＝f(2－4)＝f(－2)，
同时根据奇函数的性质得f(2)＝－f(－2)，
所以f(2)，f(－2)既相等又互为相反数，
故f(2)＝0，
所以f(2)＋f(1)＝0≠1，即f(x＋2)＋f(x＋1)＝1对于x＝0不成立，
故D不正确．9．写出一个同时满足以下三个条件①定义域不是R，值域是R；②奇函数；③周期函数的
函数解析式____________．
答案 f(x)＝tan x，x≠＋kπ(k∈Z)(答案不唯一)
解析 满足题意的函数为f(x)＝tan x，
x≠＋kπ(k∈Z)(答案不唯一)．
10．(2022·哈尔滨模拟)已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，
f(－x)＝－f(x)；当x>时，f ＝f ，则f(6)＝________.
答案 2
解析 ∵当x>时，f ＝f ，
∴当x>时，f(x＋1)＝f(x)，即周期为1.
∴f(6)＝f(1)，
∵当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，
∴f(1)＝－f(－1)，
∵当x<0时，f(x)＝x3－1，
∴f(－1)＝－2，
∴f(1)＝－f(－1)＝2，
∴f(6)＝2.
11．设函数f(x)为定义在R上的函数，对∀x∈R都有：f(x)＝f(－x)，f(x)＝f(2－x)；且函数
f(x)对∀x，x∈[0,1]，x≠x，有>0成立，设a＝f ，b＝f(log 3)，c＝f ，则a，b，c的大小关
1 2 1 2 4
系为________．
答案 c0成立，
∴函数f(x)为偶函数、周期为2，在[0,1]上单调递增，
∴c＝f ＝f ，
a＝f ＝f ＝f ，
∵b＝f(log 3)，其中log 3∈，
4 4
∴<0，则a的取值范围是
________．
答案 (0,1)
解析 对于函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，有解得－10，
得f(a)>－f(1－2a)＝f(2a－1)，
所以
解得0
