文档内容
第 10 讲 第十章 计数原理，概率，随机变量及其分布（综合测试）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.）
1．（2022·全国·高一课时练习）嫦娥五号的成功发射，实现了中国航天史上的五个“首次”，某中学为此
举行了“讲好航天故事”演讲比赛．将报名的30位同学依次编号为01，02，…，30，利用下面的随机数
表来决定他们的出场顺序，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两
个数字，重复的跳过，则选出来的第7个个体的编号为（ ）
35 24 10 16 20 33 32 51 26 38 79 78 45 04
38 23 16 86 38 42 38 97 01 50 87 75 66 81
A．26 B．01 C．16 D．04
2．（2022·陕西西安·高二期末（文））在一次试验中，测得 的五组数据分别为 ， ， ，
， ，去掉一组数据 后，下列说法正确的是（ ）
A．样本数据由正相关变成负相关 B．样本的相关系数不变
C．样本的相关性变弱 D．样本的相关系数变大
3．（2022·北京市第五十七中学高二期末）在 的展开式中，若二项式系数的和为 ，则 的系数
为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高二课时练习）四色定理又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一．它是于1852年
由毕业于伦敦大学的格斯里提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家
着上不同的颜色”．某校数学兴趣小组在研究给四棱锥 的各个面涂颜色时，提出如下的“四色
问题”：要求相邻面（含公共棱的面）不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的涂法有（
）
A．36种 B．72种 C．48种 D．24种
5．（2022·全国·高一课时练习）已知 ，若向量 ， ，则向量 与 所成的
角为锐角的概率是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
6．（2022·江苏·金沙中学高二阶段练习）一份新高考数学试卷中有8道单选题，小胡对其中5道题有思路，
3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率是 ，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为
，则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·福建漳州·高二期末）在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布
，试卷满分 分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的 ，数学考试成
绩在 分到 分（含 分和 分）之间的人数为 人，则可以估计参加本次联考的总人数约为
（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·黑龙江·双鸭山一中高二期中）足球运动被誉为“世界第一运动”．深受青少年的喜爱．为推广
足球运动，某学校成立了足球社团，社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地球传
给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定
每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第 次触球者是甲的概率为 ，即 ．则下列
说法正确的个数是（ ）
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2022·广东广州·高二期末）已知某随机试验的两个随机事件A，B概率满足 ，事件
“事件A与事件B恰有一个发生”，则下列命题正确的有（ ）
A．若 ，则 是互斥事件
B．若A，B是互为独立事件，则A，B不可能是互斥事件
C．
D．
10．（2022·全国·高一课时练习）某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了
100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率直方图，如
图所示．若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为 ，平均数分别为 ，则下面正确的是
（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
11．（2022·湖北·鄂州市教学研究室高二期末）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（2022·重庆·高二期末）杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数 （ ， 且
）在三角形中的一种几何排列，北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，南宋时期
杭州人杨辉在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如下图所示的三角形数表，称之为“开方
作法本源”图，并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”，故此，杨
辉三角又被称为“贾宪三角”，杨辉三角形的构造法则为：三角形的两个腰都是由数字1组成的，其余的
数都等于它肩上的两个数字相加.根据以上信息及二项式定理的相关知识分析，下列说法中正确的是（
）
A．
B．当 且 时，
C． 为等差数列
D．存在 ，使得 为等差数列
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.
）
13．（2022·全国·高一课时练习）经问卷调查，某班学生对摄影分别持“喜欢”、“不喜欢”和“一般”
三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多 人．按分层抽样的方法从全班选出部分学生
参加摄影讲座，如果选出的是 位“喜欢”摄影的同学、 位“不喜欢”摄影的同学和 位持“一般”态度
学科网（北京）股份有限公司的同学，则全班学生中“喜欢”摄影的人数比全班学生人数的一半还多______人．
14．（2022·上海·复旦附中高二期末）有9张卡片，分别写有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9.从这9张卡
片中不放回地依次取2张卡片，事件A：“第一次取到的卡片标有奇数数字”，事件B：“第二次取到的
卡片标有偶数数字”，则 ___________.
15．（2022·广东·佛山市南海区狮山高级中学高二阶段练习）2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎
（COVID-19）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠
状病毒新毒株，所以目前没有特效治疗方法，防控难度很大，武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控
压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者､疑似的新冠肺炎患者､无法
明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户､
不漏一人，在排查期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对
其家庭成员随机地逐一进行“核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”，设该家庭每个成员
检测呈阳性的概率均为 且相互独立，该家庭至少检测了3个人才能确定为“感染高危户”的概
率为 ，当 时， 最大，则 ___________.
16．（2022·广东佛山·高二期末）某学校进行排球测试的规则是：每名学生最多发4次球，一旦发球成功，
则停止发球，否则直发到4次为止．设学生一次发球成功的概率为p，且 ，发球次数为X，则
的最大值为______；若 ，则p的取值范围是______．
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字
说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2022·黑龙江·大庆中学高一期末）为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，
增进全体党员干部职工对党史的了解.某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛.现把50
名党员的成绩绘制了频率分布直方图，根据图中数据回答下列问题：
(1)求a的值及这50名党员成绩的众数；
(2)试估计此样本数据的第90百分位数.
18．（2022·贵州铜仁·高二期末（文））2022年6月5日神州四专搭载陈冬、刘洋、蔡旭哲3名航天员在
酒泉卫星发射中心发射成功，表明中国航天技术进一步走向成熟，中国空间站即将完成“T”字基本结构的
学科网（北京）股份有限公司搭建，为了解民众对我国航天事业的关注度，随机抽取1000人，其中本科学历480人，高中及以下学历
520人，得到如下 列联表：
了
不了解 总计
解
本科 38 442 480
高中及以下 6 514 520
总计 44 956 1000
(1)若高中及以下学历了解的6人中，高中学历2人，高中以下学历4人，从中任意抽取2人，求2人都不
是高中以下学历的概率；
(2)若认为了解与否与学历有关，则出错的概率是多少？
附表：
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.83
参考公式： ， ．
19．（2022·福建省福安市第一中学高三阶段练习）根据统计，某蔬菜亩产量的增加量 （百千克）与某种
液体肥料每亩使用量 （千克）之间对应数据的散点图如图所示.
学科网（北京）股份有限公司(1)请从相关系数 （精确到 ）；
(2)建立 关于 的线性回归方程，并用其估计当该种液体肥料每亩使用量为 千克时，该蔬菜亩产量的增
加量约为多少百千克？
参考公式：对于一组数据 ，相关系数 ，其回归直线
中， ， ，参考数据： ， .
20．（2022·河南·邓州市第一高级中学校高二期末（理））（1）若 ，
求出 的值；
（2）已知 的展开式中偶数项的二项式系数的和比 展开式中奇数项的二项式系数的和小
120，求第一个展开式的第三项．
21．（2022·湖北·黄冈中学三模）2022世界乒乓球团体锦标赛将于2022年9月30日至10月9日在成都举
行．近年来，乒乓球运动已成为国内民众喜爱的运动之一．今有甲、乙两选手争夺乒乓球比赛冠军，比赛
采用三局两胜制，即某选手率先获得两局胜利时比赛结束．根据以往经验， 甲、乙在一局比赛获胜的概
学科网（北京）股份有限公司率分别为 、 ，且每局比赛相互独立．
(1)求甲获得乒兵球比赛冠军的概率；
(2)比赛开始前，工作人员买来两盒新球，分别为“装有2个白球与1个黄球”的白盒与“装有1个白球与
2个黄球”的黄盒．每局比赛前裁判员从盒中随机取出一颗球用于比赛，且局中不换球，该局比赛后，直
接丢弃．裁判按照如下规则取球:每局取球的盒子颜色与上一局比赛用球的颜色一致，且第一局从白盒中取
球．记甲、乙决出冠军后，两盒内白球剩余的总数为 ，求随机变量 的分布列与数学期望．
22．（2022·全国·模拟预测）2021年是中国共产党百年华诞.中国站在“两个一百年”的历史交汇点，全面
建设社会主义现代化国家新征程即将开启.2021年3月23日，中宣部介绍中国共产党成立100周年庆祝活
动八项主要内容，其中第一项是结合巩固深化“不忘初心､牢记使命”主题教育成果，在全体党员中开展
党史学习教育.这次学习教育贯穿2021年全年，总的要求是学史明理､学史增信､学史崇德､学史力行，教育
引导党员干部学党史､悟思想､办实事，开新局.为了配合这次学党史活动，某地组织全体党员干部参加党史
知识竞赛，现从参加人员中随机抽取100人，并对他们的分数进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于80分的人数为 ，试求随机变量 的分布列及期望；
（2）由频率分布直方图，可以认为该地参加党史知识竞赛人员的分数 服从正态分布 ，其中
近似为样本平均数， 近似为样本方差 ，经计算 .现从所有参加党史知识竞赛的人员中随机
抽取500人，且参加党史知识竞赛的人员的分数相互独立，试问这500名参赛者的分数不低于82.3的人数
最有可能是多少？
参考数据： ， ， ，
.
学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司
