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第 02 讲 等式性质与不等式
1．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由 ，且 ，故 ；
由 且 ，故 ；
且 ，故 .
所以 ，
故选：B.
2．已知 ，且 ，则 的最小值是（ ）
A．11 B．9 C．8 D．6
【答案】A
【解析】
，因为 ，所以 ，故
，当且仅当 时，等号成立.
故选：A
3．已知实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题设， ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：B
4．已知正实数 、 满足 ，则 的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
解：因为正实数 、 满足 ，
所以 ，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故选：D
（多选）5．已知 ，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】BD
【解析】
当 时，如 ， 时 成立，A错；若 则一定有 ，所以 时，一定有 ，B正确；
，但 ，C错；
，则 ，D正确．
故选：BD．
（多选）6．已知a，b， ，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】
对A，因为 ，当且仅当 时等号成立，所以 ，故
A正确；
对B， ，所以 ，故B错误；
对C， ，当且仅当 等号成立，所以 ，故C
正确；
对D，因为 ，所以 ，所以 ，当且仅当 等
号成立，故D正确.
故选：ACD.
7．已知实数 ， ，则 的最小值为___________.
【答案】
【解析】
解：因为 ， ，所以
当" 取等号“
综上所述： 的最小值为 ；
故答案为：
8．非负实数x，y满足 ，则 的最小值为______．
【答案】0
【解析】
当 时， ；
当x， 时，由 得 ，
所以 （当且仅当 ,即 时，等号成立）．
所以 的最小值为0．
故答案为： .
9．若正数a，b满足 ，则 的最小值为___________.
【答案】
【解析】
解：因为 、 且 ，所以 ，当且仅当 ，即 、 时取等号；
故答案为：
1．若 ，且 ，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
A显然错误，例如 ， ；
时，由 得 ，B错；
，但 时， ，C错；
，又 ，所以 ，D正确．
故选：D．
2．已知 且 ，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
由题意可知，a、b、 ，且
A：若 ，满足 ，则 ，故A错误；
B：若 ，满足 ，则 ，故B错误；
C：若 ，则 ，故C错误；D： ，故D正确.
故选：D
3．设 ，则 的最大值为（ ）
A．0 B．不存在 C． D．
【答案】C
【解析】
因为 ，则 ，
当且仅当 即 时等号成立，
则 的最大值为则 .
故选：C.
4．若 、 ，且 ，则 的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
因为 、 ，所以 ，即 ，所以 ，即 ，当仅当 ，
即 时，等号成立.
故选：A.
5．若正数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为正数 满足 ，所以 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时取等号，
故选：C
6．已知 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
解： ，则 ，当且仅当 即 时取等号．
故选：D．
7．若 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．9 B．16 C．49 D．81
【答案】D
【解析】
由题意得 ，得 ，解得 ，即
，当且仅当 时，等号成立．
故选：D
（多选）8．下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ，则 D．若 ， ，则【答案】AD
【解析】
A．由不等式的性质可知同向不等式相加，不等式方向不变，故正确；
B. 当 时， ，故错误；
C.当 时， 故错误；
D. ，因为 ， ， ，所以 ，故正确；
故选：AD
（多选）9．设正实数m、n满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小值为3 B． 的最大值为1
C． 的最小值为2 D． 的最小值为2
【答案】ABD
【解析】
因为正实数m、n，
所以 ，
当且仅当 且m+n=2，即m=n=1时取等号，此时取得最小值3，A正确；
由 ，当且仅当m=n=1时，mn取得最大值1，B正确；
因为 ，当且仅当m=n=1时取等号，故 ≤2即
最大值为2，C错误；
，当且仅当 时取等号，此处取得最小值2，
故D正确.
故选：ABD
（多选）10．已知正实数 满足 ，则（ ）
A．B． 的最小值为
C． 的最小值为9
D． 的最小值为
【答案】AC
【解析】
解：因为 ，则 ，即 ，
又 为正实数，则 ，所以 ， ，故A项正确；
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，故B项错误；
因为 ，且 为正实数，即 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，故C项正确；
因为 ，所以 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，但由
可得，当 时， ，且 ，故D项错误.
故选：AC.
11．若 ，则 的最小值为___________.
【答案】0
【解析】
由 ，得 ，所以 ，
当且仅当 即 时等号成立.
故答案为：0
1．（2019·浙江·高考真题）若 ，则“ ”是 “ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
当 时， ，则当 时，有 ，解得 ，充分性成立；当
时，满足 ，但此时 ，必要性不成立，综上所述，“ ”是“ ”的充
分不必要条件.
2．（2011·全国·高考真题（文））下面四个条件中，使 成立的充分而不必要的条件是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由 ，但 无法得出 ，A满足；由 、 均无法得出 ，
不满足“充分”；由 ，不满足“不必要”.
3．（2015·天津·高考真题（理））设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A【解析】
由 ，可得 ，即 ；
由 ，可得 或 ，即 ；
∴ 是 的真子集，
故“ ”是“ ”的充分而不必要条件.
故选：A
（多选）4．（2022·全国·高考真题）若x，y满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】
因为 （ R），由 可变形为， ，解得
，当且仅当 时， ，当且仅当 时， ，所以A错误，B正确；
由 可变形为 ，解得 ，当且仅当 时取等号，所
以C正确；
因为 变形可得 ，设 ，所以
，因此
，所以当 时满足等式，但是 不成立，所以D错误．
故选：BC．（多选）5．（2020·海南·高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】
对于A， ，
当且仅当 时，等号成立，故A正确；
对于B， ，所以 ，故B正确；
对于C， ，
当且仅当 时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
6．（2020·天津·高考真题）已知 ，且 ，则 的最小值为_________．
【答案】4
【解析】
， ,
，当且仅当 =4时取等号，
结合 ,解得 ，或 时，等号成立.
故答案为：7．（2019·天津·高考真题（理））设 ，则 的最小值为______.
【答案】
【解析】
，
当且仅当 ，即 时成立，
故所求的最小值为 ．
8．（2017·山东·高考真题（文））若直线 过点 ，则 的最小值为________．
【答案】8
【解析】
解：因为直线 过点 ，所以 ，
因为
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为8
故答案为：8
9．（2020·江苏·高考真题）已知 ，则 的最小值是_______．
【答案】
【解析】
∵∴ 且
∴ ，当且仅当 ，即 时取等号.
∴ 的最小值为 .
故答案为： .
10．（2019·全国·高考真题（文））已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）
当且仅当 时取等号
，即：
（2） ，当且仅当 时取等号
又 ， ， （当且仅当 时等号同时成立）
又
