文档内容
专题 4 用导数研究函数的最值
一、考情分析
函数与导数一直是高考中的热点与难点,函数的最值是函数的一个重要性质,有些复杂的函数的最值,只能借
助导数来求,高考常考题型一是给出确定函数或含有参数的函数求最值,二是求解不等式恒成立问题,常常利
用函数的最值来求解,此类问题一般难度较大,多以压轴题形式出现.
二、解题秘籍
(一) 求函数 在闭区间 上的最值
一般地,如果在区间 上函数 的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值与最小值．
求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a,b)内的极值；
(2)求函数在区间端点的函数值f(a),f(b)；
(3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值．
【例1】（2023届河南省洛阳市创新发展联盟高三摸底）已知函数 ．
(1)求 的图像在点 处的切线方程；
(2)求 在 上的值域．
【解析】 (1)因为 ，所以 ，所以 ， ，
故所求切线方程为 ，即 ．
(2)由（1）知 ， ．
令 ，得 ；令 ，得 ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ．
又 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，即 在 上的值域为 ．
(二) 求函数在非闭区间上的最值
求函数在非闭区间上的最值,一般通过函数的研究函数的单调性与极值来确定,若函数在某一区间上有唯一
极值点,则该点处的极值一定是函数的最值.
【例2】（2024届云南师范大学附中高三适应性月考）已知 ， .
(1)当 时，求 的最小值；
(2)若 在 上恒成立，求a的取值范围.
【解析】（1）当 时， ，
所以 ，
当 时， ，当 时， ，
故而 在 上单调递减，在 上单调递增；
所以 的最小值为
（2） 在 上恒成立等价于： 恒成立，
即 ，在 恒成立，
令 ，由（1）知：上面不等式等价于：
，在 上恒成立，
所以 ，在 上恒成立，
令
所以 .
又令 ，且 ，
而 ，即 在 上单调递增，
所以当 时， ，即 ，所以 在 上单调递减；
当 时， ，即 ，所以 在 上单调递增；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 在 上的最小值为 ，
所以
(三) 含单参数的函数的最值问题
含单参数的函数的最值一般不通过比值求解,而是先讨论函数的单调性,再根据单调性求出最值．含参函数
在区间上的最值通常有两类：一是动极值点定区间,二是定极值点动区间,这两类问题一般根据区间与极值
点的位置关系来分类讨论．
【例3】已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)求 在 上的最大值 ．
【解析】（1）解：函数 的定义域为 ，则 .
当 时，对任意的 ， ，此时函数 的减区间为 ，无增区间；
当 时，由 ，可得 ，由 ，可得 .
此时，函数 的增区间为 ，减区间为 .
综上所述，当 时，函数 的减区间为 ，无增区间；
当 时，函数 的增区间为 ，减区间为 .
（2）解：由（1）知，当 时，函数 在 上单调递减，
此时， ；
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
此时， ；
当 时，函数 在 上单调递增，此时， .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】综上所述， .
(四) 把不等式恒成立或有解问题转化为函数的最值问题
有些不等式恒成立或有解问题,常通过分类参数,转化为求函数的最值问题,常用结论是：若 的值域为
,则 恒成立 , 有解 .
【例4】（2024届浙江省名校新高考研究联盟（Z20名校联盟）高三上学期第一次联考）已知函数
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)求证：当 时，
【解析】（1）解：当 时， ， ，
由 ，可得 ，由 ，可得 ，
故当 时，函数 的增区间为 ，减区间为 .
（2）解：当 时，因为 ，则 ，
由 ，可得 ，由 ，可得 ，
所以，函数 的增区间为 ，减区间为 ，
所以 ，下证： ，即证： ．
记 ， ，
当 时， ，当 时， ，
所以，函数 的减区间为 ，增区间为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以， ，所以 恒成立，即 ．
(五) 含双参数的函数的最值问题
含双参数的函数的最值一般与恒成立问题有关，通常是先通过函数的最值把问题两个参数的等式或不等式，
再把其中一个参数看作自变量，构造函数求解．
【例5】（2023届河南省安阳市高三上学期名校调研）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时，若 ，求b的最小值．
【解析】 (1)当 时， ， ，当 时， ， 在R上单调
递增；当 时，令 有 ，当 时， ， 单调递减，当
时， ， 单调递增.
(2)当 时，由（1）若 ，则 有解即可，即 有解，即 有解，
设 ，则 ，故当 时， ， 单调递减；当 时， ，
单调递增.故 ，故当 .故b的最小值为
(六) 根据 恒成立,求整数a的最大值
根据 恒成立,求整数a的最大值,通常情况是 有最小值,但无法求出,这种情况下一般设出函数
的极值点,把最小值转化为关于极值点的式子,根据极值所在范围,确定最小值的大致范围,由此确定整数a的
最大值.
【例6】（2023届江西省临川第一中学高三上学期期中）已知函数
，其中 为自然对数的底数.
(1)讨论函数 的单调性，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)若 ，当 时， 恒成立时，求 的最大值.（参考数据： ）
【解析】（1）由 可得 .
当 时， 恒成立， 在 单调递增；
当 时，令 得 ，所以 在 单调递减，在 单调递增；
综上所述，当 时， 在 单调递增；当 时， 在 单调递减，在 单
调递增.
（2）当 时， 成立，当 时， 恒成立即 ，
设 ，则 ，
令 ，则 ，
设 ，
当 时， ，故 ；当 时， ，故 ，
综上有 ，故 ，故 为增函数，
又 ，
因为 ，故 ，
所以 ，
故存在唯一零点 使得 ，
故当 时 单调递减当 时， ， 单调递增，故 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ，
即 ，
所以
设 ，则 ，故 为增函数，
又 ，所以 ，
所以 ，故要 且为正整数则 的最大值为3.
三、典例展示
【例1】（2024届陕西省西安中学高三上学期月考）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 时函数 有最大值 ，且 ，求实数 的取值范围.
【解析】（1） 的定义域为 ，
由 可得 ，
当 时， ，
所以 在 上单调递增，
当 时，令 ，得 ，
所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
综上所述，当 时， 在 上单调递增；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）当 时， 在 上单调递增，在 上是单调递减，
所以当 时， 取得极大值，也是最大值，
即 ，
因此有 ，得 ，
设 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，
又 ，所以 ，得 ，
故实数 的取值范围是 .
【例2】（2024届宁夏吴忠市高三上学期月考）已知函数 在 处的切线与直线 ：
垂直．
(1)求 的单调区间；
(2)若对任意实数 ， 恒成立，求整数 的最大值．
【解析】（1）由 ，得 ，又切线与直线 ： 垂直，所以 ，
即 ．
所以 ，令 ，得 ，
当 时， ， 单调递减；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ， 单调递增．
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
（2）对任意实数 ， 恒成立，
即对任意实数 恒成立．
设 ，即 ．
，令 ，
所以 恒成立，所以 在 上单调递增．
又 ， ，所以存在 ，使得 ，
即 ，所以 ．
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增．
所以
，
当 时， ，
所以 ，由题意知 且
所以 ，即整数 的最大值为1．
【例3】（2024届江苏省南通市如皋市高三上学期诊断测试）已知函数 .
(1)求 的最大值;
(2)证明：
【解析】（1） ，定义域为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，
令 ，
因为 恒成立，所以 在 上单调递增，
所以 ，即当 时， ，
令 ，可得 ，得 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 .
（2）要证 ，即证 ，
令
令 得 ，即 在 上单调递减，在 上单调递增，
，即 ，
即欲证 ，只需证 也就是证明
设 ，则 ，令 ，得
当 时， ；当 时，
当 时， 取到最小值
故 式成立，从而 成立.
【例4】（2023届北京名校高三二轮复习检测）已知函数 ，其中 ．
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 在区间 上的最大值和最小值．
【解析】（1）当 时， ，求导得 ，则 ，而 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
（2）依题意， ，而 ，则 ，
①当 时， ，当且仅当 时取等号，函数 在 上单调递增，
则 ， ；
②当 时， ，当且仅当 时取等号，函数 在 上单调递减，
则 ， ；
③当 时，函数 在 上单调递增，由 ，得 ，当 时，
递减，
当 时， 递增， ，
由 ，得 ， ，
由 ，得 ， ，
所以当 时， 的最小值是 ，最大值是 ；
当 时， 的最小值是 ，最大值是 ；
当 时， 的最小值是 ，最大值是 ；
当 时， 的最小值是 ，最大值是 ．
四、跟踪检测
1．（2024届江苏省镇江市高三上学期阶段检测）已知函数 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)若 ，求函数 的最值；
(2)若 ，函数 在 上是增函数，求a的最大整数值．
【解析】（1）若 ，则函数 ， ．
令 ，则 或 ，由于 ，
因而当 时． 单调递减，
当 时． 单调递增，
所以 的最小值为 ，最大值为
（2） ，
由 在 上是增函数，
得 在 上恒成立，
即 ，分离参数得
设 ，则 ，
，即
设 ，由于
因而方程 在 上有解，设为 ，
则 ，且当 时， ，当 时 ，
所以 的最大值为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因而 ，即 ，
又
又
所以a的最大整数值为0．
2．（2023届江苏省南通市如皋市2高三上学期模拟）设 ，函数 ，函数
(1)求函数g(x)的单调区间和最值；
(2)若当 时，对任意的 ， ，都有 成立，求实数t的取值范围.
【解析】（1） ，则 ，令 ，解得 ，
当 变化时， 与 的变化如下表所示：
- 0 +
↗
所以函数 在区间 上为单调递减，区间 上为单调递增，
所以 ，无最大值.
（2）当 时，函数 ，
由题意，若对任意的 ， ，都有 恒成立，
只需当 时， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，令 ，解得 ，
当x变化时，f(x)与f(x)的变化如下表所示：
+ 0 -
↗
所以 ，
又因为 ，令 ，解得 ，
由（1）知所以函数 在区间 上为单调递减，区间 上为单调递增，
所以 ，
综上所述，得 .
3．（2024届四川省成都市高三上学期开学考试）已知函数 ， ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若当 时， ，求 的取值范围．
(3)若存在实数 、 ，使得 恒成立，求 的最小值．
【解析】（1）解：因为 ，其中 ，则 ，
若 ，则 恒成立，此时 的增区间为 ，无减区间；
若 ，由 ，得 ，由 ，得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】此时函数 的减区间为 ，增区间为 .
综上所述，当 时，函数 的增区间为 ，无减区间；
当 时，函数 的减区间为 ，增区间为 ．
（2）解：由 得 ，
当 时，显然成立；
当 时， ，可得 ，令 ，则 ，
则 在 上递减，故 ，此时 ；
当 时， ，可得 ，令 得 ，
由 ，可得 ，由 ，可得 ．
此时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以， 在 处取得最小值，即 ，此时 ．
综上， 的取值范围是 ．
（3）解：当 时，对任意的 ，
，
所以对任意的实数 ， 不可能恒成立；
当 时， ，要使 恒成立，只需 ，所以 ，
当 时，由题意， ，
因为函数 、 在 上均为增函数，所以 在 上单调递增，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ， ，
所以存在唯一的 ，使得 ，
由 可得 ，由 可得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
从而 ，
因为 恒成立，所以 ，故 ①，
又 ，所以 ，
代入不等式①可得 ，整理得： ，
设 ，则 ，
所以 ， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
从而 ，所以 ，当 ， 时取等号，
综上所述， 的最小值为 ．
4．（2024届百师联盟高三上学期开学摸底联考）已知函数 ， 且 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若关于 的不等式 恒成立，其中 是自然对数的底数，求实数 的取值范围.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1）由题，当 时， ， ，
， ，所以切线方程为 ，
化简得 ，即曲线 在点 处的切线方程为 .
（2） ，即 ，即 在 上恒成立，
令 ，则 .
对于 ， ，故其必有两个零点，且两个零点的积为 ，
则两个零点一正一负，设其正零点为 ，则 ，即 ，
且在 上时 则 ，此时 单调递减，
在 上， ，此时 单调递增，
因此当 时， 取最小值，
故 ，即 .
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，又 ，故 ，
显然函数 在 上是关于 的单调递增函数，则 ，
所以实数 的取值范围为
5．（2024届宁夏银川一中高三上学期月考）已知函数 .
(1)当 时，证明： ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)若关于 的不等式 恒成立，求整数 的最小值.
【解析】（1）当 时， ，
，
令 ，得 ，
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减，
所以 在 处取得唯一的极大值，即为最大值，
所以 ，
所以 ，
而 ，
所以 .
（2）令 .
则 .
当 时，因为 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
又因为 .
所以关于 的不等式 不能恒成立；
当 时， .
令 ，得 ，所以当 时， ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， .
因此函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
故函数 的最大值为 .
令 ，
因为 ，
又因为 在 上单调递减，所以当 时， .
所以整数 的最小值为3.
6．（2024届湖北省腾云联盟高三上学期联考）已知函数 .
(1)证明： 有唯一的极值点；
(2)若 恒成立，求实数a的取值范围.
【解析】（1）证明： 定义域为 ，
由 ，得 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
因为 ，且 ， ，且当 时，
，
所以 的值域为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 有唯一的零点 ，使得 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ，
单调递增，所以 有唯一的极值点，
（2）由（1）知， 在 取得极小值点，也是最小值点，
由 得 ，
所以
，
当 时， ， ，所以 ；
当 时， ， ，所以 ，
因为 ，所以
设 ，则
所以 在 上单调递减，
所以 ，即
7（2023届黑龙江省哈尔滨市高三上学期月考）设函数
(1)若 ， ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 ，不等式 对任意 恒成立，求整数k的最大值．
【解析】（1）当 ， 时， ，所以 ，即切点为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，所以 ，
所以切线方程为 ，即 ，
（2） ，由 ，所以 ，
所以函数 在R上单调递增
不等式 ，对 恒成立，
构造 ， ，
构造 ， ，对 有 ，
所以 在 递增， ， ，
所以 ， ，
所以 ， ，即 ， 在 递减，
， ，即 ， 在 递增，
所以 ，结合 ，故 ，
所以 对 恒成立 ，故 ，
所以整数k的最大值为3；
8．（2023届河南省南阳市高三上学期期中）已知 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)设 是 的导数.当 时，记函数 的最大值为 ，函数 的最大值为 .求证：
.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1）函数 的定义域为 , ，
令 ，
当 单调递增，当 单调递减，所以 ，即
故函数 在 上单调递增
（2）由（1）知 在 时，单调递增，且 ，
故 ，
所以 ，
由于 ，
所以 ，故 ,
而 ,
因此
9．（2023届福建省三明市高三上学期期末）已知函数 ， .
(1)求证： 在 上单调递增；
(2)当 时， 恒成立，求 的取值范围.
【解析】（1） ， ， ，
由 ，有 ， ，则 ，又 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 .
当 时， ， ，所以
所以当 时， ，综上， 在 上单调递增.
（2） .化简得 .
当 时， ，所以 ，
设 ，
设 ， .
， ， ，
在 上单调递增，
又由 ，所以当 时， ， ，
在 上单调递减；
当 时， ， ， 在 上单调递增，
所以 ，
故 .
10．（2023届河南省开封市模拟）设函数 ， ．
(1)若函数 在 上存在最大值，求实数 的取值范围；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)当 时，求证： ．
【解析】（1）由 得： （ ），
①当 时， ，所以 在 上单调递增，在 不存在最大值，
②当 时，令 ，解得： ，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递减，
所以 在 时，取得最大值 ，
又由函数 在 上存在最大值，
因此 ，解得： ，
所以 的取值范围为 .
（2）证明：当 时， ，且函数 的定义域为 ，
要证明 ，即证明 时， ，
只需要证明： 时， ，
因为 ，所以不等式等价于
设 （ ），则 ，
令 得： ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，且当 时，等号成立；
又设 （ ），则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 得： ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，且当 时，等号成立；
综上可得： 时， ，且等号不同时成立，
所以 时， ，
即当 时， 得证.
11．已知函数 .
(1)当 时，求函数 的单调区间：
(2)若 在 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】 (1)当 时
设 ，则
即 在 递减，在 递增，
当 ，当
而当 所以当 递减；
递增.
故函数增区间为 ，减区间为
(2) ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令
在 递增，而 ，
，使 ，即
当 时， 在 递减，当 时， 在 递增
因为 可变形为
又 在 递增，
由（**）可得
故 取值范围为
12.已知 （ ）
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时,若 在 上恒成立,证明： 的最小值为 .
【解析】（1）因为 ,
当 时, ,所以 在 上单调递增,
当 时,若 时, , 单调递增；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】若 时, , 单调递减,
综上： 时, 在 上单调递增； 时, 在 上单调递增,在 上单调递减；
（2）因为 在 上恒成立,所以 在 上恒成立,
设 ,所以 ,
当 时, ,所以 在 上单调递增,此时 显然不恒成立；
当 时,若 时, , 单调递增；若 时, , 单调递减,
所以 ,
所以 ,
又因为 ,
令 , ,所以 ,
当 时, , 单调递减；当 时, , 单调递增；
所以 ,
所以 的最小值为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
