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微专题 03 三角形内的动点问题
题型 1 特殊三角形存在性问题
存在性问题：判断或求解动点位置使特定条件成立
定义：动点运动过程中，是否存在某一位置，使得形成的图形（如等腰三角形、直角三角形、全等三角
形）满足题目给定的条件。
常见场景：
等腰三角形存在性：动点运动过程中，是否存在点P，使得△PBC为等腰三角形（如PA＝PB、PA＝
AB、PB＝AB）；
直角三角形存在性：动点运动过程中，是否存在点P，使得△PBC为直角三角形（如∠P＝90°、∠B＝
90°、∠C＝90°）；
全等三角形存在性：两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使得两个三角形全等（如对应边相等、
对应角相等）。
解题方法：
分类讨论：根据等腰三角形的“腰”或直角三角形的“直角顶点”进行分类（如等腰三角形的三种情
况：PA＝PB、PA＝AB、PB＝AB）；
建立方程：利用勾股定理、全等三角形的性质建立方程，求解动点的位置（如时间t）；
验证合理性：检查解是否在动点的运动范围内（如t≥0且不超过边的长度除以速度）。
1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 ， ， ．(1)求点 的坐标和 的值．
(2)若 是第一象限内的直线 上的一个动点，当 的面积是 时， 轴上是否存在一
点 ，使得 是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)存在， 的坐标为 或 或 或 ．
【分析】（1）先求得直线 与 轴的交点，即可求出点 的坐标，从而得到 的长度；结合
已知 可得 ，进而求得点 的坐标，将点 的坐标代入解析式中，即可求得 的值；
（2）以 、 、 分别是等腰三角形的顶角顶点分三种情况进行讨论，利用等腰三角形的性质即可求
解．
【详解】（1）解：把 代入 ，得 ，
点 的坐标为 ，
．
，
，
点 的坐标为 ．
把 代入 ，得 ，
解得 ．
（2）解：存在．由题意，得点 的坐标为 ，
，解得 ，此时 ，
点 的坐标为 ，
由勾股定理，得 ．
分以下三种情况讨论：
①当 是等腰三角形 的顶角顶点时， ，
点 的坐标为 或 ；
②当 是等腰三角形 的顶角顶点时， ，点 与点 关于过点 且与 轴垂直的直线对称，
点 的坐标为 ；
③当 是等腰三角形 的顶角顶点时， ．
设点 的坐标为 ．
，
由勾股定理，得 ，
解得 ，则点 的坐标为 ．
综上所述，满足条件的点 的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查的是一次函数的综合应用、解答本题主要应用了待定系数法求函数的解析式、
等腰三角形的判定，分类讨论是解题的关键．
2．（25-26八年级上·山东济南·期中）平面直角坐标系中，直线 交x轴于点 ，交y轴于点
，a、b满足 ．(1)求A、B两点的坐标；
(2)在射线 上是否存在点D，使 为等腰三角形？若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，
请说明理由；
(3)如图2，点B、Q关于x轴对称，M为x轴上A点右侧一点，过点M作 交直线 于点N，
是否存在点M，使 ，若存在，求点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2) 或 或
(3)
【分析】本题考查了平面直角坐标系、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及三角形面积
的计算，熟练运用坐标运算、分类讨论思想和相似三角形的性质是解答本题的关键．
（1）利用二次根式的被开方数非负性求出 ， 的值，进而确定A、B两点的坐标；
（2）设出点D的坐标，根据等腰三角形的三种分类（ 、 、 ），结合两点间
距离公式求解；
（3）先求出直线 的解析式，设出点M的坐标，通过证明三角形全等得到线段关系，再结合三角形
面积公式列出方程求解．
【详解】（1）解：∵a、b满足 ，
∴ ，
∴ ， ，∴ ， ；
（2）解：存在点D，使 为等腰三角形．
∵ ， ，
∴在 中，由勾股定理可得 ，
∵在射线 上存在点D，使 为等腰三角形，
①若 ，
∴ ，
∵此时点D在 轴负半轴，
∴ ；
②若 ，则点D与点 重合，
∴ ；
③若 ，则 ，
∴ ；
综上所述， 或 或 ．
（3）解：存在，理由如下：
过点 作 轴，交 轴于点 ，如图：
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵点 、 关于 轴对称，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由对称性质可知： ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，∴ ．
3．（2025八年级上·江苏泰州·专题练习）如图，直线 与x轴、y轴分别交于A，B两点，其中
点C，D分别为直线l： 与x轴、y轴的交点．
(1)求A点的坐标和k的值；
(2)在直线l上存在一点P，使得 求点P的坐标．
(3)点M是直线l上的一个动点，那么在x轴上是否存在点N，使得 为等腰直角三角形？若存在，
请直接写出点M以及对应的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)点P坐标为 或 ．
(3)存在，① 或 ，② 或 ，③
， 或 ， ；
【分析】本题主要考查一次函数与几何综合，等腰三角形的性质和判定；
（1）求出点B坐标，根据 ，推出点A坐标，把 代入直线 即可解决问题．
（2）设 ．分两种情形①当P在 上方时，根据 计算即可．
②当P在 下方，与C重合时，满足（3）存在，分三种情形讨论即可：①作 的平分线交 于点M，易知 ，作 交
x轴于N，作 于 ，则 是等腰直角三角形； 是等腰直角三角形．②当点M与
D重合时，在x轴上截取 ，此时 是等腰直角三角形， 是等腰直
角三角形，③作 平分 交 于M．易知 ，作 轴于N，作 交
于 ，则 是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形．
【详解】（1）解：直线 与y轴交于B点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
把 代入直线 得到 ，
∴ ．
∴ ， ．
（2）解：如下图中，设 ．
①当P在 上方时，∵ ，
∴ ，
解得 ，此时点P坐标为 ．
②当P在 下方，与C重合时，
满足 ，
此时点P坐标为 ．
（3）解：存在．理由如下：
①如下图中，作 的平分线交 于点M，易知 ，作 交x轴于N，作
于 ．
则 是等腰直角三角形， ，
是等腰直角三角形， ．
②如下图中，当点M与D重合时，在x轴上截取 ，
此时 是等腰直角三角形，此时 ，
是等腰直角三角形，此时 ．③如下图中，作 平分 交 于M．易知 ，作 轴于N，作 交
于 ．
则 是等腰直角三角形， ， ；
是等腰直角三角形， ， ．
4．（25-26八年级上·广西柳州·期中）定义：我们将形如 的函数称为一次函数
的“伴随函数”，例如： 是一次函数 的“伴随函数”．
(1)如图1，若一次函数 的图象与 轴， 轴分别交于 两点，其中 ．求此一
次函数的“伴随函数”表达式；
(2)若（1）中“伴随函数”的图象交 轴于点 ，取线段 中点 ，过点 作直线 轴，在直线
上是否存在点 ，使得 ？若存在，请求出点 的坐标并说明理由；(3)在线段 上取一点 ，使得 的值最小．将点 向右平移一个单位长度得到点 ，连接
，在直线 上是否存在点 ，使得 是以 为腰的等腰三角形？若存在，请求出点 的坐标
并说明理由．
【答案】(1)
(2)存在， 或
(3)存在， 或 或
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象与坐标轴交点，等腰三角形的定义，相
似三角形的判定和性质，直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握相关知识，并运用数形结合的思想
分析问题进行分类讨论是解题的关键．
（1）直接利用待定系数法求出一次函数表达式，再写出其“伴随函数”的表达式即可；
（2）设直线l交x轴于点H， 交 于点K，根据中点坐标公式求出点N的坐标，证明
后，根据 的性质求出一个坐标，再根据轴对称的性质求另一种情况即可；
（3）在x轴下方作 ，交y轴于点F，作 于点T，连接 ，当A、P、T共线时，
的最小值为 的长，可得 的最小值为 的长，利用直角三角形的性质结合勾股
定理可求得点P的坐标为 ，求出直线 的解析式为 ，可得 ，分两种情况讨
论即可．
【详解】（1）解：把 代入 ，得 ，
解得 ，
∴一次函数的表达式为 ，
∴此一次函数的“伴随函数”表达式为 ；
（2）解：存在，理由如下：设直线l交x轴于点H， 交 于点K，
令 ，则 ，
∴ ，即 ，
∵ ，取线段 中点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ；
作点M关于x轴的对称点 ，如图，此时， ，
∴ ，
∴ ；
综上，点M坐标为 或 ；
（3）解：存在，理由如下：
在x轴下方作 ，交y轴于点F，作 于点T，连接 ，
∴ ，即 ，
当A、P、T共线时， 的最小值为 的长，
∵ ，
∴ 的最小值为 的长，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，∴ ，
∴ ，
∵将点 向右平移一个单位长度得到点 ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
∵点Q在直线 上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
当 即 时，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴点Q的坐标为 或 ；
当 即 时，∴ ，解得 或 （舍），
∴ ，
∴点Q的坐标为 ；
综上，点Q的坐标为 或 或 ．
5．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）定义：如果一个三角形中有两个内角 满足 ，那么
我们称这个三角形为“近直角三角形”．
(1)在 中， ，则 ___________“近直角三角形”（填“是”或“不
是”）；
(2)如图①，若 是“近直角三角形”， ， ，则 ___________；
(3)如图②，在 中， ，在 的延长线上是否存在点 ，使得
是“近直角三角形”？若存在，求出 的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)是
(2)
(3)存在， 的长为3
【分析】本题是三角形的综合题，主要考查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形
的判定和性质等知识，正确的理解“近直角三角形”是解题的关键．
（1）先根据三角形的内角和定理可得 ，再根据“近直角三角形”即可作判断；
（2）根据“近直角三角形”的定义列等式即可解答；
（3）根据 是“近直角三角形”，由新定义可得两种情况： 或
，即可求解．
【详解】（1）解： ， ，
，
，三角形 是“近直角三角形”；
故答案为：是；
（2）解： ，
不可能是 或 ，
当 时， ， ，不成立；
当 时， ， ，则 ，
；
故答案为： ；
（3）解：存在，
如图，
， ， ，
， ， ，
是“近直角三角形”，
或 ，
①当 时， ，
，
，
，
；
②当 时， ，
，
，
，
；
综上， ．
6．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，函数 的图象为直线 ，函数的图象为直线 ，直线 交 轴于点 ，交直线 于点 ．
(1)求点 的坐标和直线 的函数表达式；
(2)请判断 是否为直角三角形？并说明理由；
(3)直线 上是否存在一点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；直线 的函数表达式为
(2) 是直角三角形，理由见解析
(3) 或
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，求一次函数解析式，两点间距离公式和勾股定理的逆
定理，正确求出直线 的函数表达式是解题的关键．
（1）把点M的坐标代入正比例函数解析式中求出点M的坐标，再利用待定系数法求出直线 的函数表
达式，则可求出点C的坐标；
（2）利用两点间距离公式求出 的三边长的平方，再利用勾股定理的逆定理求解即可；
（3）求出 的面积，则可得到 的面积，根据三角形面积计算公式求出点P的纵坐标即可
得到答案．
【详解】（1）解：把 代入 得 ，解得 ，
∴ ，
把 代入 得 ，解得 ，
∴直线 的函数表达式为 ，
在 中，当 时， ，∴ ；
（2）解： 是直角三角形，理由如下：
由（1）得 ， ，
∴ ， ，
，
∴ ，
∴ 是直角三角形；
（3）解：由（1）得 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，当 时， ，当 时， ，
∴点P的坐标为 或 ．
题型 2 动点求值问题
求值问题：计算具体的数量（如时间、长度、角度）：
定义：动点运动过程中，求某一时刻的时间、线段的长度或角度的大小。
常见场景：求时间：动点P从A出发沿AB运动，求某个三角形为等腰三角形时的时间t；
求长度：动点P从A出发沿AB运动，求某条线段的长度（用含t的代数式表示）；
求角度：动点P从A出发沿AB运动，求某个角的大小（用含t的代数式表示）。
解题方法：
用t表示线段长度：根据动点的速度和时间，用含t的代数式表示线段长度；
利用几何性质：利用三角形的内角和、勾股定理、全等三角形的性质建立方程，求解t或长度；
代入计算：将t代入方程，计算出具体的长度或角度。
1．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，直线 ， 平分 ，过点 作 交
于点 ；动点 、 同时从 点出发，其中动点 以 的速度沿射线 方向运动，动点 以
的速度沿射线 上运动；已知 ，设动点 ， 的运动时间为 ．
(1)试求 的度数；
(2)若 ，试求动点 ， 的运动时间 的值；
(3)试问当动点 ， 在运动过程中，是否存在某个时间 ，使得 与 全等？若存在，请求
出时间 的值；若不存在，请说出理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】本题是三角形综合题，考查等腰直角三角形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判
定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题．
（1）根据直线 ， 平分 ，得出 ，结合 即可得出 的度数；
（2）作 ，则 ，根据 可得 的值，分别用 表示
， 即可求得 的值，即可解题；
（3）当 点在 点上方时，易得 时， ，分别用 表示 ， 即可求得 的
值；
【详解】（1）解： ， 平分 ，
，，
，
；
（2）作 ， ，
∵ 平分 ，则 ，
，
，
， ，
，
解得： ；
当 点在 点右侧时， ，
，解得 ．
（3） ， ，
当 时， ，
即 ，或 ，
解得： 或 舍弃 ，
答： ， ．
2．（25-26八年级上·吉林长春·期末）【问题发现】如图 ，点 为等边 边 上一动点，以
为边作等边 ，连接 ，猜想 与 的数量关系为______， ______．
【类比探究】 和 均为等腰直角三角形， ，如图 ，若点 为线段
上一动点，试判断 、 、 存在什么数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】在（2）的基础上，若点 为线段 延长线上一动点，如图 ，当 ， ，
则 的值是______．【答案】【问题发现】 ， ；【类比探究】 ，理由见解析；【拓展延伸】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾
股定理．熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据等边三角形的性质结合角的等量代换可证得 ，由全等三角形的性质即可
得出结论．
（2）根据等腰直角三角形的性质结合角的等量代换可证得 ，可得 ，
，从而可证得 ，在 中，由勾股定理即可得出结论．
（3）连接 ，根据等腰直角三角形的性质结合角的等量代换可证得 ，可得
， ，从而可证得 ，在 中，由勾股定理即可得解．
【详解】解：【问题发现】 和 都是等边三角形，
， ， ，
，即 ，
在 和 中，
，
，
， ．
故答案为： ， ．
【类比探究】 ，理由如下：
和 均为等腰直角三角形， ，， ， ， ，
即 ，
在 和 中，
，
，
， ；
；
在 中，由勾股定理，得： ，
；
【拓展延伸】如图所示，连接 ，
，
，即 ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
，在 中，由勾股定理，得： ．
故答案为： ．
3．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，直线 ， 平分 ，过点 作 交
于点C．动点D，E同时从点A出发，其中动点E以 的速度沿射线 运动，动点 以 的速
度在直线 上运动．已知 ，设动点D，E的运动时间为 ．
(1) 的度数为________；
(2)当点D沿射线 运动时，若 ，求t的值；
(3)当动点D在直线 上运动时，是否存在某个时间t，使得 与 全等？若存在，请求出时
间t的值；若不存在，请说出理由．
【答案】(1)
(2) 或4
(3)2或6
【分析】（1）根据角平分线的定义、直角三角形的锐角互余即可解决问题；
（2）作 于 ， 于 ．由 平分 ，推出 ，由 ，
， ，可得 ，解方程即可解决问题．
（3）存在．由 ， ，可知当 时， ，列出方程即可解
决问题．
【详解】（1）解：如图1中，，
，
平分 ，
，
，
，
，
故答案为： ；
（2）解：如图2中，
①当 在线段 上时，作 于 ， 于 ．
平分 ，
，
， ， ，
，
；
②当点 运动到 延长线上，同法可得 时，也满足条件，
当 或4时，满足 ；
（3）解：存在某个时间 ，使得 与 全等；理由如下：由（1）知 ， ，
是等腰直角三角形，
， ，
当 时， ，
，
，
时，
当 在 延长线上时， ，
解得： ，
综上所述，满足条件的 的值为2或6，
故答案为：2或6．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平
分线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
4．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）综合与探究：在 中， ，点 从点 出发
以 的速度沿线段 向点 运动．
(1)如图1，设点 的运动时间为 ，当 ______ 时， 是直角三角形；
(2)如图2，若另一动点 从点 出发，沿线段 向点 运动，如果动点 ， 都以 的速度同时
出发，设运动时间为 ，求当 为何值时， 是直角三角形；
(3)如图3，若另一动点 从点 出发，沿射线 方向运动，连接 交 点 ，且动点 ， 都以
的速度同时出发．
①设运动时间为 ，那么当 为______ 时， 是等腰三角形？
②如图4，连接 在点 ， 的运动过程中，请证明 和 的面积始终相等．【答案】(1)
(2)当 为 或 时， 是直角三角形
(3)① ；②见解析
【分析】（1）由题意可得 是等边三角形，推出当 为 的中点时， ，此时 是
直角三角形，得到 ，即可求解；
（2）根据题意可得： ， ，进而得到 ，由 是等边三角形，可得 ，
分两种情况：当 时，当 时，根据含 角的直角三角形的性质，列出关于 的方程即
可求解；
（3）①根据三角形的外角性质可得 ，推出 是等腰三角形，此时只能使 ，
然后证明 是直角三角形，再列出关于 的方程即可求解；②过点 作 交 于点 ，过
点 作 于点 ，可得 是等边三角形，推出 ，证明 ，得
到 ，即可证明．
【详解】（1）解： ，
是等边三角形，
当 为 的中点时， ，此时 是直角三角形，
，
，
故答案为： ；
（2）根据题意可得： ， ，
，
是等边三角形，
，
当 时， ，，
，
，
解得： ；
当 时， ，
，
，即 ，
解得： ；
综上所述，当 为 或 时， 是直角三角形；
（3）① 是等边三角形，
，
，
是等腰三角形，此时只能使 ，
， ，
， ，
，
，
，
解得： ，
当 为 时， 是等腰三角形，
故答案为： ；②证明：如图，过点 作 交 于点 ，过点 作 于点 ，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
和 的高均为 ，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含 角的直角三角形的性
质，等边三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解题的关键是灵活运用相关知识．
5．（24-25八年级上·河北唐山·月考）如图，射线 ， 平分 ，过点 作 交
于点 ；动点 、 同时从 点出发，其中动点 以 的速度沿射线 方向运动，动点 以
的速度在射线 上运动；已知 ，设动点 ， 的运动时间为 ．(1) 的度数为________；
(2)若 ，试求动点 、 的运动时间 的值；
(3)试问当动点 、 在运动过程中，存在某个时间 ，使得 ，直接写出 的值．
【答案】(1)
(2)当 或12时，
(3)
【分析】（1）根据 ， 平分 ，得出 ，根据 ，得出
；
（2）分两种情况分别讨论，①当点 在线段 上时，②当点 运动到点 的右侧时；
（3）先证明 ，得出 ，说明当 在线段 上，且 时，
，得出 ，求出t的值即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：①当点 在线段 上时，过 作 于 ， 于 ，如图所示：∵ 平分 ，
∴ ，
由题意得， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②当点 运动到点 的右侧时，
，
解得： ，
综上分析可知：当 或12时， ．
（3）解：∵ ， 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 在线段 上，且 时， ，
∴ ，
解得： ，∴当 时， ．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，以
及一元一次方程的应用，进行分类讨论是解答本题的关键．
6．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图， 为等腰三角形， ，
动点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度为 ；动点 同时从点 出发，沿 方向匀速运
动，速度为 ．连接 、 ，设运动时间为 ，请解答下列问题：
(1)当 时，求t的值；
(2)设 的面积为 ，求 与t之间的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t，使得 为等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理
由．
【答案】(1)
(2)
(3) 或 或
【分析】本题是三角形的综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，含 度角的直角三角
形的性质，三角形的面积等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键.
（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得 ，再列方程即可解答；
（2）过点 作 于 ， 过点 作 于 ， 过点 作 于 ， 根据
即可解答；（3）分三种情况： ①如图 ， ，过点 作 于 ， ②如图 ， ③如
图 ， ，过点 作 于 ，根据 列方程即可解答.
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
（2）∵ ， ，
∴ ，
如图 ， 过点 作 于 ， 过点 作 于 ， 过点 作 于 ，
∴ ，
由题意得： ， ，
，
由（1）同理得： ，
在 中， ，
由勾股定理得： ，
，；
（3）存在，分三种情况：
①如图 ， 过点 作 于 ，
，
在 中， ，
，
∵ ，
，
；
②如图 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
③如图 ， ，过点 作 于 ，
∴ ，
∵ ， ，
，，
，
，
，
，
综上， 的值是 或 或
题型 3 定值问题
定值问题：证明或计算恒定不变的数量：
定义：动点运动过程中，某一数量（如角度、线段长度的比值）始终保持不变，证明其定值或计算其
值。
常见场景：
角度定值：动点P在BC上运动，证明两角和为定值（利用三角形内角和）；
线段比值定值：动点P在BC上运动，证明两条线段比值为定值（利用整式的乘除进行化简）。
解题方法：
寻找不变量：在动点运动过程中，某些量是不变的（如等边三角形的内角60°、等腰三角形的腰长）；
利用几何定理：利用三角形内角和、全等三角形的性质证明定值；
特殊值验证：取动点运动过程中的特殊位置（如中点、端点），计算定值，再推广到一般情况。
1．（24-25八年级上·河南周口·期末）（1）如图1， 为等边三角形，动点D在边 上，动点E在
边 上．若这两点分别从点B，A同时出发，以相同的速度分别由点B向点A和由点A向点C运动，
连接 交于点P，则在动点D，E的运动过程中， 与 之间的数量关系是
______________________．（2）如图2，若把（1）中的“动点D在边 上，动点E在边 上”改为“动点D在射线 上运
动，动点E在射线 上运动”，其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由．
（3）如图3，若把（1）中的“动点D在边 上”改为“动点D在射线 上运动”，连接 ，交
于点M，其他条件不变，则在动点D，E的运动过程中， 与 之间存在怎样的数量关系？请
写出简要的证明过程．
【答案】（1） ；（2）成立，理由见解析；（3） ，证明见详解
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质
定理是解题的关键．
（1）根据题意得 ， 和 ，即可证明 ，则有 ；
（2）由题意得， ，进一步得 ，结合等边三角形的性质即可证明
，有 ；
（3）作 交 于H，则 ， ， ，有 为等
边三角形，进一步得 ，即可证明 ，则 ．
【详解】解：（1）∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
由题意得， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2） 成立，
理由如下：由题意得， ，∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
（3） ，
理由如下：作 交 于H，如图，
∵ 为等边三角形， ，
∴ ， ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
2．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线 的解析式为 ，直线 与
交于点 ，与 轴交于点 ，且 ．(1)求直线 的解析式；
(2)线段 上是否存在点P，使得 将 的面积分为 两部分．若存在，请求出点P的坐标；
若不存在，请说明理由；
(3)射线 上是否存在点M，使得 ？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说
明理由．
【答案】(1)
(2)存在， 或 ，理由见解析
(3)存在， 或 ，理由见解析
【分析】（1）根据非负数的性质，解方程 ，求出a和b，再用待定系数法求直线
的解析式；
（2）设 ，由 将 的面积分为 两部分，得到 或 ，再列方程求解即
可；
（3）先进行分类讨论，当点M在y轴右侧时，在x正半轴上取点E，使得 ，连接 ，过
点E作 的垂线，交 于点F，作 轴，垂足为G，设点E坐标为 ，点F坐标为 ．
不难得出， 是等腰直角三角形．根据等腰直角三角形的性质，可以证出 ，由全等的性质，计算出点E的坐标，直线 与 的交点即为点M，利用一次函数计算即可．当点M在
y轴左侧时，容易得出此时直线 与直线 关于y轴对称，利用对称性算出点M的坐标．
【详解】（1）解： ，
∴ ， ，
， ，
设直线 的解析式为 ，
把 ， 代入 ，
得 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ；
（2）解：存在，理由如下：
设 ，则 ，
，
，
若 将 的面积分为 两部分，则 或 ，
即 或 ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，∴ 或 ；
（3）解：存在，理由如下：
①当点M在y轴右侧时，
如图，在x正半轴上取点E，使得 ，连接 ，过点E作 的垂线，交 于点F，作
轴，垂足为G，设点E坐标为 ，点F坐标为 ．
由题意可知，直线 与 的交点即为所求的点M．
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∵ 轴，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，∵点E坐标为 ，点F坐标为 ，点B坐标为
∴ ， ， ， ，
∴ ，
解得， ，
∴点E坐标为 ，
设直线 的函数解析式为 ，
将 ， 代入得，
，
解得， ，
∴直线 的函数解析式为 ，
联立方程 ，
解得， ，
∴点M坐标为 ，
②当点M在y轴左侧时，
如图，作点E关于y轴的对称点H，连接 ，由对称的性质可得， ，点H坐标为 ，
由①可知， ，
∴ ，
∴直线 与与 的交点即为所求的点M．
设直线 的函数解析式为 ，
将 ， 代入得，
，
解得， ，
∴直线 的函数解析式为 ，
联立方程 ，
解得， ，
∴点M坐标为 ，综上所述，点M的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数与角度相关的综合问题，一次函数与面积的相关问题，用待定系数法求
一次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，构造等腰直角三角形解题是
关键．
3．（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线 的解析式为 ，直线 与
交于点 ，与y轴交于点 ．
(1)求直线 的解析式；
(2)点 为直线 的动点，若 ，请求出点 的坐标；
(3)直线 上是否存在一个点 ，使得 ？若存在，请直接写出点 的坐标；若不
存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点 的坐标为 或
(3)存在,
【分析】（1）将 代入 得出 ，进而根据 、 待定系数法求解析式，
即可求解；（2）根据 得出 或 ，分别代入 的解析式为 ，求得纵坐标，即可
求解；
（3）先求得直线 交 轴于点 ，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，以 为直
角边向 下方作等腰 ，使 ，过点 作 轴于 ，再证得
，可求得 ，运用待定系数法求得直线 和 的解析式，联立
的解析式即可求得点M的坐标．
【详解】（1）解：∵ 在 上，
∴
设 ，
将 、 代入表达式得
，解得 ，
直线 的解析式为 ；
（2）解：设 ，
∵ 、
∴
∵
∴
∴ 或当 时，
当 时，
∴点 的坐标为 或
（3）解：存在．
理由如下：
由（1）知直线 的解析式为 ，
当 时， ，解得 ，
∴直线 交 轴于点 ，
作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，以 为直角边向 下方作等腰 ，使
，过点 作 轴于 ，如图所示：
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
在 和 中，
，
∴ ，，
，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
将 、 代入解析式得，
，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
直线 的解析式为 ，
联立得 ，
解得 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象和性质、坐标系中求三角形面积、
等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等，熟练掌握待定系数法求函数解析式，数
形结合是解题的关键．
4．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在 中， ， 于点
M，D是线段 上的动点，F是线段 上的动点（点D不与点M重合），运动过程中D始终为
中点．(1)求证： ；
(2)将线段 绕点D逆时针旋转 得到线段 ，连接 ， ，试判断 与 的位置关系，并
说明理由；
(3)将“D是线段 上的动点，F是线段 上的动点（点D不与点M重合）”条件变为“D是线段
上的动点，F是射线 上的动点（点D不与点M重合）”，其余条件不变．在（2）的条件下，
若直线 与 互相垂直，垂足为H．当 时，求 的值．
【答案】(1)证明见解析
(2) ，理由见解析
(3) 的值为 或
【分析】（1）根据 可得 为等腰三角形， ，再根据 可得点M是 中
点，结合 始终为 中点， ，即可证得 ；
（2）延长 至 ，使得 ，连接 ， ，利用三角形中位线性质得到 ，且
，利用旋转的性质得到 ， ，证明 ，得到
，利用等腰三角形三线合一即可说明 与 的位置关系；
（3）根据D是线段 上的动点，F是射线 上的动点（点D不与点M重合），分以下两种情况讨
论，①当F在 左侧时，根据题意作 交 于点 ，②当F在 右侧时，根据题意作
交 于点 ，连接 ， ， ，延长 至 ，使得 ，连接 ， ，由
（2）同理可得 ，由①同理可得 ，根据这两种情况结合直角三角形性质，三角形外
角性质和勾股定理求解，即可解题．
【详解】（1）证明： ，
为等腰三角形， ，，
点M是 中点，
，
始终为 中点，
，
，
，
，
；
（2）解： ，理由如下：
延长 至 ，使得 ，连接 ， ，
D始终为 中点，
，且 ，
由旋转性质可知， ， ，
， ，
，
， ，
，
，
，
，
；
（3）解：①当F在 左侧时，
根据题意作 交 于点 ，，
， ，
，
解得 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设 ，则 ，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
②当F在 右侧时，
根据题意作 交 于点 ，
连接 ， ， ，延长 至 ，使得 ，连接 ， ，
由（2）同理可得 ，由①同理可得 ，
由题可得 ，
， ，
，
解得 ，
，
，
，
，
，
，
设 ，则 ，
， ，
，，
，
，
，
；
综上所述， 的值为 或 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判断与性质，勾股定理，直角三角形性质，全等三角形的性质与判
断，三角形外角性质，三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握相关性质定理并灵活应用．
5．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）在等边 中，线段 为 边上的中线．动点D在直线
上时，以 为一边在 的下方作等边 ，连接 ．
(1)若点D在线段 上时（如图①），则 ____ （填“>”“<”或“=”）， _____度；
(2)设直线 与直线 的交点为O．
①当动点D在线段 的延长线上时（如图②），试判断 与 的数量关系，并说明理由；
②当动点D在线段 的延长线上时（如图②），求 的度数；
③当动点D在直线 上时，试判断 是否为定值？若是，请直接写出 的度数．
【答案】(1) ，
(2)① ，理由见解析；② ；③ 为定值 ，理由见解析
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握等边
三角形三边相等，三个角都是 ，以及全等三角形对应边相等，对应角相等．（1）根据等边三角形的性质可得 ，即可得出 ，根据 即可证
明 ，即可得出 ；根据“三线合一”即可求出 的度数；
（2）①用和（1）相同的方法，证明 即可得出结论；②根据 可得
，在 中，根据直角三角形两个锐角互余，即可得出结论；③分点D在线段
上，点D在线段 的延长线上，点D在线段 的延长线上，三种情况讨论，同理②即可得出
结论．
【详解】（1）解：∵ 和 是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
∵线段 为 边上的中线， 是等边三角形，
∴ ．
故答案为：=， ．
（2）解：① ，理由见解析；
∵ 和 是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
②∵线段 为 边上的中线， 是等边三角形，∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ；
③ 为定值，理由如下：
情况一：当点D在线段 上时，如图：
∵线段 为 边上的中线， 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
情况二：当点D在线段 的延长线上时，由②知 ；
情况三，当点D在线段 的延长线上时，如图：
∵ 和 是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ，
∴
∵线段 为 边上的中线， 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ 的值为定值， ．
6．（2025八年级上·全国·专题练习）已知 为等边三角形 的角平分线，动点E在直线 上（不与
点A重合），连接 ，以 为一边在 的下方作等边三角形 ，连接 ．
(1)如图①，若点E在线段 上，且 ，则 _；
(2)如图②，若点E在 的反向延长线上，且直线 相交于点M．
①求 的度数；
②若 的边长为8，P，Q为直线 上的两个动点，且 ，连接 ，判断 的面
积是否为定值．若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)① ；② 的面积是定值，定值为20
【分析】（1）利用等边三角形的性质得出角的度数，并判定出 为等腰直角三角形，得出
，利用角的和差进行求解即可；
（2）①根据等边三角形的性质证明 ，得出 ，然后利用角的和差进行求
解即可；
②过点B作 于点H，利用含 角的直角三角形的性质求出三角形的高，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵ 为等边三角形，∴ ，
∵ 为等边三角形， 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：① 都是等边三角形，
，
，
，
．
∵ 为等边三角形， 平分 ，
， ，
，
．
，
；
② 的面积是定值，定值为20．理由如下：
如图，过点B作 于点H．
在 中， ，，
．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性
质，含 角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质．
