文档内容
微专题：函数不等式恒成立、能成立问题
【考点梳理】
函数最值的重要结论
(1)设f(x)在某个集合D上有最小值，m为常数，则f(x)≥m在D上恒成立的充要条件是f(x) ≥m.
min
(2)设f(x)在某个集合D上有最大值，m为常数，则f(x)≤m在D上恒成立的充要条件是f(x) ≤m.
max
【题型归纳】
题型一：函数不等式恒成立问题
1．不等式 恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若对任意的实数 ，不等 （ ）恒成立，则实数m的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 ，若对任意的 ，且 恒成立，则实数a的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
题型二：函数不等式能成立（有解）问题
4．已知函数 ，若 有且只有两个整数解，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．若存在 ，使不等式 成立，则实数 的取值范围为（ ）
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
6．若关于x的方程 有解，则实数 的取值范围为( )
A． B． C． D．
【双基达标】
7．已知函数 ，若 ∈R，使得 成立，则实数m的取值范围为( )
∃
A． B． C． D．
8．已知向量 ， ， ，若 ，使不等式 恒成立，则
实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
9．定义在 上函数满足 ，且当 时， .则使得 在 上恒成立
的 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数 ，若 恒成立．则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数 ，若对任意 ， ， 恒成立，则m的最大值为
（ ）
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．－1 B．0 C．1 D．e
12．对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
13．定义在R上的函数 满足 ，当 时， 若对任意的 ，不
等式 恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
14．已知函数 ，若 ， ，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．已知 ，且 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． 或 B． 或
C． D．
16．设函数 的定义域为R，满足 ，且当 时， .若对任意 ，都有
，则m的最大值是（ ）
A． B． C． D．
17．若函数 在 上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司18．函数 满足 ，当 有 ，且对任意的 ，不等式
恒成立．则实 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
19．已知命题：函数 ，且 在区间 上恒成立，则该命题
成立的充要条件为（ ）
A． B．
C． D．
20．已知函数 ，若对于任意的实数x，不等式 恒成立，则实数a的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
21．当 时，若关于 的不等式 有解，则实数 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
22．定义在 上的函数 满足 ，且当 时， ，若对任意的
，不等式 恒成立，则实数 的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
23．设 且 ，若 对 恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
24．已知函数 .若对于任意的 ，都有 ，则实数 的取值范围是
（ ）
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
25．已知函数 ，若 时 ，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【高分突破】
一、单选题
26．若不等式 （ 且 ）对任意 都成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
27．设函数 ， ，若对任意的 ，都存在实数 ，使得 成
立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
28．已知 ， ，若对 ， ，使得 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
29．若至少存在一个 ,使得关于x的不等式 成立,则实数m的取值范围是
A． B． C． D．
30．已知函数 ， ，若对任意 ，存在 ，使得 ，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
31．若函数 在区间 内存在单调递增区间，则实数 的取值范围是（ ）
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
二、多选题
32．设 ，若对任意的 ，都有 恒成立，则 的值可以为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．5
33．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 是周期函数 B． 满足
C． D． 在 上有解，则k的最大值是
34．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．关于 的方程 有 个不同的解
C． 在 上单调递减
D．当 时， 恒成立.
35．函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则下列结论正确的是（ ）
A． 在 上单调递减
B．关于 的不等式 的解集为
C．关于 的方程 有三个实数解
D． ，
三、填空题
36．若函数 在 上是减函数，则实数 的取值范围为___________.
37．存在实数 使不等式 在 成立，则 的范围为__________．
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司38．已知函数 ，若对任意 ，存在 使得 恒成立，
则实数a的取值范围为____________．
39．意大利著名画家、数学家、物理学家达·芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过这样一个问题：固定项链的
两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，连接重庆和湖
南的世界第一悬索桥——矮寨大桥就采用了这种方式设计．经过计算，悬链线的函数方程为 ，并
称其为双曲余弦函数．若 对 恒成立，则实数 的取值范围为______．
40．若 ， ，则实数 的取值范围为___________.
41．设 是定义在 上的奇函数，且 时， ，若对于任意的 ，不等式
恒成立，则实数 的取值范围是_____________.
四、解答题
42．已知函数 ， 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且 ．
（1）求函数 ， 的解析式；
（2）若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的最大值；
43．已知函数 .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，对于任意 恒成立，求实数 的取值范围.
44．已知函数 =logax， =loga(2x+m 2)，其中x∈[1,3]，a>0且a≠1，m∈R.
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）若m=6且函数F = + 的最大值为2，求实数a的值.
（2）当a>1时，不等式 <2 在x∈[1,3]时有解，求实数m的取值范围.
45．设常数 ，函数 ．
（1）若a=1，求f(x)的单调区间；
（2）若f(x)是奇函数，且关于x的不等式mx2+m>f[f(x)]对所有的x∈[-2，2]恒成立，求实数m的取值范围．
46．已知函数 是定义域上的奇函数，且 ．
（1）求函数 的解析式，判断函数 在 上的单调性并证明；
（2）令 ，若函数 在 上有两个零点，求实数 的取值范围；
（3）令 ，若对 ， 都有 ，求实数 的取值范围．
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．D
【解析】
【分析】
由题可得 在区间 上恒成立，然后求函数 的最大值即得.
【详解】
由题可得 在区间 上恒成立，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 的单调增区间为 ，单调减区间为 ；
所以 ，
所以 .
故选：D.
2．C
【解析】
【分析】
根据对数函数的单调性得到 ，参变分离后换元，得到 ，利用 在
上的单调性求出最大值，从而得到实数m的取值范围.
【详解】
当 时，要使得不等式 有意义，
需要 在 恒成立，可得 ，
此时不等式 恒成立等价于 恒成立，
即 .令 ，则 ，且 ，
所以 .
因为 在 上单调递减，
所以，当 时， 取得最大值为1，
所以实数m的取值范围是 .
故选：C.
3．D
第 9 页【解析】
【分析】
不妨设 ，令 ，由题分析可得函数 在 上单调递减，讨论 和
时，要使 在 上单调递减时需要满足的条件，即可求出答案.
【详解】
不妨设 ，则 ，根据题意，可得 恒成立，即 恒成
立.令 ，
则 恒成立，所以函数 在 上单调递减.
当 时， 在 上单调递减，符合题意；
当 时，要使 在 上单调递减，
则 解得 .
综上所述，实数a的取值范围是 .
故选：D.
4．C
【解析】
【分析】
将问题化为 有且只有两个整数解，利用导数研究 的性质，并画出 与 的图象，
判断它们交点横坐标的范围，列不等式组求k的范围.
【详解】
由题设， 定义域为 ，则 可得 ，
令 ，则 ，
所以 时 ，即 递增，值域为 ；
时 ，即 递减，值域为 ；
而 恒过 ，函数图象如下：
要使 有且只有两个整数解，则 与 必有两个交点，
第 10 页若交点的横坐标为 ，则 ，
所以 ，即 .
故选：C
【点睛】
关键点点睛：首先转化为 有且只有两个整数解，导数研究函数性质，再应用数形结合法判断
、 交点横坐标范围，即可求参数范围.
5．B
【解析】
【分析】
作出函数 和函数 的图象，在 轴右侧， 的图象上存在点在 图象下方，由此可
得参数范围．
【详解】
作出函数 和函数 的示意图，其中 的图象是过点 的直线， 是直线的斜率，
的图象与 轴交于点 ，
，
题意说明在 轴右侧， 的图象上存在点在 图象下方，
由图象可知只要 ，即可满足题意．
故选：B．
6．C
【解析】
第 11 页【分析】
将对数方程化为指数方程，用x表示出a，利用基本不等式即可求a的范围．
【详解】
，
，
当且仅当 时取等号，
故 ．
故选：C．
7．B
【解析】
【分析】
问题等价于 ，求出 解不等式即可.
【详解】
x＜2时，f(x)＝ ，
x＞2时，f(x)＝ ＞1，
故 ，∴ ，解得 .
故选：B.
8．C
【解析】
【分析】
根据向量数量积的坐标表示可得 ，将问题转化为当 时 ，结合二次函数
的性质可知函数 的单调性，进而求出 即可.
【详解】
由题意知，
，
因为 ，所以 ，
若 ， 恒成立，
则当 时， ，
又由二次函数的性质知，当 时， ，
所以 ，即 的取值范围为 .
第 12 页故选：C
9．D
【解析】
【分析】
由题意可得，在区间 上， ，作函数 的图象，如图所示，然
后结合图像可求出 的最小值
【详解】
根据题设可知，当 时， ，故 ，
同理可得：在区间 上， ，
所以当 时， .
作函数 的图象，如图所示.
在 上，由 ，得 .
由图象可知当 时， .
故选：D.
【点睛】
此题考查函数在给定区间上恒成立问题，考查数形结合思想，属于中档题
10．B
【解析】
【分析】
在 时，由二次函数的最小值大于等于0确定a范围，在 时，分离参数构造函数，求函数最小值即可推理
作答.
【详解】
依题意，当 时， ，当 时， ，
解得 ，当 时， 在 上单调递减， 成立，则有 ，
第 13 页当 时， ，令 ， ，
，当 时， ，当 时， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增， ，于是得 ，
综上得， ，
所以a的取值范围为 .
故选：B
11．C
【解析】
【分析】
对任意 ， 恒成立等价于 对任意 ， 恒
成立；可换元，设 ，令 ，则 ，即 在 恒成立，求导由单调性即可求出最值.
【详解】
由题知 对任意 ， 恒成立，
等价于 ，即 ，即 对任意 ， 恒成立，
不妨设 ，令 ，则 ，
则原式等价于 ，即 在 恒成立，
设 ， ，则 ，
所以 在 上为增函数，所以 ，
所以 ，即m的最大值为 ，当且仅当 ，即 时取得最大值，
故选：C.
12．C
【解析】
【分析】
通过参变分离，利用导函数求函数的值域即可.
【详解】
原不等式可化为 ．
令 ，则 ．
令 ，则 ．
第 14 页∵函数 在区间 上递增，∴ ，
∴ ．
，使得 ，即 ， ，
， 递减， ， 递增，
∴ ，
∴ ，恒有 ， 在区间 上递增，
∴ ，
∴ ．
故选：C.
13．D
【解析】
【分析】
由解析式得到函数的单调性和对称轴，结合条件可得 ，两边平方转为恒成立求解即可.
【详解】
当 时， 单调递减， ；当 时， 单调递减，故 在 上单
调递减：由 ，得 的对称轴方程为 ．若对任意的 ，不等式 恒成
立，所以 ，即 ，即 对任意的 恒成立，所以
解得 ．
故选：D．
14．C
【解析】
求出函数在 时的值域，再根据题意求出m的取值范围.
【详解】
函数 的图象开口向下，对称轴方程为 ， 函数 在区间 上单调递增，
， ，即函数 的值域为 .
由方程 有解知， ，因此 ，且 ，解得 .故选：C
【点睛】
本题考查了二次函数在闭区间上的最值，考查了函数在闭区间上的零点问题，考查了数学运算能力.
15．D
第 15 页【解析】
【分析】
利用基本不等式求x＋2y的最小值即可.
【详解】
因为 ，
所以 ．
当且仅当 ，即 时取等号，
又因为 恒成立，
所以 ，解得 ．
故选：D.
16．A
【解析】
【分析】
分别求得 ， ， ， ， ， ， ， 时， 的最小值，作出 的简图，因为
，解不等式可得所求范围．
【详解】
解：因为 ，所以 ，
当 时， 的最小值为 ；
当 时， ， ，
由 知， ，
所以此时 ，其最小值为 ；
同理，当 ， 时， ，其最小值为 ；
当 ， 时， 的最小值为 ；
作出如简图，
第 16 页因为 ，
要使 ，
则有 ．
解得 或 ，
要使对任意 ，都有 ，
则实数 的取值范围是 ．
故选：A．
17．D
【解析】
由题意可得 对于 恒成立，分离参数 可得 ， 即可求解.
【详解】
因为 ，所以 ；
又因为 在 上单调递增，
第 17 页所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，只需要 ，
因为 在 单调递增，所以 ，
所以 .
故选：D．
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是由函数单调递增可得 恒成立，再利用分离参数法转化为最值求
解.
18．B
【解析】
【分析】
首先由定义判断 的奇偶性和单调性，可得 在 ， 恒成立，两边平方可得 在 ，
恒成立，构造函数 ，再根据二次函数的性质分类讨论，计算可得；
【详解】
解：由函数 满足 ，可得 为偶函数；
当 ， ，有 ，可得 在 单调递减．
由 即 ，
可得 在 ， 恒成立，
即 在 ， 恒成立，
即 在 ， 恒成立，
显然当 时，不等式不成立，故舍去；
当 时，函数 对称轴为 ，
当 ，即 或 时，函数在 上单调递增，只需 ，解得 或 ，
所以 或 ；
当 ，即 时，函数在 上单调递减，只需 ，解得 或 ，
所以 ；
当 ，即 时，只需 ，显然不成立，
综上可得， 的取值范围是 ．
故选： ．
第 18 页19．C
【解析】
【分析】
由题知 ，通过求导可得 在 上是增函数，结合条件可得函数 在 上是增函数，
进而 ，即求.
【详解】
∵ ，
∴ ， ， ，
令 ，则 ，
∵ ，即
∴ 时， ，函数 在 上是增函数，
要使 在区间 上恒成立，又 ，
则应满足 在区间 上为增函数，
∴当 时， ，又函数 在 上是增函数，
∴ ，即 .
故选：C.
20．A
【解析】
【分析】
根据分段函数解析式画出函数图象，易知 单调递增且关于 对称，再将不等式转化为
结合单调性求参数范围.
【详解】
由题设， ，图象如下：
所以 ，
第 19 页又 是R上的增函数，所以 对 恒成立，
所以 ，则 ，即 ．
故选：A．
21．A
【解析】
【分析】
本题首先可根据题意得出当 时不等式 有解，然后令 ，求出当 时
的取值范围，即可得出结果.
【详解】
不等式 有解即不等式 有解，
令 ，
当 时， ，
因为当 时不等式 有解，
所以 ，实数 的取值范围是 ，
故选：A.
【点睛】
方法点睛：本题考查根据不等式有解求参数，可通过构造函数并通过求函数的值域的方式求解，考查二次函数的
值域的求法，考查推理能力，是中档题.
22．B
【解析】
【分析】
依题意可得 为偶函数，且在 上单调递减，根据奇偶性及单调性可得 对任意的
恒成立，两边平方即可得到 ，再对 分类讨论，分别求出参数 的取值范围，即可得解；
【详解】
解：因为定义在 上的函数 满足 ，所以 为偶函数，当 时，
，则当 时 函数在定义域上单调递减， ，当
时 ，函数在 上单调递减，且当 时 ，所以函数 在
上单调递减，当 时函数图象如下所示：
第 20 页因为对任意的 ，不等式 恒成立，即 恒成立，即 ，平方
可得 ；
①当 ，即 时，即 ，对任意的 ，所以 ，即 ，所以
；
②当 ，即 时，显然符号题意；
③当 ，即 时，即 ，对任意的 ，所以 ，即 ，与
矛盾；
综上所述， ，即实数 的最大值为 ；
故选：B
23．D
【解析】
【分析】
由题设知 在 恒成立，结合正弦函数、对数函数性质可得 ，再根据正弦、对数函
数的区间单调性及恒成立求参数范围.
第 21 页【详解】
由题设 ，即 在 恒成立，
当 时， 上 ，不满足题设，
所以 ，此时在 上 递减， 递增，
要使不等式恒成立，则 ，即 ，
综上 .
故选：D
24．B
【解析】
根据对数函数性质把不等式变形为 ，即 ，设 ，问题转化为求二次函数的最
小值即可得．
【详解】
本题考查对数型函数及其应用，以及利用分离变量法求参数的取值范围，考查数学转化思想.
由 整理得 ，所以 ，即 ，令 ，则
.令 ，其图像的对称轴为 ，所以 ，则
.
故选：B．
【点睛】
方法点睛：本题考查对数不等式恒成立问题，解题方法利用对数运算法则和对数函数性质化去对数号，然后用分
离参数得 ，再有换元法转化为求二次函数的最小值．解题关键是转化．
25．C
【解析】
【分析】
将不等式转化为 ，然后再求最值即可.
【详解】
不等式 可化为 ，有 ，有 ，当 时，
（当且仅当 时取等号）， ，故有 ．
故选：C
26．B
【解析】
【分析】
第 22 页根据函数单调性先求出 在 的值域，进而数形结合得到不等关系，求出 的取值范围.
【详解】
在 上单调递增，且 ， ，故 在 值域为 ，要想
对任意 都成立，则要满足 ，解得： ；
故选：B
27．A
【解析】
【分析】
由题设可知 值域为 值域的子集，结合对数函数、二次函数的性质列不等式组，求参数范围.
【详解】
设 的值域为A，而 的值域为 ，由已知有 ，
所以 是 值域的子集，
当 时， 开口向下且对称轴 ，又 ，显然 是 值域上的子集，符合题设；
当 时， ，显然 是 值域上的子集，符合题设；
当 时， 开口向上且对称轴 ，此时只需 ，即 时， 是 值域上的子集.
综上， .
故选：A.
28．A
【解析】
【分析】
由已知求得 ，将问题转化为存在 使得 成立，分离参数得需存在 使得
第 23 页成立，由 在 上为增函数，可求得答案.
【详解】
解：因为 ，所以 ，
所以当 时， ，函数 在 上单调递减，当 时， ，函数 在 上单调递
增，
所以函数 在在当 时， ，
所以要使对 ， ，使得 ，即是求实数 的范围，使得存在 使得
成立，
即存在 使得 成立，
因此只需满足 即可．又 在 上为增函数，因此 ．
故选：A．
29．D
【解析】
把不等式变形为 ，作出函数 和 的图象，由数形结合思想得出不等关系．
【详解】
原不等式可变形为 ，作出函数 和 的图象，由题意在 时，至少有一点
满足 ，
当 与 相切时， ， ，由 得 ，
当 过点 时， ，
∴ ．
故选：D.
第 24 页【点睛】
本题考查不等式有解问题．变形后转化两个函数图象的关系问题，利用数形结合思想得到解法．
30．A
【解析】
【分析】
本题先将条件转化为不等式，再根据不等式求解即可.
【详解】
解：∵对任意 ，存在 ，使得 ，
∴
∵ ，∴ ，
∵ ，∴
∴ ，解得 ，
故选：A.
【点睛】
本题考查恒成立问题与存在性问题，关键在于问题的转化，是中档题.
31．D
【解析】
【分析】
求出函数的导数，问题转化为 在 有解，进而求函数 的最值，即可求出 的范围.
【详解】
∵ ，
∴ ，
若 在区间 内存在单调递增区间，则 有解，
故 ，
令 ，则 在 单调递增，
，
故 .
故选：D.
32．CD
【解析】
【分析】
根据给定条件可得 ，再分析函数式 与 的值的正负情况即可作答.
第 25 页【详解】
显然 ，因 对任意的 不恒成立，
因对任意的 ，都有 恒成立，则当 时， ，
当 时， ，必有 ，若 ，则 ，矛盾，若 ，当 时， ，矛盾，
因此， ，当 时， ，当 时， ，
当 时，若 ，则 ，此时 ，不符合题意，
因此， ，当 时， ，当 时， ，
要 恒成立，当且仅当 ，即 ，而 ，
从而得 或 ，解得 或 ，
所以 或 .
故选：CD
33．BCD
【解析】
【分析】
A选项，分子和分母分别考虑，看是否是周期函数，B选项，化简 得到 ；CD选项，求出
的值域进行判断.
【详解】
是周期函数，但 不是周期函数，所以 不是周期函数，A选项错误；
，故B选项正确；
因为 ，等号成立时， ，所以 ，而 ，当
时， ， ，此时 ，故 ，C选项正确；
当 时， ，故 的最大值为 ，故 在 上有解，则k的最大值是 ，D选项
正确
故选：BCD
34．ACD
【解析】
【分析】
求 的值判断选项A；当 时验证结论是否正确去判断选项B；由 在 上的解析式去
判断选项C；分析法证明不等式去判断选项D.
【详解】
第 26 页选项A： .判断正确；
选项B：
画出 部分图像如下：
当 时，由 ，可得 或
由 ，可得 或 ；由 ，可得
即当 时，由 可得3个不同的解，不是5个. 判断错误；
选项C：当 时， ，
若 即 ，则
则 ，为减函数；
当 时，
若 即 ，则
则 ，为减函数；
当 时，
若 即 ，则
则 ，为减函数；
综上， 在 上单调递减. 判断正确；
选项D：当 时， 可化为 ，
同一坐标系内做出 与 的图像如下：
第 27 页等价于
即 ，而 恒成立. 判断正确.
故选：ACD
【点睛】
(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的
形式时，应从内到外依次求值．
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切
记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
35．BCD
【解析】
【分析】
先判断 时 的单调性，再根据奇函数关于原点对称点区间单调性相同可判断A；求出 的解析式作出
图象可判断 在 上的单调性，根据单调性和奇函数解不等式可判断B；作出函数 与 的图象，
由图象交点的个数可判断C，根据 ， 可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
对于A：当 时， 单调递增，
又因为 是奇函数，所以当 时， 单调递增，故选项A不正确；
对于B：设 ，则 ， ，
当 时， ，所以 ，
作函数 的图象如图所示，
第 28 页由图可知函数在 上单调递增，
不等式 ，即 ，
故不等式等价于 ，解得 ，所以不等式的解集为 ，故选项B正确；
对于C：在同一直角坐标性中作函数 与 的图象，如图：
由图知：两个函数图象有三个交点，所以方程 有三个实数根，故选项C正确；
由函数 的图象可知函数的值域为 ，故 ， ， ，
恒成立，故选项D正确；
故选：BCD.
36．
【解析】
【分析】
先求导，根据题意 在 上恒成立，整理得 在 上恒成立，即求.
【详解】
由 知，
,
∵函数 在 上是减函数，
，又 ，
∴ ，即 在 上恒成立，
第 29 页而 ， ，
．
故答案为： ．
37． ##a≤4##{a|a≤4}
【解析】
【分析】
利用函数 的单调性求出它在 上的最大值即可.
【详解】
函数 在R上单调递减，当 时， ，
因存在实数 使不等式 在 成立，则 .
所以 的范围为 .
故答案为：
38．
【解析】
【分析】
恒成立存在性共存的不等式问题，需要根据题意确定最值比大小解不等式即可.
【详解】
根据题意可得只需 即可，由题可知a为对数底数且 或 .当 时，
此时 在各自定义域内都有意义，由复合函数单调性可知 在 上单调递减， 在 上单调递减，
所以 ， ，所以 ，即
，可得 ；当 时，由复合函数单调性可知 在 上单调递减， 在 上单调
递增，所以 ， ，所以 ，即
，可得 .综上： .
故答案为： .
39．
【解析】
【分析】
首先利用奇偶性、单调性定义可得 为偶函数、在 上递增， 上递减，可将题设不等关系化为
在 上恒成立，即可求参数范围.
【详解】
，故 为偶函数，
第 30 页令 ，则 ，
又 ， ，故 ，
∴ 在 上递增，故 上递减，
∴ 在 上恒成立，则 且
，故 在 上恒成立，
令 ，而
∴ ，故 时 ，
，故 时 ，
∴ 的取值范围为 .
故答案为： .
【点睛】
关键点点睛：利用 的奇偶性、单调性将问题转化为 在
上恒成立求范围.
40．
【解析】
【分析】
利用基本不等式 的最小值，由此可得出实数 的取值范围.
【详解】
， ，则 ，
由基本不等式可得 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以 ，
因此实数 的取值范围是 .
故答案为： .
41．
第 31 页【解析】
【分析】
由奇函数的对称性求出 的解析式，确定 的单调性，并得到 ，利用函数的单调性，将
转化为自变量 的不等量关系，即可得出结论.
【详解】
是定义在 上的奇函数，且 时， ，
设 ，
，
在 上单调递减，且 ，
对于任意的 恒成立，
即 对于任意的 恒成立，
所以 .
故答案为： .
42．（1） ， ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）根据函数的奇偶性构造方程组可解得结果；
（2）代入解析式，换元后化为 对 恒成立，利用基本不等式求出 的最小值可得解.
【详解】
（1） ，用 代替 得 ，
则 ，
解方程组得： ， ．
（2）由题意可得 对任意 恒成立，
令 ， ，因为 在 单调递增，故
则 对 恒成立
因为 ，当且仅当 时，等号成立.
故 ，即实数 的最大值为 .
【点睛】
第 32 页结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
①若 在 上恒成立，则 ；
②若 在 上恒成立，则 ；
③若 在 上有解，则 ；
④若 在 上有解，则 .
43．（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）当 时， ，舍去；
当 时， ，即 ， ．基础即可得出．
（2）当 ， 时， ，即 ，即 ．化简解出即可得出．
【详解】
解：（1）当 时， ，舍去；
当 时， ，即 ， ．
解得 ，
（2）当 ， 时， ，即 ，
即 ．
因为 ，所以 ．
由 ，所以 ．
故 的取值范围是 ．
44．（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由题设可得 ，讨论 、 ，结合已知最大值求参数a，注意判断a值是否符合
题设.
（2）由对数函数的性质可得 ，再由对数函数的单调性可得 ，利用二次函数的性质求不等式
右边的最小值，即可得m的取值范围.
【详解】
（1） ， ，则 ， .
当 时， ，所以 ；
当 时， ，所以 ，不合题意.
综上， .
第 33 页（2）要使 在 上有意义，则 ，解得 .
由 ，即 ，又 ，
∴ ，即 ，得 .
令 ， ，记 ，对称轴 ，
∴ ，故 .
综上， .
45．（1）调增区间为 ，单调减区间为(-∞，0)， ；（2） .
【解析】
【分析】
(1)当a=1时，求得 ，根据二次函数的单调性求出x<0与 的单调区间即可得解；
(2)由f(x)是奇函数求出a，再求得 ，将给定不等式分离参数并构造函数，求其最大值即可作答.
【详解】
（1）当a=1时， ，
当 时， ，则f(x)在 内是增函数，在 内是减函数，
当x<0时， ，则f(x)在(-∞，0)内是减函数；
综上可知，f(x)的单调增区间为 ，单调减区间为(-∞，0)， ；
（2）因f(x)是奇函数，必有f(-1)=-f(1)，即(a+1)·1＝-(a-1)·1，解得a=0，此时 ，它是奇函数，
因此，a=0， ，则 ，
于是有 ，
而 时， ，并且 ，
令 ，则 在 上单调递增，当 时， ，
因此，当 时， ，则 ，
所以实数m的取值范围是 .
46．（1） ；函数 在 上单调递减，在 上单调递增，证明见解析；（2） ；（3）
第 34 页【解析】
（1）由 是奇函数，可知 ， ，进而列出关系式，求出 ，即可得到函数 的解析式，
然后利用定义法，可判断并证明函数 在 上的单调性；
（2）由函数 在 上有两个零点，整理得方程 在 上有两个不相等的实数根，进而
可得到 ，求解即可；
（3）由对任意的 ， 都有 恒成立，可得 ，求出
，进而可求出 的取值范围.
【详解】
（1） ，且 是奇函数， ，
，解得 ，
．
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
证明如下：任取 ， ，且 ，
则 ，
，且 ，
， ，
∴ ，
，即 ，
函数 在 上单调递减.
同理可证明函数 在 上单调递增．
（2）函数 在 上有两个零点，即方程 在 上有两个不相等的实数根，
所以 在 上有两个不相等的实数根，
则 ，解得 ．
第 35 页（3）由题意知 ，
令 ， ，
由（1）可知函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
，
函数 的对称轴方程为 ，
函数 在 上单调递增，
当 时， 取得最小值， ；
当 时， 取得最大值， .
所以 ， ，
又 对任意的 ， 都有 恒成立，
，
即 ，
解得 ，又 ，
的取值范围是 ．
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数
形结合的方法求解.
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