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北师大版 2022-2023 学年九年级上册第一次月考试卷 02
一、单选题
1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角形相等的四边形是矩形
C．顺次连结平行四边形各边中点所得四边形是平行四边形 D．一组邻边相等的平行四边形是正方形
3．下面结论错误的是（ ）
A．方程 ，则 ，
B．方程 有实根，则
C．方程 可配方得
D．方程 两根 ，
4．取一张长与宽之比为5:2的长方形纸板，剪去四个边长为 的小正方形（如图），并用它做一个无盖
的长方体形状的包装盒．要使包装盒的容积为 （纸板的厚度略去不计），问这张长方形纸板的长与
宽分别为多少厘米？若设这张长方形纸板的长为 厘米，则由题意可列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ， 是 的中点， ，则菱形 的周长为
（ ）A．8 B． C．16 D．20
6．如图，点A在线段 上，四边形 和 都是正方形，面积分别为16和20，则 的面积
为( )
A．4 B． C． D．
7．两个关于 的一元二次方程 和 ，其中 ， ， 是常数，且 ，如果
是方程 的一个根，那么下列各数中，一定是方程 的根的是（ ）
A． 2020 B． C．-2020 D．
8．如图，菱形纸片ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，将菱形ABCD沿EF，GH折叠，使得点B，D两点
重合于对角线BD上一点P，若AE＝2BE，则六边形AEFCHG面积的是（ ）
A． a2 B． a2 C． a2 D． a2
9．一张矩形纸片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿对角线BD对折，使点C落在点C′的位置，BC′
交AD于点G（图1）；再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M（图2），则EM的长为（ ）
A．2 B． C． D．
10．对于一元二次方程 ，下列说法：
①若 ，则 ；
②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根；
③若 是方程 的一个很，则一定有 成立；
④若 是一元二次方程 的根，则 ．
其中正确的（ ）
A．①② B．①②④ C．①②③④ D．①②③
二、填空题
11．写一个二次项系数为2的一元二次方程，使得两根分别是-2和1_______．
12．顺次连结一个矩形各边的中点所得到的四边形是一个______．
13．某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，则该校八年级有____个班级．
14．如图，在菱形ABCD中，AB＝8，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝3．若过点E的直线l，将该菱
形的面积平分，且与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为_____．
15．已知关于x的方程 ，在 内有两个不相等的实数根，则n的取值范围是
___________________________．
16．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销
售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？设衬衫的单价降了x元，则可列方程为
__________________．
17．如图，在矩形ABCD中， AB＝3，AD＝10，点E在AD上且DE＝2．点G为AE的中点，点P为BC
边上的一个动点，F为EP的中点，则GF＋EF的最小值为______．
18．如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这
样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有_____（填序号）．
①方程 是“倍根方程”；
②若 是“倍根方程”，则 ；
③若 满足 ，则关于x的方程 是“倍根方程”；
④若方程 是“倍根方程”，则必有 ．
三、解答题
19．用配方法解下列方程：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ．
20．已知关于 的一元二次方程 有两个不等的实根．
（1）求 的取值范围；（2）当 取最大整数值时， 的三条边长均满足关于 的一元二次方程 ，求
的周长．
21．如图，在四边形 中，对角线 、 交于点 ， ， ， 平分 ，过点
作 交 的延长线于点 ，连接 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ，求 的长．
22．某宾馆拥有客房100间，经营中发现:每天入住的客房数y（间）与房价x（元）（180≤x≤300）满足一
次函数关系，部分对应值如下表：
x（元） 180 260 280 300
y（间） 100 60 50 40
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）已知每间入住的客房，宾馆每日需支出各种费用100元；每间空置的客房，宾馆每日需支出60元，
当房价为多少元时，宾馆获得7200元的利润?（宾馆当日利润=当日房费收入-当日支出）
23．我们知道：
；
，
这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题：
（1）探究：当 取不同的实数时，求代数式 的最小值．
（2）应用：如图．已知线段 ， 是 上的一个动点，设 ，以 为一边作正方形 ，
再以 、 为一组邻边作长方形 ．问：当点 在 上运动时，长方形 的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由．
24．如图，在平行四边形ABCD中， ，延长DA于点E，使得 ，连接BE．
求证：四边形AEBC是矩形；
过点E作AB的垂线分别交AB，AC于点F，G，连接CE交AB于点O，连接OG，若 ，
，求 的面积．
25．（1）如图1，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线交BC于点E．交AB的延长线于点F，求证：BE＝
BF；
（2）如图2，若G是EF的中点，连接AG、CG、AC，请判断 AGC的形状，并说明理由．
（3）如图3，作∠BED的角平分线EH交AB于点H，已知AB＝△9，BH＝2AH，求BC的长．
26．如图①，已知正方形 中， ， 分别是边 ， 上的点（点 ， 不与端点重合），且
， ， 交于点P，过点 作 交 于点 ．（1）求证： ．
（2）若 ，试求线段 的长．
（3）如图②，连接 并延长交 于点 ，若点 是 的中点，试求 的值．
