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第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布（测试）
时间：120分钟 分值：150分
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．从正整数1，2，……10中任意取出两个不同的数，则取出的两个数的和等于某个正整数的平方的概率
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】从1，2，……10中任意取出两个不同的数，共有 种选择，
其中 满足取出的两个数的和等于某个正整数的平方，
故取出的两个数的和等于某个正整数的平方的概率为 .
故选：C
2．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“任何一个大于
的偶数都可以写成两个素数的和”，如 .在不超过 的素数中，随机选取 个不同的数，其和等
于 的概率是(注：若一个大于 的整数除了 和它本身外无其他因数，则称这个整数为素数)（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 不超过 的素数有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 个，
从中随机选取 个不同的数，共有 个基本事件；
其中两个素数和为 的情况有 ， ， ，共 个基本事件；
所求概率 .
故选：C.
3．在概率论和统计学中用协方差来衡量两个变量的总体误差，对于离散型随机变量 ， ，定义协方差
为 ，已知 ， 的分布列如下表所示，其中 ，则 的值
为（ ）
1 2
1 2A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】A
【解析】 的分布列为
1 2 4
，
， ，
.
故选：A.
4．已知A，B，C为三个随机事件且 ， ， >0，则A，B，C相互独立是A，B，C两两独立
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】A，B，C相互独立,则满足 ，
且 ， ， ；
A，B，C两两独立则满足 ， ， ；
故而A，B，C相互独立则有A，B，C两两独立，但是A，B，C两两独立不能得出A，B，C相互独立，故
A正确．
故选：A
5．现有甲乙两个箱子，分别装有除颜色外其它都相同的黑色和白色两种球，甲箱装有2个白球3个黑球，
乙箱有3个白球2个黑球，先从甲箱随机取一个球放入乙箱，再从乙箱随机取一个球是白球的概率是（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 “从乙箱中取出白球”， “从甲箱中取出白球”，
则 ， ， ， ，
故由全概率公式得 ．故选：C．
6．下列说法中正确的是（ ）
①设随机变量 服从二项分布 ，则
②已知随机变量 服从正态分布 且 ，则
③2023年7月28日第31届成都大学生运动会在成都隆重开幕，将5名大运会志愿者分配到游泳、乒乓球、
篮球和排球4个项目进行志愿者服务，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则
不同的分配方案共有180种；
④ ， .
A．②③ B．②③④ C．①②④ D．①②
【答案】C
【解析】对于①，随机变量 服从二项分布 ， ，①正确；
对于②，随机变量 服从正态分布 且 ，则 ，
，②正确；
对于③，依题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，
将5名志愿者按 分成4组，有 种分法，将分得的4组安排到4个项目，有 种方法，
所以不同的分配方案共有 .③错误
对于④， ， ，④正确，
所以说法正确的有①②④.
故选：C
7．一个不透明的袋子中装有3个黑球，n个白球 ，这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任
意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为 ，设X为取出白球的个数，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】由题可知， ，解得 ，
X的可能取值为 ，
， ， ， ，∴ .
故选：A
8．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为 ，收到0的概
率为 ；发送1时，收到0的概率为 ，收到1的概率为 ．考虑两种传输方案：单次传输
和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要
译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为
译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）下列说法错误的是（ ）
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当 时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的
概率
【答案】C
【解析】对于A，由题意可知：信号的传输相互独立，输入 收到 的概率为 ，输入 收到 的概率
为 ，
所以采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为 ，故A正确；
对于B，由题意可知：信号的传输相互独立，输入 收到 的概率为 ，输入 收到 的概率为 ，
所以采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 ，故B正确；
对于C，采用三次传输方案，若发送1，译码为1的情况分别为“ ”、“ ”、“ ”、“
”，
因为信号的传输相互独立，输入 收到 的概率为 ，输入 收到 的概率为 ，
所以采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 ，故C错误；
对于D，若发送0，采用三次传输方案译码为0的情况有“ ”、“ ”、“ ”、“ ”，
所以其概率为 ；
若发送0，采用单次传输方案译码为0的概率为 ，
由 ，且 ，
则 ，故D正确；
故选：C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．给定事件 ，且 ，则下列选项正确的是（ ）
A．若 ，则A，B互为对立事件
B．若 ， 且A，B互斥，则A，B不可能相互独立
C．
D．若A，B为相互独立事件且 ，则
【答案】BCD
【解析】对A，由 表明在事件 发生的前提下，
事件 或事件 发生的概率为1，并不能得出A，B互为对立事件，A错误；
对B，若 ， 且A，B互斥，
则 ,所以A，B不可能相互独立，B正确；
对C，当 互斥时， ；
当 不互斥时， ，C正确；
对D，若A，B为相互独立事件，
则 ，
,D正确.
故选:BCD.
10．甲盒中有3个白球，2个黑球，乙盒中有2个白球，3个黑球，则下列说法中正确的是（ ）
A．若从甲盒中一次性取出2个球，记 表示取出白球的个数，则
B．若从甲盒和乙盒中各取1个球，则恰好取出1个白球的概率为
C．若从甲盒中连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都放回，则恰好得到2个白球的概率为
D．若从甲盒中取出1球放入乙盒中，再从乙盒中取出1球，记 ：从乙盒中取出的1球为白球，则
【答案】BCD
【解析】A选项，由题意得 ，故错误；
B选项，由题意得取出1个白球的概率为 ，故正确；
C选项，若从甲盒中连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都放回，设抽到白球个数为 ，则，
则恰好得到2个白球的概率为 ，故正确；
D选项，从甲盒中取出白球放入乙盒中，从乙盒中取出的1球为白球，此时概率为 ，
从甲盒中取出黑球放入乙盒中，从乙盒中取出的1球为白球，此时概率为 ，
故 ，故正确.
故选：BCD
11．若随机变量 ，则（ ）
A． 的密度曲线与 轴只有一个交点 B． 的密度曲线关于 对称
C． D．若 ，则 ，
【答案】ACD
【解析】若 ，则其密度函数 ，因此 的密度曲线与 轴只有一个交点
，故A正确；
的密度曲线关于直线 对称，故B错误；
，故C正确；
， ，故D正确.
故选：ACD.
12．学校食堂每天中午都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析
发现：学生第一天选择A套餐的概率为 ，选择B套餐的概率为 .而前一天选择了 套餐的学生第二天选
择A套餐的概率为 ，选择B套餐的概率为 ；前一天选择B套餐的学生第二天选择A套餐的概率为 ，
选择B套餐的概率也是 ，如此反复.记某同学第 天选择 套餐的概率为 ，选择B套餐的概率为 .一
个月（30天）后，记甲､乙､丙三位同学选择 套餐的人数为 ，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．数列 是等比数列C． D．
【答案】ABD
【解析】由于每人每次只能选择A，B两种套餐中的一种，所以 ，所以 正确，
依题意， ，则 ，
又 时， ，
所以数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，
所以 ，
当 时， ，所以 ，
所以ABD正确，C错误，
故选：ABD.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．6名同学相约在周末参加创建全国文明城市志愿活动，现有交通值守、文明劝导、文艺宣讲三种岗位
需要志愿者，其中，交通值守、文明劝导岗位各需2人，文艺宣讲岗位需1人．已知这6名同学中有4名
男生，2名女生，现要从这6名同学中选出5人上岗，剩下1人留守值班．若两名女生都已经到岗，则她们
不在同一岗位的概率为 .
【答案】 /0.8
【解析】法一：设“两名女生都到岗”为事件A，“两名女生不在同一岗位”为事件B，
则 ， ，
∴ ．
法二： ．
故答案为：
14．若随机变量 ，若 ，则 ．
【答案】 /【解析】由题意知随机变量 ， ，
所以 ，即 ，
即 ，
而 ，则 ，
故答案为：
15．甲、乙两位同学进行象棋比赛，采用五局三胜制（当一人赢得三局时，该同学获胜，比赛结束）.根据
以往比赛成绩，每局比赛中甲获胜的概率都是 ，且各局比赛结果相互独立.若甲以 获胜的概
率不高于甲以 获胜的概率，则 的取值范围为 .
【答案】
【解析】题意可知，甲以 获胜的概率为 ，
甲以 获胜的概率为 ，
因为 ，
所以 ，
解得 ，
故 的取值范围为 .
故答案为：
16．某人投篮命中的概率为0.3，投篮15次，最有可能命中 次．
【答案】4
【解析】投篮命中次数 ，
设最有可能命中 次，则
， ， ．
最有可能命中4次．
故答案为：4.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
习近平总书记指出：“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、
亲善友爱的社会心态.”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用.某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取 位市民进行心理健康问卷调查，按所得评
分（满分 分）从低到高将心理健康状况分为四个等级：
调查评分
心理等级 有隐患 一般 良好 优秀
并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在 的市民为 人.
(1)求 的值及频率分布直方图中 的值；
(2)在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取 人，进行心理疏导.据以往数据统计，
经过心理疏导后，调查评分在 的市民心理等级转为 “良好”的概率为 ，调查评分在 的市
民心理等级转为“良好”的概率为 ，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的 人中，经
过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少?
【解析】（1）由已知条件可得 ，每组的纵坐标的和乘以组距为1，
所以 ，解得 .
（2）由（1）知 ，
所以调查评分在 的人数占调查评分在 人数的 ，
若按分层抽样抽取 人，
则调查评分在 有 人， 有 人，
因为经过心理疏导后的恢复情况相互独立，
所以选出的 人经过心理疏导后，
心理等级均达不到良好的概率为 ，
所以经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为良好的概率为 .
18．（12分）
随着《2023年中国诗词大会》在央视持续热播，它将经典古诗词与新时代精神相结合，使古诗词绽放出新时代的光彩，由此，它极大地鼓舞了人们学习古诗词的热情，掀起了学习古诗词的热潮.某省某校为了了解
高二年级全部1000名学生学习古诗词的情况，举行了“古诗词”测试，现随机抽取100名学生，对其测试
成绩（满分：100分）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示.
(1)根据频率分布直方图，估计这100名学生测试成绩的平均数（单位：分）；（同一组中的数据用该组区
间的中点值为代表）
(2)若该校高二学生“古诗词”的测试成绩X近似服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数，规
定“古诗词”的测试成绩不低于87分的为“优秀”，据此估计该校高二年级学生中成绩为优秀的人数；
（取整数）
(3)现该校为迎接该省的2023年第三季度“中国诗词大会”的选拔赛，在五一前夕举行了一场校内“诗词
大会”.该“诗词大会”共有三个环节，依次为“诗词对抗赛”“画中有诗”“飞花令车轮战”，规则如下：
三个环节均参与，在前两个环节中获胜得1分，第三个环节中获胜得4分，输了不得分.若学生甲在三个环
节中获胜的概率依次为 ， ， ，假设学生甲在各环节中是否获胜是相互独立的.记学生甲在这次“诗词
大会”中的累计得分为随机变量 ，求 的分布列和数学期 .
（参考数据：若 ，则 ， ，
.
【解析】（1）由频率分布直方图估计平均数为：
（分）
（2）由题意可得测试成绩X近似服从正态分布
所以 ，则
所以 人
故该校高二年级学生中成绩为优秀的人数约为 人；
（3）随机变量 的所有可能取值为：
，
，，
所以 的分布列如下：
数学期望 .
19．（12分）
现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，接球后视
为完成第一次传接球；接球者进行第二次传球，随机地传给另外两人中的一人，接球后视为完成第二次传
接球；依次类推，假设传接球无失误．设第 次传球后，甲接到球的概率为 ，
(1)试证明数列 为等比数列；
(2)解释随着传球次数的增多，甲接到球的概率趋近于一个常数．
【解析】（1）由题意：第一次传球后，球落在乙或丙手中，则 ，
时，第 次传给甲的事件是第 次传球后，球不在甲手上并且第 次必传给甲的事件，
于是有 ，即 ，
故数列 是首项为 ，公比为 的等比数列;
（2）由（1）可知 ，所以 ，
当 时， ，所以当传球次数足够多时，球落在甲手上的概率趋向于一个常数 .
20．（12分）
甲、乙两位同学决定进行一次投篮比赛，他们每次投中的概率均为P，且每次投篮相互独立，经商定共设
定5个投篮点，每个投篮点投球一次，确立的比赛规则如下：甲分别在5个投篮点投球，且每投中一次可
获得1分；乙按约定的投篮点顺序依次投球，如投中可继续进行下一次投篮，如没有投中，投篮中止，且
每投中一次可获得2分.按累计得分高低确定胜负．(1)若乙得6分的概率 ，求 ；
(2)由（1）问中求得的 值，判断甲、乙两位选手谁获胜的可能性大？
【解析】（1）若乙得6分，则需乙前3个投篮投中，第4个投篮未中，
其概率为 ，又 ，
故 ，解得 ；
（2）设 为甲累计获得的分数，则 ，所以 ，
设 为乙累计获得的分数，则 的可能取值为0，2，4，6，8，10，
， ，
， ，
， ，
所以 的分布列为：
0
所以 ，
因为 ，所以甲获胜的可能性大
21．（12分）
(1)对于任意两个事件 ，若 ， ，证明： ；
(2)贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯发现的，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设 ， ，
…， 是一组两两互斥的事件， ，且 ， ，2，…， ，则对任意的事件
， ，有 ， ，2，…， .
（i）已知某地区烟民的肺癌发病率为1%，先用低剂量 进行肺癌筛查，医学研究表明，化验结果是存在
错误的.已知患有肺癌的人其化验结果99%呈阳性（有病），而没有患肺癌的人其化验结果99%呈阴性（无
病），现某烟民的检验结果为阳性，请问他真的患肺癌的概率是多少？
（ii）为了确保诊断无误，一般对第一次检查呈阳性的烟民进行复诊.复诊时，此人患肺癌的概率就不再是1%，这是因为第一次检查呈阳性，所以对其患肺癌的概率进行修正，因此将用贝叶斯公式求出来的概率作
为修正概率，请问如果该烟民第二次检查还是呈阳性，则他真的患肺癌的概率是多少？
【解析】(1)因为 ， ，所以
(2) （i）记检查结果呈阳性为事件A，被检查者患有肺癌为事件B，
由题意可得： ， ，由贝叶斯公式得
，
因此某烟民的检查结果为阳性，他真的患有肺癌的概率是 .
（ii）同（i）， .
22．（12分）
某闯关游戏由两道关卡组成，现有 名选手依次闯关，每位选手成功闯过第一关和第二关的概率均为 ，
两道关卡能否过关相互独立，每位选手的闯关过程相互独立，具体规则如下：
①每位选手先闯第一关，第一关闯关成功才有机会闯第二关.
②闯关选手依次挑战.第一位闯关选手开始第一轮挑战.若第 位选手在10分钟内未闯过第
一关，则认为第 轮闯关失败，由第 位选手继续挑战.
③若第 位选手在10分钟内闯过第一关，则该选手可继续闯第二关.若该选手在10分钟内
未闯过第二关，则也认为第 轮闯关失败，由第 位选手继续挑战.
④闯关进行到第 轮，则不管第 位选手闯过第几关，下一轮都不再安排选手闯关.令随机变量 表示 名
挑战者在第 轮结束闯关.
(1)求随机变量 的分布列；
(2)若把闯关规则①去掉，换成规则⑤：闯关的选手先闯第一关，若有选手在10分钟内闯过第一关，以后
闯关的选手不再闯第一关，直接从第二关开始闯关.令随机变量 表示 名挑战者在第 轮
结束闯关.
（i）求随机变量 的分布列
（ii）证明 .【解析】（1）由题意，每位选手成功闯过两关的概率为 ，易知 取1,2,3,4，则
， ， ，
，
因此 的分布列为
1 2 3 4
（2）（i） 时，第 人必答对第二题，
若前面 人都没有一人答对第一题，其概率为 ，
若前面 人有一人答对第一题，其概率为 ，
故 .
当 时，
若前面 人都没有一人答对第一题，其概率为 ，
若前面 人有一人答对第一题，其概率为 ，
故 .
的分布列为：
1 2 3 …
…
（ii）由（i）知 .
，故 ，
又 ，
故 ，
所以 ，①
，②
②－①，
故 .
