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专题24.14 圆周角（直通中考）（培优练）
一、单选题
1．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图， 是 的直径，D，C是 上的点， ，
则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）如图，在 中，直径 与弦 相交于点P，连接
，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·天津·统考中考真题）如图，在 中，分别以点A和点C为圆心，大于 的长为半
径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线 分别与边 相交于点D，E，
连接 ．若 ，则 的长为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
4．（2022·山东枣庄·统考中考真题）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（ ）
A．28° B．30° C．36° D．56°
5．（2022·吉林长春·统考中考真题）如图，四边形 是 的内接四边形．若 ，则
的度数为（ ）
A．138° B．121° C．118° D．112°
6．（2022·广西梧州·统考中考真题）如图， 是 的外接圆，且 ，在弧
AB上取点D（不与点A，B重合），连接 ，则 的度数是（ ）
A．60° B．62° C．72° D．73°
7．（2021·西藏·统考中考真题）如图，△BCD内接于⊙O，∠D＝70°，OA⊥BC交⨀O于点A，连接
AC，则∠OAC的度数为（ ）A．40° B．55° C．70° D．110°
8．（2021·广西贵港·统考中考真题）如图，点A，B，C，D均在⊙O上，直径AB＝4，点C是 的
中点，点D关于AB对称的点为E，若∠DCE＝100°，则弦CE的长是（ ）
A． B．2 C． D．1
9．（2021·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，点C，D在以AB为直径的半圆上， ，点E
是 上任意一点，连接BE，CE，则 的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．60°
10．（2021·辽宁营口·统考中考真题）如图， 中，点C为弦 中点，连接 ， ，
，点D是 上任意一点，则 度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023·四川南充·统考中考真题）如图， 是 的直径，点D，M分别是弦 ，弧 的中点，
，则 的长是 ．12．（2022·江苏南京·统考中考真题）如图，四边形 内接于 ，它的3个外角 ， ，
的度数之比为 ，则 ．
13．（2022·湖北襄阳·统考中考真题）已知⊙O的直径AB长为2，弦AC长为 ，那么弦AC所对的
圆周角的度数等于 ．
14．（2022·上海·统考中考真题）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的
三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，
这个圆的半径为 ．
15．（2022·江苏常州·统考中考真题）如图， 是 的内接三角形．若 ， ，
则 的半径是 ．
16．（2022·黑龙江·统考中考真题）如图，在 中，AB是 的弦， 的半径为3cm，C为 上
一点， ，则AB的长为 cm．17．（2022·湖北随州·统考中考真题）如图，点A，B，C都在⊙O上，∠ACB=60°，则∠AOB的度数为
.
18．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形 中，
，点E在线段 上运动，点F在线段 上，
，则线段 的最小值为 ．
三、解答题
19．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图， 是 的直径， 是弦， 是 上一点， 是 延
长线上一点，连接 ．
（1）求证： ；（请用两种证法解答）
（2）若 ， 的半径为3， ，求 的长．20．（2023·甘肃武威·统考中考真题）1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：
只用圆规可以完成一切尺规作图．1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作
《圆规的几何学》中．请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题：
如图，已知 ， 是 上一点，只用圆规将 的圆周四等分．（按如下步骤完成，保留作图痕
迹）
①以点 为圆心， 长为半径，自点 起，在 上逆时针方向顺次截取 ；
②分别以点 ，点 为圆心， 长为半径作弧，两弧交于 上方点 ；
③以点 为圆心， 长为半径作弧交 于 ， 两点．即点 ， ， ， 将 的圆周四等分．
21．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示，四边形 是半径为R的 的内接四边形， 是
的直径， ，直线l与三条线段 、 、 的延长线分别交于点E、F、G．且满足
．
（1）求证：直线 直线 ；
（2）若 ；
①求证： ；
②若 ，求四边形 的周长．22．（2023·安徽·统考中考真题）已知四边形 内接于 ，对角线 是 的直径．
（1）如图1，连接 ，若 ，求证； 平分 ；
（2）如图2， 为 内一点，满足 ，若 ， ，求弦 的长．
23．（2023·江苏泰州·统考中考真题）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上， 为 所对的
圆周角．
知识回顾
（1）如图①， 中，B、C位于直线 异侧， ．
①求 的度数；
②若 的半径为5， ，求 的长；
逆向思考
（2）如图②，P为圆内一点，且 ， ， ．求证：P为该圆的圆心；
拓展应用
（3）如图③，在（2）的条件下，若 ，点C在 位于直线 上方部分的圆弧上运动．
点D在 上，满足 的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明．24．（2023·北京·统考中考真题）如图，圆内接四边形 的对角线 ， 交于点 ， 平分
， ．
（1）求证 平分 ，并求 的大小；
（2）过点 作 交 的延长线于点 ．若 ， ，求此圆半径的长．参考答案
1．A
【分析】根据圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度求解即可．
解：∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点拨】本题考查圆的性质，涉及到圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度，熟记知识点
是关键．
2．D
【分析】先根据圆周角定理得出 ，再由三角形外角和定理可知
，再根据直径所对的圆周角是直角，即 ，然后利用进而可求出 ．
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ 为直径，即 ，
∴ ，
故选：D．
【点拨】此题主要考查了圆周角定理，三角形外角和定理等知识，解题关键是熟知圆周角定理的相关
知识．
3．D
【分析】由作图可知直线 为边 的垂直平分线，再由 得到 ，则可知
三点在以 为圆心 直径的圆上，进而得到 ，由勾股定理求出 即可．
解：由作图可知，直线 为边 的垂直平分线，
∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 三点在以 为圆心 直径的圆上，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ．
故选：D．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，圆的基本性质和勾股定理，解答关键是熟练
掌握常用尺规作图的作图痕迹，由作图过程得到新的结论．
4．A
【分析】设半圆圆心为O，连OA，OB，则∠AOB＝86°−30°＝56°，根据圆周角定理得∠ACB＝
∠AOB，即可得到∠ACB的大小．
解：设半圆圆心为O，连OA，OB，如图，∵∠AOB＝86°−30°＝56°，
∴∠ACB＝ ∠AOB＝ ×56°＝28°．
故选A．
【点拨】本题主要考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条
弧所对的圆心角的一半．
5．C
【分析】由圆内接四边形的性质得 ，再由圆周定理可得 ．
解：∵四边形ABCD内接于圆O，
∴
∵
∴
∴
故选：C
【点拨】本题主要考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，熟练掌握相关性质和定理是解答本题的
关键
6．C
【分析】连接CD，根据等腰三角形的性质可求∠ACB的度数，然后根据圆周定理求出
∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠ACD，从而可求出 的度数．
解：连接CD，则∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠ACD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∠BAC=36°，
∴∠ACB= ，
∴∠BAD+∠ABD=∠BCD+∠ACD=∠ACB=72°．
故选：C．
【点拨】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，根据圆周角定理得出∠BAD=∠BCD，
∠ABD=∠ACD是解题的关键．
7．B
【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠D＝140°，根据垂径定理得到∠COA
，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
解：连接OB，OC，
∵∠D＝70°，
∴∠BOC＝2∠D＝140°，
∵OA⊥BC，
∴∠COA ，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA （180°﹣70°）＝55°，
故选：B．
【点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，等腰三角形性质，三角形的内角和定理，正
确的作出辅助线是解题的关键．8．A
【分析】连接 、 、 、 、 ，过点 作 于点 ，根据圆内接四边形的性质得
，根据对称以及圆周角定理可得 ，由点 是 的中点可得
， ，根据等腰三角形以及直角三角形的性质即可求解．
解：连接 、 、 、 、 ，过点 作 于点 ，
，
，
点 关于 对称的点为 ，
，
，
点 是 的中点，
，
，
， ，
， ，
直径 ，
，
，
．
故选：A．
【点拨】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形以及直角三角形的性质，求出
是解题的关键．
9．B【分析】根据圆内接四边形的性质可得 ，连接AC，得 ，进一步得出
，从而可得结论．
解：连接AC，如图，
∵A，B，C，D在以AB为直径的半圆上，
∴
∵
∴
∵AB为半圆的直径
∴ ，
∴
∴
故选：B．
【点拨】此题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形
是解答此题的关键．
10．B
【分析】连接OA，在 上取点E，连接AE，BE，先证明 ，可得∠AOB=112°，结
合圆周角定理和圆内接四边形的性质，即可求解．
解：连接OA，在 上取点E，连接AE，BE，
∵点C为弦 中点，
∴OC ⊥AB，即∠ACO=∠BCO=90°，又∵AC=BC，OC=OC，
∴ ，
∴∠AOC= ，即：∠AOB=112°，
∴∠E= ∠AOB=56°，
∵四边形ADBE是 的内接四边形，
∴ =180°-56°=124°，
故选B．
【点拨】本题主要考查圆周角定理、垂径定理、圆的内接四边形的性质，添加辅助线，构造圆的内接
四边形，是解题的关键．
11．4
【分析】根据圆周角定理得出 ，再由勾股定理确定 ，半径为 ，利用垂径定理
确定 ，且 ，再由勾股定理求解即可．
解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点D，M分别是弦 ，弧 的中点，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：4．
【点拨】题目主要考查圆周角定理、垂径定理及勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点
是解题关键．
12． /72度
【分析】根据圆内接四边形的对角互补以及外角的性质可求出 ，再根据平角的定义求解．
解：如图，延长 到H，四边形 内接于 ，
，
，
， ， 的度数之比为 ，
， ， ， 的度数之比为 ，
，
，
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查圆内接四边形，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补，外角和是360度．
13．45°或135°
【分析】直径所对圆周角是直角，勾股定理求出BC，证得 ABC为等腰直角三角形
即可解得． △
解：如图
连接BC，
∵⊙O的直径AB
∴∠ACB=90°
根据勾股定理得∴
∴ ABC为等腰直角三角形
∴∠△ABC=45°
=135°
∴弦AC所对的圆周角的度数等于45°或者135°
【点拨】此题考查了求圆周角，解题的关键是构造直角三角形．
14． /
【分析】如图，当等弦圆O最大时，则 经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，
连接OE，DK，再证明 经过圆心， ，分别求解AC，BC，CF， 设 的半径为 再分别表
示 再利用勾股定理求解半径r即可．
解：如图，当等弦圆O最大时，则 经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连接
OE，DK，
过圆心O， ，
设 的半径为∴
整理得：
解得：
不符合题意，舍去，
∴当等弦圆最大时，这个圆的半径为
故答案为：
【点拨】本题考查的是等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，弦，弧，圆心角之
间的关系，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解本题的关键．
15．1
【分析】连接 、 ，根据圆周角定理得到 ，根据勾股定理计算即可．
解：连接 、 ，
，
，
，即 ，
解得： ，
故答案为：1．【点拨】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、勾股定理是解题的关键．
16．
【分析】连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理和圆周角定理可得 ，
，再根据等腰三角形的性质可得 ，利用含30°角的直角三角形的性质和勾
股定理即可求解．
解：连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质和勾
股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
17．120°【分析】由∠ACB=60°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的
一半，即可求得∠AOB的度数．
解：∵点A、B、C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，∠ACB=60°，
∴∠AOB=2∠ACB=2×60°=120°．
故答案为120°．
【点拨】此题考查了圆周角定理．注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所
对的圆心角的一半定理的应用是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．
18． /
【分析】设 的中点为O，以 为直径画圆，连接 ，设 与 的交点为点 ，证明
，可知点F在以 为直径的半圆上运动，当点F运动到 与 的交点 时，线段 有
最小值，据此求解即可．
解：设 的中点为O，以 为直径画圆，连接 ，设 与 的交点为点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点F在以 为直径的半圆上运动，
∴当点F运动到 与 的交点 时，线段 有最小值，
∵ ，
∴ ，，
∴ ，
的最小值为 ，故答案为： ．
【点拨】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得到点F的
运动轨迹是解题的关键．
19．（1）证明见分析；（2）8
【分析】（1）证法一：连接 ，得到 ，因为 ，所以
；证法二：连接 ，可得 ，则 ，根据
，可得 ，即可得到结果；
（2）连接 ，根据角度间的关系可以证得 为直角三角形，根据勾股定理可得边 的长，进
而求得结果．
解：（1）证法一：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
证法二：如图，连接 ，
∵四边形 是 的内接四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
（2）解：如图，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 的半径为3，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
【点拨】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，找到角度之间的关系是解题
的关键．
20．见分析
【分析】根据作图提示逐步完成作图即可．再根据图形基本性质进行证明即可．
解：如图，即点 ， ， ， 把 的圆周四等分．
理由如下：
如图，连接 ，
由作图可得： ，且 ，
∴ 为等边三角形， ，
同理可得： ，
∴ ，
∴A，O，D三点共线， 为直径，
∴ ，
设 ，而 ，
∴ ， ，
由作图可得： ，而 ，
∴ ， ，∴由作图可得 ，
而 ，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∴点 ， ， ， 把 的圆周四等分．
【点拨】本题考查的是等腰三角形的性质，圆弧与圆心角之间的关系，等边三角形的判定与性质，勾
股定理与勾股定理的逆定理的应用，圆周角定理的应用，熟练掌握图形的基本性质并灵活应用于作图是解
本题的关键．
21．（1）见分析；（2）①见分析，② ．
【分析】（1）在 中，根据同弧所对的圆周角相等可得 ，结合已知在 中
根据三角形内角和定理可求得 ；
（2）①根据圆内接四边形的性质和邻补角可得 ，由直径所对的圆周角是直角和（1）
可得 ，结合已知即可证得 ；
②在 中由 ，可得 ，结合题意易证 ，在 中由勾股定理可求得
，由①可知易得 ，最后代入计算即可求得周长．
解：（1）证明：在 中，
，
，即 ，
在 中，
，
，
即直线 直线 ；
（2）①四边形 是半径为R的 的内接四边形，
，
，，
是 的直径，
，
由（1）可知 ，
，
在 与 中，
，
，
②在 中， ，
，
是 的直径，
，
，
，
，
在 中，
，
即 ，
解得： ，
由①可知 ，
，
，
四边形 的周长为：
．
【点拨】本题考查了同弧所对的圆周角相等、三角形内角和定理、垂直的定义、圆内接四边形的性质、
邻补角互补、直径所对的圆周角是直角、全等三角形的判定和性质、勾股定理解直角三角形以及周长的计算；解题的关键是灵活运用以上知识，综合求解．
22．（1）见分析；（2）
【分析】（1）利用垂径定理的推论和圆周角的性质证明即可．
（2）证明四边形 平行四边形，后用勾股定理计算即可．
解：（1）∵对角线 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ．
（2）∵对角线 是 的直径，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴四边形 平行四边形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了垂径定理的推论，直径所对的圆周角是直角，平行四边形的判定和性质，勾股定
理，熟练掌握垂径定理的推论，平行四边形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
23．（1）① ；② ；（2）见分析；（3）见分析
【分析】（1）①根据 ，结合圆周角定理求 的度数；②构造直角三角形；
（2）只要说明点 到圆上 、 和另一点的距离相等即可；
（3）根据 ，构造一条线段等于 ，利用三角形全等来说明此线段和 相
等．
（1）解：① ， ，
，
．②连接 ，过 作 ，垂足为 ，
， ，
是等腰直角三角形，且 ，
， ，
是等腰直角三角形，
，
在直角三角形 中， ，
．
（2）证明：延长 交圆于点 ，则 ，
，
，
，
，
，
，
，
为该圆的圆心．
（3）证明：过 作 的垂线交 的延长线于点 ，连接 ，延长 交圆于点 ，连接 ， ，，
，
是等腰直角三角形，
，
， ，
，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
必有一个点 的位置始终不变，点 即为所求．
【点拨】本题考查了圆周角定理，还考查了勾股定理和三角形全等的知识，对于（3）构造一条线段
等于 是关键．
24．（1）见分析， ；（2）
【分析】（1）根据已知得出 ，则 ，即可证明 平分 ，进而根据
平分 ，得出 ，推出 ，得出 是直径，进而可得 ；
（2）根据（1）的结论结合已知条件得出， ， 是等边三角形，进而得出，由 是直径，根据含 度角的直角三角形的性质可得 ，在
中，根据含 度角的直角三角形的性质求得 的长，进而即可求解．
（1）解：∵
∴ ，
∴ ，即 平分 ．
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 是直径，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，则 ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，则 ．
∵ 平分 ，
∴ ．
∵ 是直径，
∴ ，则 ．
∵四边形 是圆内接四边形，
∴ ，则 ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 是直径，
∴此圆半径的长为 ．
【点拨】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含度角
的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关
键．
