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7.3 空间角（精练）（提升版）
题组一 线线角
1．（2023·全国·高三专题练习）已知直三棱柱 的所有棱长都相等， 为 的中点，则
与 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习（理））已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与
直线DM所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））如图，四边形 为圆台 的轴截面（通过圆台上、下
底面两个圆心的截面，其形状为等腰梯形）， ，C、D分别为OB， 的中点，点E为
底面圆弧AB的中点，则CD与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．4．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）如图，在矩形 中， ，E，F，G，H分别为边
的中点，将 分别沿直线 翻折形成四棱锥 ，下列说
法正确的是（ ）
A．异面直线 所成角的取值范围是 B．异面直线 所成角的取值范围是
C．异面直线 所成角的取值范围是 D．异面直线 所成角的取值范围是
5．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形 中， ．现将
沿 折起，当二面角 处于 过程中，直线 与 所成角的余弦值取值范围是
（ ）A． B． C． D．
题组二 线面角
1．（2023·全国·高三专题练习（文））如图，在四面体ABCD中， 平面BCD，
，P为AC的中点，则直线BP与AD所成的角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南省杞县）如图，在三棱柱 中， 平面ABC， ，
， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．3．（2022·青海西宁·二模（理））如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，异面直线 与
所成的角为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥 中， ，点O､M分别
是 ､ 的中点， 底面 .
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的大小.
5．（2022·浙江湖州·模拟预测）已知四棱锥 中，底面 为等腰梯形， ，， ， 是斜边为 的等腰直角三角形．
(1)若 时，求证：平面 平面 ；
(2)若 时，求直线 与平面 所成的角的正弦值．
6．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱 中， ，点
分别在棱 和棱 上，且 ．
(1)设 为 中点，求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．题组三 二面角
1．（2022·北京·景山学校模拟预测）如图，正三棱柱 中，E，F分别是棱 ， 上的点，
平面 平面 ，M是AB的中点．
(1)证明： 平面BEF；
(2)若 ，求平面BEF与平面ABC夹角的大小．
2．（2022·湖南·雅礼中学二模）如图，在正方体 中，点 在线段 上， ，点
为线段 上的动点.
(1)若 平面 ，求 的值；
(2)当 为 中点时，求二面角 的正切值.3．（2022·浙江·海宁中学模拟预测）如图所示，在四边形ABCD中， ， ，
现将 沿BD折起，使得点A到E的位置.
(1)试在BC边上确定一点F，使得 ；
(2)若平面 平面BCD，求二面角 所成角的正切值.
4．（2022·广东惠州·高三阶段练习）如图，在五面体 中， 为边长为2的等边三角形，
平面 ， ， .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成角的正切值为 ，求平面BDE与平面ABC所成锐二面角的余弦值.5．（2022·山东聊城·三模）已知四边形ABCD为平行四边形，E为CD的中点，AB=4， 为等边三角
形，将三角形ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置，且平面 平面ABCE.
(1)求证： ；
(2)试判断在线段PB上是否存在点F，使得平面AEF与平面AEP的夹角为45°.若存在，试确定点F的位置；
若不存在，请说明理由.
6．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））如图，四棱锥 中， ，底面ABCD
是正方形．且平面 平面ABCD， ．
(1)若 ， ，F为AB的中点，N为BC的中点，证明四边形MENF为梯形；
(2)若点E为PC的中点，试判断在线段AB上是否存在一点F？使得二面角 平面角为 ．若存在，求出 的值．若不存在，请说明理由．
7．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））如图，四棱锥 中，平面 平面 ，
， ， ， ， ， ． 是 中点， 是 上一点．
(1)是否存在点 使得 平面 ，若存在求 的长．若不存在，请说明理由；
(2)二面角 的余弦值为 ，求 的值．
题组四 空间角的综合运用
1．（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）如图，正方体 的棱长为a，E是棱 的动点，
则下列说法正确的（ ）个．①若E为 的中点，则直线 平面
②三棱锥 的体积为定值
③E为 的中点时，直线 与平面 所成的角正切值为
④过点 ，C，E的截面的面积的范围是
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023·全国·高三专题练习（理））在矩形 中， ， ，沿对角线 将矩形折成一
个大小为 的二面角 ，若 ，则下列结论中正确结论的个数为（ ）
①四面体 外接球的表面积为
②点 与点 之间的距离为
③四面体 的体积为
④异面直线 与 所成的角为
A． B． C． D．
3．（2022·北京·首都师范大学附属中学三模）如图，在正方体 中， 为棱 上的动点，
为棱 的中点，则下列选项正确的是（ ）A．直线 与直线 相交
B．当 为棱 上的中点时，则点 在平面 的射影是点
C．存在点 ，使得直线 与直线 所成角为
D．三棱锥 的体积为定值
4．（2022·四川攀枝花·二模（文））如图正方体 ，中，点 、 分别是 、 的中点，
A B C D
1 1 1 1
为正方形 的中心，则（ ）
A．直线 与 是异面直线 B．直线 与 是相交直线
C．直线 与 互相垂直 D．直线 与 所成角的余弦值为
.5．（2022·江苏·如皋市第一中学）（多选）在四边形 中(如图1)，
，将四边形 沿对角线 折成四面体 （如图2所
示），使得 ，E，F，G分别为 的中点，连接 为平面 内一点，则
（ ）
A．三棱锥 的体积为
B．直线 与 所成的角的余弦值为
C．四面体 的外接球的表面积为
D．若 ，则Q点的轨迹长度为
6．（2022·江苏·常州市第一中学）（多选）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将△ABD沿对
角线BD翻折到△PBD位置，连接PC，构成三棱锥 ． 设二面角 为 ，直线 和直线
所成角为 ，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A．PC与平面BCD所成的最大角为45°
B．存在某个位置，使得PB⊥CD
C．当 时， 的最大值为
D．存在某个位置，使得B到平面PDC的距离为
7．（2022·福建漳州）（多选）已知正方体 的棱长为 ，则下列命题正确的是（ ）
A．点 到平面 的距离为
B．直线 与平面 所成角的余弦值为
C．若 、 分别是 、 的中点，直线 平面 ，则
D． 为侧面 内的动点，且 ，则三棱锥 的体积为定值
8．（2022·山东德州）（多选）如图，菱形ABCD边长为2，∠BAD=60°，E为边AB的中点，将△ADE沿
DE折起，使A到 ，连接 ， ，且 ，平面 与平面 的交线为l，则下列结论中
正确的是（ ）A．平面 平面 B．
C．ВС与平面 所成角的余弦值为 D．二面角 的余弦值为
