文档内容
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 09 讲 二次函数与幂函数（精练）
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．下列函数中定义域为 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】将分数指数幂化为根式，再根据幂函数的图像与性质即可得到答案.
【详解】 ，定义域为 ，故A错误；
，定义域为 ，故B错误；
，定义域为 ，故C正确；
，定义域为 ，故D错误，
故选：C.
2．已知幂函数 的图象经过点 ，则 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【分析】先求出函数的解析式，再求出函数的定义域和奇偶性判断即可.
【详解】设 ，因为 的图象经过点 ，
所以 ，即 ，解得 ，则 ，
因为 ，所以 为偶函数，排除B、D，
因为 的定义域为 ，排除A．
因为 在 内单调递增，结合偶函数可得 在 内单调递减，故C满足，
故选：C.
3．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据充分必要条件的定义结合不等式的性质、对数函数性质、幂函数性质求解.
【详解】由 得 即 ，
则有 ，取 ，则 ，
所以 推不到 ，
由 得 ，取 ，则 ，
则有 ，所以 推不到 ，
所以“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件，
故选:D.
4．已知函数 是幂函数,且在 上递减,则实数 （ ）
A． B．2或 C．4 D．2
【答案】D【分析】由题可知 ,且 ,解出 并代入验证即可.
【详解】由题知 是幂函数,
则 ,
解得 或 ,
在 上递减,
,
将 代入可得 ,不符合题意,故舍去,
将 代入可得 ,符合题意,
故 .
故选:D
5．已知函数 是幂函数，则下列关于 说法正确的是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．定义域为 D．在 单调递减
【答案】C
【分析】根据函数为幂函数，得到 ，从而求出定义域和单调性，并得到 既不是奇函数，也
不是偶函数.
【详解】 为幂函数，故 ，解得： ，
所以 ，定义域为 ，不关于原点对称，
所以 既不是奇函数，也不是偶函数，AB错误，
在 上单调递增，D错误.
故选：C
6． 的最大值是（ ）A． B．2 C． D．4
【答案】A
【分析】设 可得 ，配方后利用二次函数的性质求解即可.
【详解】设 ，
则 ，
因为 ，所以 时， 的最大值是 ，
故选：A.
7．已知函数 在区间 上是单调函数，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质可得 或 ，解出即可得出实数k的取值范围.
【详解】函数 的对称轴为 .
若函数 在区间 上单调递减，则应有 ，所以 ；
若函数 在区间 上单调递增，则应有 ，所以 .
综上所述，实数k的取值范围是 或 .
故选：C.
8．设 是定义在 上偶函数，则 在区间 上是（ ）
A．增函数 B．减函数 C．先增后减函数 D．与 ， 有关，不能确定
【答案】B
【分析】根据偶函数的特点解出 ，然后根据二次函数的图像和性质进行判断即可.【详解】 是定义在 上偶函数，∴定义域关于原点对称，即 ，∴ ，
则 ，由 ，
即 ，解得 ，∴ ，
函数图像抛物线开口向下，对称轴为 ，
则函数在区间 上是减函数．
故选：B．
9．幂函数 在R上单调递增，则函数 的图象过定点（ ）
A．（1，1） B．（1，2） C．（-3，1） D．（-3，2）
【答案】D
【分析】由函数 为幂函数且在R上单调递增，可得 ，再由指数函数过定点 ，即可得函数
所过的定点.
【详解】解：因为 为幂函数且在R上单调递增，
所以 ，解得 ，
所以 ，
又因为指数函数 恒过定点 ，
所以 恒过定点 .
故选：D.
二、填空题
10．若函数 在区间 内存在最小值，则 的取值范围是___________．【答案】
【分析】根据二次函数的性质确定在开区间 内存在最小值的情况列不等式，即可得 的取值范围是.
【详解】解：二次函数 的对称轴为 ，且二次函数开口向上
若函数在开区间 内存在最小值，则 ，即 ，此时函数在 处能取到最小
值，
故 的取值范围是 .
故答案为： .
11．已知函数 ， 是严格减函数，则实数 的取值范围是______．
【答案】
【分析】分 ， 讨论，根据条件可得出关于实数 的不等式（组），进而可求得实数 的取值范围.
【详解】当 时，函数为 在区间 上为增函数，不合题意；
当 时，要使函数 ， 是严格减函数，
则 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 .故答案为： .
12．已知函数 ，则其值域为__________.
【答案】
【分析】根据换元法将函数变为 ，结合二次函数的单调性即可求解最值,进而求
解值域.【详解】 ，令 ，则 ， ，由于 在
单调递增，在 单调递减，故 的最小值为 ，故值域为 ，
故答案为：
13．已知幂函数 为偶函数，则该函数的增区间为_______．
【答案】
【分析】根据幂函数的定义，结合偶函数的定义求出 ，然后利用幂函数的性质进行求解
【详解】因为 是幂函数，
所以 或 ，
当 时， ，因为 ，所以函数 是奇函数，不符合题意，
当 时， ，因为 ，所以函数 是偶函数，符合题意，
故该函数的增区间为
故答案为：
14．若函数 是幂函数，且 在 上单调递增，则 ___________.
【答案】
【分析】由题意可得 求出 的值，则可求出 的解析式，从而可求出 .
【详解】因为函数 是幂函数，且 在 上单调递增，
所以 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
故答案为：2
三、解答题
15．比较下列各组数的大小：
(1) ；
(2) ， ；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 在 的单调性即可求解，
（2）根据函数 在 单调递增即可求解.
【详解】（1）由于函数 在 单调递减， ，所以 .
（2）由于函数 在 单调递增， ，所以 故 .
16．已知幂函数 的图像关于 轴对称，且在 上是减函数，
(1)求 的值.
(2)若 ，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）幂函数在 上单调递减，可得 且 ,可得m的值为1或2，然后根据已知条件分析即可；
（2）由（1）可得不等式，由 可得单调性，然后分类讨论，解出不等式求出a的取值范围.
【详解】（1）因为幂函数 在 上单调递减，
所以 ，解得 ，
又 ，所以 ，
当 时， ，
当 时， ，
因为函数图像关于 轴对称，
所以 是偶数，
因此 ；
（2）由（1）可得 ，故 为 ，
因为 在 上均为减函数，
所以 等价于：
或 或
解得 或 ，
故 的取值范围为 或 .
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．下列比较大小中正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】利用函数的单调性进行判断即可.
【详解】解：对于A选项，因为 在 上单调递增，所以 ，故A错误，
对于B选项，因为 在 上单调递减，所以 ，故B错误，
对于C选项， 为奇函数，且在 上单调递增，所以 在 上单调递增，
因为 ，又 ，
所以 ，故C正确，
对于D选项， 在 上是递增函数，
又 ，所以 ，所以 ，故D错误.
故选：C.
2．已知幂函数的图象经过点 ，则该幂函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【分析】先求出函数的解析式，根据函数的定义域和单调性得解.
【详解】设幂函数的解析式为 ，因为该幂函数的图象经过点 ，
所以 ，即 ，解得 ，即函数 ，也即 ，
则函数的定义域为 ，所以排除选项CD；
又 ，函数单调递减，故排除B，
故选：A.
3．已知幂函数 为偶函数，若函数 在区间 上为单调函
数，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据幂函数 为偶函数求出 的值，然后对函数 在区间 上的单调
性进行分类讨论，可得出关于实数 的不等式，即可得出实数 的取值范围.
【详解】因为函数 为幂函数，则 ，
即 ，解得 或 ，
当 时， 为偶函数，合乎题意；
当 时， 为非奇非偶函数，不合乎题意.
所以， ，则 ，
二次函数 的对称轴为直线 .
①若函数 在 上为增函数，则 ，解得 ；
②若函数 在 上为减函数，则 ，解得 .综上所述，实数 的取值范围是 .
故选：B.
4．已知函数 在区间 上是单调函数，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】直接利用二次函数的单调性列不等式组即可求得.
【详解】函数 的对称轴为 .
要使函数在区间 上是单调函数，只需 或 ，
解得： 或 .
故选：A
5．已知幂函数 满足条件 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用幂函数的概念求得 ，再利用幂函数的定义域与单调性即可解得不等式.
【详解】因为 为幂函数，所以 ，则 ，
故 的定义域为 ，且在定义域上为增函数，
所以由 ，可得 ，解得 ，
故a的取值范围为 .故选：B.
6．设 ， ，函数 ，若 恒成立，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【分析】根据函数的解析式进行分类讨论，当 时，结合二次函数的图象和性质即可求解.
【详解】因为 ，
当 时， 恒成立，
当 时， 恒成立，
则 恒成立，因为 ，
则有 ，故 ，
故选： .
二、多选题
7．已知幂函数 ，则（ ）
A． ，函数 的图像与坐标轴没有交点
B． ，使得 是奇函数
C．当 时，函数 在 上单调递增
D．当 时，函数 的值域为
【答案】BCD
【分析】对A，B项：当 时可说明A错误B正确；
对C项： 分析 的取值范围，根据幂函数的单调性判断；
对D项： 当 时 求定义域与值域即可.【详解】设 可知 可取遍全体正数，
所以 可取遍全体实数，
∴当 时， ， ，A错误，B正确；
当 时， ，
由幂函数性质， 在 上单调递增，C正确；
时， ，定义域为 ，值域为 ，D正确.
故选：BCD
三、填空题
8．函数 的值域为__________.
【答案】
【分析】利用二倍角的余弦公式化简函数并换元，转化为二次函数的值域问题，结合二次函数性质，即可
求得答案.
【详解】由题意函数 ，
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
故 的值域为 ，故答案为： .
9．设 （ 为常数），则“函数 的图象经过点 ”是“函数 为偶函数”的
____________条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要””、“既不充分也不必要”）
【答案】充要
【分析】利用偶函数的性质结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】若函数 的图象经过点 ，即 ，
对任意的 ，则 ，
对任意的 ，则 ，
此时函数 为偶函数，
所以，“函数 的图象经过点 ” “函数 为偶函数”；
若函数 为偶函数，又因为 ，则 ，
所以，“函数 的图象经过点 ” “函数 为偶函数”.
所以，“函数 的图象经过点 ”是“函数 为偶函数”的充要条件.
故答案为：充要.
10．请写出一个幂函数 ，满足： ， .此函数可以是 ______.
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据给定条件，确定函数 的定义域，及函数 的有关性质，再写出符合的函数解析式作
答.
【详解】令幂函数 （ 为常数），由 ， 知，函数 的定义域为R，
是偶函数，
又 ， ，则函数 在 上单调递增，因此 可以为正偶数，
所以此函数可以是 .
故答案为：
11．已知函数 ，则关于 的表达式 的解集为__________.
【答案】
【分析】利用幂函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解.【详解】由题意可知， 的定义域为 ，
所以 ，
所以函数 是奇函数，
由幂函数的性质知，函数 在函数 上单调递增，
由 ，得 ，即 ，
所以 ，即 ，解得 ，
所以关于 的表达式 的解集为 .
故答案为： .
12．已知函数 （ ），若函数 在 的最小值为 ，则实数 的值为________.
【答案】
【分析】利用换元法，令 ，进而得到 ，再通过 的取值范围与对称轴之间的关
系，结合该函数的单调性和最小值之间的关系，即可计算求出
【详解】令 ，则当 时， ， ，对称轴为 ；当 ，即
时， 在 上单调递增， ，
解得： （舍）；当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
，解得： （舍）或 ；当 ，即 时， 在上单调递减， ，解得： （舍）；综上所述： .
故答案为： .
13．设函数 在区间 上是严格增函数，则实数 的取值范围为__________.
【答案】
【分析】对a分类讨论，结合二次函数的图象与性质即可列式求解.
【详解】当 时， 为增函数，符合题意；
当 时，函数在区间 上是严格增函数，则需对称轴 ，∴ ；
当 时，函数在区间 上是严格增函数，则需对称轴 ，∴ .
综上，实数 的取值范围为 .
故答案为：
14．已知函数 ，定义 ，若 恒成立，
则实数 的取值范围是___________．
【答案】
【分析】比较 与 的大小，求得 ，令 ，求得 的最小值为
，由 即可得出答案．
【详解】 ，
当 或 时， ；当 时， ，
故 ，
令 ，
当 或 时， ；当 时， ，单调递增，则当 时， 取最小值 ，
所以 的最小值为 ，
若 恒成立，则 ，解得 ．
故答案为： ．
四、解答题
15．已知幂函数 是偶函数．
(1)求函数 的解析式；
(2)若 ，求x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义求得 的值，再结合幂函数的奇偶性确定函数解析式；
（2）根据幂函数的单调性与奇偶性列不等式即可求得x的取值范围．
【详解】（1）已知幂函数 ，则 ，解得 或 ，
所以 或 ，又函数 为偶函数，所以 ；
（2）由于幂函数 在 上单调递增，又函数 为偶函数，所以 在 单调递减，
若 ，则 ，平方后解得 ，
所以x的取值范围是 .
16．已知幂函数 为偶函数， ．
(1)若 ，求 ；
(2)已知 ，若关于x的不等式 在 上恒成立，求 的取值范围．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用幂函数的定义及性质求出 ，再利用 列方程求出 ；
（2）将问题转化为 ，构造函数 ，利用函数单调性的定义判断 的单调性，
根据单调性可求得 ，进而可得 的取值范围
【详解】（1）对于幂函数 ，得 ，
解得 或 ，
又当 时， 不为偶函数，
，
，
，
，
解得 ；
（2）关于x的不等式 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
即 ，
先证明 在 上单调递增：
任取 ，则 ，
，
， ，又 ，
，
，即 ，
故 在 上单调递增，
，
，又 ，
解得 .
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．已知A，B，C是单位圆上的三个动点，则⃗AB∙⃗AC的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，设出 ， ，表达出 ，结合
，求出最小值.
【详解】以 的垂直平分线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设 ， ，
则 ，
故 ，
当 时， 取得最小值，最小值为 ，
由于 ，故当 时， 最小，故最小值为 ，
此时 ，满足要求，
故选：B
【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的
特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解
等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
2．设 ， ， ，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用幂函数与对数函数的单调性即可得解.
【详解】因为 ， ， ，又因为 在 上单调递增，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
又因为 在 上单调递增，所以 ，即 ，
综上： .
故选：D.
3．设函数 的定义域为 ，满足 ，且当 时， .若对任意
，都有 成立，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题设条件画出函数的图象，由图象分析得出 的取值范围.
【详解】因为当 时， ； ，
所以 ，即若 在 上的点的横坐标增加2，则对应 值变为原来的 ；若减少2，则
对应 值变为原来的2倍.
当 时， ， ，
故当 时，对任意 ， 不成立，
当 时， ，
同理当 时， ，
以此类推，当 时，必有 .函数 和函数 的图象如图所示：
因为当 时， ，
令 ，解得 ， （舍去），
因为当 时， 成立，所以 .
故选：A.
【点睛】思路点睛：此类问题考虑函数的“类周期性”，注意根据已知区间上函数的性质推证函数在其他
区间上的性质，必要时应根据性质绘制函数的图象，借助形来寻找临界点.
4．已知幂函数 在 上单调递增，函数 时，总存在
使得 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：由已知 ，得 或 ．当 时， ，当 时， ．又
在 单调递增，∴ ．∴ 在 上的值域为 ， 在 上的值域为
，∴ ，∴ ，即 ．故选D.
考点：1、幂函数的定义和性质；2、函数的单调性及值域.
【方法点睛】本题主要考查幂函数的定义和性质，函数的单调性及函数的值域的求法，属于难题.求函数值
域的常见方法有 ①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法：常用代数或三角代换法，用换元法求值域时需认真
分析换元参数的范围变化；③不等式法：借助于基本不等式 求函数的值域，用不等式法求值域时，要注
意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”；④单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找
出其单调区间 ，最后再根据其单调性求凼数的值域，⑤图象法：画出函数图象，根据图象的最高和最低
点求最值，本题主要是利用方法④求出两函数值域后再根据题意解答的.
二、填空题
5．设幂函数 的图象过点 ，则：① 的定义域为 ；② 是奇函数；③ 是减函数；
④当 时，
其中正确的有_________（多选、错选、漏选均不得分）．
【答案】②④
【分析】根据待定系数法求出幂函数 ，由幂函数的性质，即可判断各项的真假．
【详解】设 ，因为函数 的图象过点 ，所以 ，解得 ，
根据幂函数 的图象，可知①不正确，②正确，③说法有误，应该是 在 上是减函数，
在 上是减函数，但在整个定义域上不是减函数；
对于④，设点 ， ，点 为线段 的中点，点
，由图可知，点 在点 的下方，所以 ．故答案为②④．
【点睛】本题主要考查幂函数的求法和幂函数的性质的判断与应用．
6．已知实数a、b满足等式 ，下列五个关系式：
①01，则1
