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微专题： 一元二次不等式恒成立问题
【考点梳理】
1. 一元二次不等式恒成立
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔
注意：若a＝0，则恒成立的充要条件为b＝0，c>0.
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔
注意：若a＝0，则恒成立的充要条件为b＝0，c<0.
2. 单、双变量恒成立、有解、无解的转化
(1)单变量
①对任意的x∈[m，n]，a>f(x)恒成立⇒a>f(x) ；
max
若存在x∈[m，n]，a>f(x)有解⇒a>f(x) ；
min
若对任意x∈[m，n]，a>f(x)无解⇒a≤f(x) .
min
②对任意的x∈[m，n]，ag(x)恒成立，只需[f(x)－g(x)] >0.
min
②存在x∈[a，b]，不等式f(x)>g(x)成立，只需[f(x)－g(x)] >0.
0 0 0 max
③对任意x∈[a，b]，x∈[c，d]，不等式f(x)>g(x)恒成立，只需f(x) >g(x) .
1 2 1 2 min max
④存在x∈[a，b]，x∈[c，d]，不等式f(x)>g(x)成立，只需f(x) >g(x) .
1 2 1 2 max min
⑤对任意x∈[a，b]，存在x∈[c，d]，不等式f(x)>g(x)成立，只需f(x) >g(x) .
1 2 1 2 min min
【题型归纳】
题型一： 一元二次不等式在实数集上恒成立问题
1．已知命题“ ， ”是假命题，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．若 ， ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．不等式 的解集为R，则实数a的取值范围是（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
题型二： 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
4．若对任意的实数 ，不等 （ ）恒成立，则实数m的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
5．若“ ，使得 成立”是假命题，则实数 可能的值是（ ）．
A．1 B． C．3 D．
6．已知当 时， 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型三：一元二次不等式在某区间上有解问题
7．若两个正实数 满足 ，且不等式 有解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．若关于x的不等式 在区间 内有解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知关于 的不等式 在 上有解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【双基达标】
10．若存在 ，使得不等式 成立，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．命题 ， ，若p是真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．设函数 的定义域为 ，满足 ，且当 时， ．若对任意
，都有 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．已知命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋3>0.若命题p为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
14．一元二次不等式 对一切实数 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．若不等式 对一切实数 都成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． 或 B． 或
C． D．
16．若不等式 对于一切 恒成立，则 的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司17．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
18．若关于 的不等式 在 内有解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
19．使“不等式 在 上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
20．若不等式 对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
21．已知函数 .以下四个命题:
① ，使得 ； ② ，使得 ；
③ ，均有 成立； ④ ，均有 成立.
其中所有正确的命题是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
22．在R上定义运算：a⊕b＝(a＋1)b.已知1≤x≤2时，存在x使不等式(m－x)⊕(m＋x)<4成立，则实数m的取值范围
为（ ）
A．{m|－2−3，
所以 .
故选：C
11．C
【解析】
【分析】
根据特称命题的真假关系，转化为能成立问题，从而转化为最值问题进行求解即可得答案．
【详解】
命题 ，使 为真命题，
即 ，使 成立，即 能成立
设 ，则 ，当且仅当 ，即 时，取等号，即 ， ，
故 的取值范围是 ．
故选：C．
【点睛】
关键点点睛：本题考查存在量词的命题的应用，根据条件利用参数分离法进行转化，结合基本不等式求最值是解
决本题的关键，属于中档题．
12．D
【解析】
根据题设条件可得当 时， ，其中 ，结合函数在 上的解析式和函数在
的图象可求 的取值范围.
【详解】
当 时， ，故 ，
因为 ，
故当 时， ， ，
同理，当 时， ，
依次类推，可得当 时， ，其中 .
第 13 页所以当 时，必有 .
如图所示，因为当 时， 的取值范围为 ，
故若对任意 ，都有 ，则 ，
令 ， 或 ，
结合函数的图象可得 ，
故选：D.
【点睛】
思路点睛：此类问题考虑函数的“类周期性”，注意根据已知区间上函数的性质推证函数在其他区间上的性质，
必要时应根据性质绘制函数的图象，借助形来寻找临界点.
13．C
【解析】
【分析】
求得命题 为真命题时 的取值范围，由此求得命题 为假命题时 的取值范围.
【详解】
先求当命题 ： ， 为真命题时的 的取值范围
（1）若 ，则不等式等价为 ，对于 不成立，
（2）若 不为0，则 ，解得 ，
∴命题 为真命题的 的取值范围为 ，
∴命题 为假命题的 的取值范围是 .
故选：C
第 14 页【点睛】
本小题主要考查根据全称量词命题真假性求参数的取值范围.
14．B
【解析】
【分析】
根据二次函数 开口向上，且判别式小于0计算即可
【详解】
由题，一元二次不等式 对一切实数 恒成立则 ，即 ，
解得
故选：B
15．C
【解析】
【分析】
分 和 两种情况讨论，结合题意可得出关于实数 的不等式组，由此可解得实数 的取值范围.
【详解】
由于不等式 对一切实数 都成立.
当 时，可得 ，解得 ，不合乎题意；
当 时，则 ，解得 .
因此，实数 的取值范围为 .
故选：C．
【点睛】
本题考查利用一元二次不等式在实数集上恒成立求参数，考查计算能力，属于中等题.
16．C
【解析】
采用分离参数将问题转化为“ 对一切 恒成立”，再利用基本不等式求解出 的最小值，
由此求解出 的取值范围.
【详解】
因为不等式 对于一切 恒成立，
所以 对一切 恒成立，
所以 ，
第 15 页又因为 在 上单调递减，所以 ，
所以 ，所以 的最小值为 ，
故选：C.
【点睛】
本题考查利用基本不等式求解最值，涉及不等式在给定区间上的恒成立问题，难度一般.不等式在给定区间上恒成
立求解参数范围的两种方法：参变分离法、分类讨论法.
17．B
【解析】
【分析】
，列出不等式，求出 ，从而判断出答案.
【详解】
，则要满足 ，解得： ，
因为 ，但
故“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
18．A
【解析】
【分析】
把不等式化为 ，求出 在区间[1，4]内的最大值，即可得出 的取值范围．
【详解】
不等式 在 内有解等价于 时， .
当 时， ，所以 .
故选：A.
19．B
【解析】
【分析】
先利用参变量分离法求出 的取值范围，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可．
【详解】
解：因为不等式 在 上恒成立，
所以 ，
即 ，而 可以推出 ， 不能推出 ，
所以“不等式 在 上恒成立”的一个必要不充分条件是 ，
故选： ．
20．D
【解析】
【分析】
第 16 页当 时，直接分析即可；当 时，根据一元二次不等式恒成立的思想进行分析.
【详解】
当 时，即 ，此时 恒成立，满足条件；
当 时，因为 对任意实数 都成立，
所以 ，解得 ，
综上可知， ，
故选：D.
21．A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根的判别式及二次函数的性质并结合两者之间的联系逐项判断即可．
【详解】
解：令 ，
所以 ，
因为 为开口向上的二次函数，
所以对任意 ，总存在 使得 ，故②正确④错误；
因为当 ， ， 时， ，
所以方程 ，无解，
所以 恒成立，故①正确；
因为当 ， 时， ，
所以方程 ，有一根或两根，
所以对任意 ， 不恒成立，故③错误．
故选： ．
22．C
【解析】
【分析】
根据定义求出(m－x)⊕(m＋x)＝m2－x2＋m＋x，将不等式分离参数后，转化为最大值使不等式成立，根据二次函数
求出最大值后，解一元二次不等式即可得解.
【详解】
依题意得(m－x)⊕(m＋x)＝(m－x＋1)(m＋x)＝m2－x2＋m＋x，
因为1≤x≤2时，存在x使不等式(m－x)⊕(m＋x)<4成立，
所以存在1≤x≤2，使不等式m2＋m
