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第11讲 正态分布
复习要点 1.了解正态分布在实际生活中的意义和作用.2.了解正态分布的定义，正态
曲线的特征，会求服从正态分布的随机变量的概率.3.记住正态总体在常用区间上的取值的
概率，并能在一些简单的实际问题中应用．
正态分布
1．定义
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝e，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随
机变量X服从正态分布，记为 X ～ N ( μ ， σ 2 ) ．
2．正态曲线的特点
(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交．
(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．
(3)曲线在x＝μ处达到峰值.
(4)曲线与x轴之间的面积为1.
(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移．
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示随机变量X的
分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示随机变量X的分布越分散．
3．正态分布的三个常用数据
(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
常/用/结/论
正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝u，D(X)＝σ2.
1．判断下列结论是否正确．
(1)正态分布是对连续型随机变量而言的．(√)
(2)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．()
(3)正态曲线关于y轴对称，因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数．()
(4)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布密度函数，参数μ是正态分布的均值
σ是正态分布的标准差．(√)
2．正态密度函数f(x)＝e(μ<0)的图象是( )解析：∵f(x)的图象的对称轴为x＝μ(μ<0)，又正态曲线位于x轴上方，∴由图象知只
有A适合．
答案：A
3．(2021·新高考全国Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中
不正确的是( )
A．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大
B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等
解析：对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量
结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知，该物理量在一次测量中大于 10的概率为
0.5，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知，该物理量在一次测量中结果大于10.01的
概率与小于9.99的概率相等，故C正确；
对于D，因为该物理量在一次测量中结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2，10.3)的概
率不同，所以在一次测量中结果落在(9.9，10.2)的概率与落在(10，10.3)的概率不同，故D
错误．
故选D．
答案：D
4．(2022·新高考全国Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(22.5)＝________.
解析：因为X～N(2，σ2)，所以P(X>2)＝0.5，所以P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2P(ξ≥92)＝P(ξ≥μ－2σ)＝＋P(μ－2σ≤ξ≤μ＋
2σ)＝＋×0.954 5＝0.977 25>0.95，
所以该校学生成绩的期望为110，标准差为9，该校学生成绩的及格率超过95%.
所以A，B，D正确，C错误．故选ABD．
(2)由已知得E(ξ)＝3，D(ξ)＝4，故E(2ξ＋1)＝2E(ξ)＋1＝7，D(2ξ＋1)＝4D(ξ)＝16.故选D．
答案：(1)ABD (2)D
题型 服从正态分布的概率计算
典例2 (1)(2024·陕西西安模拟)陕西洛川苹果享誉国内外，据统计，陕西洛川苹果(把
苹果近似看成球体)的直径X(单位：mm)服从正态分布N(70,52)，则直径在(80,85]内的概率
为( )
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
A．0.021 4 B．0.043 0
C．0.818 5 D．0.682 6
(2)(2024·福建泉州质量监测)设随机变量 X～N(72，σ2)，若 P(70k)
＝P(X0，则下列等式
成立的是( )
A．f(2x)＝2f(x)
B．f(－x)＝1－f(x)
C．P(X≤x)＝2f(x)－1
D．P(|X|≥x)＝2－f(x)
解析：(1)因为随机变量X服从正态分布N(5，4)，所以其图象关于x＝5对称，又因为
P(X>k)＝P(X0)，所以根据对称性可得f(－x)＝P(X≥－x)＝P(X≤x)＝1－f(x)，所以B正确．对于
A，由f(2x)＝P(X≥2x)，2f(x)＝2P(X≥x)，以及P(X≥2x)与2P(X≥x)不相等，可知A错误．对
于C，因为P(X≤x)＝1－P(X≥x)＝1－f(x)，所以C错误．对于D，因为P(|X|≥x)＝P(X≥x或
X≤－x)＝2f(x)，所以D错误．故选B．
答案：(1)B (2)B
题型 正态分布的综合应用的多维研讨
维度1 正态分布及其与条件概率的综合应用
典例3(1)为了解高三学生复习备考情况，某校组织了一次阶段考试．若高三全体考生
的数学成绩x近似服从正态分布N(100，17.52)．已知成绩在117.5 分以上的学生有
μ＋σ
80 人 ，则此次参加考试的学生成绩低于
所占概率为＝0.16 考生数为＝500.
82 ． 5 分的概率为________；如果成绩大于
⇒
μ－σ
135 分 的为特别优秀，那么本次数学考试成
μ＋2σ
绩特别优秀的大约有________人．(若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.68，P(μ－
2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.95)
(2)(2024·河北张家口统考)某校举办乒乓球颠球比赛，现从高一年级 1 000名学生中随
机选出40名学生统计成绩(单位：个)，其中24名女生的平均成绩 ＝70，标准差s ＝4；
女 女
16名男生的平均成绩 ＝80，标准差s ＝6.
男 男
①高一年级全员参加颠球比赛的成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，若用这40名参赛
同学的样本平均数和标准差s(四舍五入取整数)分别作为μ，σ，估计高一年级颠球成绩不超
过60个的人数(四舍五入取整数)；
②颠球比赛决赛采用5局3胜制，甲、乙两名同学争夺冠、亚军，如果甲每局比赛获
胜的概率为，在甲获胜的条件下，求其前2局获胜的概率．
附：若 X～N(μ，σ2)，则 P(|X－μ|≤σ)≈0.682 7，P(|X－μ|≤2σ)≈0.954 5，P(|X－μ|
≤3σ)≈0.997 3.
(1)解析：因为数学成绩x服从正态分布N(100，17.52)，则P(100－17.5≤x≤100＋17.5)
＝P(82.5≤x≤117.5)≈0.68，所以此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率为P(x<82.5)＝≈
＝0.16.又P(100－17.5×2≤x≤100＋17.5×2)＝P(65≤x≤135)≈0.95，所以数学成绩特别优秀的概
率为P(x>135)＝≈＝0.025.又P(x<82.5)＝P(x>117.5)≈0.16，且成绩在117.5分以上的学生有
80人，则本次考试数学成绩特别优秀的人数大约是×0.025≈13.
故答案为0.16 13.
(2)解：①依题意，＝＝74，即μ＝74，s＝＝＝42，所以x＋x＋…＋x＝24×(16＋702)，
同理得 s ＝＝＝ 6 2 ，
【小技巧】题中分别给出男、女生的成绩标准差，无法直接应用求总的方差，可以把
方差的公式s2＝转化为s2＝，即可将三者联系起来．所以y＋y＋…＋y＝16×(36＋802)，所以s2＝
＝＝48，
所以s＝≈7，即σ＝7.因为 X ～ N (74,7 2 ) ，
【易错提醒】X～N(μ，σ2)，则σ2＝72，不要误以为σ2＝7.
且P(|X－μ|≤2σ)≈0.954 5，
所以P(X≤60)≈＝0.022 75，
所以0.022 75×1 000＝22.75≈23，即估计高一年级颠球成绩不超过60个的人数为23.
②设事件A表示“甲获胜”，事件B表示“甲前2局获胜”，
所以 P ( A ) ＝ 3 ＋ C×× 3 ＋ C× 2 × 3 ＝，【突破瓶颈】甲获胜有 3 ∶0,3∶1,3∶2三类，分别求
对应的概率．
P(AB)＝3＋×3＋2×3＝，所以P(B|A)＝＝，
所以在甲获胜的条件下，其前2局获胜的概率为.
正态分布的特点可结合图象记忆，并可根据μ和σ的不同取值得到不同的图象，特别
地，当μ＝0时，图象关于y轴对称．
对点练3(1)(2024·河北唐山模拟)某种食盐的袋装质量X服从正态分布N(400,16)，随机
抽取10 000袋，则袋装质量在区间(396,408)的约有________袋．(质量单位：g)
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ0)，其中μ可近似视为样本中的100名学生预赛成绩的平均值(同一组数据用该组区间的
中点值代替)，且σ2＝342.利用该正态分布，求P(X≥90)．
(2)预赛成绩不低于80分的学生将参加复赛，现用样本估计总体，将频率视为概率，
从该市参加预赛的学生中随机抽取2人，记进入复赛的人数为Y，求Y的分布列和数学期
望．
附：≈18.5.若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
解：(1)由题意，知样本中的100名学生预赛成绩的平均值为10×0.1＋30×0.2＋50×0.3
＋70×0.25＋90×0.15＝53，
由σ2＝342得σ＝≈18.5，
所以 P ( X ≥90) ＝ P ( X ≥ μ ＋ 2 σ ) ＝ ×[1 － P ( μ － 2 σ ≤ X ≤ μ ＋ 2 σ )]≈0.022 75 .
【扫清障碍】根据正态曲线的对称性，知P(X≥90)＝P(X≥μ＋2σ)＝P(X≤μ－2σ)，所以
P(X≥90)＝×[1－P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)]．
(2)由题意，得随机抽取2人进入复赛的人数Y～B，且Y的所有可能取值为0,1,2.
P(Y＝0)＝C×2＝，
P(Y＝1)＝C××＝，
P(Y＝2)＝C×2＝.
所以Y的分布列为
Y 0 1 2
P
所以 Y 的数学期望为 E ( Y ) ＝ 0× ＋ 1× ＋ 2× ＝ . 【会检验】这里需要检验的有两点： ①检验
分布列中概率和是不是1，看分布列是否求错；②也可以根据二项分布的期望公式直接计
算期望，得E(Y)＝2×＝，看期望是否求错．
1．本题考查正态分布、概率统计问题的综合应用，是在知识网络的交汇处命制的一道
较为新颖的试题．正态分布与统计案例有些知识点是所谓的高考“冷点”，由于考生对这
些“冷点”内容的重视不够，复习不全面，一旦这些“冷点”知识出了考题，虽然简单但
也易错，甚至根本不会做，因而错误率相当高．此题告诉我们必须全面掌握每一个知识点．
2．高考复习应无缝隙衔接、全方位覆盖．
原来的冷点或许会变成将来的热点！
对点练4(2024·山东济南模拟)为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻
炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质
健康水平．某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格.
序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩x(分) 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80
i
记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，s2，经计算(x－)2＝1 690，＝33
i050.
(1)求；
(2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成
绩不合格的人数为X，求X的分布列；
(3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布N(μ，σ2)，用，s2的值分别作为μ，
σ2的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生
的体质测试成绩恰好落在区间[30,82]的人数为Y，求Y的数学期望E(Y)．
附：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－
3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3.
解：(1)＝×(38＋41＋44＋51＋54＋56＋58＋64＋74＋80)＝56.
(2)因为体质测试不合格的学生有3名，所以X的可能取值为0,1,2,3.
因为P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(3)因为＝56，s2＝(x－)2＝×1 690＝169，所以μ＝56，σ＝13.
i
因为P(30≤X≤82)＝P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，
所以学生的体质测试成绩恰好落在区间[30,82]的概率约为0.954 5，
故Y～B(100,0.954 5)，
所以E(Y)＝100×0.954 5＝95.45.
