素养拓展13三角形中的“四心”问题（精讲+精练）一轮复习讲义2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）原卷版_2024年新高考资料_1.2024一轮复习

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 素养拓展 13 三角形中的“四心”问题（精讲+精 练） 一、知识点梳理 一、三角形的四心定义 外心：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等； 内心：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等； 重心：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点； 垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心； 二、三角形的重心 （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点． （2）重心的性质： ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． 重要结论：（1）设点 是△ 所在平面内的一点，则当点 是△ 的重心时，有 或 （其中 为平面内任意一点）； （2）在向量的坐标表示中，若 、 、 、 分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为 、 、 ， ，则有 . 三、三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． 注：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在 三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而 一个圆的内接三角形却有无数个． 重要结论：若点 是△ 的外心，则 或；反之，若 或 ，则点 是△ 的外心。 四、三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做 圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 重要结论：若点 是△ 的内心，则有 ；反之，若 ，则点 是△ 的内心． 五、垂心 三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心. 重要结论：若 是△ 的垂心，则 或 ，反之，若HAHBHBHCHCHA或 ，则 是△ 的垂心． 二、题型精讲精练 【典例1】若 为 的重心（重心为三条中线交点），且 ，则 ___． 【答案】 【解析】在 中，取 中点 ，连接 ，由重心的性质可得 为 的三等分点，且 ， 又 为 的中点，所以 ，所以 ，所以 .故答案为：【典例2】已知点 是 的内心、外心、重心、垂心之一，且满足 ，则点 一 定是 的（ ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【解析】设 中点为 ，所以 ， 所以 ， 即 ，所以 ， 又由 为 中点可得点 在 的垂直平分线上，所以点 是 的外心，故选：B 【典例3】已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足 ，则点P的轨迹一定经过 的（ ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】C 【解析】因为 为 方向上的单位向量， 为 方向上的单位向量， 则 的方向与 的角平分线一致，由 ，可得 ，即 ， 所以点P的轨迹为 的角平分线所在直线，故点P的轨迹一定经过 的内心.故选：C. 【典例4】设 为 的外心，若 ，则 是 的（ ） A．重心（三条中线交点） B．内心（三条角平分线交点） C．垂心（三条高线交点） D．外心（三边中垂线交点） 【答案】C 【解析】在 中， 为外心，可得 ， ∵ ，∴ ，设 的中点为 ，则 ， ， ∴ ，可得 在 边的高线上．同理可证， 在 边的高线上， 故 是三角形 两高线的交点，可得 是三角形 的垂心，故选：C 【题型训练-刷模拟】 1 . 重心 一、单选题 1．（四川省泸州市泸县第五中学2023届高三下学期二诊模拟考试文科数学试题）已知△ABC的重心为 O，则向量 （ ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高三专题练习）O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线三点，动点P满足， ，则P的轨迹一定通过 的（ ） A．外心 B．垂心 C．内心 D．重心 3．（陕西省西安地区八校2023届高三下学期第二次联考文科数学试题）在 中，设 ， ， 为 的重心，则用向量 和 为基底表示向量 （ ） A． B． C． D． 4．（2023·全国·高三专题练习）设 为 的重心，则 （ ） A．0 B． C． D． 5．（2023·全国·高三专题练习）边长为2的正 中，G为重心，P为线段BC上一动点，则 （ ） A．1 B．2 C． D． 6．（陕西省西安市长安区2023届高三一模理科数学试题）在平行四边形 中， 为 的重心， ，则 （ ） A． B．2 C． D．3 7．（福建省福州第一中学2023届高三适应性考试（三）数学试题）在三棱锥P-ABC中，点O为 ABC的 △ 重心，点D，E，F分别为侧棱PA，PB，PC的中点，若 ， ， ，则 =（ ） A． B． C． D． 8．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， 是不在同一直线上的三个点， 是平面 内一动点， 若 ， ，则点 的轨迹一定过 的（ ）A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心 9．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边 交于M，N两点，设x ＝ ，y ＝ ，则 的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．（2023·全国·高三专题练习）O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满 足： ＝ ，则直线AP一定通过△ABC的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 11．（江苏省盐城市2022-2023学年高三上学期11月模拟数学试题）在 中，过重心E任作一直线分 别交AB，AC于M，N两点，设 ， ，（ ， ），则 的最小值是（ ） A． B． C．3 D．2 12．（重庆市第八中学校2023届高三上学期高考适应性月考（二）数学试题）在 中， ，G为 的重心，若 ，则 外接圆的半径为（ ） A． B．2 C． D． 13．（2023·全国·高三专题练习）记 内角 的对边分别为 ，点 是 的重心，若 则 的取值是（ ） A． B． C． D． 14．（吉林省吉林市2023届高三第四次调研考试数学试题）点 是 的重心， ，则（ ） A．32 B．30 C．16 D．14 15．（贵州省毕节市2023届高三诊断性考试（三）数学（文）试题）已知点G为三角形ABC的重心，且 ，当 取最大值时， （ ） A． B． C． D． 二、多选题 16．（2023·全国·高三专题练习）已知 为 的重心， ， ，则 的可能取值 为（ ） A． B．1 C． D． 17．（重庆市2023届高三学业水平选择性考试模拟调研（二）数学试题）如图， 是 所在平面内 任意一点， 是 的重心，则（ ） A． B． C． D． 18．（2023·全国·高三专题练习）已知 的重心为 ，过 点的直线与边 ， 的交点分别为 ， ，若 ，且 与 的面积之比为 ，则 的可能取值为（ ） A． B． C． D．3 三、填空题 19．（山东省济宁市育才中学2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题）在 中， 为重心，， ，则 = . 20．（黑龙江省齐齐哈尔市2023届高三二模数学试题）已知等边 的重心为O，边长为3，则 . 21．（2023·全国·高三专题练习）已知 的重心为G，经过点G的直线交AB于D，交AC于E，若 ， ，则 . 22．（2023·全国·高三专题练习）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若O为 的重心， ， ，则 . 23．（江苏省南京市教学研究室2022届高三下学期高考前辅导数学试题）在 中， ， ， ， 为 的重心， 在边 上，且 ，则 ． 24．（2023·全国·高三专题练习）设 为 的重心，若 ，则 ． 25．（2023·全国·高三专题练习）若点 为 的重心，且 ，则 的最大值为 ． 2 . 外心 一、单选题 1．（2023·全国·高三专题练习）点 是平面 外一点，且 ，则点 在平面 上的射影 一定是 的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 2．（2023·全国·高三专题练习）已知O为锐角三角形 的外心， ，则 的 值为（ ）A． B． C． D． 3．（河南省名校青桐鸣2023届高三3月联考理科数学试题）已知点O为 所在平面内一点，在 中，满足 ， ，则点O为该三角形的（ ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 4．（广东省佛山市第一中学2023届高三4月一模数学试题）在 中，设 ，那么动点 的轨迹必通过 的（ ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 5．（山东省滨州市邹平市第一中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题）在 中，内角 所对的边分别为 ，且 ，点 为外心，则 （ ） A． B． C．10 D．20 6．（广西南宁市第十九中学2023届高三数学（文）信息卷（三）试题） 的外心 满足 ， ，则 的面积为（ ） A． B． C． D．2 7．（重庆市2023届高三第二次联合诊断数学试题（康德卷））已知点 是 的外心， ， ， ，若 ，则 （ ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．（2020届安徽省淮南市高三第一次模拟考试数学理科试题）在 中， ， ，点 满足 ，点 为 的外心，则 的值为（ ） A．17 B．10 C． D． 9．（2023·全国·高三专题练习）在 中， ， ， ，点 为 的外心，若，则 （ ） A． B． C． D． 10．（河北省邯郸市部分学校2023届高三下学期开学考试数学试题）已知O是 的外心,且满足 ,若 在 上的投影向量为 ,则 （ ） A． B． C． D． 11．（2023·全国·高三专题练习）在 中， ， 为 的外心， ， ， 则 （ ） A．2 B． C．4 D． 12．（2023·全国·高三专题练习）在 中， 是 的外心 ，若 ，则 （ ） A． B．3 C．6 D．6 13．（福建省厦门第一中学2023届高三下学期4月期中考试数学试题）已知平面向量 ， 满足 ， ，点D满足 ，E为 的外心，则 的值为（ ） A． B． C． D． 14．（北京市八一学校2023届高三模拟测试数学试题）已知O是 的外心，外接圆半径为2，且满足 ，若 在 上的投影向量为 ，则 （ ） A． B． C．0 D．2 15．（安徽省黄山市2022-2023学年高三上学期第一次质量检测数学试题）在 中,,O是 的外心,则 的最大值为（ ） A．1 B． C．3 D． 二、多选题 16．（2023春·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考阶段练习）设点 是 的外心， 且 ，下列命题为真命题的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 是正三角形，则 D．若 ， ， ，则四边形 的面积是 17．（2023秋·山西大同·高三统考阶段练习）设 为 的外心， ， ， 的角平分线 交 于点 ，则（ ） A． B． C． D． 18．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知 的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c， 已知 ， ， 的面积S满足 ，点O为 的外心，满足 ，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 三、填空题 19．（2023·河北·校联考一模）已知O为 的外心，若 ，且 ，则 .20．（2023·河北·模拟预测）已知 为 的外心， ， ，则 ． 21．（2023·全国·高三专题练习）在 中， 为其外心， ，若 ，则 ． 22．（2023·广东广州·广州市第二中学校考模拟预测）已知O是 的外心， ，若 且 ，则 的面积为 . 23．（2023·海南省直辖县级单位·校联考一模）已知点O是锐角 的外心， ， ， ， 若 ，则 ． 24．（2023·全国·高三专题练习）已知 是 的外心，且 ，则 ． 25．（2023·全国·高三专题练习）设 为 的外心，若 ，则 的值为 . 3 . 内心 一、单选题 1．（2023·全国·高三专题练习）在 中， ， ， ，则直线 通过 的（ ） A．垂心 B．外心 C．重心 D．内心 2．（安徽省淮南市2023届高三上学期一模数学试题）在 中， ，点D，E分别在线段 ， 上，且D为 中点， ，若 ，则直线 经过 的（ ）. A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 3．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中， ，O为△ABC的内心，若，则x＋y的最大值为（ ） A． B． C． D． 4．（2023·全国·高三专题练习）在平面上有 及内一点O满足关系式： 即称为经典的“奔驰定理”，若 的三边为a，b，c，现有 则O为 的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 5．（2023·全国·高三专题练习）平面内 及一点 满足 ，则点 是 的（ ） A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心 6．（山东省聊城市2021届高三三模数学试题）在 中， ， ， ，M为BC中点， O为 的内心，且 ，则 （ ） A． B． C． D．1 7．（2023·全国·高三专题练习）若O在△ABC所在的平面内，a，b，c是△ABC的三边，满足以下条件 ，则O是△ABC的（ ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 8．（2023·全国·高三专题练习）在 中， ，动点M满足 ，则直线AM一 定经过 的（ ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 9．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， 为三角形所在平面上的一点，且点 满足： ，则 点为三角形的A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心 10．（2023·全国·高三专题练习）已知点O是ABC的内心，若 ，则cos∠BAC = （ ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2023·全国·高三专题练习）已知 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 ，设O为 的内心，则 的面积为 ． 12．（2023·天津·三模）设 ， ， 是 的三个内角， 的外心为 ，内心为 ． 且 与 共线．若 ，则 ． 13．（2023·湖北·模拟预测）在 中， ， ， ，且 ，若 为 的内心，则 ． 14．（2023·全国·高三专题练习）已知G为 的内心，且 ，则 ． 4 . 垂心 一、单选题 1．（2023·全国·高三专题练习）已知 是平面内一点， ， ， 是平面内不共线的三点，若 ， 一定是 的（ ） A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心 2．（2023·全国·高三专题练习）数学家欧拉于 年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三 角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被 称为三角形的欧拉线，设点 分别为任意 的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（ ）A． B． C． D． 3．（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥 中 、 、 两两垂直， 是 在平面 内的射 影，则 是 的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 4．（2023·全国·高三专题练习）已知H为 的垂心， ， ，M为边BC的中点，则 （ ） A．20 B．10 C． D． 5．（2023·全国·高三专题练习）若 为 所在平面内一点，且 则 点 是 的（ ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 6．（2023·全国·高三专题练习）已知 是平面上一定点， 、 、 是平面上不共线的三个点，动点 满 足 ， ，则动点 的轨迹一定通过 的（ ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 7．（2023·全国·高三专题练习）已知H为 的垂心，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 8．（2023·全国·高三专题练习）设 是 所在平面上一点，点 是 的垂心，满足 ，且 ，则角 的大小是（ ）A． B． C． D． 9．（2023·全国·高三专题练习）已知 为 内任意一点，若满足 ，则 称 为 的一个“优美点”．则下列结论中正确的有（ ） ①若 ，则点 为 的重心； ②若 ， ， ，则 ； ③若 ，则点 为 的垂心； ④若 ， ， 且 为 边中点，则 ． A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 10．（2023·全国·高三专题练习）若 是 的垂心， ，则 （ ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（2023·全国·高三专题练习）对于给定的 ，其外心为O，重心为G，垂心为H，内心为Q，则下 列结论正确的是（ ） A． B． C． D．若A、P、Q三点共线，则存在实数 使 12．（2023·全国·高三专题练习）点 在 所在的平面内，则以下说法正确的有（ ） A．若 ，则点O为 的重心B．若 ，则点 为 的垂心 C．若 ，则点 为 的外心 D．若 ，则点 为 的内心 13．（2023春·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）在 所在的平面上存在一点 ， ，则下列说法错误的是（ ） A．若 ，则点 的轨迹不可能经过 的外心 B．若 ，则点 的轨迹不可能经过 的垂心 C．若 ，则点 的轨迹不可能经过 的重心 D．若 ， ，则点 的轨迹一定过 的外心 三、填空题 14．（2023·全国·高三专题练习）已知 为 的垂心（三角形的三条高线的交点），若 ，则 .