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10.3 平面向量的应用（精练）（提升版）
题组一 平面向量在几何中的运用
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ， ，
，则 边上的中线长为（ ）
A．49 B．7 C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，故可得 ，
根据余弦定理可得 ，故 ，
不妨取 中点为 ，故 ，
故 .
即 边上的中线长为 .
故选： .
2（2022·海南·模拟预测）在直角梯形ABCD中， ， ，且 ， .若线段CD上
存在唯一的点E满足 ，则线段CD的长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 如图所示，以A为坐标原点， 和 分别为x轴和y轴正方向建立直角坐标系.则 , 设DE的长为x，则 ，
则 ， ，所以 ，解得 或 ，由题意知： ，
且点E存在于CD上且唯一，知CD的长的取值范围是 ，故选：B.
3．（2022·云南） 中，若 ， ，点 满足 ，直线 与直线
相交于点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，以 点为原点， 为 轴构建直角坐标系，因为 ， ，所以 ， ， ，
设 ，
因为 、 、 三点共线，所以 ， ， ，
因为 ， 、 、 三点共线，所以 ，
联立 ，解得 ， ， ，
因为 ， ，所以 ， ，
因为 ，
所以 ，
故选：A.
4（2022·全国·信阳高中）已知四边形 是矩形， ， ， ， ，
，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解法一 如图，以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，
设 ，则 ， ， ， .
∴ ， ， ， .
∴ ， .
∴ ， .
∵ ，
∴ ，即 .
又 ，
所以 ， .
∴ .
∴ .
∵ ，∴ .故选：C.
解法二：∵ ，
，
∴
.
∵ ，∴ ，得 .∴ ，
.
∴ .
故选：C.
5（2022·湖南张家界）如图，在梯形ABCD中， ， ， ， ， ，若M，
N是线段BC上的动点，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，以点 为原点， 所在的直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，， ， ， ，
， ， ，
，
设 ，则 ，其中 ，
， ，
，
时， 取得最小值 ．
故选：C.
6．（2022·浙江·镇海中学）已知平面向量 、 、 满足 ，则 与 所成夹角的
最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 与 夹角为 ， 与 所成夹角为 ，
，
所以， ，①
，②又 ，③
②与③联立可得 ，④
①④联立可得
，
当且仅当 时，取等号， ， ，则 ，
故 与 所成夹角的最大值是 ，
7（2022·湖南·周南中学）已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足 ，
，则 的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．2
【答案】C
【解析】由题意知： ，设 ，
∴
，∴ ，
以 与 交点为原点， 为 轴， 为 轴建立如下图所示的平面直角坐标系：
， ， ，设 ，且
则 ， ，当 时，
故选：C.
8．（2022·江苏·无锡市教育科学研究院）点 是边长为2的正三角形 的三条边上任意一点，则
的最小值为___________.
【答案】
【解析】不妨假设 在 上且 ，如下图示，
所以， 在 且 ，设 ，
则 ， ， ，
所以 ，
故 ，
当 时， 的最小值为 .
故答案为：9．（2022·上海市晋元高级中学）“燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹
克运动联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力.顺
次连接图中各顶点可近似得到正六边ABCDEF.若正六边形的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），
则 的取值范围为___________.
【答案】
【解析】过点 作 于 所以 且
,其中 ,
当 点与 点重合时，
在 方向上的投影最大，此时 , 取得最大值为 ；
当 点与 点重合时，此时 ，即 ,故 ,取得的最小值为
的取值范围是 ．
故答案为： ．10．（2021·湖南）已知平面四边形 中， ， ， ， ， ，
则 _______.
【答案】
【解析】如图以 为原点建立直角坐标系，
则 ，设 ，
∴ ，由 知 ，
∴ ，解得 ，即 ，
∴ ，
∴ .
故答案为： .题组二 三角形的四心
1．（2022·湖南湘潭·高三开学考试）在四边形 中， 为 的重心， ，点 在线段
上， 则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【解析】如图所示：
因为 ，
所以 ，
于是有 ，
又 ，当且仅当 时取等号，
所以 .
故选：A
2．（2022·全国·课时练习）平面内 及一点 满足 ，则点 是
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】D
【解析】
同理可得 所以点 是 垂心，选D.
3．（2021·湖南·怀化市第三中学 ）已知 ， 为三角形所在平面上的一点，且点 满足：，则 点为三角形的
A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心
【答案】D
【解析】在 ， 上分别取点 使得 ，则 ，作菱形 ，则由
所以 为 的平分线.因为 ，所以
，所以
，所以 三点共线，即 在 的平分线上. .同理证得 在其它
两角的平分线上，由此求得 是三角形的内心.，故选D.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知 是三角形 的外心，若 ，
且 ，则实数 的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示：设 ， ， ， ，
由
得 ，
化简得 ，
由 是三角形 的外心可知， 是三边中垂线交点，得 ， ，
代入上式得 ，∴ .
根据题意知， 是三角形 外接圆的半径，可得 ， ，
代入 得 ，
∴ ，当且仅当“ ”时，等号成立.
故选：D.
5．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知O是三角形ABC的外心，若
，且 ，则实数m的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设三角形 的外接圆半径为 ，因为O是三角形ABC的外心，故可得 ，
且 ， ，故 ，
即 ，
也即 ，则 ，
又 ，由正弦定理可得：
，则 ，
故 ，
当且仅当 ，即 时取得最大值 .
故选：A.
6．（2022·辽宁·沈阳市第一中学）已知O为锐角三角形 的外心， ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设锐角三角形 的外接圆的半径为 ，即 ，
，
，显然 是锐角，
因为O为锐角三角形 的外心，所以O在锐角三角形 内部，
由圆的性质可知： ，显然 是锐角，
，或 舍去，
故选：A7．（2022·全国·高三专题练习）若 为 所在平面内一点，且 则
点 是 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】D
【解析】】 ，
得 ，即 ；
，
得 ，即 ；
，
，即 ，所以 为 的垂心.
故选：D.
8．（2022·安徽蚌埠·模拟预测（理））已知点P是 的重心，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图， 是 边中点，则 共线且 ，
，
所以 ，D正确，由于选项ABC均不能保证 系数相等，故不正确．
故选：D．9．（2022·全国·高三专题练习）已知 是平面上的一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满
足 ， ，则动点 的轨迹一定通过 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】B
【解析】设 的中点为 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，两端同时点乘 ，
所以
，
所以 ，
所以点 在 的垂直平分线上，即 经过 的外心.
故选：B.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知 是圆心为O，半径为R的圆的内接三角形，M是圆O上一点，
G是 的重心．若 ，则 ___________．【答案】
【解析】∵ ，则
∵ ，则
∴
同理可得： ，
∴
∵G是 的重心，则 即
∴
故答案为： ．
题组三 三角形的面积比
1．（2023·全国·高三专题练习）P是 所在平面内一点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题设， ，故 共线且 ，如下图示：所以 .
故选：A
2．（2022吉林·桦甸市第四中学高一期末）已知点 是 所在平面内的一点，若 ，
则 __________．
【答案】
【解析】如图，设 为 的中点， 为 的中点， 为 的中点，
因为 ，
所以可得 ，
整理得 .又 ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ．
故答案为
3．（2023·全国·高三专题练习）点 为 内一点， ，则 的面积
之比是___________.
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
设 为 中点， 为 中点， 为三角形 的中位线，则 ，
因为 ，可得 ，所以 三点共线，且 ，
则 ， ，
分别设 ，
由图可知， ， ，
则 ，所以 ，而 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 ，
即 的面积之比等于 .
故答案为： .
4．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高一阶段练习）已知 是 内部一点，且 ，则
的面积与 的面积之比为___________.
【答案】
【解析】因为 ，
所以 ，
如图：设 的中点为 ， 的中点为 ，所以 ，即 ，
所以点 在三角形 的中位线 上，
所以点 到 的距离是点 到 的距离的一半，
所以 的面积是 的面积的一半，
即 .
故答案为：
5．（2022·山东 ）已知点 为 内一点， ，则 的面积之比
为______．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
设 为 中点， 为 中点，因为 ，
可得 ，所以 三点共线，且 ，
为三角形 的中位线
所以 ，
而 ，所以 的面积之比等于
故答案为：6．（2023·全国·高三专题练习）已知 为 内一点， ，则 ， 的面
积之比为______．
【答案】
【解析】如图所示，由 ，得 ，
取 为 中点， 为 中点，则 ，
所以 ．
故答案为： .
7．（2022山西 ）若点O在 内，且满足 ，设 为 的面积， 为
的面积，则 ＝________.【答案】
【解析】由 ，可得：
延长OA，OB，OC，使OD=2OA，OE=4OB，OF=3OC，
如图所示：
∵2 +3 +4 = ，
∴ ，
即O是△DEF的重心，
故△DOE，△EOF，△DOF的面积相等，
不妨令它们的面积均为1，
则△AOB的面积为 ，△BOC的面积为 ，△AOC的面积为 ，
故三角形△AOB，△BOC，△AOC的面积之比依次为： ： ： =3：2：4，
.
故答案为： ．
8．（2022·江西·南昌县莲塘第一中学高一期末（文））点 是 所在平面内一点，若
，则 _______.
【答案】【解析】
∵点 是 所在平面内一点,且满足 ,
∴点 在边 上且 .
∴ .
故答案为：
题组四 平面向量的综合运用
1．在平面直角坐标系 中，已知圆 及圆 内的一点 ，圆 的过点
的直径为 ，若线段 是圆 的所有过点 的弦中最短的弦，则 的
值为（ ）
A．8 B．16 C．4 D．
【答案】B
【解析】由题意可知 ，圆 的半径为 ， ，
， ，
．故答案为：B．
2．（2022·河南模拟）已知平行四边形 中， ， ，对角线
与 相交于点O，点M是线段 上一点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，以 的中点为坐标原点，以 所在直线为x轴，以 所在直线为y轴，
建立如图所示的直角坐标系，则 ，
所以直线 的方程为 ，设点 ， ，所以 ，
所以 ，
当 时， 取到最小值 .
故答案为：A.
3．（2022·东海模拟）已知点A，B，C均位于同一单位圆O上，且 ，若 ，
则 的取值范围为 ．
【答案】[5,7]
【解析】由 可得： ,
所以 ，所以 ，即线段BC为单位圆的直径.
以圆心为原点，以BC所在直线为 轴建立平面直角坐标系，如下图：
则 ，
设 ，则
由 可得： ，所以点P在以原点为圆心，半径为2的圆上运动，
因为 ，所以
,
又 ，
所以 ，即： .
4．（2022·柯桥模拟）已知平面向量 满足： 与 的夹角为 ，
记 是 的最大值，则 的最小值是 ．
【答案】
【解析】如图，
设 为AB中点，令 ，
则 ①，
因为 ，故有 ，
②，
由①②得 ，从而 ，
因为 ，所以 ，即点C在以AB为直径的圆E上.
，
，
当且仅当 时，即 时等号成立.
故答案为：
5．（2022高一下·南阳期末）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图，这是《易经》中
记载的几何图形—八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形
代表八卦图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH所在平面内的一点，则
的最小值为 ．
【答案】【解析】【解答】如图，以 为原点建立直角坐标系，
则 ，
过 作 轴，因为正八边形ABCDEFGH，所以 是等腰直角三角形，所以
，
同理，过 作 轴，则 ，过 作 ，则 ，
所以 ，
设 ，
则 ，所以 ，
，则 ，
所以
，其中 表示点 到点 的距离的平方，
因为点 在正八边形ABCDEFGH内，所以 的最小值为0，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
