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第 02 讲 不等式选讲
一、解答题
1．已知函数 ．
(1)求 的最小值；
(2)若 ， ， 均为正数，且 ，证明： ．
【分析】（1）由绝对值不等式的性质可求解；
（2）由题意得 ，再由基本不等式及不等式的性质可证明.
【详解】（1）
≥ =
≥ ．(当且仅当 时，取等号)
∴函数f(x)的最小值为 ．
（2）因为 ， ， 均为正数，
所以 ，
∴ ．
由
≥9，
得 ．
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
2．已知函数 ．
(1)若 ，求不等式 的解集；(2)若 ，求实数a的取值范围．
【分析】（1）分别在 ， ， 条件下化简绝对值不等式，并求其解集；
（2）利用绝对值三角不等式得到 ，依题意可得 ，讨论 的正负，
解方程求a的取值范围．
【详解】（1）当 时， ，不等式 可化为 ，
当 时，不等式化为 ，∴ ，此时 ；
当 时，不等式化为 ，因为 恒成立，所以 ；
当 时，不等式化为 ，∴ ，此时 ，
综上所述，不等式的解集为 ；
（2） ，当且仅当 时取等，
若 ，则 ，
当 时，不等式恒成立；
当 时，不等式 ，两边平方可得 ，解得 ，∴
，
综上可得，a的取值范围是 ．
3．已知函数 ．
(1)求不等式 的解集；
(2)设函数 的最小值为m，且正实数a，b，c满足 ，求证：
．
【分析】（1）分段讨论去绝对值即可求解；（2）利用绝对值不等式可求得 ，再利
用基本不等式即可证明.
【详解】（1）由题意可得： ，
当 时，则 ，解得 ；
当 时，则 ，解得 ；
当 时，则 ，解得 ；
综上所述：不等式 的解集为 .（2）∵ ，当且仅当 时等号成立，
∴函数 的最小值为 ，则 ，
又∵ ，当且仅当 ，即 时等号成立；
，当且仅当 ，即 时等号成立；
，当且仅当 ，即 时等号成立；
上式相加可得： ，当且仅当 时等号成立，
∴ .
4．已知函数
(1)求不等式 的解集；
(2)若 的最小值为 ，且 ，求 的最小值．
【分析】（1）分类讨论去绝对值解不等式；
（2）根据 求 的最小值，再根据题意结合基本不等式求 的最小值
（1）
∵ ，则有：
当 时，则 ，解得：
当 时，则 ，即 成立
当 时，则 ，解得：
综上所述：不等式 的解集为
（2）
∵ ，当且仅当 时等号成立
∴ 的最小值为 ，即
则 ，当且仅当 ，即
时等号成立∴ 的最小值为16.5．已知函数 .
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若不等式 的解集非空，求 的最大值.
【分析】（1）由绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号解不等式可得；
（2）不等式分离参数后，转化为求函数的最大值，利用绝对值三角不等式可得．
（1）
由已知 .
当 时， ， ，此时无解；
当 时， ， ，此时取 ；
当 时， ， ，此时取 .
综上可得不等式 的解集为 .
（2）
由题意可得 有解，
因为 （ 时取等号），
所以 有解，
∴ ，
∵ ，当 时等号成立，∴ ，
∴ ，即 的最大值为 .
6．已知 ， ， ，且 .
(1)求证： ；
(2)若不等式 对一切实数 ， ， 恒成立，求 的取值范围.
【分析】（1）对 应用基本不等式可证；
（2）由（1）只要解不等式 ，根据绝对值的定义分类讨论求解．
【详解】（1）
，所以 ，当且仅当 时等号成立
（2）由（1）可知 对一切实数 ， ， 恒成立，
等价于 ，
令 ，
当 时， ，
当 时， ，舍去，
当 时， ，即 或 .
综上所述， 取值范围为 .
一、解答题
1．已知
（1）求 的取值范围；
（2）若 ，证明： ；
（3）求所有整数 ，使得 恒成立.注： 为自然
对数的底数.
【答案】（1） ；（2）证明见详解；（3） 的值可以是 ．
【分析】（1）分类讨论 ， ， ，即可得出结果
（2）将原不等式证明转为证明 与 ，构造函数 ，求导分析单调
性，只需证 与 即可．
（3）由原不等式化为 ，主要求得 取值范围即可，由于
，构造函数 即可求得 取值范围．
【详解】（1）当 时，有 与 矛盾；当 时，有 与 而 ，与 矛盾；
当 时，有 则 ，由 得 ，所以 ；
综上所述： ；
（2）设 ，则 ，当 时， ，则 在
上递增，
由于 得 ，即 ，由（1）知 ，又 ，
故要证 即证
即证 且
①要证 ，需证 ，即证
需证 ，设 ，需证
由 ，又 ，所以
所以 在 单调减，则 ，所以 成立，则 成立；
②要证 ，由于 ，则
需证 ，即证
需证 ，设 ，需证
由 ，
又 ， ，
故有 ， ，所以 在 单调减，在 单调增
又 ，
所以 ，则 ，得所以 成立；
（3）因为 ，
所以
由
设 ，由 ，得 在 上单调减，在 上单调增
又因为 则
所以
由 恒成立，所以 的值可以是
2．已知 .
（1）解不等式 ；
（2）令 的最小值为 ，正数 ， 满足 ，求证： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】（1）分类讨论解不等式，再取并集；
（2）分类讨论求出函数的最小值，可知 ，利用基本不等式知 ，再利用
柯西不等式及不等式的性质即可证得结论.
【详解】（1）当 时， ，得 ；
当 时， ，得 ；
当 时， ，得 ，
综上，原不等式的解集为 ．（2）由（1）可知，当 时， ；
当 时， ；当 时， ．
故 的最小值 ，则 ．
于是 ，则 ，当且仅当 ， 时，等号成立.
．
当且仅当 即 ， 时取“=”
所以， ．
3．已知函数 .
（Ⅰ）解不等式 ；
（Ⅱ）设函数 的最小值为t，若 ，且 ，证明： .
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】（Ⅰ）利用绝对值的几何意义，分 或 或
求解；
（Ⅱ）求得最小值t,法一：转化为分段函数求解； 法二：利用绝对值三角不等式求解；证
明不等式， 法一：通过通分变形为 ，利用基本不等式证明；法二：利
用柯西不等式证明.
【详解】（Ⅰ）不等式等价于 或 或 ，
解得 或 或 .
所以不等式 的解集为 .
（Ⅱ）法一：由 知，当 时， ，即 .
法二： ，
当且仅当 时，取得等号，则 的最小值为2，即 .
法一：
当且仅当 ，不等式取得等号，所以 .
法二： 由柯西不等式可得： .
当且仅当 ，不等式取得等号，所以 .
4．已知函数 .
（1）当 时，画出函数 的图象：
（2）当 时， 恒成立，求 的范围.
【详解】（1）当 时，函数的解析式可化为： ，故函数图象
如图（2）①当 时， 在 时显然成立；
②当 时，由于 ， ，故 ， ，
令 ，对称轴 ，开口向下， ，即在 时， 成
立；
③当 时，当 时， ， ，令
，对称轴 ，开口向上，当 时函数减，当
时函数增， ， ，解得： ；
当 时， ， ，令 ，对称
轴 ，开口向上，此时函数在 为增函数，需 ，解得：
；
综上可知，当 或 时，满足条件.
5．（1）已知 ，证明： ；
（2）若对任意实数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】（1）利用
证明 即可.（2）对 进行分类讨论，使得 即可.
【详解】（1）证明：因为 ，
所以
.
所以要证 ，
只需证 .
因为
.
所以 .
因为 ，所以 .
所以 .
（2）解：设 ，则“对任意实数 ，不等式 恒成
立”等价于“ ”.
当 时， ，此时 ，
要使 恒成立，必须 ，解得 .
当 时， ，即 ，显然不恒成立.
当 时， ，此时 ，
要使 恒成立，必须 ，解得 .综上所述，实数 的取值范围为 .
6．已知 都是正数，且 ，用 表示 的最大值，
.
（1）证明 ；
（2）求M的最小值.
【答案】(1)见解析；（2） .
【分析】 1 由已知 ，利用“1的代换”结合基本不等式证明
；
2 由题意， ， ， ，把三个式子平方作和，再由均值不等式
求最值．
【详解】 1 证明： ，
，
当且仅当 时等号成立，
故 ；
2 解：由题意， ， ， ，
，
当且仅当 时上式等号成立．
，即M的最小值为 ．1．（2022·全国·高考真题（理））已知a，b，c均为正数，且 ，证明：
(1) ；
(2)若 ，则 ．
【分析】（1）方法一：根据 ，利用柯西不等式即可得证；
（2）由（1）结合已知可得 ，即可得到 ，再根据权方和不等式即可
得证.
（1）
[方法一]：【最优解】柯西不等式
由柯西不等式有 ，
所以 ，当且仅当 时，取等号，所以 .
[方法二]：基本不等式
由 ， ， ，
，
当且仅当 时，取等号，所以 .
（2）
证明：因为 ， ， ， ，由（1）得 ，
即 ，所以 ，
由权方和不等式知 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
所以 .
2．（2020·山东·高考真题）已知函数 .
（1）求 的值；
（2）求 ，求实数 的取值范围.【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）根据分段函数的解析式，代入计算即可；
（2）先判断 的取值范围，再代入分段函数解析式，得到 的具体不等式写
法，解不等式即可.
【详解】解：（1）因为 ，
所以 ，因为 ，
所以 .
（2）因为 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
即 ，解得 .
3．（2021·全国·高考真题（文））已知函数 ．
（1）画出 和 的图像；
（2）若 ，求a的取值范围．
【答案】（1）图像见解析；（2）
【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；
（2）根据函数图像数形结和可得需将 向左平移可满足同角，求得 过
时 的值可求.【详解】（1）可得 ，画出图像如下：
，画出函数图像如下：
（2） ，
如图，在同一个坐标系里画出 图像，
是 平移了 个单位得到，
则要使 ，需将 向左平移，即 ，
当 过 时， ，解得 或 （舍去），
则数形结合可得需至少将 向左平移 个单位， .4．（2021·全国·高考真题（理））已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集;
（2）若 ，求a的取值范围．
【答案】（1） .（2） .
【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.
（2）利用绝对值不等式化简 ，由此求得 的取值范围.
【详解】（1）[方法一]：绝对值的几何意义法
当 时， ， 表示数轴上的点到 和 的距离之和，
则 表示数轴上的点到 和 的距离之和不小于 ，
当 或 时所对应的数轴上的点到 所对应的点距离之和等于6，
∴数轴上到 所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是 或
，
所以 的解集为 .
[方法二]【最优解】：零点分段求解法
当 时， ．
当 时， ，解得 ；
当 时， ，无解；当 时， ，解得 ．
综上， 的解集为 ．
（2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值
依题意 ，即 恒成立，
，
当且仅当 时取等号，
,
故 ，
所以 或 ，
解得 .
所以 的取值范围是 .
[方法二]【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值
由 是数轴上数x表示的点到数a表示的点的距离，得 ，
故 ，下同解法一.
[方法三]：分类讨论+分段函数法
当 时，
则 ，此时 ，无解．
当 时，
则 ，此时，由 得， ．
综上，a的取值范围为 ．
[方法四]：函数图象法解不等式
由方法一求得 后，构造两个函数 和 ，
即 和 ，如图，两个函数的图像有且仅有一个交点 ，
由图易知 ，则 ．
5．（2020·全国·高考真题（理））已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，求a的取值范围.
【答案】（1） 或 ；（2） .
【分析】（1）分别在 、 和 三种情况下解不等式求得结果；
（2）利用绝对值三角不等式可得到 ，由此构造不等式求得结果.
【详解】（1）当 时， .
当 时， ，解得： ；
当 时， ，无解；
当 时， ，解得： ；
综上所述： 的解集为 或 .
（2） （当且仅当
时取等号），
，解得： 或 ，
的取值范围为 .
6．（2019·全国·高考真题（理））设 ，且 .
（1）求 的最小值；
（2）若 成立，证明： 或 .【答案】(1) ；(2)见详解.
【分析】(1)根据条件 ，和柯西不等式得到 ，再讨论
是否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的
代入原不等式，便可得到参数 的取值范围.
【详解】(1)
故
等号成立当且仅当 而又因 ，解得
时等号成立
所以 的最小值为 .
(2)
因为 ，所以 .
根据柯西不等式等号成立条件，当 ，即 时有
成立.
所以 成立，所以有 或 .
