易错点16随机变量及其分布列（解析版）_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_专项复习_备战2023年高考数学考试易错题（全国通用）

易错点 16 随机变量及其分布列 易错点1.随机变量和分布列理解错误 1.离散型随机变量 一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量 X都对应有唯一确定的实数值，就称X为一个随机变量.其所有可能的取值都是 可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 一般地，若离散型随机变量 X 的取值范围是{x ，x ，…，x }，如果对任意 1 2 n k∈{1，2，…，n}，概率P(X＝x )＝p 都是已知的，则称X的概率分布是已知的， k k 离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为 X的 概率分布或分布列. X x x … x … x 1 2 k n P p p … p … p 1 2 k n 3.离散型随机变量的分布列的性质 (1)p ≥0，k＝1，2，…，n； k (2)∑p ＝p ＋p ＋…＋p ＝1. k 1 2 n 4.离散型随机变量的数学期望与方差、标准差 一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示 X x x … x … x 1 2 k n P p p … p … p 1 2 k n (1)均值 称E(X)＝x p ＋ x p ＋ … ＋ x p ＝ ∑ x p 为离散型随机变量X的均值或数学期望(简 1 1 2 2 n n i i 称为期望). (2)方差 D(X)＝[x －E(X)]2p ＋[x －E(X)]2p ＋…＋[x －E(X)]2p ＝ ∑ [ x － E ( X ) ] 2 p，能够刻 1 1 2 2 n n i i 画X相对于均值的离散程度(或波动大小)，这称为离散型随机变量X的方差. (3)标准差 称称为离散型随机变量 X的标准差，它也可以刻画一个离散型随机变量的离散 程度(或波动大小).5.均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝ aE ( X ) ＋ b . (2)D(aX＋b)＝ a 2 D ( X ) (a，b为常数). 易错点2.常见分布列分辨不清 1.n次独立试验与二项分布 (1)n次独立重复试验 在相同条件下重复n次伯努利试验时，人们总是约定这 n次试验是相互独立的， 此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验. (2)二项分布 一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q＝ 1 － p ，且n 次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0，1，…， k，…，n}，而且P(X＝k)＝ C p k q n － k，k＝0，1，…，n， 因此X的分布列如下表所示 X 0 1 … k … n P Cp0qn Cp1qn－1 … C p k q n － k … Cpnq0 注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二项展开式(q＋p)n＝Cp0qn＋Cp1qn －1＋…＋Cpkqn－k＋…＋Cpnq0中对应项的值，因此称 X服从参数为n，p的二项 分布，记作X～B(n，p). 2.两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝ p (1 － p ) . (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝ np (1 － p ) . 3.超几何分布 一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有 M件(M4）=（ ） A．0.1588 B．0.1587 C．0.1586 D．0.1585 【答案】B 【详解】试题分析：正态分布曲线关于 对称，因为 ,故选B． 2．设两个正态分布 和 的密度函数图像如图所示．则 有 A．B． C． D． 【答案】A 【详解】根据正态分布 函数的性质：正态分布曲线是一条关于 对称，在 处取得最大值的连续钟形曲线； 越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过来， 越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭，选A． 3．已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 （ ） A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2 【答案】C 【详解】解：因为 ，所以 ． 由题意知图象（如图）的对称轴为直线 ， ， 所以 ． 所以 ． 故选：C． 4．某物理量的测量结果服从正态分布 ，下列结论中不正确的是（ ） A． 越小，该物理量在一次测量中在 的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．该物理量在一次测量中落在 与落在 的概率相等 【答案】D 【详解】对于A， 为数据的方差，所以 越小，数据在 附近越集中，所以测量结 果落在 内的概率越大，故A正确； 对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为 ，故B 正确；对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于 的概率与小于 的概率相等，故C正确； 对于D，因为该物理量一次测量结果落在 的概率与落在 的概率不同， 所以一次测量结果落在 的概率与落在 的概率不同，故D错误. 故选：D. 5．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为 ，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率 是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意，播下4粒种子恰有2粒发芽即4次独立重复事件恰好发生2次， 由n次独立重复事件恰好发生k次的概率的公式可得， 故选B． 一、单选题 1．若 ， ， ，则事件 与 的关系是（ ） A．事件 与 互斥 B．事件 与 对立 C．事件 与 相互独立 D．事件 与 既互斥又相互独立 【答案】C 【详解】∵ ， ∴ ， ∴事件 与 相互独立、事件 与 不互斥，故不对立. 故选：C 2．已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 （ ） A．0.977 B．0.954 C．0.5 D．0.023 【答案】B【详解】随机变量 服从正态分布 ， 若 ，则依据正态曲线的性质有 故选：B 3．读取速度是衡量固态硬盘性能的一项重要指标，基于M.2 PCle4.0 NVMe协议的固态硬 盘平均读取速度可达 以上．某企业生产的该种固态硬盘读取速度（ ）服 从正态分布 ．若 ，则可估计该企业生产的1000 个该种固态硬盘中读取速度低于 的个数为（ ） A．100 B．200 C．300 D．400 【答案】B 【详解】由正态分布的对称性可知： ， 所以 ， 所以该企业生产的1000个该种固态硬盘中读取速度低于 的个数为 . 故选：B 4．下列说法错误的是（ ） A．相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强 B．若 ，且 ，则 C．相关指数 ，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率为64% D．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高 【答案】A 【详解】对于A中，根据相关系数的定义知：相关系数 越大且 ，两个变量的线性 相关性越强，所以A不正确； 对于B中，若 ，且 ， 可得 ，所以B正确； 对于C中，根据相关系数的概念，当相关指数 ，表示解释变量对于预报变量变化 的贡献率为 ，所以C正确； 对于D中，根据数据的残差的定义，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄， 其模型拟合的精度越高，所以D正确. 故选：A.5．目前，国际上常用身体质量指数BMI 来衡量人体胖瘦程度以及是否 健康．某公司对员工的BMI值调查结果显示，男员工中，肥胖者的占比为 ；女员工中， 肥胖者的占比为 ，已知公司男、女员工的人数比例为2：1，若从该公司中任选一名肥 胖的员工，则该员工为男性的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设公司男、女员工的人数分别为 和 ， 则男员工中，肥胖者有 人， 女员工中，肥胖者有 人， 设任选一名员工为肥胖者为事件 ，肥胖者为男性为事件 ， 则 ， ， 则 . 故选：D. 6．甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的 概率均为 ，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了 三局的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设甲获得冠军为 ，比赛进行了三局为 ， 则 ， ， 所以 .所以在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为 . 故选：A 7．甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球， 先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以 和 表示由甲口袋取出的球是红球， 白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事 件，则下列结论中正确的是（ ） A． B．事件 与事件B相互独立 C． D． 【答案】D 【详解】由题意得 ，所以A错误； 因为 ， ，所 以 ，即 ， 故事件事件 与事件B不相互独立，所以B错误，D正确； ，所以C错误； 故选：D 8．已知两个随机变量X，Y，其中 ， （σ>0），若E(X)=E(Y)，且 ，则 （ ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.1 【答案】A 【详解】由题设 ，即 ， 又 ，故 . 故选：A 二、多选题9．给出下列命题，其中错误命题是（ ） A．若样本数据 （数据各不相同）的平均数为3，则样本数据 ， ， …， 的平均数为2 B．随机变量 的方差为 ，则 C．随机变量 服从正态分布 ， ，则 D．随机变量 ，若 ， ，则 【答案】ABD 【详解】对于选项A，根据 得： ， 故选项A错误； 对于选项B，根据 得： ，故选项B错误； 对于选项C，因为 ，所以 ，又因为 ， 则 ，由正态分布的对称性可得： ，故选项C正确； 对于选项D，随机变量 ，根据二项分布的期望和方差公式： ，解得 ，故选项D错误. 故选：ABD 10．已知红箱内有6个红球、3个白球，白箱内有3个红球、6个白球，所有小球大小、形 状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同 的箱子内取出一球，然后再放回去，依此类推，第 次从与第k次取出的球颜色相同的 箱子内取出一球，然后再放回去．记第 次取出的球是红球的概率为 ，则下列说法正确 的是（ ） A． B． C．第5次取出的球是红球的概率为 D．前3次取球恰有2次取到红球的概率是 【答案】AC 【详解】依题意 ，设第 次取出球是红球的概率为 ，则白球概率为 ， 对于第 次，取出红球有两种情况． ①从红箱取出的概率为 ，②从白箱取出的概率为 ， 对应 ，即 ，故B错误； 所以 ， 令 ，则数列 为等比数列，公比为 ，因为 ，所以 ， 故 ，所以 ， 故选项A，C正确； 第1次取出球是红球的概率为 ，第2次取出球是红球的概率为 ， 第3次取出球是红球的概率为 ， 前3次取球恰有2次取到红球的概率是 ， 故D错误； 故选：AC． 三、解答题 11．有甲､乙两个盒子，甲盒子中装有2个小球，乙盒子中装有4个小球，每次随机取一个 盒子并从中取一个球. (1)求甲盒子中的球被取完时，乙盒子中恰剩下2个球的概率： (2)当其中一个盒子中的球被取完时，记另一个盒子恰剩下 个球，则求 的分布列与数学 期望 . 【答案】（1） 甲盒子中的球被取完时，乙盒子中恰剩下2个球，意味着总共取了四次球，第四次取到的 一定是甲盒中的球， 前三次中有一次取到甲盒中的球，另外两次取的是乙盒中的球， 所以 （2） 由题意知： 的可能取值为1.2.3.4， 当 时，总共取了5次球，剩余的一个球可能在甲盒子中，也可能在乙盒子中，若剩余的一个球在甲（乙）盒子中，则第5次取到的是乙（甲）盒子中的球，前4次有一 次取到甲盒子中的球，另外3次取到乙盒子中的球， 所以 ， 当 时，总共取了4次球，剩余的2个球可能在甲盒子中，也可能在乙盒子中， 若剩余的2个球在甲盒子中，则4次均取到乙盒子中的球， 若剩余的2个球在乙盒子中，则第4次取到甲盒中的球，前3次有1次取到甲盒中的球， 有2次取到乙盒子中的球， 故 当 时，总共取了3次球，剩余的3个球一定在乙盒子中，第3次一定取到的是甲盒中 的球，前2次有1次取到甲盒中的球，有1次取到乙盒子中的球， 所以 ， 当 时，总共取了2次球，剩余的4个球一定在乙盒子中，前2次均取到甲盒中的球， 故 . 即 的分布列为： 1 2 3 4 计算可得： 12．某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该 校从全校学生中随机抽取了100名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分 100分，并将得分分成以下6组： 、 、 、…、 ，统计结果如 图所示： (1)试估计这100名学生得分的平均数；(2)从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈 名单中随机抽取3人，记其得分在 的人数为 ，试求 的分布列和数学期望； (3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生的得分X近似地 服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数， 近似为样本方差 ，经计算 .所有参加知识竞赛的2000名学生中，试问得分高于77分的人数最有可能是多少？ 参考数据： ， ， . 【详解】（1）解：由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数 . （2） 0.01 解：参加座谈的11人中，得分在 的有11 2人， 0.030.0150.01 所以的可能取值为0，1，2， C3 28 C2C1 24 C1C2 3 所以P0 9  ，P1 9 2  ，P2 9 2  . C3 55 C3 55 C3 55 11 11 11 所以的分布列为  0 1 2 28 24 3 P 55 55 55 28 24 3 6 ∴E0 1 2  . 55 55 55 11 （3）解：由（1）知，X ~ N  70.5,6.52 ， 10.6827 所以PX 77PX  0.15865. 2 E(X)20000.15865317 得分高于77分的人数最有可能是317.