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第 07 讲 离散型随机变量的分布列与数字特征
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）某商场推出一种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券
共10张券，客户从中任意抽取2张，若至少抽中1张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖.客户甲每天都
参加1次抽奖活动，一个月（30天）下来，发现自己共中奖11次，根据这个结果，估计盒子中的有奖券
有（ ）
A．1张 B．2张 C．3张 D．4张
【答案】B
【解析】设中奖的概率为 ，30天中奖的天数为 ，则
若盒子中的有奖券有1张，
则中奖的概率为 ，
，
若盒子中的有奖券有2张，
则中奖的概率为 ，
，
若盒子中的有奖券有3张，
则中奖的概率为 ，
，
若盒子中的有奖券有4张，
则中奖的概率为 ，
，
根据题意盒子中的有奖券有2张，更有可能30天中奖11天，
故选：B.
2．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次
提出，泊松分布的概率分布列为 ，其中 为自然对数的底数， 是泊松分布的均值.已知某线路每个公交车站台的乘客候车相互独立，且每个站台候车人数 服从参数为 的泊松分
布，若该线路某站台的候车人数为2和3的概率相等，则该线路公交车两个站台各有1个乘客候车的概率
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知 ，即 解得 ，
所以 ，
从而 ，
故该线路公交车两个站台各有1个乘客候车的概率为 .
故选：D
3．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）随机变量 的分布列如下表，且 ，则
（ ）
0 2
A．10 B．15 C．40 D．45
【答案】D
【解析】由题意得 ，得 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
所以
故选：D.
4．（2023·海南·校联考模拟预测）已知离散型随机变量 的分布列如下表：
1 3 5
0.3 0.4
则其数学期望 （ ）
A．1 B．0.3 C．2.3 D．3.2【答案】D
【解析】分布列中出现的所有的概率之和等于1． ， ，
随机变量 的数学期望 ．
故选：D.
5．（2023·陕西·校联考模拟预测）已知随机变量X的分布列为：
X 0 2 3
P m 2m
则 （ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】C
【解析】由 ，解得 ，
则 .
故选：C.
6．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）将字母a，a，b，b，c，c放入如图所示的3×2的表格中，每个格子
各放一个字母，若字母相同的行的个数为 ，则 的数学期望为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】字母a，a，b，b，c，c放入3×2的表格中的不同结果有 种，
随机变量 的可能值为 ，
，
所以 的数学期望为 .
故选：B7．（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）设 ，则随机变量 的分布列是
0 1
则当 在 内减小时，（ ）
A． 减小 B． 增大
C． 先减小后增大 D． 先增大后减小
【答案】C
【解析】根据题意可得， ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，所以 先减小后增大.
故选：C.
8．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考模拟预测）抛一枚硬币，若抛到正面则停止，抛到反面则继续抛，已
知该硬币抛到正反两面是等可能的，则以上操作硬币反面朝上的次数期望为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】设硬币反面朝上的次数为 ，
由题可知，每次抛正面朝上的概率为 ，反面朝上概率为 ，
则
所以两式相减可得， ，
即 ，
整理得， ，
因为 ，
所以硬币反面朝上的次数期望为1，
故选:B.
9．（2023·四川自贡·统考三模）一组数据 、 、 、 、 的方差为 ，则 、 、 、
、 的方差为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】A
【解析】设原数据随机变量为X，根据题可知原数据方差 ，
则新数据随机变量可表示为 ，根据方差公式可知 .
故选：A.
10．（2023·山东枣庄·统考三模）口袋中装有编号分别为1，2，3的三个大小和形状完全相同的小球，从
中任取2个球，记取出的球的最大编号为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意， 可能取值为2，3
包含事件为取出的两个球为1，2
所以
包含事件为取出的两个球为1，3或2，3
所以
，.
故选：A.
11．（多选题）（2023·浙江·校联考模拟预测）已知甲盒中有2个红球，1个篮球，乙盒中有1个红球，2
个篮球.从甲、乙两个盒中各取1个球放入原来为空的丙盒中.现从甲、乙、丙三个盒子中分别取1个球，记
从各盒中取得红球的概率为 ，从各盒中取得红球的个数为 ，则（ ）
A． . B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】可以利用平均值的原理去快速解决问题，甲盒中有2个红球，1个篮球，拿出一个球，相当于平
均拿出 个红球， 个篮球；
乙盒中有1个红球，2个篮球，拿出一个球，相当于平均拿出 个红球， 个篮球，
那么拿出一个球后，放入丙盒子中后，相当于甲盒子内还有 个红球， 个篮球，乙盒子内还有 个红球，
个篮球，丙盒子中有1个红球，1个篮球，
故 ， ， ， ，A选项正确 ；
满足两点分布，
故 ， ，
， ，
， ， ， ，B,C选项正确，
D选项错误.
故选：ABC.
12．（多选题）（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知两个离散型随机变量 ，满足 ，其中
的分布列如下：
0 1 2若 ，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】由分布列的性质，可得 ，解得 ①，
因为 ，所以 ，即 ②，
联立①②解得 ， ，
∴ ，
因为 ，所以 ， .
故选：ABD.
13．（多选题）（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）在国家宪法日来临之际，某中学开展
“学宪法、讲宪法”知识竞赛，一共设置了7道题目，其中5道是选择题，2道是简答题。现要求从中不
放回地抽取2道题，则（ ）
A．恰好抽到一道选择题、一道简答题的概率是
B．记抽到选择题的次数为X，则
C．在第一次抽到选择题的条件下，第二次抽到简答题的概率是
D．第二次抽到简答题的概率是
【答案】BD
【解析】从7道题中不放回地抽取2道题共有： 种方法，
对于A，恰好抽到一道选择题、一道简答题有 种方法，
所以恰好抽到一道选择题、一道简答题的概率是 ，故A错误；
对于B，记抽到选择题的次数为 ， ，
所以 ， ，，所以 ，故B正确；
对于C，第一次抽到选择题为事件 ，第二次抽到简答题为事件 ，
则 ， ，
则 ，故C错误；
对于D，第一次抽到简答题为事件 ，第二次抽到简答题为事件 ，
所以第二次抽到简答题的概率是 ，故D正确,
故选：BD.
14．（多选题）（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）随机变量 的分布列如表：其中 ，下
列说法正确的是（ ）
0 1 2
P
A． B．
C． 有最大值 D． 随y的增大而减小
【答案】ABC
【解析】由题意可知 ，即 ，故A正确；
，故B正确；
，
因为 ， ，易得 ，
而 开口向下，对称轴为 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 在 处取得最大值，所以 随着y的增大先增大后减小，当 时取得最大值，故C正确，D错误.
故选：ABC.
15．（2023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）在财务审计中， 我们可以用 “本・福特定律” 来检验数
据是否造假. 本・福特定律指出， 在一组没有人为编造的自然生成的数据 (均为正实数) 中， 首位非零的
数字是 这九个事件不是等可能的. 具体来说， 随机变量 是一组没有人为编造的首位非零数字， 则
. 则根据本 • 福特定律， 首位非零数字是1与首位非零数字是8的概率之
比约为 (保留至整数).
【答案】6
【解析】由题意可得： ．
故答案为：6.
16．（2023·重庆万州·统考模拟预测）某社区为了丰富群众的业余活动，倡导群众参加踢毽子、广场舞、
投篮、射门等体育活动．在一次“定点投球”的游戏中，游戏共进行两轮，每小组两位选手，在每轮活动
中，两人各投一次，如果两人都投中，则小组得3分；如果只有一个人投中，则小组得1分；如果两人都
没投中，则小组得0分．甲、乙两人组成一组，甲每轮投中的概率为 ，乙每轮投中的概率为 ，且甲、
乙两人每轮是否投中互不影响，各轮结果亦互不影响，则该小组在本次活动中得分之和不低于3分的概率
为 ．
【答案】
【解析】根据题意,设该小组在本次活动中得分之和为 ,则 可取的值为0、1、2、3、4、6,
在一轮活动中,该小组得3分的概率
该小组得1分的概率 ，
该小组得0分的概率 ，
则有 ,
，
，
则 ，即该小组在本次活动中得分之和不低于3分的概率为 ，
故答案为： .
17．（2023·天津·天津市滨海新区塘沽第一中学校联考模拟预测）一个袋中共有 个大小相同的黑球、白
球和红球，已知从袋中任意摸出 个球，得到黑球的概率是 ；从袋中任意摸出 个球，至少得到 个白球
的概率是 ，则白球的个数为 .
【答案】
【解析】设有白球 个，因为从袋中任意摸出 个球，至少得到 个白球的概率是 ，
所以 ，解得 或 （舍去）.
故答案为：5
18．（2023·浙江·模拟预测）现有一摸球游戏，规则如下：袋子里有形状和大小完全一样的标有1～6号的
6个小球，游戏参与者每次从袋中不放回地摸1个球，若摸到1号球或6号球得2分，摸到3号球、4号球
或5号球得1分，摸到2号球得0分，若参与者摸到2号球或摸了三次后不管有没有摸到2号球游戏均结束．
记随机变量X为参与者摸球结束后获得的分数，则X的数学期望是 ．
【答案】 /2.8
【解析】由题知X的可能取值：0，1，2，3，4，5，则
，
．
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3 4 5P
所以X的数学期望为： ．
故答案为： ．
19．（2023·湖南永州·统考一模）某企业为提高竞争力，成功研发了三种新品 ，其中 能
通过行业标准检测的概率分别为 ，且 是否通过行业标准检测相互独立．
(1)设新品 通过行业标准检测的品种数为 ，求 的分布列；
(2)已知新品 中的一件产品经检测认定为优质产品的概率为0.025，现从足量的新品 中任意抽取一件进
行检测，若取到的不是优质产品，则继续抽取下一件，直至取到优质产品为止，但抽取的总次数不超过 ．
如果抽取次数的期望值不超过5，求 的最大值．
参考数据：
【解析】（1）由题意 的所有可能取值为：0，1，2，3.
,
,
,
;
所以 的分布列如下表：
0 1 2 3
（2）不妨设抽取第 次时取到优质产品，此时对应的概率为 ，
而第 次抽到优质产品的概率为 ，因此由题意抽取次数的期望值为
，
，
两式相减得 ，所以 ，
又由题意可得 ，
所以 ，即 ，
注意到当 时，有 ，
且当 时，有 ；
综上所述： 的最大值为5.
20．（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考三模）素质教育是指一种以提高受教育者诸方面素质为目
标的教育模式．它重视人的思想道德素质、能力培养、个性发展、身体健康和心理健康教育．由此，某校
的一位班主任在其班的课后服务课中展开羽毛球比赛，采用五局三胜制，经过一段时间紧张激烈的角逐，
最终甲、乙两人进行总决赛，在总决赛的比赛中，甲每局获胜的概率为 ，且各局比赛之间没有影响．
(1)求甲获胜的概率；
(2)比赛结束时，甲比赛的局数为 ，求 的分布列及其期望．
【解析】（1）甲获胜有三种情况，第一种甲以3：0获胜，其概率为 ；
第二种甲以3：1获胜，其概率为 ；
第三种甲以3：2获胜，其概率为 ．
所以甲获胜的概率为： ．
（2）由题知， 的所有可能的取值为3，4，5．
，
，
，
所以 的分布列为
3 4 5
所以 ．21．（2023·黑龙江大庆·统考模拟预测）为了提高居民参与健身的积极性，某社区组织居民进行乒乓球比
赛，每场比赛采取五局三胜制，先胜3局者为获胜方，同时该场比赛结束，每局比赛没有平局.在一场比赛
中，甲每局获胜的概率均为p，且前4局甲和对方各胜2局的概率为 .
(1)求p的值；
(2)记该场比赛结束时甲获胜的局数为X，求X的分布列与期望.
【解析】（1）由题可知，前4局甲和对方各胜2局的概率为 ，
则 ，即 ，
解得 .
（2）由题可知， 的取值可能为 ，
且 ，
则 的分布列为
0 1 2 3
所以
22．（2023·河北唐山·迁西县第一中学校考二模）在一个不透明袋子中放入除颜色外完全相同的2个白色
球和2个黑色球，从中任意取出一个球，若是黑色球，则用2个同样的白色球替换黑色球放入袋子中，若
取到的是白色球，则把该白色球放回袋子中．
(1)求第4次恰好取完两个黑色球的概率；
(2)若取到两个黑色球或者取球数达到5次就停止取球，设停止取球时取球次数为X，求X的分布列和数学
期望．
【解析】（1）由题意知，前三次取球中有一次取到黑色球，故第4次取球恰好是第二次取到黑色球的概率
．
（2）由题意可知，X的所有可能取值为2，3，4，5，
， ， ，
，故X的分布列为
X 2 3 4 5
P
.
1．（2020•浙江）盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2 个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不
放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为 ，则 ，
．
【答案】 ， ．
【解析】【解法1】由题意知随机变量 的可能取值分别为0，1，2；
表示取到红球后（停止取球）还没有取到黄球，有以下两种情况：
①第一次就取到红球 ，
②第一次取到绿球、第二次取到红球 ，
所以 ；
当 时，有以下三种情况：①第一次取到1个黄球为 ，第二次红球为 ，停止取球；
②第一次取到1个黄球为 ，第二次取到绿球为 ，第三次取到红球为 ，停止取球；
③第一次取到绿球为 ，第二次取到黄球为 ，第三次取到红球为 ，停止取球；
所以 ；
；
所以 的分布列为：
0 1 2数学期望为 ．
【解法2】由题意知，随机变量 的可能取值为0，1，2；
计算 ；
；
；
所以 ．
故答案为： ，1．
2．（2023•甲卷）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选 40只小白鼠，随机地将其中20只分配
到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常
环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位： ．
（1）设 表示指定的两只小鼠中分配到对照组的只数，求 的分布列和数学期望；
（2）试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
3．2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
4．6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
5．8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
6．8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
求40只小白鼠体重的增加量的中位数 ，再分别统计两样本中小于 与不小于 的数据的个数，完成
如下列联表：
对照组
实验组
根据 中的列联表，能否有 的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量
有差异？
附： ，
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635【解析】（1）根据题意可得 ，1，2，
又 ，
，
，
的分布列为：
0 1 2
；
（2） 个数据从小到大排列后，中位数 即为第20位和第21位数的平均数，
第20位数为23.2，第21位数为23.6，
，
补全列联表为：
合计
对照组 6 14 20
实验组 14 6 20
合计 20 20 40
由 可知 ，
能有 的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．
3．（2022•甲卷）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，
没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为
0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用 表示乙学校的总得分，求 的分布列与期望．
【解析】（1）甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 0.5，0.4，0.8，可以得到两个学校每场比赛获胜的
概率如下表：
第一场比赛 第二场比赛 第三场比赛
甲学校获胜概率 0.5 0.4 0.8
乙学校获胜概率 0.5 0.6 0.2甲学校要获得冠军，需要在3场比赛中至少获胜2场，
①甲学校3场全胜，概率为： ，
②甲学校3场获胜2场败1场，概率为： ，
所以甲学校获得冠军的概率为： ；
（2）乙学校的总得分 的可能取值为：0，10，20，30，其概率分别为：
，
，
，
，
则 的分布列为：
0 10 20 30
0.16 0.44 0.34 0.06
的期望 ．
4．（2022•北京）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到 以上（含
的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，
并整理得到如下数据（单位：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
（Ⅰ）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（Ⅱ）设 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计 的数学期望 ；
（Ⅲ）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
【解析】（Ⅰ）甲以往的10次成绩中有4次获得优秀奖，用频率估计概率，则甲在校运动会铅球比赛中获
得优秀奖的概率 ．
（Ⅱ）用频率估计概率，则乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为 ，丙在校运动会铅球比赛
中获得优秀奖的概率为 ，
的所有可能取值为0，1，2，3，
则 ，
，，
，
．
（Ⅲ）由题中数据可知，乙与丙获得优秀奖的概率较大，均为 ，且丙投出过三人成绩中的最大值 ，
在三人中有一定优势，
故如果发挥较好的话丙获得的概率估计值最大．
5．（2023•北京）为了研究某种农产品价格变化的规律，收集到了该农产品连续 40天的价格变化数据，如
表所示，在描述价格变化时，用“ ”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“ ”表示“下
跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．
时 价格变化
段
第 0 0 0 0 0
1
天
到
第
20
天
第 0 0 0 0 0
21
天
到
第
40
天
用频率估计概率．
（Ⅰ）试估计该农产品“上涨”的概率；
（Ⅱ）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的，在未来的日子里任取 4天，试估计该农产品价格在这
4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；
（Ⅲ）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格的影响，判断第 41天该农产品价格“上涨”、“下
跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）
【解析】（Ⅰ）由表可知，40天中“上涨”的有16天，则该农产品“上涨”的概率为 ．（Ⅱ）由表可知，40天中“下跌”的有14天，则该农产品“下跌”的概率为 ，
40天中“不变”的有10天，则该农产品“不变”的概率为 ，
则 该 农 产 品 价 格 在 这 4 天 中 2 天 “ 上 涨 ” 、 1 天 “ 下 跌 ” 、 1 天 “ 不 变 ” 的 概 率
．
（Ⅲ）由于第40天处于“上涨”状态，从前39天中15次“上涨”进行分析，
“上涨”后下一次仍“上涨”的有4次，概率为 ，
“上涨”后下一次“不变”的有9次，概率为 ，
“上涨”后下一次“下降”的有2次，概率为 ，
故第41天该农产品价格“不变”的概率估值最大．
6．（2021•新高考Ⅰ）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 ， 两类问题．每位参加比赛的同学先在
两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一
类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束． 类问题中的每个问题回答正
确得20分，否则得0分； 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．
已知小明能正确回答 类问题的概率为0.8，能正确回答 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率
与回答次序无关．
（1）若小明先回答 类问题，记 为小明的累计得分，求 的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
【答案】（1）
0 20 100
0.2 0.32 0.48
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答 类问题．
【分析】
（1）由已知可得， 的所有可能取值为0，20，100，分别求出对应的概率即可求解分布列；
（2）由（1）可得 ，若小明先回答 类问题，记 为小明的累计得分， 的所有可能取值为0，80，
100，分别求出对应的概率，从而可得 ，比较 与 的大小，即可得出结论．
【详解】
（1）由已知可得， 的所有可能取值为0，20，100，
则 ，
，所以 的分布列为：
0 20 100
0.2 0.32 0.48
（2）由（1）可知小明先回答 类问题累计得分的期望为 ，
若小明先回答 类问题，记 为小明的累计得分，
则 的所有可能取值为0，80，100，
，
，
，
则 的期望为 ，
因为 ，
所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答 类问题．
7．（2021•北京）在核酸检测中，“ 合1”混采核酸检测是指：先将 个人的样本混合在一起进行1次检
测，如果这 个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束；
如果这 个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测，得到每人的检测
结果，检测结束．
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确．
（Ⅰ）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测．
（ⅰ）如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数：
（ⅱ）已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为 ．设 是检测的总次数，求 的分布列与数学期
望 ．
（Ⅱ）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测．设 是检测的总次
数，试判断数学期望 与（Ⅰ）中 的大小．（结论不要求证明）
【解析】（Ⅰ）（ⅰ）若采用“10合1检测法”，每组检查一次，共10次；
又两名患者在同一组，需要再检查10次，
因此一共需要检查20次．
（ⅱ）由题意可得： ，30．
， ．
可得分布列：
20 30．
（Ⅱ）由题意可得： ，30．
， ．
可得分布列：
25 30
．
．
另设“10合1”混采核酸检测两名感染患者在同一组的概率为 ，“5合1”混采核酸检测两名感染患者在同
一组的概率为 ，则 ，
此时有 ；
而 ，
．
8．（2021•新高考Ⅱ）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经
过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代， ，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有
相同的分布列，设 表示1个微生物个体繁殖下一代的个数， ，1，2， ．
（Ⅰ）已知 ， ， ， ，求 ；
（ Ⅱ ） 设 表 示 该 种 微 生 物 经 过 多 代 繁 殖 后 临 近 灭 绝 的 概 率 ， 是 关 于 的 方 程 ：
的一个最小正实根，求证：当 时， ，当 时， ；
（Ⅲ）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
【解析】（Ⅰ）由题意， ， ， ， ，
故 ；
（Ⅱ）证明：由题意可知， ，则 ，
所以 ，变形为 ，
所以 ，
即 ，
即 ，
令 ，若 时，则 的对称轴为 ，
注意到 ， （1） ，
若 时， （1） ，
当 时， （1） ， 的正实根 ，原方程的最小正实根 ，
当 时， （1） ， 的正实根 ，原方程的最小正实根 ，
（Ⅲ）当1个微生物个体繁殖下一代的期望小于等于1时，这种微生物经过多代繁殖后临近灭绝；
当1个微生物个体繁殖下一代的期望大于1时，这种微生物经过多代繁殖后还有继续繁殖的可能．
9．（2020•北京）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案；方案一、方案二．为了
解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如表：
男生 女生
支持 不支持 支持 不支持
方案一 200人 400人 300人 100人
方案二 350人 250人 150人 250人
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．
（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；
（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的
概率；
（Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为 ．假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年
级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 ．试比较 与 的大小．（结论不要求证明）
【解析】（Ⅰ）设“该校男生支持方案一”为事件 ，“该校女生支持方案一”为事件 ，
则 ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，
设“这3人中恰有2人支持方案一”为事件 ，
则 ；
（Ⅲ） ．理由如下：
，设该校总人数为 ，则该校支持方案二的人数约为 ，
由表可知，男生支持方案二的概率为 ，女生支持方案二的概率为 ，
所以一年级支持方案二的人数约为 ，故除一年级外其他年级支持方案二的概率为 ．
10．（2020•新课标Ⅰ）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为 ， ， ，
四个等级．加工业务约定：对于 级品、 级品、 级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20
元；对于 级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加
工成本费为25元 件，乙分厂加工成本费为20元 件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂
各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级
频数 40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级
频数 28 17 34 21
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为 级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接
加工业务？
【解析】（1）由表格可得，甲分厂加工出来的一件产品为 级品的频数为40，故频率为 ，
乙分厂加工出来的一件产品为 级品的频数为28，故频率为 ，
故甲、乙两分厂加工出来的一件产品为 级品的概率估计值分别是0.4，0.28；
（2）由表格可知甲分厂加工四个等级的频率分别为0.4，0.2，0.2，0.2，
故其平均利润为 （元 ；
同理乙分厂加工四个等级的频率分别为0.28，0.17，0.34，0.21，
故其平均利润为 （元 ；
因为 ，所以选择甲分厂承接更好．
