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专题 4 用导数研究函数的最值
一、考情分析
函数与导数一直是高考中的热点与难点,函数的最值是函数的一个重要性质,有些复杂的函数的最值,只能借
助导数来求,高考常考题型一是给出确定函数或含有参数的函数求最值,二是求解不等式恒成立问题,常常利
用函数的最值来求解,此类问题一般难度较大,多以压轴题形式出现.
二、解题秘籍
(一) 求函数 在闭区间 上的最值
一般地,如果在区间 上函数 的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值与最小值．
求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a,b)内的极值；
(2)求函数在区间端点的函数值f(a),f(b)；
(3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值．
【例1】（2023届河南省洛阳市创新发展联盟高三摸底）已知函数 ．
(1)求 的图像在点 处的切线方程；
(2)求 在 上的值域．
【解析】 (1)因为 ，所以 ，所以 ， ，
故所求切线方程为 ，即 ．
(2)由（1）知 ， ．
令 ，得 ；令 ，得 ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ．
又 ， ，所以 ，即 在 上的值域为 ．
(二) 求函数在非闭区间上的最值
求函数在非闭区间上的最值,一般通过函数的研究函数的单调性与极值来确定,若函数在某一区间上有唯一
极值点,则该点处的极值一定是函数的最值.
【例2】（2024届云南师范大学附中高三适应性月考）已知 ， .
(1)当 时，求 的最小值；
(2)若 在 上恒成立，求a的取值范围.
【解析】（1）当 时， ，
所以 ，
当 时， ，当 时， ，
故而 在 上单调递减，在 上单调递增；
所以 的最小值为
（2） 在 上恒成立等价于： 恒成立，
即 ，在 恒成立，
令 ，由（1）知：上面不等式等价于：
，在 上恒成立，
所以 ，在 上恒成立，
令
所以 .
又令 ，且 ，
而 ，即 在 上单调递增，
所以当 时， ，即 ，所以 在 上单调递减；
当 时， ，即 ，所以 在 上单调递增；所以 在 上的最小值为 ，
所以
(三) 含单参数的函数的最值问题
含单参数的函数的最值一般不通过比值求解,而是先讨论函数的单调性,再根据单调性求出最值．含参函数
在区间上的最值通常有两类：一是动极值点定区间,二是定极值点动区间,这两类问题一般根据区间与极值
点的位置关系来分类讨论．
【例3】已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)求 在 上的最大值 ．
【解析】（1）解：函数 的定义域为 ，则 .
当 时，对任意的 ， ，此时函数 的减区间为 ，无增区间；
当 时，由 ，可得 ，由 ，可得 .
此时，函数 的增区间为 ，减区间为 .
综上所述，当 时，函数 的减区间为 ，无增区间；
当 时，函数 的增区间为 ，减区间为 .
（2）解：由（1）知，当 时，函数 在 上单调递减，
此时， ；
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
此时， ；
当 时，函数 在 上单调递增，此时， .综上所述， .
(四) 把不等式恒成立或有解问题转化为函数的最值问题
有些不等式恒成立或有解问题,常通过分类参数,转化为求函数的最值问题,常用结论是：若 的值域为
,则 恒成立 , 有解 .
【例4】（2024届浙江省名校新高考研究联盟（Z20名校联盟）高三上学期第一次联考）已知函数
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)求证：当 时，
【解析】（1）解：当 时， ， ，
由 ，可得 ，由 ，可得 ，
故当 时，函数 的增区间为 ，减区间为 .
（2）解：当 时，因为 ，则 ，
由 ，可得 ，由 ，可得 ，
所以，函数 的增区间为 ，减区间为 ，
所以 ，下证： ，即证： ．
记 ， ，
当 时， ，当 时， ，
所以，函数 的减区间为 ，增区间为 ，所以， ，所以 恒成立，即 ．
(五) 含双参数的函数的最值问题
含双参数的函数的最值一般与恒成立问题有关，通常是先通过函数的最值把问题两个参数的等式或不等式，
再把其中一个参数看作自变量，构造函数求解．
【例5】（2023届河南省安阳市高三上学期名校调研）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时，若 ，求b的最小值．
【解析】 (1)当 时， ， ，当 时， ， 在R上单调
递增；当 时，令 有 ，当 时， ， 单调递减，当
时， ， 单调递增.
(2)当 时，由（1）若 ，则 有解即可，即 有解，即 有解，
设 ，则 ，故当 时， ， 单调递减；当 时， ，
单调递增.故 ，故当 .故b的最小值为
(六) 根据 恒成立,求整数a的最大值
根据 恒成立,求整数a的最大值,通常情况是 有最小值,但无法求出,这种情况下一般设出函数
的极值点,把最小值转化为关于极值点的式子,根据极值所在范围,确定最小值的大致范围,由此确定整数a的
最大值.
【例6】（2023届江西省临川第一中学高三上学期期中）已知函数
，其中 为自然对数的底数.
(1)讨论函数 的单调性，(2)若 ，当 时， 恒成立时，求 的最大值.（参考数据： ）
【解析】（1）由 可得 .
当 时， 恒成立， 在 单调递增；
当 时，令 得 ，所以 在 单调递减，在 单调递增；
综上所述，当 时， 在 单调递增；当 时， 在 单调递减，在 单
调递增.
（2）当 时， 成立，当 时， 恒成立即 ，
设 ，则 ，
令 ，则 ，
设 ，
当 时， ，故 ；当 时， ，故 ，
综上有 ，故 ，故 为增函数，
又 ，
因为 ，故 ，
所以 ，
故存在唯一零点 使得 ，
故当 时 单调递减当 时， ， 单调递增，故 ，又 ，
即 ，
所以
设 ，则 ，故 为增函数，
又 ，所以 ，
所以 ，故要 且为正整数则 的最大值为3.
三、典例展示
【例1】（2024届陕西省西安中学高三上学期月考）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 时函数 有最大值 ，且 ，求实数 的取值范围.
【解析】（1） 的定义域为 ，
由 可得 ，
当 时， ，
所以 在 上单调递增，
当 时，令 ，得 ，
所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
综上所述，当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）当 时， 在 上单调递增，在 上是单调递减，
所以当 时， 取得极大值，也是最大值，
即 ，
因此有 ，得 ，
设 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，
又 ，所以 ，得 ，
故实数 的取值范围是 .
【例2】（2024届宁夏吴忠市高三上学期月考）已知函数 在 处的切线与直线 ：
垂直．
(1)求 的单调区间；
(2)若对任意实数 ， 恒成立，求整数 的最大值．
【解析】（1）由 ，得 ，又切线与直线 ： 垂直，所以 ，
即 ．
所以 ，令 ，得 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增．
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
（2）对任意实数 ， 恒成立，
即对任意实数 恒成立．
设 ，即 ．
，令 ，
所以 恒成立，所以 在 上单调递增．
又 ， ，所以存在 ，使得 ，
即 ，所以 ．
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增．
所以
，
当 时， ，
所以 ，由题意知 且
所以 ，即整数 的最大值为1．
【例3】（2024届江苏省南通市如皋市高三上学期诊断测试）已知函数 .
(1)求 的最大值;
(2)证明：
【解析】（1） ，定义域为 ，则 ，
令 ，
因为 恒成立，所以 在 上单调递增，
所以 ，即当 时， ，
令 ，可得 ，得 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 .
（2）要证 ，即证 ，
令
令 得 ，即 在 上单调递减，在 上单调递增，
，即 ，
即欲证 ，只需证 也就是证明
设 ，则 ，令 ，得
当 时， ；当 时，
当 时， 取到最小值
故 式成立，从而 成立.
【例4】（2023届北京名校高三二轮复习检测）已知函数 ，其中 ．
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 在区间 上的最大值和最小值．
【解析】（1）当 时， ，求导得 ，则 ，而 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
（2）依题意， ，而 ，则 ，
①当 时， ，当且仅当 时取等号，函数 在 上单调递增，
则 ， ；
②当 时， ，当且仅当 时取等号，函数 在 上单调递减，
则 ， ；
③当 时，函数 在 上单调递增，由 ，得 ，当 时，
递减，
当 时， 递增， ，
由 ，得 ， ，
由 ，得 ， ，
所以当 时， 的最小值是 ，最大值是 ；
当 时， 的最小值是 ，最大值是 ；
当 时， 的最小值是 ，最大值是 ；
当 时， 的最小值是 ，最大值是 ．
四、跟踪检测
1．（2024届江苏省镇江市高三上学期阶段检测）已知函数 ．(1)若 ，求函数 的最值；
(2)若 ，函数 在 上是增函数，求a的最大整数值．
2．（2023届江苏省南通市如皋市2高三上学期模拟）设 ，函数 ，函数
(1)求函数g(x)的单调区间和最值；
(2)若当 时，对任意的 ， ，都有 成立，求实数t的取值范围.
3．（2024届四川省成都市高三上学期开学考试）已知函数 ， ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若当 时， ，求 的取值范围．
(3)若存在实数 、 ，使得 恒成立，求 的最小值．
4．（2024届百师联盟高三上学期开学摸底联考）已知函数 ， 且 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若关于 的不等式 恒成立，其中 是自然对数的底数，求实数 的取值范围.
5．（2024届宁夏银川一中高三上学期月考）已知函数 .
(1)当 时，证明： ；
(2)若关于 的不等式 恒成立，求整数 的最小值.
6．（2024届湖北省腾云联盟高三上学期联考）已知函数 .
(1)证明： 有唯一的极值点；(2)若 恒成立，求实数a的取值范围.
7（2023届黑龙江省哈尔滨市高三上学期月考）设函数
(1)若 ， ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 ，不等式 对任意 恒成立，求整数k的最大值．
8．（2023届河南省南阳市高三上学期期中）已知 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)设 是 的导数.当 时，记函数 的最大值为 ，函数 的最大值为 .求证：
.
9．（2023届福建省三明市高三上学期期末）已知函数 ， .
(1)求证： 在 上单调递增；
(2)当 时， 恒成立，求 的取值范围.
10．（2023届河南省开封市模拟）设函数 ， ．
(1)若函数 在 上存在最大值，求实数 的取值范围；
(2)当 时，求证： ．
11．已知函数 .
(1)当 时，求函数 的单调区间：
(2)若 在 恒成立，求实数 的取值范围.
12.已知 （ ）（1）讨论 的单调性；
（2）当 时,若 在 上恒成立,证明： 的最小值为 .
