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10.3 平面向量的应用（精练）（提升版）
题组一 平面向量在几何中的运用
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ， ，
，则 边上的中线长为（ ）
A．49 B．7 C． D．
2（2022·海南·模拟预测）在直角梯形ABCD中， ， ，且 ， .若线段CD上
存在唯一的点E满足 ，则线段CD的长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·云南） 中，若 ， ，点 满足 ，直线 与直线
相交于点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4（2022·全国·信阳高中）已知四边形 是矩形， ， ， ， ，，则 （ ）
A． B． C． D．
5（2022·湖南张家界）如图，在梯形ABCD中， ， ， ， ， ，若M，
N是线段BC上的动点，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·浙江·镇海中学）已知平面向量 、 、 满足 ，则 与 所成夹角的
最大值是（ ）
A． B． C． D．
7（2022·湖南·周南中学）已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足 ，
，则 的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．2
8．（2022·江苏·无锡市教育科学研究院）点 是边长为2的正三角形 的三条边上任意一点，则的最小值为___________.
9．（2022·上海市晋元高级中学）“燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹
克运动联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力.顺
次连接图中各顶点可近似得到正六边ABCDEF.若正六边形的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），
则 的取值范围为___________.
10．（2021·湖南）已知平面四边形 中， ， ， ， ， ，
则 _______.
题组二 三角形的四心
1．（2022·湖南湘潭·高三开学考试）在四边形 中， 为 的重心， ，点 在线段
上， 则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
2．（2022·全国·课时练习）平面内 及一点 满足 ，则点 是
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
3．（2021·湖南·怀化市第三中学 ）已知 ， 为三角形所在平面上的一点，且点 满足：，则 点为三角形的
A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心
4．（2022·全国·高三专题练习）已知 是三角形 的外心，若 ，
且 ，则实数 的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．
5．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知O是三角形ABC的外心，若
，且 ，则实数m的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·辽宁·沈阳市第一中学）已知O为锐角三角形 的外心， ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高三专题练习）若 为 所在平面内一点，且 则
点 是 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
8．（2022·安徽蚌埠·模拟预测（理））已知点P是 的重心，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．
D．
9．（2022·全国·高三专题练习）已知 是平面上的一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满
足 ， ，则动点 的轨迹一定通过 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
10．（2023·全国·高三专题练习）已知 是圆心为O，半径为R的圆的内接三角形，M是圆O上一点，
G是 的重心．若 ，则 ___________．
题组三 三角形的面积比
1．（2023·全国·高三专题练习）P是 所在平面内一点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2022吉林·桦甸市第四中学高一期末）已知点 是 所在平面内的一点，若 ，
则 __________．
3．（2023·全国·高三专题练习）点 为 内一点， ，则 的面积
之比是___________.
4．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高一阶段练习）已知 是 内部一点，且 ，则的面积与 的面积之比为___________.
5．（2022·山东 ）已知点 为 内一点， ，则 的面积之比
为______．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知 为 内一点， ，则 ， 的面
积之比为______．
7．（2022山西 ）若点O在 内，且满足 ，设 为 的面积， 为
的面积，则 ＝________.
8．（2022·江西·南昌县莲塘第一中学高一期末（文））点 是 所在平面内一点，若
，则 _______.
题组四 平面向量的综合运用
1．在平面直角坐标系 中，已知圆 及圆 内的一点 ，圆 的过点
的直径为 ，若线段 是圆 的所有过点 的弦中最短的弦，则 的
值为（ ）
A．8 B．16 C．4 D．
2．（2022·河南模拟）已知平行四边形 中， ， ，对角线与 相交于点O，点M是线段 上一点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·东海模拟）已知点A，B，C均位于同一单位圆O上，且 ，若 ，
则 的取值范围为 ．
4．（2022·柯桥模拟）已知平面向量 满足： 与 的夹角为 ，
记 是 的最大值，则 的最小值是 ．
5．（2022高一下·南阳期末）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图，这是《易经》中
记载的几何图形—八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形
代表八卦图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH所在平面内的一点，则
的最小值为 ．
