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7.5 外接球（精练）（提升版）
题组一 汉堡模型
1．（2022·全国·高三专题练习）在四棱锥 中，已知底面ABCD为矩形， 底面ABCD，
， ， ，则四棱锥 的外接球O的表面积是（ ）
A．80π B．160π C．60π D．40π
2．（2022·全国·高三专题练习）在直三棱柱 中，若 ，则该直
三棱柱外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知正三棱柱 所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积
为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．如图
所示，现有一个“鳖臑”， 底面 ， ，且 ，三棱锥外接球表面积为
（ ）
A． B． C． D．5．（2022·全国·高三专题练习）已知三棱锥 中，底面BCD是边长为 的正三角形， 底面
BCD，且 ，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知S，A，B，C是球O表面上的点， 平面ABC，AB⊥BC，
， ，则球O的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
y=lnx
7．（2022·河北衡水·高三阶段练习）在三棱锥 中， ， ， ，
，则三棱锥 外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
题组二 墙角模型
1．（2022·广西·贵港市高级中学三模（理））《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑
堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，在如图所示的堑堵 中，
， ， ，则在堑堵 中截掉阳马 后的几何体的外接球的体积
与阳马 的体积比为（ ）
A． B．C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ，
， ， 为棱 的中点．若四棱锥 的体积为 ，则三棱锥 外接球的
表面积为______．
3（2022·四川雅安·三模（文））在三棱锥 中， ， ，则三棱
锥 外接球的表面积是___________.
4．（2022·河北保定·二模）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑
P-ABC中，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，且 ，则鳖臑P-ABC外接球的体积是___________.
题组三 斗笠模型
1．（2022·黑龙江）某圆锥的侧面展开后，是一个圆心角为 的扇形，则该圆锥的体积与它的外接球
的体积之比为（ ）
A． B． C． D．2．（2022广西）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，圆锥的母线长为3，侧面展开图的面积为
，则球O的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·宁夏银川市）已知一个圆锥的底面圆面积为 ，侧面展开图是半圆，则其外接球的表面积等
于（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·河南）一圆台的两底面半径分别为 ，高为 ，则该圆台外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·浙江）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球 面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为 ，面积为
，则球 的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·天津南开区）已知一个圆锥的底面半径为 ，高为 ，其体积大小等于某球的表面积大小，则
此球的体积是（ ）
A． B． C． D．
题组四 L模型
1．（2022·安徽·巢湖市第一中学）已知三棱锥 中，平面 平面 ，且 ，，若 ，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A．64π B．128π C．40π D．80π
2．（2022·吉林·洮南市第一中学高三阶段练习（理））已知三棱锥 中， ，
，平面 平面ABC，则三棱锥的外接球的表面积为______．
3．（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥 中，平面 平面 ， ，
，则该三棱锥外接球的表面积是___________.
4．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（文））在三棱锥 中， ，
平面 平面 ，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·重庆八中高三阶段练习）在三棱锥 中、平面 平面 ， ，且
，则三棱维 的外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））已知四棱锥 中，平面 平面
ABCD，其中 为正方形， 是边长为2的等边三角形，则四棱锥 外接球的表面积为
（ ）
A．4 B． C． D．
题组五 怀表模型
1．（2022·全国·高三专题练习）四边形ABDC是菱形， ， ，沿对角线BC翻折后，二
面角A-BD-C的余弦值为 ，则三棱锥D-ABC的外接球的体积为_____.2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥 中， ， ，二面
角 的大小为 ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）两个边长为2的正三角形 与 ，沿公共边 折叠成 的二面
角，若点 在同一球 的球面上，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·模拟预测）已知四边形 为菱形，且 ，现将 沿 折起至 ，
并使得 与平面 所成角的余弦值为 ，此时三棱锥 外接球的体积为 ，则该三棱锥的
表面积为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知菱形 中， ，将其沿对角线 折成四面体 ，
使得二面角 的大小为 ，若该四面体的所有顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．6（2021·安徽高三月考（文））已知三棱锥 的每个顶点都在球 的球面上，平面 平面
， ， ， ， ，则三棱锥 外接球的表面积为（
）
A． B． C． D．
题组六 矩形模型
1．（2022·安徽合肥市）在三棱锥 中， ， ， .
若三棱锥 的体积为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·甘肃酒泉市）已知三棱锥 ，当三棱锥
的体积最大时，则外接球的表面积为___________.
3．（2021·江西南昌市）四面体 中， ， ， ，
则该四面体的外接球表面积为__________．
4．（2023·全国·高三专题练习）在矩形 中， ，点 ， 分别是 ， 的中点，沿
将四边形 折起，使 ，若折起后点 ， ， ， ， ， 都在球 的表面上，则球
的表面积为
题组七 内切球1．（2023·全国·高三专题练习）已知正四棱锥的侧棱长为 ，底面边长为2，则该四棱锥的内切球的体积
为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖北·模拟预测）已知 中， ， ， ，以 为轴旋转一周得到一个旋转
体，则该旋转体的内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·河南）六氟化硫是一种无机化合物，化学式为 ，常温常压下为无色无臭无毒不燃的稳定气体，
密度约为空气密度的5倍，是强电负性气体，广泛用于超高压和特高压电力系统．六氟化硫分子结构呈正
八面体排布（8个面都是正三角形）．若此正八面体的表面积为 ，则该正八面体的内切球的体积为
______．
4．（2022·安徽）连接正方体的每个面的中心构成一个正八面体（如图所示），该正八面体内切球与原正
方体内切球的表面积之比为__________.5．（2022·河南）正四棱锥 的各条棱长均为2，则该四棱锥的内切球的表面积为______．
6．（2021·山东高三）已知正三棱锥 的底面边长为 侧棱长为 ，其内切球与两侧面
分别切于点 ，则 的长度为___________.
