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4.5 导数的综合运用（精练）（提升版）
题组一 零点个数
1．（2022·山东·烟台二中）已知函数 ．
(1)讨论 的零点个数．
(2)若 有两个不同的零点 ，证明： ．
2．（2022·河南·长葛市）已知函数 ， ．
(1)当a＝2时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)讨论关于x的方程 的实根个数．3．（2022·天津·二模）设函数 为 的导函数.
(1)求 的单调区间；
(2)讨论 零点的个数；
(3)若 有两个极值点 且 ，证明： .
题组二 已知零点个数求参
1．（2022·河南濮阳·一模（文））已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)已知 且关于x的方程 只有一个实数解，求t的值．2．（2022·山东日照·三模）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)当 时，讨论 的零点个数．
3．（2022·四川成都·模拟预测（理））已知
(1)当 时，求 的单调性；
(2)讨论 的零点个数．题组三 不等式恒（能）成立
1（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））已知函数 .
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若当 时， 恒成立，求a的取值范围.
2（2022·江西）函数 的图像与直线 相切.
(1)求实数a的值；
(2)当 时， ，求实数m的取值范围.3（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知函数 ，函数 ．
(1)求函数 的单调区间．
(2) 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
4．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数 （
，且 ）
(1)求函数 的单调区间；
(2)若对 、 ，使 恒成立，求 的取值范围.5．（2022·北京八十中模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)求函数 的单调区间；
(3)若对任意 ，都有 成立，求实数a的取值范围.
6．（2022·海南海口·二模）已知函数 ， ．
(1)若 ，求 的最小值；
(2)若当 时， 恒成立，求a的取值范围．7．（2022·山东烟台·三模）已知函数 （ ）.
(1)证明：当 时，函数 存在唯一的极值点；
(2)若不等式 恒成立，求 的取值范围.
8．（2022·新疆克拉玛依·三模（文））已知函数 ， .
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围.题组四 证明不等式
1．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数 ， ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若方程 的根为 、 ，且 ，求证： ．
2．（2022·山东·模拟预测）已知函数 ，其中 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)当 时，
①证明： ；
②方程 有两个实根 ，且 ，求证： .3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)求 的最小值，并证明方程 有三个不等实根；
(2)设(1)中方程 的三根分别为 ， ，且 ，证明： ．
4．（2022·湖南·长沙一中一模）已知函数 ．（ ）在 处的切线l方程为
．
(1)求a，b，并证明函数 的图象总在切线l的上方（除切点外）；
(2)若方程 有两个实数根 ， ．且 ．证明： ．5．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数 （ ，e为自然对数的底数）．
(1)求函数 的极值；
(2)若方程 在区间 内有两个不相等的实数根 ，证明： ．
