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专题 03 二次函数与几何图形
类型一：线段的最值问题
类型二：面积的最值问题
类型三：特殊三角形的存在性问题
类型四：平行四边形的存在性问题
类型五：角度问题
类型一：线段的最值问题
1．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，AD为等腰直角△ABC底边BC上的高，抛物线y＝a（x
﹣2）2+4的顶点为点A，且经过B、C两点，B、C两点在x轴上．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图2，点E为抛物线上位于直线AC上方的一点，过点E作EN⊥x轴交直线AC于点N，求线段
EN的长度最大值及此时点E的坐标；
（3）如图2，点M（5，b）是抛物线上的一点，点P为对称轴上一动点，在（2）的条件下，当线段
EN的长度最大时，求PE+PM的最小
值．2．如图，抛物线y＝﹣ x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点
D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求△BDC的面积；
（3）线段BC上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值．3．如图1，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴相交于点
C．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）点D是二次函数图象上位于第三象限内的点．
①如图2，当点D是抛物线的顶点时，连接AD、CD、AC，求△ADC的面积；
②当点D到直线AC的距离为最大值时，求此时点D的坐标；
（3）若点M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点 N，使得以M、N、B、O为
顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标（不写求解过程）．4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点和点A（4，0）．经过点
A的直线与该二次函数图象交于点B（1，3），与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式及点C的坐标；
（2）点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作PE⊥x轴于点E，与直线
AB交于点D，设点P的横坐标为m．
①m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点P，使得△BPD与△AOC相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与直线y＝﹣x+3相交于B、C两点，与x轴交于点A（﹣1，0）．点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，求PD的最大值．
（3）点M为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点 N，使△MNO为等腰直角三角形，且
∠NMO为直角，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
类型二：面积的最值问题
6．综合与探究如图，抛物线y＝﹣x2+bx+5与x轴交于点A（﹣1，0），B，与y轴交于点C，作直线BC，点P为第一
象限内抛物线上一动点，连接PB，过点C作CQ∥PB，交x轴于点Q．
（1）求点B，C的坐标；
（2）连接PQ，求S△PBQ 的最大值；
（3）连接AC，当∠PCB＝∠ACO时，请直接写出点P的坐标．
7．已知抛物线y＝x2+bx+c与过点P（0，1）的直线l：y＝kx+m，k＜0，交于A、B两点（点A在点B右
侧）
（1）若抛物线对称轴为直线x＝﹣1且与y轴交于点（0，﹣3），求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件之下，若k＝﹣1，C为抛物线上的一动点，且在点A与点B之间，求△ABC面积的
最大值；
（3）若该抛物线的顶点为原点，已知Q（1，1），QA、QB交y轴于M、N两点，当 时，
求l的方程．
8．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C，且OB＝OC，抛物线的
对称轴为直线x＝1．（1）求抛物线的解析式；
（2）若DE是该抛物线的对称轴，点D是顶点，点P是第一象限内对称轴右侧抛物线上的一个动点．
（ⅰ）如图2，连接BP，若△PCB的面积为3，求点P的坐标；
（ⅱ）如图3，连接BC，与DE交于点G，连接PC，PG，PD，求2S△PCG +S△PDG 的最大值．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC，
其中A（﹣3，0），B（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是直线AC上方抛物线上一点，连接PA、PC，求△PAC面积的最大值，及此时点P
的坐标；
（3）如图2，连接BC，在抛物线上是否存在一点N，使得S△ABC ＝2S△ABN ？若存在，求出点N的坐标；
若不存在，说明理由．
10．如图，抛物线c：y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．
点M（m，0）为动点，且0＜m＜4，过点M作EM⊥AB于点M，交抛物线于点E，交直线BC于点F．
（1）求抛物线c的表达式及顶点坐标；
（2）若MF＝EF，求m的值；（3）连接CE，BE，CM，求四边形CMBE面积最大值．
类型三：特殊三角形的存在性问题
11．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0），与y轴交于点C，过点C作BC∥x轴，交抛物线于点
B，连接AC、AB，AB交y轴于点D，且BC＝2OA．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为抛物线对称轴上一点，且位于x轴上方，连接PA、PC，若△PAC是以AC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝﹣x2+bx+c与x轴交于点B，A（﹣3，0），与y轴交于点C
1
（0，3）．
（1）求直线AC和抛物线的解析式．
（2）若点M是抛物线对称轴上的一点，是否存在点 M，使得以M，A，C三点为顶点的三角形是以AC
为底的等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点P是第二象限内抛物线上的一个动点，求△PAC面积的最大值．
13．如图，顶点坐标为（1，4）的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y
轴交于点C（0，3），D是直线BC上方抛物线上的一个动点，连接AD交抛物线的对称轴于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AC，当△ACE的周长最小时，求点D的坐标；
（3）过点D作DH⊥x轴于点H，交直线BC于点F，连接AF．在点D运
动过程中，是否存在使△ACF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，抛物线 的图象经过点D（1，﹣1），与x轴交于点A，点B．
（1）求抛物线C 的表达式；
1
（2）将抛物线C 向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C ，求抛物线C 的表达式，并
1 2 2
判断点D是否在抛物线C 上；
2（3）在x轴上方的抛物线C 上，是否存在点P，使△PBD是等腰直角三角形．若存在，请求出点P的
2
坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，二次函数y＝ax2﹣4x+c（a≠0）的图象与x轴交于点A、B（3，0），与y轴交于点C（0，
3），点P（m，n）是抛物线上的动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，当m＝2时，求△BCP的面积；
（3）当∠PCB＝15°时，求点P的坐标；
（4）如图2，点Q是抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使△POQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
类型四：平行四边形的存在性问题
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝ax2+bx﹣6（a、b为常数．且a≠0）经过点 ，
交x轴于点A、B（A在B的左侧），其顶点的横坐标为2．
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）将抛物线L向左平移2个单位长度后得到抛物线L′，Q为抛物线L′
上的动点，点P为抛物线L的对称轴上的动点，请问是否存在以A、D、P、Q为顶点且以AQ为边的四边形是平行四边形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
17．如图，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，点B的坐标为（3，0），OC＝2，AB＝4，点
D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若直线BC与抛物线的对称轴交于点E，点P是抛物线上的动点，点Q是直线BC上的动点，是否
存在以D、E、P、Q为顶点的四边形是以DE为边的平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，
请说明理由．18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），
与y轴交于点E（0，﹣2），将抛物线L向右平移2个单位得到抛物线L′，抛物线L′与x轴交于C、
D两点（点C在点D的左侧）．
（1）求抛物线L′的函数表达式；
（2）点P、Q分别在抛物线L、L′上，且点P、Q
在x轴的同侧，若以点B、D、P、Q为顶点的四边形
是面积为4的平行四边形，请求出点Q的坐标．19．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B，C，连接AC，已知抛物线的对称轴为直线
．
（1）求a，b的值．
（2）若点D在线段AB上，过点D作DE∥AC，交抛物线y＝ax2+bx+3于点E，求线段DE的最大值．
（3）若点D在x轴上，点E在抛物线上，当A，D，E，C为平行四边形的四个顶点时，求点D的坐标．20．综合与探究
已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过△ABC的三个顶点，若这三个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B
（3，0），C（0，﹣2）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若P是第四象限内抛物线上的一个动点，连接CP和BP，当△BCP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）若N是x轴上的一个动点，在抛物线上是否存在点M，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是平
行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．类型五：角度问题
21．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx+2与x轴交于两点 ，B（点A在B左
边），交y轴于C，点 是抛物线上一点．（1）求抛物线的关系式；
（2）在对称轴上找一点M，使MA+MC的值最小，求点M的坐标；
（3）如图2，抛物线上是否存在点Q，使∠QCP＝45°？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说
明理由．
22．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0）、B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，
顶点为D，连接CD，点P为抛物线上一动点．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若点P在直线BC的下方运动时，过点P作PE⊥BC交于点E，过点P作y轴的平行线交直线BC
于点F．求△PEF周长的最大值及此时点P的坐标．（3）在该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD．若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，
请说明理由．
23．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）与x轴交于A、B（A在B的左边），A（﹣1，0）与y轴负半轴
交于C，且OC＝3OA．
（1）求a，c的值；
（2）如图1，点D是抛物线y＝ax2﹣2ax+c在第四象限内图象上一点，点P是y轴上一点，P点坐标是
（0，﹣7），点D是直线PD与该抛物线唯一的公共点，直线y＝tx﹣2t+3（t≠0）与该抛物线交于M，
N两点，若S△DMN ＝6 ，①求出D点的坐标；
②求出t的值．
（3）在（2）的条件下，如图2，连接AD和BC，在抛物线上是否存在点Q使∠QBC+∠ADP＝180°，
若存在，求出Q点坐标，若不存在请说明理由．
