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第 03 讲 二次函数与一元二次不方程、不等式
1．不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
解： ，
则不等式的解集为：
故选：B.
2．定义 ，若关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
等价于 ，即 ，
记 ， ， ．
故选：D．3．“不等式 在R上恒成立”的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
∵不等式 在R上恒成立，
∴ ，解得 ，
又∵ ，∴ ，则不等式 在R上恒成立，
∴“ ”是“不等式 在R上恒成立”的充要条件,
故选:A.
4．不等式组 的解集为_________.
【答案】
【解析】
原不等式组化简为
故答案为： .
5．若不等式 的解集为空集，则实数 的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
解：当 时， 不等式无解，满足题意；
当 时， ，解得 ；
综上，实数 的取值范围是 ．
故答案为：6．关于x的不等式 的解集为 ，则b的值为___．
【答案】
【解析】
根据不等式 的解集为 ，
可得方程 的两个根为﹣2和3，且 ，
则 ，解得 .
故答案为： ．
7．若 且 ，则 的值是_________.
【答案】3
【解析】
因为 ，由根的定义知 为方程 的二不等实根，
再由韦达定理，得 ，
,
故答案为：3.
8．若方程 有两个不相等的实根，则 可取的最大整数值是______.
【答案】1
【解析】
方程化为 ，
由 ， 解得 ，
所以 最大整数值是 .
故答案为：1.1．若“ ”是“ ”的必要不充分条件，则实数 的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
解：由 ，得 或 ，即不等式的解集为 或 ，
由 ，得 ，
若 ，则不等式的解为 ，此时不等式的解集为为 ，
若 ，则不等式的解集为 或 ，
若 ，不等式的解集为 或 ，
若“ ”是“ ”的必要不充分条件，
则 ，
则当 时，不满足条件．
当 时则满足 ，即 ，得 ，
当 时，则满足 ，得 ，得 ，
综上实数 的取值范围 .
故答案为： .
2．已知a＞b，关于x的不等式 对于一切实数x恒成立，又存在实数 ，使得成立，则 最小值为_________．
【答案】
【解析】
因为 对于一切实数 恒成立，
所以 ，且 ，所以 ；
再由 ，使 成立，
可得 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，即 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 ，
故答案为：
3．不等式 的解集为______________．
【答案】 或
【解析】
由 ，得 ，
所以 或 ，
故不等式得解集为 或 ．
故答案为： 或 ．
4．已知命题“ ， ”为真命题，则实数a的取值范围是______ ．
【答案】【解析】
因为命题“ ， ”为真命题
则 ， 有解，
设 ，则 ，
当 时， 单调递减，所以 ，
所以 .
故答案为： .
5．解关于 的不等式 ．
【答案】答案见解析.
【解析】
解：原不等式可化为： ，令 可得：
当 或 时， ， ；
当 或 时， ，不等式无解；
当 或 时， ，
综上所述，当 或 时，不等式解集为 ；
当 或 时，不等式的解集为 ；
当 或 时，不等式解集为 ．
6．若关于 的不等式 的解集中恰有 个正整数，求实数 的取值范围.
【答案】
【解析】原不等式可化为 ,
若 ，则不等式的解是 若 ，则不等式无解；
即不等式的解集中均不可能有 个正整数，所以 ；
此时不等式的解是 ；
所以不等式的解集中 个正整数分别是 ；
则 的取值范围是 ．
7．请回答下列问题：若关于 的不等式 的解集为 或 ，求 ， 的值.
【答案】 ，
【解析】
因为关于 的不等式 的解集为 或 ，
所以 和 为方程 的两根，
所以 ，解得
8．已知函数 ；
(1)若关于 的不等式 的解集为 ，求实数 的值；
(2)存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ， ；
(2) .
【解析】
(1)
由题意知：1和 是 的两根，
故 ， ，即 ， .
(2)
存在 ，使得 成立，即存在 ，使得 成立，
即存在 ，使得 成立，
当 时， ，当且仅当 时取等号，
故 ，可得 ．
即实数 的取值范围为 .
1．（2020·山东·高考真题）已知二次函数 的图像如图所示，则不等式 的解集
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
结合图像易知，
不等式 的解集 ，
故选：A.
2．（2019·全国·高考真题（理））已知集合 ，则
A． B． C． D．【答案】A
【解析】
，
∴ ，则 ，
故选A．
3．（2019·全国·高考真题（理））已知集合 ，则 =
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题意得， ，则
．故选C．
4．（2013·陕西·高考真题（理））在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m2的内接矩
形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是
A．[15,20] B．[12,25] C．[10,30] D．[20,30]
【答案】C
【解析】如图△ADE∽△ABC，设矩形的另一边长为y，则 ，所以 ，又 ，
所以 ，即 ，解得 .
5．（2009·山东·高考真题（文））在R上定义运算⊙： ⊙ ，则满足 ⊙ <0的实
数 的取值范围为
A．(0，2) B．(-2，1) C． D．(-1，2)
【答案】B
【解析】
根据定义 ⊙ ，解得 ，所以所求的实数 的
取值范围为(-2，1)，故选B．
6．（2010·浙江·高考真题（文））某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为
500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、
八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少至少达7000万元，则，x 的最小值_______
【答案】20
【解析】
把一月份至十月份的销售额相加求和,列出不等式,求解.
七月份:500(1+x%),八月份:500(1+x%)2.
所以一月份至十月份的销售总额为:
3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7000,解得1+x%≤-2.2(舍)或1+x%≥1.2,
所以x =20.
min
7．（2012·江苏·高考真题）已知函数 的值域为 ，若关于x的不等式
的解集为 ，则实数c的值为__________．
【答案】9．
【解析】
∵f(x)＝x2＋ax＋b的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝0，∴b－ ＝0，∴f(x)＝x2＋ax＋ a2＝ 2.
又∵f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，
∴m，m＋6是方程x2＋ax＋ －c＝0的两根．由一元二次方程根与系数的关系得 解得c
＝9.
8．（2014·江苏·高考真题）已知函数 ，若对于任意的 都有 ，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【解析】
因为函数 的图象开口向上的抛物线，
所以要使对于任意的 都有 成立，
，解得 ，
所以实数 的取值范围为 ．
