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微专题：数列不等式恒成立问题
【考点梳理】
数列不等式恒成立求参数范围的综合问题的解题策略有：①分离参数法：对于参数与主变量未分开的不等式
恒成立问题，优先考虑分离参数，再转化为最值问题处理；②单调性法：对于与数列单调性有关的不等式恒成立
问题，可以利用数列单调性定义转化为不等式恒成立问题的一般形式，再求参数范围；③最值(有界性)法：对于
一边能求和(或放缩后能求和)的数列不等式恒成立问题，一般先求和再求出数列和的最值(或上界、下界)，进而
求出参数范围.
【典例剖析】
典例1．已知数列 的前n项和为 ，且 ， ，若 ，则k的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
典例2．设 是无穷数列，若存在正整数 ，使得对任意 ，均有 ，则称 是间隔递增数列，
是 的间隔数.若 是间隔递增数列，且最小间隔数是3，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
典例3．数列 满足 ， ，若 为等比数列，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
典例4．{bn}为正项等比数列，b=1.等差数列{an}的首项a=2，且有a=b，a=b.记 ，数列{cn}的前n项和
1 1 2 3 4 4
为Sn. ，k≤Sn恒成立，则整数k的最大值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【双基达标】
5．数列 的前n项和为 ，且 ，若对任意 ， 恒成立，则实数 的
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知数列 中， ， 是公比为 的等比数列，记 ，若不等式 对一切
恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若 是函数 的极值点，数列 满足 ， ，设 ，记
表示不超过 的最大整数.设 ，若不等式 对 恒成立，则实数 的最大值
为（ ）
A． B． C． D．
8．设数列 的前 项和为 ，已知 ，若 对 恒成立，则实
数 的范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知正项数列 的前 项和为 ，且满足 ， ， ，记数列 的前 项和
为 ，若对于任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
10．对于数列 ，定义 为数列 的“加权和”，已知某数列 的“加权和”
，记数列 的前n项和为 ，若 对任意的 恒成立，则实数p的取值范围为（ ）
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
11．已知数列 是首项为 ，公差为1的等差数列，数列 满足 ．若对任意的 ，都有 成
立，则实数 的取值范围是（ ）
A． ， B． C． ， D．
12．设 为数列 的前 项和， ，且 .记 为数列 的前 项和，若对任
意 ， ，则 的最小值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
13．已知数列 中， ， ，若对于任意的 ，不等式 恒成立，则 的最小值
是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
14．设 是以 为首项， 为公差的等差数列， 是 为首项， 为公比的等比数列，记 ，
则 中不超过 的项的个数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
15．已知数列 满足 ， ，记数列 的前 项和为 则（ ）
A． B． C． D．
16．已知数列 的前 项和为 ，对任意 ，有 ，且 恒成立，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司17．已知数列 满足 ，若数列 是单调递减数列，则实数λ的取值范围是（ ）
A． B． C．(-1，1) D．
18．已知数列 ， 满足 ，若 的前 项和为 ，且 对一切
恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
19．已知数列 满足 ，若对任意的正整数 恒成立，则实数 的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
20．形如 的数被称为费马数，费马完成了 , , , , 的验证后，于1640年提出猜想：费马
数都是质数，但由于 及之后的费马数都实在太大了，费马也未能完成验证及证明.直到1732年才被数学家欧拉算
出 不是质数，从而宣告了费马数的猜想不成立.现设 ，若任意 ，
使不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A．(1,+∞) B． C．( ,+∞) D．
21．已知数列 的前 项和为 ， ， ，且 ，若
对任意 都成立，则实数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司22．已知数列 满足 ， ，令 ，若对于任意 不等式 恒成立，则实
数t的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
23．已知数列 满足 ， ，若对于任意 ，都有 ，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
24．已知数列 满足： ，则下列选项正确的是（ ）
A． 时， B． 时，
C． 时， D． 时，
25．已知数列 满足 ， ，记数列 的前n项和为 ，若对于任意
，不等式 恒成立，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
26．已知数列 满足 ， ，且 ， ，则下列说法中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
27．已知数列 是公比为 的等比数列， 是其前 和，若 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
28．设 ，若数列 是无穷数列，且满足对任意实数 不等式 恒成立，则下列选项正确
的是（ ）
A．存在数列 为单调递增的等差数列 B．存在数列 为单调递增的等比数列
C． 恒成立 D．
二、多选题
29．已知数列 的前 项和为 ， ， ，数列 的前 项和为 ，那么下列选项正
确的是（ ）
A．数列 是等比数列 B．数列 的通项公式为
C． D．
30．已知正项数列 满足 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 是等比数列 B．对任意的 ，
C． 对任意 都成立 D．
31．对于数列 ，定义 为数列 的“好数”，已知某数列 的“好数” ，
记数列 的前n项和为 ，若 对任意的 恒成立，则k的可能取值为（ ）
A．2 B． C． D．
32．设 是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意 ，均有 ，则称 是间隔递增数列，k是
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司的间隔数，下列说法正确的是（ ）
A．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列
B．已知 ，则 是间隔递增数列
C．已知 ，则 是间隔递增数列且最小间隔数是2
D．已知 ，若 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则
33．若不等式 对于任意正整数n恒成立，则实数a的可能取值为（ ）
A． B． C．1 D．2
34．设数列 是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意 ，均有 ，则称 是间隔递增数列，k
是 的间隔数．则下列说法正确的是（ ）
A．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列
B．已知 ，则 是间隔递增数列且最小间隔数是4
C．已知 ，则 是间隔递增数列且最小间隔数是3
D．已知 ，若 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则
三、填空题
35．以 为首项､以 为公比的等比数列 满足 ， ，设数列 的前 项和为 ，若 恒成
立，则实数 的取值范围是______.
36．已知数列 的各项均为正数，其前 项和为 ，且满足 ，则满足 的最大的正整数 等
于_________．
37．已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，且 .数列 满足 ，若存在常
数 ，使不等式 恒成立，则 的最小值为___________.
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司38．已知数列{an}对任意m，n∈N*都满足am n=am+an，且a=1，若命题“ n∈N*，λan≤ +12”为真，则实数λ的
+ 1
∀
最大值为____.
39．设 为正数列 的前 项和， ， ，对任意的 ， 均有 ，则 的取值为
__________.
40．已知数列{ }中， ＝ ， ＝ ＋ ，若对于任意 ，使得 ＜ 恒成立，则实数 的取值范
围是__________．
41．已知数列 的首项 ，且满足 .若对于任意的正整数 ，存在 ，使得 恒
成立，则 的最小值是___________.
42．已知 ，满足对于任意的 ，都有 ，设 ，若对于任意的
， ，都有 成立，则实数 的取值范围是______．
四、解答题
43．在①数列 为递增的等比数列， ，且 是 和 的等差中项，② 这两个条件
中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k存在，求出k的最小值；若不存在，说明理由．
已知数列 的前n项和为 ，____， ，设数列 的前n项和为 ，是否存在实数k，使得 恒
成立？
44．已知正项数列 的首项 ，前n项和 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记数列 的前n项和为 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数a的取值范围.
45．为了防止某种新冠病毒感染，某地居民需服用一种药物预防.规定每人每天定时服用一次，每次服用m毫克.已
知人的肾脏每24小时可以从体内滤除这种药物的80%，设第n次服药后（滤除之前）这种药物在人体内的含量是
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司毫克，（即 ）.
(1)已知 ，求 ､ ；
(2)该药物在人体的含量超过25毫克会产生毒副作用，若人需要长期服用这种药物，求m的最大值.
46．已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，
(1)求 和
(2)求证： ．
47．已知数列{an}，{bn}，{cn}中， ．
（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比 ，且 ，求q与{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差 ，证明： ．
48．已知数列 的前 项和 满足：
（1）求证：数列 是等比数列并写出 的通项公式；
（2）设 如果对任意正整数 ，都有 ，求实数 的取值范围.
49．已知数列 满足： ， ， ，且 ；等比数列 满足： ，
， ，且 ．
(1)求数列 、 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，若不等式 对任意 都成立，求实数 的取值范围．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．B
【分析】由 得数列 的递推式，构造新数列 是等比数列，求出 后解不等式可得．
【详解】 ,
， ， ，
所以 是等比数列，公比为2，所以 ， ，
， ． 的最小值为6．
故选：B．
2．A
【解析】依题意得到 ， 成立，则 ，对于 成立，且 对
于 成立，即可求出参数的取值范围；
【详解】解：若 是间隔递增数列且最小间隔数是 3，则
， 成立，
则 ，对于 成立，且 对于 成立，
即 ，对于 成立，且 ，对于 成立，
所以 ，且 ，
解得 ，
故选：A．
3．D
【分析】分别讨论两种条件下数列的通项公式，在根据确定的数列通项公式建立不等式求解参数的取值范围.
【详解】根据题意， 时， ，即 ，
此时， ，
， ，从而有，
此时， 与 为等比数列矛盾
由 ，得 ，
所以，当 时， 恒成立，即 时， 恒成立
即 对 恒成立，所以 ，
设 ，则
第 10 页而 ，当 时，
解得 ， ，所以 时有
即 ，当 时 ，即
所以当 时 所以 ，选项D正确，选项ABC错误
故选：D.
4．C
【分析】运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，进而得到an，bn，再由 可得Sn单
调递增，求得Sn的最小值，结合不等式恒成立思想可得所求k的最大值.
【详解】设正项等比数列{bn}的公比为q，q>0，等差数列{an}的公差为d，
由a=2，b=1，a=b，a=b，可得2+d=q2，2+3d=q3，
1 1 2 3 4 4
化为q3-3q2+4=0，即为（q+1）（q-2）2=0，
解得q=2（-1舍去），
则d=2，
所以an=2+2（n-1）=2n，bn=2n-1，
因为数列{cn}的前n项和为Sn. ，k≤Sn恒成立，
只需 .
因为 恒成立，
所以Sn单调递增，所以
可得k≤2，
即k的最大值为2.
故选：C.
5．A
【分析】根据 ，利用数列通项与前n项和的关系，求得 ， ，再根据对任意 ，
恒成立求解.
【详解】解：当 时， ，
∴ ，当 时， 符合上式，
∴ ，
∴ ．
第 11 页当n为奇数时， ，
令 知，当 时， ，
∴ ，
当n为偶数时， ，
令 ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
6．A
【分析】由递推关系得 ，结合若不等式 对一切 恒成立，代入解得 或
，分别讨论 在这两个范围内的条件满足情况，从而解得参数a的范围.
【详解】由 知， ，
则
，
解得 或 ，
若 ，则 不可能对一切正整数成立；
若 ，则 对一切正整数成立，只需 即可，
即 ，
解得
故选：A
7．D
【分析】由极值点得数列的递推关系，由递推关系变形得数列 是等比数列，求得 ，由累加法求得
，计算出 ，然后求和 ，利用增函数定义得此式的最小值，从而得出 的最小值，再
由不等式恒成立可得 的最大值．
【详解】 ，∴ ，即有 ，
∴ 是以2为首项3为公比的等比数列，∴ ，
第 12 页∴ ，
∴ ，
又 为增函数，当 时， ， ，若 恒成立，则 的最大值为1010.
故选：D．
【点睛】思路点睛：本题考查函数的极值，等比数列的判断与通项公式，累加法求通项公式，裂项相消法求和，
函数新定义，不等式恒成立问题的综合应用．涉及知识点较多，属于中档题．解题方法是按部就班，按照题目提
供的知识点顺序求解．由函数极值点得数列的递推公式，由递推公式引入新数列是等比数列，求得通项公式后用
累加法求得 ，由对数的概念求得 ，用裂项相消法求和新数列的前 项和，并利用函数单调性得出最小值，然
后由新定义得 的最小值，从而根据不等式恒成立得结论．
8．B
【分析】由已知条件可得 ， ，由累加法求得 ，又 对 恒成立，得
，即 ，即可求解
【详解】由条件得 ，
于是可得 ，
又 ，即 ，
累加得到 ，
由 对 恒成立，得 ，
即 ，由 得 ，
故选：B
9．B
【分析】由 结合等比数列的定义得出 ，再由裂项相消法求出 ，进而得出
恒成立，令 ，求出其单调性，进而得出实数 的取值范围.
【详解】由 ，得 ，
又 ， 是以 为首项，2为公比的等比数列
第 13 页恒成立等价于 恒成立
令 ，则
当 时， ，当 时，
当 或 时， 取得最大值，
故选：B.
10．A
【分析】根据 与 的关系求出 ，再根据等差数列的求和公式求出 ，将 化为 对
任意的 恒成立，分类讨论 可求出结果.
【详解】由 ，
∴ 时, ，
∴ ，∴ ，
时， 也成立，∴ ，
∴数列 的前n项和为：
，
∵ 对任意的 恒成立，∴ ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 对任意的 恒成立，
当 时， 对任意的 恒成立，
因为 ，∴ ，所以 ，
当 时， 恒成立， ，
第 14 页当 时， 对任意的 恒成立，
因为 ，∴ ，所以 ，
综上可得：实数p的取值范围为 ．
故选：A．
11．D
【分析】由等差数列通项公式得 ，再结合题意得数列 单调递增，且满足 ， ，即
，再解不等式即可得答案.
【详解】解：根据题意：数列 是首项为 ，公差为1的等差数列，
所以 ，
由于数列 满足 ，
所以 对任意的 都成立，
故数列 单调递增，且满足 ， ，
所以 ，
解得 ．
故选： ．
12．B
【分析】由已知得 .再求得 ，从而有数列 是以 为首项， 为公比的等比数
列，由等比数列的通项公式求得 ，再利用分组求和的方法，以及等比数列求和公式求得 ，从而求得 得答案.
【详解】解：由 ，得 ，∴ .
又由 ，得 ，又 ，∴ .所以 ，
∴数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，则 ，
∴ ，
∴ ，
第 15 页∴ .
∴ .
∵对任意 ， ，∴ 的最小值为 .
故选：B.
13．B
【分析】由题意可得 ，运用累加法和“裂项相消法”求和可得 ，再将不等式恒
成立问题转化为 成立，由此可得实数 的取值范围．
【详解】∵ ，∴ ，∴ ，∴
∴
∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ，
故选：B．
14．C
【分析】求出数列 、 的通项公式，可得出数列 的通项公式，利用分组求和法可求得 ，找出使得不
等式 成立的最大正整数 的值，进而可得出结论.
【详解】由题意可得 ， ，所以， ，
则 ，
所以，数列 单调递增，
因为 ， ，则 ，
则使得不等式 成立的最大正整数 的值为 .
因此，数列 中不超过 的项的个数为 .
故选：C.
【点睛】本题考查数列不等式的求解，考查了数列单调性的应用以及分组求和法，考查计算能力，属于中等题.
15．A
第 16 页【分析】分析可知对任意的 ， ，则 ，推导出数列 为单调递减数列，可得出 ，
再利用不等式的性质推导出 ，即可求得 ，由此可得出合适的选项.
【详解】因为 ， ，易知对任意的 ， ，则 ，
所以， ，即 ，故数列 为单调递减数列，则 ，
由于 ，则 ， ，
所以， ，
所以， ，
因此， .
故选：A.
16．D
【分析】由 求得数列 的奇数项递减，偶数项递增，求得奇数项的最大值，偶数项的最小值，根据
不等式恒成立可得结论．
【详解】因为 ，所以 时， ，
两式相减得 ，
当 为偶数时， ， ，
所以 为奇数时， ，这是一个递减数列， ，所以 ，
当 为奇数时， ， ，
所以 为偶数时， ，这是一个递增数列， ， ，
恒成立，所以 （ 为奇数时）或 （ 为偶数时），
所以 ，所以 ．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：本题考查数列不等式恒成立问题，解题关键是利用 得出数列的递推关系，按
的奇偶分类讨论得数列奇数项递减，偶数项递增，求出奇数项的最大值，偶数项的最小值，由不等式恒成立得出
参数范围．
17．A
第 17 页【解析】由题 在 恒成立，即 ，讨论 为奇数和偶数时，再利用数列单调性即可求
出.
【详解】 数列 是单调递减数列， 在 恒成立，
即 恒成立，
即 ，
当 为奇数时，则 恒成立，
单调递减， 时， 取得最大值为 ，
，解得 ；
当 为偶数时，则 恒成立，
单调递增， 时， 取得最小值为20，
，解得 ，
综上， .
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查已知数列单调性求参数，解题的关键由数列单调性得出 恒成立，需
要讨论 为奇数和偶数时的情况，这也是容易出错的地方.
18．D
【分析】由 求得 ，即得 ，把不等式分离变量变形后转化为求新数列的最大项．
【详解】由题意 ， 时， ，
综上 ， ，
题设不等式为 ，整理得 ，
记 ，则 ，
当 时， ， ， 时， ， ，
所以 是 中的最大值， ，
所以 ．
故选：D．
19．A
第 18 页【分析】依题意 ，即可得到 是以 为首项，以 为公比的等比数列，从而求出 ，依题
意可得 恒成立，令 ，利用作差法说明 的单调性，即可得到 的最大值，
即可得解；
【详解】解：因为 ，所以 ，所以 是以 为首项，以 为公比的等比数列，
所以 ，所以 ， 恒成立， 的最大值，令
， ，所以 时， 单调递增， 时， 单调递减，
， 的最大值 ， ；
故选：A．
20．B
【分析】由题知 ， ，进而根据裂项求和得
，进而根据不等式恒成立即可得答案.
【详解】解：因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以
，
因为 ， ，所以
所以，对任意 ，使不等式 恒成立，则 .
所以，实数 的取值范围是 .
故选：B
21．C
【分析】由 与 的关系得 ，则 ，设 ，利用数列的单调性即可求解．
【详解】解：数列 的前n项和为 ， ， ，且 ，
所以 ，
第 19 页故 ，
因为 ，所以 ，
所以 ， ， ， ，
则 ，
故 ，
所以 ，
所以 ，
因为 对任意 都成立，
所以 ．
设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
因此
即 ，故 的最小值为 ．
故选：C
【点睛】本题解答的关键利用 求出数列 的递推公式，再利用累加法求出 的通项；
22．D
【分析】根据递推关系，利用裂项相消法，累加法求出 ，可得 ，原不等式转化为 恒成立求
解即可.
【详解】 ， ，
，
由累加法可得 ，
又 ， ，
符合上式， ，
，
对于任意 不等式 恒成立，则 ，解得 .
第 20 页故选：D
23．B
【解析】利用排除法，将 ， 代入验证排除，即可得结果.
【详解】解：用排除法：当 时， ，明显有 ，
下面用数学归纳法证明 ，
当 时， ，成立；
假设当 时， 成立，
则当 时， ，
所以当 时， 成立，
综上：对任意 ，都有 ；
另外 ，
所以 ，
所以当 时， 恒成立，排除CD；
当 时， ，若 ，则 ，因为 ，此时 是有可能的，故排除A，
故选：B.
【点睛】本题考查数列的函数性质，如单调性，值域，利用排除法可方便得出结果，是一道难度较大的题目.
24．D
【分析】由函数 的单调性，可判定A、B不正确； 由 ，得到
，得到 ，可判定C错误，D正确.
【详解】对于A中，由于 ，则 ，
又由函数 ，当 时为单调递减函数，
可得 ，所以 ，所以A错误.
对于B中，由于 ，且 ，
由 在 上单调递增，
可得 ，所以B错误
第 21 页对于C、D中，由于 ，可得 ，
当 ， 时，可得 ，所以C不正确；
又由当 ，可得 ，从而 ，
利用叠加法，可得 ，
故当 时， ，所以D正确.
故选：D.
【点睛】方法点拨：构造函数 ，结合函数的单调性，是判定 与 的大小关系的关键；
同时化简 ，得到 是解答的关键.
25．C
【分析】由已知得 ，根据等比数列的定义得数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，由此
求得 ，然后利用裂项求和法求得 ，进而求得 的取值范围.
【详解】解：依题意 ，当 时， ，则 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， ，即 ，
所以 ，
所以
，
所以 的取值范围是 .
故选：C.
26．D
【分析】分析得出 ，可判断出CD选项的正误；分析得出 ，利用累加法可判断出A选
项的正误；当 时，分析得出 ，利用放缩法可判断D选项的正误.
【详解】由已知，数列 满足 ， ，且 ， ，
即 ，
故 ，
第 22 页由 ， ，有 ， ，故 与 同号，
因为 ，则 ， ， ，
以此类推可知，对任意的 ， ，
所以， ，则 ，所以， ，D错；
，C对；
因为 ，则 ， ， ， ，
累加得 ，所以， ，可得 ，A对；
当 时， ，
故 ，B对.
故选：D.
【点睛】结论点睛：几种常见的数列放缩方法：
（1） ；
（2） ；
（3） .
27．A
【分析】根据 分类讨论确定 的表达式，再根据恒成立问题的解法即可求出．
【详解】当 时， ，符合题意；
当 时， 恒成立，
当 时，不等式变形得， ，因为 ，此时符合题意；
当 时，不等式变形得， ，因为 ，此时符合题意；
当 时，若 为偶数，则不等式变形得， ，即 ，
若该不等式恒成立，则 ，即 ，所以设 ，
， ，
所以当 时， ，此时 ，
此时该不等式不可能恒成立；
第 23 页当 时， ，若该不等式恒成立，只需 ，
解得 （舍去）或 ，综上， ；
若 为奇数，不等式变形得， ， 满足题意；
综上所述，实数 的取值范围是 ．
故选：A．
28．D
【解析】求出 ，根据数列的性质可判断A、B，举例可判断C，利用数学归纳法判断D.
【详解】因为 ， ，
当 时， ，解得 。
当 时，因为 ，所以 ，解得 。
因为无穷数列 ，对任意实数 不等式 恒成立，
所以 。
对选项A，若 为单调递增的等差数列，设 ，
则 ，故A错误；
对选项B，若 为单调递增的等比数列，设 ，
则 ，故B错误；
对选项C，因为 ，设 ，取 ，则 ， ，显然
不成立；故C错误；
对于选项D：当 时，由 ，显然 恒成立，
假设当 时， 成立，则当 时，
故 恒成
立，故D正确.
故选：D
【点睛】本题主要考查了数列的性质以及数学归纳法证明数列问题，综合性比较强，属于难题.
29．ABD
【分析】根据题设 的关系，可判断 是否为等比数列，进而可得 的通项公式，应用分组求和及等比
数列前n项和得 ，再写出 通项，应用裂项法求 ，即可判断各选项的正误.
【详解】由题设知： ，则 且 ，即 是等比数列；
第 24 页∴ ，且 ，
又 ，
∴ .
故选：ABD.
30．BCD
【分析】根据所给数列性质利用 判断A，由函数不等式 推导出 可判断
B, 利用B中结论递推可判断C，由对数运算及数列求和后放缩可判断D.
【详解】由 ，
显然 ，则 不是等比数列，A；
由 当且仅当 时等号成立，由 为正项数列，得 ，
故 ，故B正确；
由B知 ，故C正确；
则
，故D正确.
故选：BCD
31．BCD
【分析】根据“好数”的定义求得 ，对 也成立，可得 ，由于数列 为等
差数列， 对任意的 恒成立可化为 ， ，结合选项即可得出答案．
【详解】由题意， ，则 ，
时， ，
两式相减得： ，
所以 ， ，
当 时，上式对 也成立，
故 ，
则 ，
则数列 为等差数列，
第 25 页故 对任意的 恒成立可化为 ， ；
即 ，解得， ．
结合四个选项，BCD符合 的取值，
故选：BCD．
32．BCD
【分析】根据间隔递增数列的定义求解.
【详解】A. ，因为 ，所以当 时， ，故错误；
B. ，令 ，t在 单调递增，则
，解得 ，故正确；
C. ，当 为奇数时， ，存在 成
立，当 为偶数时， ，存在 成立，综上： 是间隔递增数列且最小间隔数是2，故正确；
D. 若 是间隔递增数列且最小间隔数是3，
则 ， 成立，
则 ，对于 成立，且 ，对于 成立
即 ，对于 成立，且 ，对于 成立
所以 ，且
解得 ，故正确.
故选：BCD
【点睛】本题主要考查数列的新定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
33．ABC
【解析】根据不等式 对于任意正整数n恒成立，即当n为奇数时有 恒成立，当n为偶
数时有 恒成立，分别计算，即可得解.
【详解】根据不等式 对于任意正整数n恒成立，
当n为奇数时有： 恒成立，
由 递减，且 ，
所以 ，即 ，
当n为偶数时有： 恒成立，
第 26 页由 第增，且 ，
所以 ，
综上可得： ，
故选：ABC.
【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中档题.
34．BD
【分析】根据间隔递增数列的定义，结合数列的增减性，进而求得答案.
【详解】对于A，设数列 的公比为 ，则 ，
因为 ，所以 ，若 ，则 ，不是间隔递增数列，故A错误；
对于B， ，易得 是递增数列，
则 ，所以 时， 一定是间隔递增数列，且最小间隔数是4，故B正确；
对于C， ，
当 为奇数时， ，显然 时， ，
当 为偶数时， ，显然 时， ，故C错误；
对于D，由 是间隔递增数列，则 对 恒成立，
即 对 恒成立，则 恒成立，
因为最小间隔是3，所以 即 对于 恒成立，且 时， ，于是 ，故D
正确.
故选：BD.
35．
【解析】利用等比数列的前 项和公式求出 从而可得 ，进而可得 ，解不等式即可.
【详解】由题意得 ，
可得 ，所以 ，
第 27 页所以 ，即 .
故答案为：
36．25．
【分析】由 ，化简整理得到 ，求得 ，进而求得 时， ，
根据 ，得到 ，即可求解.
【详解】由题意数列 的各项均为正数，且满足 ，
当 时，可得 ，
整理得 ，
又由 ，所以数列 表示首项为1，公差为1的等差数列，所以 ，
因为数列 的各项均为正数，可得 ，
所以当 时， ，
当 时， ，
由 ，即 ，即 ，
又由 ，所以 ，所以满足 的最大的正整数 等于 .
故答案为： .
37．
【分析】由已知 与 作差，可求得等比数列的公比，从而得通项公式 ，再求出 ，利用基
本不等式求得 的最大值后可得结论．
【详解】将 与 作差，可得 ，即 .
所以等比数列 的公比 .
因为 ，所以 .
所以 .所以 .
因为 ，所以 ，当且仅当 时“ ”成立.
第 28 页所以 .故 的最小值为 .
故答案为： ．
38．7
【分析】先求出 的通项公式，然后参变分离转化为求最值
【详解】令m=1，则an =an+a，an －an=a=1，所以数列{an}为等差数列，首项为1，公差为1，所以an=n，
+1 1 +1 1
所以λan ≤ +12 λn≤n2+12 λ≤n+ ，
⇒ ⇒
又函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 或 时，
所以
故答案为：7
39．2
【分析】由已知递推式，结合 与 的关系及等比数列的定义，可判断 是公比为 的正项等比数列，写出 、
，根据题设不等式恒成立可得 恒成立，即可求 值.
【详解】由题设知：当 时， ，即 ，
当 时， ，
综上知： 是公比为 的正项等比数列，即 ，而 ，
∴由题设知：对任意的 ， 有 成立，又 ，
∴ ，整理得： 恒成立，而 时 ，
∴ .
故答案为：2.
【点睛】关键点点睛：由 与 的关系及等比数列的定义求 、 ，根据数列不等式恒成立求 值即可.
40．
【分析】由累加法得出 ，再由 ，解不等式 得出实数 的取值范围.
【详解】因为 ＝ ， ，所以当 时，
，又 ＝ ，所以 ，由{ }是单调递增数列知 ，
第 29 页所以 ，解得 或 .
故答案为：
41．3
【分析】根据数列 的递推公式 ，运用累加法求出数列的通项公式 ，经分
析得到 ，若对于任意的正整数 ，存在 ，使得 恒成立，则有 ，进而求出 的最小值.
【详解】 数列 满足 ，且 ，即 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
以上各式相加，得
又 ， ，
， ，
若对于任意的正整数 ，存在 ，使得 恒成立，则有 ，
的最小值是3.
故答案为： .
42．
【分析】利用函数的图象的对称性求得 ，将 整理为 ，由已知条件得到
，求解即得.
第 30 页【详解】∵对于任意的 ，都有 ，∴函数 的对称轴为 ，∴
，
∴
,
对于任意的 ， ，都有 成立，
∴ ,解得 ，
即实数 的取值范围是 ,
故答案为：
43．答案见解析.
【分析】选①时，设数列 为公比为q，由 和等差数列的性质求得 和 ，得通项公式，然后求得 ，用裂
项相消法求得和 ，可得 的值．选①时，利用 求得通项公式，然后同选①求解．
【详解】解：若选①时，数列 为公比为q的递增的等比数列， ，且 是 和 的等差中项，
故 ，解得 ，
整理得 ，
故 或 （舍去），
所以 ．
所以 ．
所以 ，
当 时，使得 恒成立，
故k的最小值为1．
若选②时， ，
当 时，
所以 ，（首项符合通项），
第 31 页所以 ．
所以 ，
当 时，使得 恒成立，
故k的最小值为1．
44．(1) ；
(2) 或 .
【分析】（1）化简数列的递推公式，得 ，进而可求解数列的通项公式；
（2）利用裂项法，求解 ，列出不等式，即求.
(1)
当 时， ，
∴ ，即 ，又 ，
所以数列 是首项为1，公差为1的等差数列，故 ，
又由 （ ），
当 时， 也适合，
所以 .
(2)
∵ ，
∴ ，
又∵对任意的 ，不等式 恒成立，，
∴ ，解得 或 .
即所求实数 的范围是 或 .
45．(1) ， ；
(2)20毫克
【分析】（1）由 ， 计算可得．
（2）由每次服药，药物在人体内的含量为本次服药量加上前次含量的 可得递推关系式，变形后构造一个等比
数列，求得通项公式后，由数列不等式恒成立及数列的单调性可得．
(1)
， ；
(2)
第 32 页依题意， ，
所以 ， ，
所以 是等比数列，公比为 ，
所以 ， ，
， ，
数列 是递增数列，且 ，所以 ，
即 ，
所以m的最大值是 毫克．
46．(1) ，
(2)证明见解析
【分析】（1）利用 可得 ，从而可求 及 .
（2）利用放缩法及裂项相消法可证不等式成立.
（1） 时， ， 时， ，所以 ，所以数列 是以 为首
项，公差为 的等差数列．所以 ，即 ，当 时， ，当
时， ，不满足上式，
所以 ，
（2）当 时， ，原式成立．
当 时，
所以 ．
第 33 页47．（I） ；（II）证明见解析.
【分析】（I）根据 ，求得 ，进而求得数列 的通项公式，利用累加法求得数列 的通项公式.
（II）利用累乘法求得数列 的表达式，结合裂项求和法证得不等式成立.
【详解】（I）依题意 ，而 ，即 ，由于 ，所以解得 ，所以
.
所以 ，故 ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以 .
所以 （ ）.
所以 ，又 ， 符合，
故 .
（II）依题意设 ，由于 ，
所以 ，
故
.
又 ，而 ，
故
所以
.
由于 ，所以 ，所以 .
即 ， .
【点睛】本小题主要考查累加法、累乘法求数列的通项公式，考查裂项求和法，属于中档题.
第 34 页48．（1）证明见解析， ；（2） .
【分析】（1）由题设得 且 ，即可得 ，等比数列得证，写出通项公式.
（2）由（1）得 ，则有 ，即可判断 的最大项，而对任意正整数 ，都有 ，
即为 ，进而求 的范围.
【详解】（1）当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
∴ ，而 ，即 是首项为 ，公比为 的等比数列，
∴ ，故 .
（2）由（1）知： ，
∴ ，
当 时， ；当 时， ；当 时， ，
∴ ，即 .
∴对任意正整数 ，都有 ，即 ，
∴ 恒成立，得 或 ，即 .
【点睛】关键点点睛：
（1）通过构造 的形式，根据定义证明等比数列，写出通项公式.
（2）利用 的通项，结合 的符号确定最大项，要使对任意正整数 ，都有 ，即
恒成立，求参数范围.
49．(1) （ ）， （ ），
(2)
【分析】（1）将已知给的式子，通过两边同除 ，然后再进行裂项，即可变成 的
形式，通过累加即可完成 的求解，然后在求解 ， 为等比数列，可设出公比带入已知条件，求解出公比
第 35 页即可利用等比数列通项公式求解 ；
（2）利用第（1）问求解出得 、 的通项公式，使用错位相减的方法求解 ，然后带入 中，
通过讨论奇偶即可完成求解.
(1)
由 两边同除 得： ，
两边同除 得： ，
则 ，
所以
，（ ）
所以 ，又 符合 ，
故 （ ），
由 得： ，解得： ，
所以 （ ）.
(2)
∵ ，
∴ ①
∴ ②
由①-②得： ，
∴ .
则 ，由 得：
第 36 页，
因为
所以当 为偶数时， ；当 为奇数时， .
故
所以 ，即 ，
故 的取值范围是 .
第 37 页第 38 页
