文档内容
考点 9-2 基本不等式及其应用
1．（2021·全国·高考真题）已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则
的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到 ，借助基本不等式 即
可得到答案．
【详解】由题， ，则 ，
所以 （当且仅当 时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】
2．（2022·全国·高三专题练习）已知 都是正数，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【分析】利用基本不等式中“1”的妙用，令 ，即可求解.
【详解】由题意知， ， ，
则
，
当且仅当 时， 取最小值 .
故选：C．
3．（2023·全国·高三专题练习）下列说法正确的为（ ）
A．B．函数 的最小值为4
C．若 则 最大值为1
D．已知 时， ，当且仅当 即 时， 取得最小值8
【答案】C
【分析】利用基本不等式及其对勾函数的性质分别判断即可.
【详解】对于选项 ,只有当 时，才满足基本不等式的使用条件，则 不正确；
对于选项 , ，令 ，
即 在 上单调递增，则最小值为 ,
则 不正确；
对于选项 , ，则 正确；
对于选项 ,当 时， ，当且仅当
时，即 ，等号成立，则 不正确.
故选： .
4.（2021·天津·高考真题）若 ，则 的最小值为____________．
【答案】
【分析】两次利用基本不等式即可求出.
【详解】 ，
，
当且仅当 且 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
5.（2023·全国·高三专题练习）若实数 ， 满足 ，且 ，则 的最大值为______.
【答案】 ##0.125【分析】令 ，对不等式变形得到 ，利用基本不等式进行求解.
【详解】令 ，则 ，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最大值为
故答案为：
6.（2021·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）已知 为正实数且 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【分析】由题知 ，再结合基本不等式求解即可.
【详解】解：因为 为正实数且 ，
所以 ，
所以，
因为 ，当且仅当 时等号成立；
所以 ，当且仅当 时等号成立；
故选：D
7．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数 满足 ，则 的最小值为
（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【分析】令 ，用 分别乘 两边再用均值不等式求解即可.【详解】因为 ，且 为正实数
所以
，当且仅当 即 时等号成立.
所以 .
故选：B.
8．（2023·全国·高三专题练习）设 ，则 的最小值等于（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得到 ，结合基本不等式，即可求解.
【详解】因为 ，可得 且 ，
所以 ，
当且仅当 时，即 等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：B.
9.（2023·全国·高三专题练习）若正数a，b满足 1，则 的最小值为__．
【答案】16
【分析】由条件可得 ， ，代入所求式子，再由基本不等式即可求得最小值，注意等号成
立的条件.
【详解】解：因为正数a，b满足 1，
则有 1 ，
则有 ，
1 ，即有 ，则有 16，
当且仅当 即有b＝2a，又 1，
即有a ，b＝3，取得最小值，且为16．
故答案为：16．
10．（2023·全国·高三专题练习）若正数a，b满足 ，则 的最小值是__．
【答案】
【分析】设 ，得到 ，结合基本不等式，即可
求解.
【详解】设 ，则 ，可得 ，
所以
，
当且仅当 时，等号成立，取得最小值．
故答案为： ．
11.（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）已知 且 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先求得 及 的取值范围，再把 转化为关于 的代数式 ，利用函数
的单调性去求 的取值范围即可解决【详解】由 ，可得 ，
则 ，则 ，令 ，则
，
又 在 单调递增，在 单调递减
， ，
则 ，即
故选：C
12．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）正实数 ， 满足 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据题干中等式变形，得到 ，对 变形后使用基本不等式求解最小值.
【详解】 变形为 ，则 ，即 ，令
，（ ），则 恒成立，则 ，（ ）单调递增，又 ，所
以 ，则 ，当且仅当 ，即
时，等号成立，故 的最小值为2
故选：A
13．（2022·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）已知数列 的首项是 ，前 项和为 ，且
，设 ，若存在常数 ，使不等式 恒成立，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】首先由数列通项与前 项和的关系得到数列 的递推关系 ，再构造等比数列
，求数列 的通项公式，进一步求出数列 的通项公式，从而可求数列 通项公式，代
入所求式子 ，分子、分母同除以 构造基本不等式即可求出 的最大值，从而求出 的范
围.
【详解】由 ，则当 时，得 ，
两式相减得 ，变形可得： ，
又 ， ，所以 ， ，
∴数列 是以 为首项、 为公比的等比数列，故 ，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，故
.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：构造等比数列 求 的通项公式，即可得 通项公式，再由不等式恒成立，
结合基本不等式求 的最值，即可求参数范围.
14．（2022·浙江·海宁中学模拟预测）已知正数 满足 ， ，则 的最
小值为__________.
【答案】 ##
【分析】把给定条件两边平方，代入结论构造基本不等式，再分析计算，并求出最小值作答.
【详解】由 ，得 ， ，
则 ，
，当且仅当 时取“=”，
所以当 时， 的最小值为 .
故答案为：
【点睛】思路点睛：利用基本不等式求最值时，要从整体上把握运用基本不等式，有时可乘以一个数或加上一个数，以及“1”的代换等应用技巧.
15．（2022·浙江·三模）已知实数 ，则 的最小值为_________．
【答案】
【分析】依题意可得 ，利用基本不等式及 与 的关系计算可
得；
【详解】解：因为 ，
所以
因为 ，所以 ，
所以原式 ，当且仅当 时取等号．
故答案为：
