文档内容
第 9 节 简单的线性规化问题
基础知识要夯实
1.二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式 表示区域
Ax＋By＋C>0
直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成
不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0 的平面区域 包括边界直线
不等式组 各个不等式所表示平面区域的 公共部 分
2.点P(x ，y)和P(x ，y)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax ＋By ＋C)(Ax ＋By ＋
1 1 1 2 2 2 1 1 2 2
C)<0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax＋By＋C)(Ax＋By＋C)>0.
1 1 2 2
3.线性规划的有关概念
名称 意义
线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束条件
目标函数 关于x，y的解析式
线性目标函数 关于x，y的一次解析式
可行解 满足线性约束条件的解(x，y)
可行域 所有可行解组成的集合
最优解 使目标函数达到最大值或最小值的可行解
线性规划问题 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题
[微点提醒]
1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：
(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；
(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，
0)来验证.
2.判定二元一次不等式表示的区域
(1)若B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方.
(2)若B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方.
典型例题剖析
考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
【例1】 (1)在平面直角坐标系中，不等式组 表示的平面区域的面积是( )A. B. C. D.2
【规律方法】1.二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域.
2.求平面区域的面积：
(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问
题，从而再作出平面区域；
(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可
利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和.
【训练1】 (2022·玉溪模拟)已知不等式组 所表示的平面区域为面积等于 的三角形，
则实数k的值为( )
A.－1 B.－ C. D.1
考点二 线性规划中的最值问题
角度1 求线性目标函数的最值
【例2－1】 (一题多解)(2018·全国Ⅲ卷)若变量x，y满足约束条件 则z＝x＋ y的
最大值是________.
角度2 求非线性目标函数的最值
【例2－2】 (1)(2022·济南一模)若变量x，y满足约束条件 则 的最大值为( )
A.1 B.3 C. D.5
角度3 线性规划中的参数问题
【例 2－3】 (2022·西安质检)已知实数 x，y 满足约束条件 若目标函数 z＝y－ax(a≠0)取得最大值时的最优解有无数个，则a的值为( )
A.2 B.1
C.1或2 D.－1
【跟踪训练】1.先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.一般在平面区域
的顶点或边界处取得.
2.当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题.常见代数式的几何意义：
(1) 表示点(x，y)与原点(0，0)的距离， 表示点(x，y)与点(a，b)的距离；
(2) 表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率， 表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率.
3.当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件.
【训练2】 (2022·茂名二模)若实数x，y满足条件 则 的最大值为( )
A. B. C.1 D.2
考点三 实际生活中的线性规划问题
【例3】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料
1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，
生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg，乙
材料 90 kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为
________元.
【规律方法】1.解线性规划应用题的步骤.
(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；
(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；
(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案.
2.解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线
性约束条件，写出要研究的函数，转化成线性规划问题.
【训练3】某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需
要在A，B两种设备上加工，生产一件甲产品需用 A设备2小时，B设备6小时；生产一件乙产品需用A设备3小时，B设备1小时.A，B两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若
生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为( )
A.320千元 B.360千元
C.400千元 D.440千元
[思维升华]
1.求最值：求二元一次目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝
－ x＋ ，通过求直线的截距 的最值间接求出z的最值.最优解在顶点或边界处取得.
2.利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题.
[易错防范]
1.画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化.
2.在通过求直线的截距 的最值间接求出z的最值时，要注意：当b>0时，截距 取最大值时，z也
取最大值；截距 取最小值时，z也取最小值；当b<0时，截距 取最大值时，z取最小值；截距
取最小值时，z取最大值.
达标检测要扎实
一、单选题
1．已知实数 满足约束条件 ，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．2．已知实数 满足条件： ，则 的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．1
3．若实数 满足 ，则 的最大值是（ ）
A．5 B． C．4 D．
4．已知实数 ， 满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．若 、 满足线性约束条件 ，则 （ ）
A．有最小值 B．有最小值
C．有最大值 D．有最大值
6．若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）
A．4 B．6 C．2 D．-27．在直角 中， 是直角，CA=4，CB=3， 的内切圆交CA，CB于点D，E，点P是图
中阴影区域内的一点(不包含边界)．若 ，则 的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
8．若实数 满足 则 的最大值为（ ）
A．
B．
C．13
D．9．若 、 满足条件 ，当且仅当 ， 时， 取最小值，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10． 满足约束条件 ，若 取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为
（ ）
A． 或-1 B．2或 C．2或1 D．2或-1
11．若 满足约束条件 设 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
12．定义域为R的函数 满足：①对任意 ，都有 ；②函数
的图象关于y轴对称.若实数s，t满足 ，则当 时，
的取值范围为（ ）A． B．
C． D．
二、填空题
13．已知实数 ， 满足 ，则 的取值范围是______．
14．变量x，y满足约束条件 ，若 的最大值为2，则实数 _________．
15．若实数 ， 满足约束条件 ，则 的取值范围是__________.
16．已知实数 ， 满足 ，则 的取值范围是_______．
三、解答题
17．某公司计划2021年在甲､乙两个网络平台上投放总时间不超过300天的广告，广告总费用不超
过90万元，已知甲､乙两个网络平台的广告收费标准分别为5000元/天和2000元/天，广告每天能
给公司带来的收益分别为3万元和2万元该公司如何分配在甲､乙两个网络平台上的广告时间，才
能使公司的收益最大？最大收益是多少万元？18．设 满足约束条件 .
（1）求目标函数 的取值范围；
（2）若目标函数z＝ax＋2y仅在点(-1，1)处取得最大值，求a的取值范围.
19．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交河，”诗中隐
含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，
先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中，将军从点 处
出发，河岸线所在直线方程为 ，并假定将军只要到达军营所在区域即为回到军营.
（1）若军营所在区域为 ，求“将军饮马”的最短总路程；
（2）若军营所在区域为 ，求“将军饮马”的最短总路程.
20．某广告公司接到幸福社区制作疫情防控宣传标牌的任务，要制作文字标牌4个，绘画标牌5个，
该公司现有两种规格的原料，甲种规格原料每张3m2，可做文字标牌1个和绘画标牌2个;乙种规格
原料每张2m2，可做文字标牌2个和绘画标牌1个.问两种规格的原料各用多少张时，才能使总的用
料面积最小?并求最小用料面积.
21．已知命题P:方程 在区间 和 上各有一个实数根.命题 函数
的值域为R.
(1)若命题P是真命题，求 的取值集合M；
(2)若“ ”是q成立的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
22．家具公司制作木质的书桌和椅子，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅
子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子、
一小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1300个工作时，又已知制作一把椅子和一张书桌的
利润分别是15元和20元，试根据以上条件，问怎样安排生产能获得最大利润?
