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4.5 导数的综合运用（精练）（提升版）
题组一 零点个数
1．（2022·山东·烟台二中）已知函数 ．
(1)讨论 的零点个数．
(2)若 有两个不同的零点 ，证明： ．
【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析
【解析】(1)因为 ，所以1不是 的零点．
当 ，可变形为 ，
令 ，则 的零点个数即直线 与 图象的交点个数．
因为 ， ，得 ，又 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
因为 ，且当 时， ，
所以当 时， 没有零点；
当 时， 有一个零点；
当 时， 有两个零点．
(2)证明：由（1）知，当 时， 有两个零点．
设 ，则 ，
由 得 ，
所以 ，即 ．令 ，则 ，
易得 在 上单调递减，在 上单调递增．
要证 ，即证 ．
因为 ，且 在 上单调递增，所以只需证 ．
因为 ，所以即证 ．
令 ，
则 ，
所以 在 上单调递减．
因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ，故 ．
2．（2022·河南·长葛市）已知函数 ， ．
(1)当a＝2时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)讨论关于x的方程 的实根个数．
【答案】(1) (2)答案不唯一，具体见解析
【解析】(1)当a＝2时， ， ，
则切线的斜率为 ，
又 ，所以曲线 在 处的切线方程是 ，
即 ．
(2) 即为 ，化简得 ，令 ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，得 ．
当 时， ，即 在 上单调递增；
当 时， ，即 在 上单调递减．
①当 时， ，即 ，
所以 在R上单调递减．
又 ，所以 有唯一零点0；
②当 时， ， ，所以存在 ， ，
又 ，
令 ， ，
所以 在 上单调递减， ，
即 ，所以存在 ， ，
x n m
－ 0 ＋ －
单调递
单调递增 单调递减
减
则 ，又 ，所以存在 ， ；同理， ，又 ，所以存在 ， ，
由单调性可知，此时 有且仅有三个零点0， ， ．
综上，当 时， 有唯一零点，方程 有唯一的实根；
当 时， 有且仅有三个零点，方程 有3个实根．
3．（2022·天津·二模）设函数 为 的导函数.
(1)求 的单调区间；
(2)讨论 零点的个数；
(3)若 有两个极值点 且 ，证明： .
【答案】(1)单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．(2)答案见解析(3)证明见解析
【解析】(1)解：因为 ，
所以 ．
即 ， ，则 ．
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减．
所以 的单调递增区间为 ， 的单调递减区间为 ．
(2)解：由（1）得， ．
当 时， ，则 在 上无零点．
当 时， ，则 在 上有一个零点．当 时， ，因为 ， ， ，
所以 ， ， ，
故 在 上有两个零点．
综上，当 时， 在 上无零点；
当 时， 在 上有一个零点；
当 时， 在 上有两个零点．
(3)证明：由（2）及 有两个极值点 ，且 ，
可得 ， 在 上有两个零点，且 ．
所以 ，
两式相减得 ，即 ．
因为 ，所以 ．
下面证明 ，即证 ．
令 ，则即证 ．
令 ， ，则 ，所以 在 上单调递增，所以 ，
故 ．
又 ，
所以 ，
故 ．
题组二 已知零点个数求参
1．（2022·河南濮阳·一模（文））已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)已知 且关于x的方程 只有一个实数解，求t的值．
【答案】(1)当 时，在 上单调递增；当 时，在 上单调递减，在 上单调递增．
(2)2
【解析】(1) 的定义域为 ， ，
当 时， ，则函数 在 上单调递增．
当 时，令 ，解得
当 时， ，则 在 上单调递减；
当 ， ，则 在 上单调递增．(2)关于x的方程 只有一个实数解，即 只有唯一正实数解．
设 ，则 ，
令 ， ，因为 ， ，解得 （舍去）， ，
当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时， ，则 在 上单调递增，
所以 的最小值为 ．
要使得方程 只有唯一实数解，
若 ，
则 ，即 ，
得 ，因为 ，所以 ．
设 ， 恒成立，
故 在 上单调递减， 至多有一解．
又因为 ，
所以 ，即 ，解得 ．
若 ，
由上得 ， ，又 ， ，
， ，令 ，在 上， 单增，故 ，
即 ，故 ，
即 在 各存在一个零点，不合题意.
综上： .
2．（2022·山东日照·三模）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)当 时，讨论 的零点个数．
【答案】(1)单调递减区间是 ，单调递增区间是
(2)答案见解析
【解析】(1)当 时， ，
则 ，当 时, 恒成立，
所以当 时， 单调递减；
当 时 单调递增，
即 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ．
(2)由题意，函数 ，
设 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
又由 ，所以 ，令 ，可得 ，所以 ，其中 ，
令 ，可得 ，
令 ，则 ，
可得 时， 单调递减； 时， 单调递增；
所以 ，即 时， 恒成立；
故 时， 单调递减； 时， 单调递增；
所以 ﹐
又由 时， ，当 时， ，
函数 的图象，如图所示，
结合图象可得：
当 时，无零点；当 或 时，一个零点；当 时，两个零点．
3．（2022·四川成都·模拟预测（理））已知
(1)当 时，求 的单调性；
(2)讨论 的零点个数．
【答案】(1) 在 上单调递减，在 上单调递增；(2)当 ，0个零点；当 或 ，1个零点； ，2个零点
【解析】 ，求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而得到函数的图象，数形结合即可得解；
(1)因为 ， ，
所以 ，
令 ， ，所以 在 单增，且 ，
当 时 ，当 时 ，
所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 单调递减，在 单调递增
(2)
解：因为
令 ，易知 在 上单调递增，且 ，
故 的零点转化为 即 ，
当 时无解，
当 时 ，令 ， ， ，所以当 时 ，当 时 ，所以
在 上单调递增，在 上单调递增，
所以 的大致图象如下：①当 即 时， 与 没有交点，故函数有0个零点；
②当 或 即 或 时， 与 有 个交点，故函数有1个零点；
③当 即 时， 与 有 个交点，故函数有2个零点；
综上：当 时，0个零点；当 或 时，1个零点； 时，2个零点；
题组三 不等式恒（能）成立
1（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））已知函数 .
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若当 时， 恒成立，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】(1)因为 ，所以又 ，所以切线方程为 ，即
(2)由 知 ，因为
所以 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时，
构造函数 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
故 时， ，因此
当 ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
故 时， ，因此
综上：
2（2022·江西）函数 的图像与直线 相切.
(1)求实数a的值；(2)当 时， ，求实数m的取值范围.
【答案】(1)1；(2) .
【解析】(1) ，设切点为 ，
所以有 ，因为 是切线，所以有 ，
设 ，显然当 时， 单调递增，所以有 ，
当 时， ，所以 无实数根，
因此当 时，方程 有唯一实数根，即 ，
于是有 ，因此有 ；
(2)令 ，则 在 恒成立
.
若 ，即 时，当 时，由 得 ，所以 在 单调递增，又
，所以 在 恒成立；当 时， 所以 .所以
在 恒成立.
若 即 时， ，则存在 ，使得 在 单调递减，则当 时，
矛盾，舍综上所述， 的取值范围时 .
3（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知函数 ，函数 ．(1)求函数 的单调区间．
(2) 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；(2) .
【解析】(1)解： ，令 ，则 ，当且仅当 ， 时等
号成立，∴ 在 上单调递增，即 在 上单调递增．
∵ ，∴ 时， ， 时， ，
∴ 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
(2)
解： 时， 恒成立，
， ，
，
时， ，∴ 在 上单调递增，
∵ ，
若 ， 时， ，∴ 在 上单调递增，
∴ 时， ，∴ 在 上单调递增，
∴ 时， 恒成立；
若 ，∵ ，∴ ，∴ ，
， ，
∴ 在 有唯一解，设为 ，且 ，当 时， ，∴ 在 上单调递减，
∴ 时， ，∴ 在 上单调递减，
∴ 与 恒成立矛盾，舍去．
综上，实数 的取值范围是 ．
4．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数 （
，且 ）
(1)求函数 的单调区间；
(2)若对 、 ，使 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为 ，单调递减区间为
(2)
【解析】(1) 的定义域为 , （ ，且 ）
显见， .
①当 时， ， .
若 ，则 ， ，得 .
于是， .
若 ，则 ， ，得 ，
于是，
∴当 时， , 即 在 上单调递增
②当 时， ，若 ，则 ， ，得 .
于是，
若 ，则 ， ，得 ，
于是，
∴当 时， .即 在 上单调递减
综上得， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为
(2)对 、 ，使 恒成立，
即对 ， 成立.
由（1）知 在 上单调递减，在 上单调递增，得
为 和 中的较大者.
， ，
设 ， （仅当 时取等号）.
∴ 在 上单调递增，在 上也单调递增.
注意到
∴当 时， ， ；
当 时，
①当 时，即 ，得
②当 时，
即 （*）
设 ，
在 上单调递增.
∴当 时， .不等式（*）无解
综上所述，对 、 ，使 恒成立时， 的取值范围为
5．（2022·北京八十中模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)求函数 的单调区间；
(3)若对任意 ，都有 成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1) ；(2)答案见解析；(3)
【解析】（1）由题设， 且 ，则 ，
所以 ， ，故 在 处的切线方程为 .
(2)由 且 ，
当 时 ，即 在定义域上递减；
当 时，在 上 ， 递减，在 上 ， 递增，综上， 时 递减； 时 在 上递减， 上递增.
(3)
由（2）， 时 递减且 值域为 ，显然存在 ；
时， 的极小值为 ，
当 ，即 时， 在 上递减， 上递增，只需 ，可得 ；
当 ，即 时， 在 上递增，则 恒成立，满足题设；
综上，a的取值范围为 .
6．（2022·海南海口·二模）已知函数 ， ．
(1)若 ，求 的最小值；
(2)若当 时， 恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)1(2)
【解析】(1)当 时， ，
所以 ，易知 单调递增，且 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的最小值为 ．
(2)设 ，由题意 对任意 恒成立．
，若 ，则 ，则存在 ，使得当 时， ，
所以 在 上单调递减，
故当 时， ，不符合题意．
若 ，由 知当 时， ，所以 ，
当 时， ，
因此 在 上单调递增．又 ，
所以当 时， ．
综上， 的取值范围是 ．
7．（2022·山东烟台·三模）已知函数 （ ）.
(1)证明：当 时，函数 存在唯一的极值点；
(2)若不等式 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)函数 的定义域为 ，
.
令 ， ，则 ，
因为 ，所以 ， ，
当 时， 在 上恒成立，所以函数 在 上单调递增，
由 .又当 时， ，所以，存在唯一的 ，使得 ，
当 时， ，即 ，所以函数 在 上单调递减，
当 时， ，即 ，所以函数 在 上单调递增.
所以函数 存在唯一的极值点.
(2)
不等式 恒成立，
即 在 上恒成立.
令 ， ，所以 ，
所以 在 上单调递增，
又 ，则 时有 .
所以，当 时， 恒成立，
即 ，则有 .
令 ，则
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
则 在 时取得最小值
则 （当且仅当 时取等号）.
令 ，则
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
则 在 时取得最小值则 （当且仅当 时取等号）.
因为 ，
当 时， ，
（当且仅当 时取等号）.
令 ，
当 时， ，所以 即 在 上单调递增，
且 ， ，
所以 ，使 ，即 ，即 ，
所以，当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以，
.
所以， 的取值范围为 .
8．（2022·新疆克拉玛依·三模（文））已知函数 ， .
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1) (2)【解析】(1) 定义域为 ，
即 解得 所以 在 单调递增
(2)对任意 ，不等式 恒成立，即 恒成立，
分离参数得 .
令 ，则 ．
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增.
所以 ，
即 ，
故a的取值范围是 .
题组四 证明不等式
1．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数 ， ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若方程 的根为 、 ，且 ，求证： ．
【答案】(1)单调递减区间为 ，无单调递增区间；
(2)证明见解析
【解析】(1)解：因为 ， ，
所以 定义域为 ，，
所以 在 上单调递减，即 的单调递减区间为 ，无单调递增区间；
(2)证明： ， ，
当 时 ，当 时
所以 在 上是单调递减，在 上单调递增，则 ，
当 时， ，所以 ，且 ，
当 时， ，所以 ，即 ，
设直线 与 的交点的横坐标为 ，则 ，
下面证明当 时， ，
设 ，
，
则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上是减函数，在 上增函数，
又因为 ， ，
所以当 时， ， ，故当 时， ，
设直线 与 的交点的横坐标为 ，则 ，
所以 ，得证．
2．（2022·山东·模拟预测）已知函数 ，其中 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)当 时，
①证明： ；
②方程 有两个实根 ，且 ，求证： .
【答案】(1)单调递减区间为 ，单调递增区间为
(2)①证明见解析；②证明见解析
【解析】(1)解：函数的定义域为 ，
函数的导数 ，解得 ，
所以当 时，此时 ，函数 单调递减区间为 ，
所以当 时，此时 ，函数 单调递增区间为 ，
所以函数 单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
(2)当 时，
①要证不等式 成立，即证明 成立.即证明 成立.
令
当 时，此时 ，
当 时，此时 ，所以 在 单调递减，在 单调递增
所以 最小值为 ，
恒成立，即 恒成立得证.
②由①得 恒成立，即直线 始终在曲线 下方或有唯一切点，
又结合（1）可知 单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
所以当 时 取最小值 ，
且当 时， ；当 时， ；当 时， .
所以方程 有两个实根 ，则 ，且 .
由直线 与 联立解得交点的横坐标 ，显然
因此，要证 ，只要证 即可
即证 ，即证 即可
又因为 ，所以只要证
令 恒成立
所以 在 单调递增，即
所以 得证，原命题得证.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)求 的最小值，并证明方程 有三个不等实根；
(2)设(1)中方程 的三根分别为 ， ，且 ，证明： ．
【答案】(1)最小值为 ，证明见解析；(2)证明见解析．
【解析】(1)∵ ，
∴当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
故 的最小值为 ．
设 ，则方程 变形为f(m)=m，即f(m)-m=0，
令 ， ，
则 ，由 得 ．
因此，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调
递增．
由于 ，故 ，又由 ，由零点存在定理，存在
，使得 ，
∴ 有两个零点1和 ，方程f(m)=m有两个根 和 ，则如图， 时，因为 ，故方程 有一个根 ，
下面考虑 解的个数，其中 ，
设 ，结合 的单调性可得：
在 上为减函数，在 上为增函数，
而 ， ， ，
故 在 上有且只有一个零点，
，设 ，
故 ，故 即 ，
而 ，故 在 上有且只有一个零点，
故 有两个不同的根 、 且 ，
即方程 共有三个不等实根；
(2)由(1)知 ，且满足 ， ，
令 ， ，则
，
令 ，则 ．
当 时， ， 单调递减，
又∵ ，∴当 时， ， ， 单调递减，
∵ ，∴ ，即 ．
∵ ，∴ ，又∵ ，∴ ．
∵ ， ，而 在 单调递减，∴ ．
即 ，故 ，原命题得证．
4．（2022·湖南·长沙一中一模）已知函数 ．（ ）在 处的切线l方程为
．
(1)求a，b，并证明函数 的图象总在切线l的上方（除切点外）；
(2)若方程 有两个实数根 ， ．且 ．证明： ．
【答案】(1) ；证明见解析
(2)证明见解析
【解析】(1)解：将 代入切线方程 ，有 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，
若 ，则 ，与 予盾，故 ， ．
∴ ， ， ，
设 在 处的切线 方程为 ，
令 ，
即 ，所以 ，
当 时， ，
当 时，设 ， ，
故函数 在 上单调递增，又 ，
所以当 时， ，当 时， ，
综合得函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
故 ，
即函数 的图象总在切线 的上方（除切点外）．
(2)
解：由（1）知 ，
设 的根为 ，则 ，
又函数 单调递减，故 ，故 ，设 在 处的切线方程为 ，
因为 ， ，所以 ，所以 ．
令 ， ，
当 时， ，
当 时，设 ，则 ，
故函数 在 上单调递增，又 ，
所以当 时， ，当 时， ，
综合得函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以 ，即 ．
设 的根为 ，则 ，
又函数 单调递增，故 ，
故 ，又 ，
所以 ．
5．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数 （ ，e为自然对数的底数）．
(1)求函数 的极值；
(2)若方程 在区间 内有两个不相等的实数根 ，证明： ．
【答案】(1)见解析(2)证明见解析.
【解析】(1)函数 的定义域为 ，且 .当 时， 恒成立， 在 上单调递减，无极值.
当 时，由 ，得 ，所以 )在 上单调递增；
由 ，得 ，所以 在 上单调递减.
所以当 时，函数 取得极大值，且极大值为 .
综上所述，当 时，函数 无极值；当 时，函数 的极大值为 ，无极小值.
(2)
方程 ，即为方程 .
由题意，得方程 在区间 内有两个不相等的实数 ，不妨设 .
令 ，则 .
令 ，即 ，解得 .
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
因为 ，所以 即 .
要证 ，只需证 .
又因为 ，所以 .所以只需证 ，只需证 .
因为 ，所以 .所以 .
所以只需证 ，只需证 .
只需证 ， 只需证 .
令 ，则 ，所以只需证 .
令 ，则 .
令 ，则 恒成立.
所以 在 上单调递减.所以 .
所以 .所以 在 上单调递增.
所以 .所以 .
所以 .
