文档内容
专题 36 二项式定理（理科）
（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
概率与统计近几年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2022年全国乙（文科），第4题,5分 茎叶图计算平均数、中位数、概率
2022年全国乙（文科），第14题,5分 计数原理、排列、组合与概率
2022年全国乙（理科），第10题,5分 互斥事件、独立事件求概率
2022年全国乙（理科），第13题,5分 计数原理、排列、组合与概率
（1）求平均数；
2022年全国乙（理科），第19题,12分
（2）求相关系数
2022年全国乙（文科），第19题,12分
（3）估算样本量
（1）求概率；
2022年全国甲（文科），第17题,12分
（2）独立性检验
2022年全国甲（文科），第6题,5分 古典概型
（1）求概率；
2022年全国甲（理科），第19题,12分
（2）离散型随机变量的分布列与数学期望
2022年全国甲（理科），第15题,5分 古典概型 立体几何
2022年全国甲（理科），第2题,5分 众数、平均数、中位数比较，求极差、方差、
2022年全国甲（文科），第2题,5分 标准差
2023年全国乙（文科），第9题,5分 计数原理、排列、组合与概率
2023年全国乙（理科），第5题,5分
几何概型 圆环面积
2023年全国乙（文科），第7题,5分
2023年全国乙（理科），第9题,5分 计数原理与排列、组合
2023年全国乙（理科），第17题,12分 （1）求样本平均数，方差；
2023年全国乙（文科），第17题,12分 （2）统计新定义
2023年全国甲（文科），第4题,5分 计数原理、排列、组合与概率
2023年全国甲（理科），第6题,5分 条件概率2023年全国甲（理科），第9题,5分 计数原理与排列、组合
（1）离散型随机变量的分布列与数学期望；
2023年全国甲（理科），第19题,12分
（2）独立性检验
（1）求样本平均数；
2023年全国甲（文科），第20题,12分
（2）独立性检验
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】1.二项式定理描述了两个数之和的整数次幂的展开式，通项公式为 Tr+1=Cnrb(n-r)a(r)，其中
为从0到 的整数，Cnr为组合数；
2.二项式系数是二项式定理的核心，反映了组合数与幂的规律。可能会测试二项式系数的性
质，例如对称性、递推关系和组合恒等式等；
3. 二项式展开式是二项式定理的核心，反映了两个幂的和的整数次幂的结构。可能会测试二
项式展开式的结构和各项之间的关系；
4.二项式定理的特殊情况和实例也是命题的热点。二项式定理在组合数学、概率论和微积分
等领域的应用，以及二项式定理的逆定理等；
5.二项式定理的证明和推导方法也是命题的重点。数学归纳法、归纳法和组合数学等方法的
应用；
【备考策略】1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理；
2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题；
【命题预测】1.二项式定理的展开式是关键，因为它描述了每个项的系数和指数。展开式的形式和项数需
要考虑二项式的次数、系数和指数的规律；
2.二项式定理的系数和指数具有特定的性质，对称性、递归关系等。这些性质可能需要对二
项式的特征进行深入分析；
3.二项式定理在各种数学问题中都有应用，组合数学、概率论、微积分等。应用方面需要对
各种数学领域有一定的了解，以及对二项式定理本身的各种特性的理解；
4.二项式定理的证明和推导方法多种多样，归纳法、数学归纳法、组合数学等。可能的证明
和推导方法需要对数学基础和二项式定理本身有深入的理解；知识讲解
一、二项式定理
1.二项式定理: .
2.通项公式:T = Cr a n- r b r ,它表示第 项.
r+1 n
3.二项式系数:二项展开式中各项的二项式系数为C0 ,C1 ,…,Cn
.
n n n
二、二项式系数的性质
1.当
时,Cr 与Cn-r
的关系是
Cr =Cn-r
.
n n n n
2.二项式系数先增后减,中间项最大.
n
C2
当 为偶数时,第 项的二项式系数最大,最大值为 n ;当 为奇数时,第 项和 项的二项式
n-1 n+1
系数最大,最大值为 C 2 或C 2 .
n n
三、各二项式系数和
C0 C1 C2 Cn
1. 展开式的各二项式系数和: n+ n+ n+…+ n= 2 n .
2.偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即C0 +C2 +C4 +…=C1 +C3 +C5 +…= 2 n- 1 .
n n n n n n
1.掌握二项展开式 的三个重要特征
(1)字母 的指数按降幂排列由 到0.
(2)字母 的指数按升幂排列由0到 .
(3)每一项字母 的指数与字母 的指数的和等于 .
2.关注三个易错点
(1)在二项式定理中,通项公式为 是展开式的第 项,不是第 项.
(2)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念,在 中, 是该项的二项式系数,
该项的系数还与 , 有关.
(3)二项式系数的最值与指数 的奇偶性有关.当 为偶数时,中间一项的二项式系数最大;当 为奇数时,
中间两项的二项式系数相等,且同时取得最大值.
求形如(a+b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤:
第一步,利用二项式定理写出二项展开式的通项公式T =Ckan-k bk,常把字母和系数分离开来(注意符号
k+1 n
不要出错);第二步,根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零,有理项要求指数为整数),先列出相应方程(组)或
不等式(组),解出k;
第三步,把k代入通项公式中,即可求出T ,有时还需要先求 ,再求k,才能求出T 或者其他量.
k+1 k+1
1.“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m (a,b∈R)的式子求其展开
式的各项系数之和,常用赋值法.
2.若 ,则 展开式中各项系数之和为 ,奇数项系数之和为
,偶数项系数之和为 .
1.二项式系数最大项的确定方法:当 为偶数时,展开式中第 项的二项式系数最大,最大值为 ;
当 为奇数时,展开式中第 项和第 项的二项式系数最大,最大值为 或 .
2.求二项展开式项的系数的最大值时,先求系数为正数时项的系数的最大值,令第(r+1)项的系数最大,则
{ T 的系数≥T 的系数,
r+1 r
满足 进而解不等式组即可.注意当系数为负数时,可以求解对应的系数的最小
T 的系数≥T 的系数,
r+1 r+2
值.
对于几个多项式积的展开式中的特定项问题,一般都可以根据因式连乘的规律,结合组合思想求解,但要
注意适当地运用分类方法,以免重复或遗漏.
求形如 的展开式中与特定项相关的量的步骤
第一步,把三项的和 看成是 与 两项的和;
第二步,根据二项式定理写出 的展开式的通项;
第三步,对特定项的次数进行分析,弄清特定项是由 的展开式中的哪些项和 相乘得到的;
第四步,把相乘后的项合并即可得到所求特定项的相关量.
二项式定理应用的题型及解法
(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理地变形,使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式.
(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算:当 不是很大, 比较小时, .
考点一、通项公式的应用
1．求 的展开式．2．（2023年湖南省联考数学试题）下列不属于 的展开式的项的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023届江苏省模拟数学试题）已知 的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为（
）
A．60 B．80 C．100 D．120
4．（2023届福建省模拟数学试题）在 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中
含 项的系数为 .
1．求 的展开式．
2．（2023年江苏省质量调研（三）数学试题） 的展开式中常数项为
.
3．从 的展开式各项的系数中任取两个，其和为奇数的概率是 .
考点二、二项式系数与系数1．若 ，则 （ ）
A．-448 B．-112 C．112 D．448
2．（2022年北京市高考数学试题）若 ，则 （ ）
A．40 B．41 C． D．
3． 的展开式中 的系数是（ ）
A．60 B．80 C．84 D．120
4．若 （ ），则 （ ）
A． B． C． D．
5．若 ，则 ．
1．（2023年湖南省模拟数学试题）已知 ，则
（ ）
A． B．2 C．4 D．12
2．若 ，且 ，
则实数 的值可以为（ ）
A．1或 B． C． 或3 D．
3．若 ，则 =（ ）
A．244 B．1 C． D．
4．已知 ，若 的展开式的第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，则 =（ ）
A．32 B．64 C．128 D．256
5．若 ，则 的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
考点三、多项展开式问题
1． 的展开式中， 的系数（ ）
A． B．5 C．35 D．50
2．（2023届广东省模拟数学试题）已知 的展开式中 的系数是20，则实数
.
3．（2023届江苏省模拟数学试题） 展开式中含 项的系数为 ．
1． 的展开式中 的系数为（ ）
A．60 B．24 C． D．2． 的展开式中 的系数是12，则实数a的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3． 的展开式中， 的系数为（ ）
A．80 B．40 C． D．
考点四、整除或余数问题
1．若 是9的倍数，则自然数n为（ ）
A．4的倍数 B．3的倍数 C．奇数 D．偶数
2．设 ，且 ，若 能被13整除，则a等于（ ）
A．0 B．1 C．11 D．12
3．已知 ，则 除以10所得的余数是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．8
4．（2023届辽宁省教学质量监测（一）数学试题）若 ，则
被5除的余数是 ．
5． 被 除所得的余数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023届浙江省模拟数学试题） 除以100的余数是 ．1．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b， 为整数，若a
和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为 ．若
， ，则b的值可以是（ ）
A．2022 B．2021 C．2020 D．2019
2．设 ，且 ，若 能被13整除，则 （ ）
A．0 B．1 C．11 D．12
3． 除以78的余数是（ ）
A． B．1 C． D．87
4．（2023年上海市模拟数学试题） 被9除所得的余数为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
5．（2023年山西省模拟数学试题） 除以8，所得余数为 .
考点五、二项式的应用
1．在 的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．第6项和第7项的二项式系数相等 B．奇数项的二项式系数和为256
C．常数项为86 D．有理项有2项
2．关于 的展开式，下列判断错误的是( )
A．展开式共有8项 B．展开式的各二项式系数的和为128
C．展开式的第7项的二项式系数为49 D．展开式的各项系数的和为3．某公司2021年实现利润100万元，计划在以后5年中每年比一年利润增长8%，则2026年的利润
是 万元.（结果精确到1万元）
4．（2023届东北三省联合模拟考试数学试题）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有
《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》.杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古
代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决
很多数学问题，如开方、数列等.
我们借助杨辉三角可以得到以下两个数列的和.
；
若杨辉三角中第三斜行的数：1，3，6，10，15，…构成数列 ，则关于数列 叙述正确的是（ ）
A． B．
C．数列 的前n项和为 D．数列 的前n项和为
1．已知二项式 的展开式中各项系数之和是 ，则下列说法正确的有（ ）
A．展开式共有7项 B．二项式系数最大的项是第4项
C．所有二项式系数和为128 D．展开式的有理项共有3项2．（2023届山东省适应性检测数学试题）在 的展开式中,下列说法正确的是( )
A．常数项是- B．第四项和第六项的系数相等
C．各项的二项式系数之和为 D．各项的系数之和为
3．（2023年山东省联考数学试题）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开
式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是
（ ）
杨辉三角
A．在第10行中第5个数最大
B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等
C．
D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数【基础过关】
1．已知 ，若 ，则 （ ）
A．992 B．－32 C．－33 D．496
2．已知 ，若 的展开式的第2项的二项式系数与第4项的二项式系
数相等，则 =（ ）
A．32 B．64 C．128 D．256
3．（2023届江苏省联考数学试题）已知 ，则 的值
为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
4． 的展开式中 的系数为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
5．已知2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，则实数a的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
6． 的展开式中，下列结论正确的是 .
①．展开式共6项 ②．常数项为64
③．所有项的系数之和为729 ④．所有项的二项式系数之和为64
7．二项式 ，则该展开式中的常数项是 .
8．若二项武 的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值是 ．9．在二项式 的展开式中，若前三项的系数成等差数列，则实数 .
10．（2023届广东省调研数学试题） 的展开式中 的系数为 （用数字做
答）．
11．若 ，则 的值 .
12．（2023届湖北省调研数学试题） 的展开式中含 项的系数为 ．
13． 的展开式的常数项是 ．14．组合数 被9除的余数是 ．
15．设 ，则 除以9所得的余数为 ．
16．在 的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中含 项的系数为
．
17．（2023届湖南省联考数学试题）已知 的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则展开
式中的常数项为 .
【能力提升】
1．（2023届浙江省原创预测卷一（全国1卷））若二项式 的展开式中只有第7项的二
项式系数最大，若展开式的有理项中第 项的系数最大，则 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．已知 的展开式共有13项，则下列说法中正确的有 .
①．所有奇数项的二项式系数和为 ②．所有项的系数和为③．二项式系数最大的项为第6项或第7项 ④．有理项共5项
3．已知 的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为
1024，则下列说法错误的是（ ）
A．展开式中奇数项的二项式系数和为256
B．展开式中第6项的系数最大
C．展开式中存在常数项
D．展开式中含 项的系数为45
4．（2023届湖南省模拟数学试题）若 ，则 被8
整除的余数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2023届广东省模拟数学试题）已知 ， 的展开式中存在常数项，写出n的一个值为
.
6．（2023届湘豫名校联考理科数学试题）若 的展开式中各项系数之和为 ，则展开式
中 的系数为 .
7．若n是正整数，则 除以9的余数是 .8．已知 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
9．下列关于多项式 的展开式的结论中，正确的是（ ）
A．各项系数之和为1 B．各项系数的绝对值之和为
C．不存在 项 D．常数项为
10．已知 的展开式中各项系数和为4，则 的系数为（ ）
A．16 B．8 C．0 D．
11．（2023届湖南省模拟数学试题）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋
数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边
的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列
命题中正确的是 .
①．
②．在第2022行中第1011个数最大③．记“杨辉三角”第 行的第i个数为 ，则
④．第34行中第15个数与第16个数之比为
【真题感知】
1．（2023年新高考天津数学高考真题）在 的展开式中， 项的系数为 ．
2．（2021年天津高考数学试题）在 的展开式中， 的系数是 ．
3．（2022年全国新高考I卷数学试题） 的展开式中 的系数为 （用
数字作答）．
4．（2021年浙江省高考数学试题）已知多项式 ，则
， .
5．（2020年浙江省高考数学试题）设 ，则
； ．6．（2020年北京市高考数学试题）在 的展开式中， 的系数为（ ）．
A． B．5 C． D．10
7．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）） 的展开式中x3y3的系数为
（ ）
A．5 B．10
C．15 D．20
8．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为
（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
9． 的展开式中 的系数为（ ）
A．60 B．24 C． D．
10．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题） 的展开式中 的系数为（ ）
A．10 B．20 C．40 D．80
11．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷））( + )(2 - )5的展开式中 3 3
的系数为（ ）
A．-80 B．-40 C．40 D．80
