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微专题： 一元二次不等式恒成立问题
【考点梳理】
1. 一元二次不等式恒成立
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔
注意：若a＝0，则恒成立的充要条件为b＝0，c>0.
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔
注意：若a＝0，则恒成立的充要条件为b＝0，c<0.
2. 单、双变量恒成立、有解、无解的转化
(1)单变量
①对任意的x∈[m，n]，a>f(x)恒成立⇒a>f(x) ；
max
若存在x∈[m，n]，a>f(x)有解⇒a>f(x) ；
min
若对任意x∈[m，n]，a>f(x)无解⇒a≤f(x) .
min
②对任意的x∈[m，n]，a<f(x)恒成立 ⇒a<f(x) ；
min
若存在x∈[m，n]，a<f(x)有解⇒a<f(x) ；
max
若对任意x∈[m，n]，a<f(x)无解⇒a≥f(x) .
max
(2)双变量
①对任意的x∈[a，b]，不等式f(x)>g(x)恒成立，只需[f(x)－g(x)] >0.
min
②存在x∈[a，b]，不等式f(x)>g(x)成立，只需[f(x)－g(x)] >0.
0 0 0 max
③对任意x∈[a，b]，x∈[c，d]，不等式f(x)>g(x)恒成立，只需f(x) >g(x) .
1 2 1 2 min max
④存在x∈[a，b]，x∈[c，d]，不等式f(x)>g(x)成立，只需f(x) >g(x) .
1 2 1 2 max min
⑤对任意x∈[a，b]，存在x∈[c，d]，不等式f(x)>g(x)成立，只需f(x) >g(x) .
1 2 1 2 min min
【题型归纳】
题型一： 一元二次不等式在实数集上恒成立问题
1．已知命题“ ， ”是假命题，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．若 ， ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．不等式 的解集为R，则实数a的取值范围是（ ）
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
题型二： 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
4．若对任意的实数 ，不等 （ ）恒成立，则实数m的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
5．若“ ，使得 成立”是假命题，则实数 可能的值是（ ）．
A．1 B． C．3 D．
6．已知当 时， 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型三：一元二次不等式在某区间上有解问题
7．若两个正实数 满足 ，且不等式 有解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．若关于x的不等式 在区间 内有解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知关于 的不等式 在 上有解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【双基达标】
10．若存在 ，使得不等式 成立，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．命题 ， ，若p是真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．设函数 的定义域为 ，满足 ，且当 时， ．若对任意
，都有 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．已知命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋3>0.若命题p为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
14．一元二次不等式 对一切实数 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．若不等式 对一切实数 都成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． 或 B． 或
C． D．
16．若不等式 对于一切 恒成立，则 的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司17．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
18．若关于 的不等式 在 内有解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
19．使“不等式 在 上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
20．若不等式 对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
21．已知函数 .以下四个命题:
① ，使得 ； ② ，使得 ；
③ ，均有 成立； ④ ，均有 成立.
其中所有正确的命题是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
22．在R上定义运算：a⊕b＝(a＋1)b.已知1≤x≤2时，存在x使不等式(m－x)⊕(m＋x)<4成立，则实数m的取值范围
为（ ）
A．{m|－2<m<2} B．{m|－1<m<2}
C．{m|－3<m<2} D．{m|1<m<2}
23．“ ”是“ ， ”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
24．若对于任意的 ， 恒成立，则实数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
25．两不共线的向量 ， ，满足 ，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【高分突破】
一、单选题
26．已知随机变量 的分布列如表所示：
0 1
其中 .若 对所有 都成立，则 的取值范围为（ ）A． B．
C． D．
27．已知x＞0、y＞0，且 1，若 恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．( 1,9) B．( 9,1)
C．[ 9,1] D．( ∞, 1)∪(9,+∞)
28．若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
29．关于x的不等式 的解集是 ，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
30．若不等式 对一切实数 都成立，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
31．已知关于x的不等式 在 上有解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
32．已知关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
二、多选题
33．下列四个不等式中解集为R的是（ ）
A．－x2＋x＋1≥0 B．x2－2 x＋ ＞0
C．－2x2＋3x－4＜0 D．x2＋6x＋10＞0
34．已知 ：关于 的不等式 的解集为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的必要不充分条件是 B． 的充分不必要条件是
C． 是 的充要条件 D． 是 的既不充分也不必要条件
35．已知关于x的不等式 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若不等式的解集为 或 ，则
B．若不等式的解集为 ，则
C．若不等式的解集为R，则
D．若不等式的解集为∅，则
36．“关于 的不等式 对 恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
37．当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围为______．
38．已知当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围为___________.
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司39．若不等式 对一切实数 恒成立，则实数 的取值范围是________.
40．已知命题 ， ，命题 ，则 是 的___________条件.
41．已知不等式 的解集为 ，则 的取值范围是________．
42．若存在实数 ，使得关于 的不等式 成立，则实数 的取值范围是______.
四、解答题
43．已知函数 ，函数 ，其中
（1）若 恒成立，求实数t的取值范围；
（2）若 ，
①求使得 成立的x的取值范围；
②求 在区间 上的最大值 ．
44．设函数 ．
（1）若对于一切实数 ， 恒成立，求 的取值范围；
（2）解不等式 ．
45．已知 恒成立．
(1)求 的取值范围；
(2)解关于 的不等式 .
46．已知关于 的不等式 .
（1）若不等式的解集是 或 ，求 的值；
（2）若不等式的解集是 ，求 的取值范围；
（3）若不等式的解集为 ，求 的取值范围．
47．已知二次函数 ．
（1）若 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围；
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）若 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．A
【解析】
【分析】
先求出命题为真时实数 的取值范围，即可求出命题为假时实数 的取值范围.
【详解】
若“ ， ”是真命题，
即判别式 ，解得： ，
所以命题“ ， ”是假命题，
则实数 的取值范围为： .
故选：A.
2．B
【解析】
【分析】
分两种情况讨论： 和 ，解出实数 的取值范围，即得.
【详解】
对 ， ，
当 时，则有 恒成立；
当 时，则 ，解得 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
故选：B.
3．B
【解析】
【分析】
分 、 两种情况讨论，根据已知条件可得出关于实数 的不等式组，综合可得出实数 的取值范围.
【详解】
关于 的不等式 的解集为 .
当 时，即当 时，则有 恒成立，符合题意；
②当 时，则有 ，解得 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
故选：B.
4．C
第 9 页【解析】
【分析】
根据对数函数的单调性得到 ，参变分离后换元，得到 ，利用 在
上的单调性求出最大值，从而得到实数m的取值范围.
【详解】
当 时，要使得不等式 有意义，
需要 在 恒成立，可得 ，
此时不等式 恒成立等价于 恒成立，
即 .令 ，则 ，且 ，
所以 .
因为 在 上单调递减，
所以，当 时， 取得最大值为1，
所以实数m的取值范围是 .
故选：C.
5．A
【解析】
【分析】
将命题转化为 ，都有 成立，即 恒成立是真命题，转化为求其最小值，利用基本
不等式求得结果，从而求得实数 的取值范围，比较得到结果.
【详解】
因为“ ，使得 成立”是假命题，
所以 ，都有 成立是真命题，
即 ， 恒成立，
，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，比较可知，只有1满足条件，
故选：A.
6．D
【解析】
【分析】
将 化为 ，将 看成主元，令 ，分 ，
第 10 页和 三种情况讨论，从而可得出答案.
【详解】
解： 恒成立，
即 ，对任意得 恒成立，
令 ， ，
当 时， ，不符题意，故 ，
当 时，函数 在 上递增，
则 ，
解得 或 （舍去），
当 时，函数 在 上递减，
则 ，
解得 或 （舍去），
综上所述，实数 的取值范围是 .
故选：D.
7．C
【解析】
【分析】
根据题意，结合基本不等式求得 的最小值为 ，把不等式 有解，转化为 ，即可求得
实数 的取值范围.
【详解】
由题意，正实数 满足 ，
则 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，即 的最小值为 ，
又由不等式 有解，可得 ，即 ，
解得 或 ，即实数 的取值范围为 .
故选：C.
8．D
【解析】
【分析】
设 ，由题意可得 ，从而可求出实数a的取值范围
【详解】
第 11 页设 ，开口向上，对称轴为直线 ，
所以要使不等式 在区间(2，5)内有解，只要 即可，
即 ，得 ，
所以实数a的取值范围为 ，
故选：D
9．A
【解析】
【分析】
分离参数，将问题转换为 在 上有解，设函数 ， ，求出函数 的最大
值，即可求得答案.
【详解】
由题意得， ， ，即 ，
故问题转化为 在 上有解，
设 ，则 ， ，
对于 ，当且仅当 时取等号，
则 ，
故 ，
故选：A
10．C
【解析】
【分析】
根据题意和一元二次不等式能成立可得对于 ， 成立，
令 ，利用导数讨论函数的单调性，即可求出.
【详解】
存在 ，不等式 成立，
则 ， 能成立，
即对于 ， 成立，
第 12 页令 ， ，
则 ，令 ，
所以当 ， 单调递增，
当 ， 单调递减，
又 ，所以f(x)>−3，
所以 .
故选：C
11．C
【解析】
【分析】
根据特称命题的真假关系，转化为能成立问题，从而转化为最值问题进行求解即可得答案．
【详解】
命题 ，使 为真命题，
即 ，使 成立，即 能成立
设 ，则 ，当且仅当 ，即 时，取等号，即 ， ，
故 的取值范围是 ．
故选：C．
【点睛】
关键点点睛：本题考查存在量词的命题的应用，根据条件利用参数分离法进行转化，结合基本不等式求最值是解
决本题的关键，属于中档题．
12．D
【解析】
根据题设条件可得当 时， ，其中 ，结合函数在 上的解析式和函数在
的图象可求 的取值范围.
【详解】
当 时， ，故 ，
因为 ，
故当 时， ， ，
同理，当 时， ，
依次类推，可得当 时， ，其中 .
第 13 页所以当 时，必有 .
如图所示，因为当 时， 的取值范围为 ，
故若对任意 ，都有 ，则 ，
令 ， 或 ，
结合函数的图象可得 ，
故选：D.
【点睛】
思路点睛：此类问题考虑函数的“类周期性”，注意根据已知区间上函数的性质推证函数在其他区间上的性质，
必要时应根据性质绘制函数的图象，借助形来寻找临界点.
13．C
【解析】
【分析】
求得命题 为真命题时 的取值范围，由此求得命题 为假命题时 的取值范围.
【详解】
先求当命题 ： ， 为真命题时的 的取值范围
（1）若 ，则不等式等价为 ，对于 不成立，
（2）若 不为0，则 ，解得 ，
∴命题 为真命题的 的取值范围为 ，
∴命题 为假命题的 的取值范围是 .
故选：C
第 14 页【点睛】
本小题主要考查根据全称量词命题真假性求参数的取值范围.
14．B
【解析】
【分析】
根据二次函数 开口向上，且判别式小于0计算即可
【详解】
由题，一元二次不等式 对一切实数 恒成立则 ，即 ，
解得
故选：B
15．C
【解析】
【分析】
分 和 两种情况讨论，结合题意可得出关于实数 的不等式组，由此可解得实数 的取值范围.
【详解】
由于不等式 对一切实数 都成立.
当 时，可得 ，解得 ，不合乎题意；
当 时，则 ，解得 .
因此，实数 的取值范围为 .
故选：C．
【点睛】
本题考查利用一元二次不等式在实数集上恒成立求参数，考查计算能力，属于中等题.
16．C
【解析】
采用分离参数将问题转化为“ 对一切 恒成立”，再利用基本不等式求解出 的最小值，
由此求解出 的取值范围.
【详解】
因为不等式 对于一切 恒成立，
所以 对一切 恒成立，
所以 ，
第 15 页又因为 在 上单调递减，所以 ，
所以 ，所以 的最小值为 ，
故选：C.
【点睛】
本题考查利用基本不等式求解最值，涉及不等式在给定区间上的恒成立问题，难度一般.不等式在给定区间上恒成
立求解参数范围的两种方法：参变分离法、分类讨论法.
17．B
【解析】
【分析】
，列出不等式，求出 ，从而判断出答案.
【详解】
，则要满足 ，解得： ，
因为 ，但
故“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
18．A
【解析】
【分析】
把不等式化为 ，求出 在区间[1，4]内的最大值，即可得出 的取值范围．
【详解】
不等式 在 内有解等价于 时， .
当 时， ，所以 .
故选：A.
19．B
【解析】
【分析】
先利用参变量分离法求出 的取值范围，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可．
【详解】
解：因为不等式 在 上恒成立，
所以 ，
即 ，而 可以推出 ， 不能推出 ，
所以“不等式 在 上恒成立”的一个必要不充分条件是 ，
故选： ．
20．D
【解析】
【分析】
第 16 页当 时，直接分析即可；当 时，根据一元二次不等式恒成立的思想进行分析.
【详解】
当 时，即 ，此时 恒成立，满足条件；
当 时，因为 对任意实数 都成立，
所以 ，解得 ，
综上可知， ，
故选：D.
21．A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根的判别式及二次函数的性质并结合两者之间的联系逐项判断即可．
【详解】
解：令 ，
所以 ，
因为 为开口向上的二次函数，
所以对任意 ，总存在 使得 ，故②正确④错误；
因为当 ， ， 时， ，
所以方程 ，无解，
所以 恒成立，故①正确；
因为当 ， 时， ，
所以方程 ，有一根或两根，
所以对任意 ， 不恒成立，故③错误．
故选： ．
22．C
【解析】
【分析】
根据定义求出(m－x)⊕(m＋x)＝m2－x2＋m＋x，将不等式分离参数后，转化为最大值使不等式成立，根据二次函数
求出最大值后，解一元二次不等式即可得解.
【详解】
依题意得(m－x)⊕(m＋x)＝(m－x＋1)(m＋x)＝m2－x2＋m＋x，
因为1≤x≤2时，存在x使不等式(m－x)⊕(m＋x)<4成立，
所以存在1≤x≤2，使不等式m2＋m<x2－x＋4成立，
即当1≤x≤2时，m2＋m<(x2－x＋4) .
max
因为1≤x≤2，所以当x＝2时，x2－x＋4取最大值6，
所以m2＋m<6，解得－3<m<2.
第 17 页故选：C．
【点睛】
本题考查了对新定义的理解能力，考查了不等式能成立问题，考查了二次函数求最值，考查了一元二次不等式的
解法，属于中档题.
23．A
【解析】
【分析】
首先根据二次不等式恒成立得到 ，从而得到 ，即可得到答案.
【详解】
， ，则 ，解得 .
因为 ，
所以“ ”是“ ， ”成立的充分不必要条件.
故选：A
24．B
【解析】
【分析】
对于任意的 ， 恒成立，等价于当 时， 恒成立，即 ，然后利用基
本不等式求出 的最大值即可得答案
【详解】
解：对于任意的 ， 恒成立，等价于当 时， 恒成立，即 ，
因为 ，即 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 .
故选：B
25．C
【解析】
【分析】
由 两边平方后整理得一元二次不等式，根据一元二次函数的性质可判断 ，整理后可知 只能为
0，即可解得答案.
【详解】
解：由题意得：
第 18 页，
，
即
，
，即
故选：C
26．D
【解析】
【分析】
先求得 的表达式，结合二次函数的性质，由 的最大值列不等式，从而求得 的取值范围.
【详解】
由 的分布列，可得 .又 ，所以
.
因为 ，所以当且仅当 时， 取得最大值，为 .
又 对所有 成立，所以 ，解得 ，
又 ，所以 .
故选:D
27．B
【解析】
【分析】
应用基本不等式“1”的代换求 的最小值，注意等号成立条件，再根据题设不等式恒成立有 ，解一
元二次不等式求解集即可.
【详解】
由题设， ，当且仅当 时等号成立，
∴要使 恒成立，只需 ，故 ，
∴ .
故选：B.
第 19 页28．B
【解析】
【分析】
讨论 和 两种情况，即可求解.
【详解】
当 时，不等式成立；当 时，不等式 恒成立，
等价于 ．
综上，实数 的取值范围为 ．
故选：B．
29．A
【解析】
【分析】
不等式 的解集是 ，即对于 ， 恒成立，即 ，分 和
两种情况讨论，结合基本不等式即可得出答案.
【详解】
解：不等式 的解集是 ，
即对于 ， 恒成立，
即 ，
当 时， ，
当 时， ，
因为 ，
所以 ，
综上所述 .
故选：A.
30．B
【解析】
根据一元二次不等式恒成立讨论 ， 即可.
【详解】
第 20 页解：当 时， 对一切实数 都成立，故 符合题意；
当 时，要使不等式 对一切实数 都成立，
则 ，
综上：
故选：B.
【点睛】
方法点睛：已知不等式恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数
形结合的方法求解.
31．A
【解析】
【分析】
用分离参数法变形为 ，然后利用基本不等式求得函数的最值，得参数范围．
【详解】
时，不等式可化为 ；令 ，则 ，当且仅当 时，等号
成立，
综上所述，实数a的取值范围是 ．
故选：A．
【点睛】
方法点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题方法是分离参数法，由分离参数把问题转化为求函数的最值（或值
域），然后得出参数范围．
32．D
【解析】
【分析】
根据恒成立思想将不等式 转化为求函数 的最小值大于或等于0，再运用二次函
数配方，可得解.
【详解】
记 ，则原问题等价于二次函数 的最小值大于或等于0．
第 21 页而 ，当 时， ，
所以 ，即 ．
故选D．
【点睛】
本题考查不等式的恒成立思想和二次函数的配方法求最值，属于基础题.
33．CD
【解析】
根据一元二次不等式的解法，逐个分析判断即可得解.
【详解】
对于C项，不等式可化为x2－ x＋2＞0，
所以 ，
所以－2x2＋3x－4＜0的解集为R；
对于D项，不等式可化为(x＋3)2＞－1，
所以x2＋6x＋10＞0的解集为R，
对于A ，B均不可得解集为R，
故选：CD.
34．AB
【解析】
【分析】
先由已知求得命题p成立的m的范围，再根据充分必要条件的定义判断可得选项.
【详解】
当 时，显然不等式 成立，满足题意；
当 时，要使命题 成立，则 ，解得 .
综上可知， 的充要条件是 ，故C错误；
又当 时，也满足条件 ，反之不成立，所以A正确；
当 时，满足不等式 ，反之不成立，所以B正确；
由 得 ，所以它是 的必要不充分条件，D错误.
故选：AB.
35．ACD
【解析】
【分析】
由题意结合一元二次不等式及一元二次方程、二次函数的关系，逐项判断即可得解.
第 22 页【详解】
对于A，∵不等式的解集为 或 ，
∴k<0，且 与 是方程 的两根，
∴ ，解得 ，
此时 ，符合题意，故A正确；
对于B，∵不等式的解集为 ，
∴ ，解得 ，故B错误；
对于C，由题意得 ，解得 ，故C正确；
对于D，由题意得 ，解得 ，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】
本题考查了一元二次不等式及一元二次方程、二次函数的关系的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
36．BD
【解析】
【分析】
根据关于 的不等式 对 恒成立求出 的范围，在根据充分条件和必要条件的定义即可得到答
案.
【详解】
由题意，关于 的不等式 对 恒成立，
则 ，解得 ，
对于选项A中，“ ”是“关于 的不等式 对 恒成立”的充要条件；
对于选项B 中，“ ”是“关于 的不等式 对 恒成立”的必要不充分条件；
对于选项C中，“ ”是“关于 的不等式 对 恒成立”的充分不必要条件；
对于选项D中，“ ”是“关于 的不等式 对 恒成立”必要不充分条件.
故选：BD.
37．
【解析】
【分析】
等价于 ，对 分两种情况讨论，结合基本不等式求解.
【详解】
由题得 ，
第 23 页当 时， 恒成立， ；
当 时， ，
因为 ，所以 （当且仅当 时等号成立）
所以 ，
所以 .
综上， 的取值范围为 .
故答案为：
38．
【解析】
【分析】
将问题转化成关于 的函数 ，则 对任意 恒成立，只要区间端点的函数
值均小于0即可；
【详解】
由题意，因为当 时，不等式 恒成立，
可转化为关于 的函数 ，
则 对任意 恒成立，则满足
解得 ，即 的取值范围为 .
故答案为： .
39．
【解析】
【分析】
题目考察根据指数型函数的单调性解不等式的问题，将不等式左右两边变为底数相同的指数，根据单调性比较指
数部分大小即可
【详解】
原不等式可变形为 ，因为指数函数 为增函数，
则有 ，
即 对一切实数 恒成立.
①当 时， ，满足题意；
②当 时，若二次函数大于0恒成立，则需 且 ，
即 且 ，解得 .
第 24 页综上，实数 的取值范围是 .
故答案为：
40．充分不必要
【解析】
【分析】
命题 转化为 ，即二次不等式的恒成立问题，所以 即可，然后根据充分条件必要条件的概念判断即可.
【详解】
， ，即 ， ，
所以 ，即 是 的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要.
41．
【解析】
【分析】
依题意可得 的解集为 ，即可得到 ，解得即可；
【详解】
解：所给条件等价于 的解集为 ，即 的解集为 ，由此可得： 解得：
故答案为：
42．
【解析】
分类讨论， 时， 使得不等式成立， 时结合二次函数的性质可得．
【详解】
时，若 ，则不等式为 ，不等式成立，满足题意，
时，在在 使得不等式 成立，则 ，∴ ．
综上， ．
故答案为： ．
【点睛】
关键点点睛：本题考查不等式有解问题，可结合二次函数性质求解，本题也可按二次项系数的正负分类：分 ，
， 三类分别求解．
43．（1） ；（2） ；（3） .
【解析】
【分析】
第 25 页（1）将问题转化为“ 恒成立”，然后根据 与 的大小关系求解出 的取值范围；
（2）①分别考虑 时不等式的解集，由此确定出 成立的 的取值范围；
②先将 写成分段函数的形式，然后分段考虑 的最大值，其中 时注意借助二次函数的单调性进行
分析.
【详解】
（1）因为 恒成立，所以 恒成立，
所以 恒成立，所以 ，解得 ，
所以 ；
（2）①当 时， ，所以 ，解得 ；
当 时， ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 无解，
综上所述： 的取值范围是 ；
②由①可知： ，
当 时， ，所以 ，所以 ；
当 时， 的对称轴为 ，所以 ，
且 ，所以 ，
令 ，所以 ，所以 ，
综上可知： .
【点睛】
关键点点睛：解答本题第二问的关键在于对取最小值函数（ ）的理解以及分类讨论思想的运用，通过分类讨
论的思想确定出 的解析式，再分析 对应的每段函数的最大值，从而确定出 的最大值.
44．（1） ；（2）答案见解析．
【解析】
【分析】
（1）分别在 和 两种情况下，结合二次函数图象的分析可确定不等式组求得结果；
（2）将不等式整理为 ，分别在 ， 和 三种情况下求得结果.
【详解】
（1）由 知： ，
第 26 页当 时， ，满足题意；
当 时，则 ，解得： ；
综上所述： 的取值范围为 ．
（2）由 得 ，
即 ，即 ；
当 时，解得： ；当 时，解得 ；当 时，解集为 ．
综上所述：当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 ．
45．(1) ；
(2)答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）分 、 两种情况讨论，在 时，直接验证即可，在 时，由已知条件可得出关于实数 的不等
式组，综合可得出实数 的取值范围；
（2）将所求不等式变形为 ，对 与 的大小进行分类讨论，结合二次不等式的解法可得出
原不等式的解集.
(1)
解：因为 恒成立．
①当 时， 恒成立，合乎题意；
②当 时，则 ，解得 .
综上所述， .
(2)
解：由 得 .
①当 时，即当 时，原不等式的解集为 ；
②当 时，即当 时，原不等式的解集为 ；
③当 时，即当 时，原不等式的解集为 .
综上所述，当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 .
第 27 页46．（1） ；（2） ；（3） .
【解析】
【分析】
（1）由题意可知不等式 的两根分别为 、 ，利用韦达定理可求得实数 的值；
（2）由题意得出 ，由此可解得实数 的取值范围；
（3）由题意得出 ，由此可解得实数 的取值范围.
【详解】
（1）因为不等式 的解集是 或 ，
所以， 和 是方程 的两个实数根，且 ，
由韦达定理得 ，所以 ；
（2）由于不等式 的解集是 ，
所以 ，解得 ，
因此，实数 的取值范围是 ；
（3）由于不等式 的解集为 ，
则不等式 对任意的 恒成立，
所以 ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
【点睛】
本题考查利用一元二次不等式的解求参数，同时也考查了一元二次不等式恒成立，考查计算能力，属于中等题.
47．（1） ；（2） .
【解析】
（1）解不等式 即得解；
（2）化为 在 恒成立，令 ，求出函数 的最小值即可.
【详解】
（1）若 在 单调递增，则 ，所以 ；
（2）因为 在 上恒成立，
第 28 页所以 在 恒成立，
即 在 恒成立
令 ，则 ，当且仅当 时等号成立
所以 .
【点睛】
方法点睛：处理参数的问题常用的方法有：（1）分离参数法（先分离参数转化为函数的最值）；（2）分类讨论
法（对参数分类讨论求解）.
第 29 页第 30 页
