专题07数列与函数、导数的交汇（原卷版）_2024-2025高三（6-6月题库）_2025年02月试卷_02272025年高考数学压轴大题必杀技系列·数列

专题 7 数列与函数、导数的交汇 新高考在试题形式、试卷结构、难度调控等方面深化改革,数列解答题的难度增加,作为压轴题出现 的概率变大,且会与其他知识交汇考查,本专题总结数列与函数、导数交汇的常见类型及求解,供大家参考. （一）利用确定的函数关系建立数列的递推关系 此类问题通常是先给出或确定函数 的解析式，然后根据 构建数列 的递推关系，求解 关键是 的解析式的确定及由递推关系构造特殊数列. 【例1】（2024届湖北省武汉市高三下学期5月模拟）混沌现象普遍存在于自然界和数学模型中，比如天 气预测、种群数量变化和天体运动等等，其中一维线段上的抛物线映射是混沌动力学中最基础应用最广泛 的模型之一，假设在一个混沌系统中，用 来表示系统在第 个时刻的状态值，且该系统下一时刻 的状态 满足 ， ，其中 . (1)当 时，若满足对 ，有 ，求 的通项公式； (2)证明：当 时， 中不存在连续的三项构成等比数列； (3)若 ， ，记 ，证明： . 【解析】（1）当 时， ，依题意， ①， ②， 两式作差， ，则 或 ， 若 ，代入①式解得， 或 ，而 ，于是 ； 学科网（北京）股份有限公司若 ，将 代入②式解得， .因此必有 . 注意到 ， ，从而由 归纳即知 是常数列 . 所以 的通项公式为 . （2）假设 ， ， 构成等比数列，则 . 那么由 ， 可知 . 又 ，则 ，解得 ，与 矛盾. 所以 中不存在连续的三项构成等比数列. （3）由于当 时，有 ， ，即 . 而 ， ，故归纳即知对任意正整数 都有 . 又由 及 可知 ，故数列 单调递减. 又由于 ，故 . （二）利用抽象函数建立数列的递推关系 此类问题通常函数的解析式不确定，只给出函数满足的关系，求解时通常利用赋值构建 与 的递推关 系. x,yR 【例2】（2024届安徽省合肥一六八中学高三下学期三模）把满足任意 总有 f xy f xy2f x f y 的函数称为和弦型函数. 学科网（北京）股份有限公司5 (1)已知 f x为和弦型函数且 f 1 ，求 f 0, f 2的值； 4 a a a (2)在（1）的条件下，定义数列：a n 2f n1 f nnN  ，求log 2 3 1 log 2 3 2 log 2 2 3 024 的值； (3)若 gx 为和弦型函数且对任意非零实数 t ，总有 gt1 ．设有理数 x 1 ,x 2满足 x 2  x 1 ，判断 gx 2  与 gx  1 的大小关系，并给出证明． x1,y0 f 1 f 12f 1 f 0 f 01 【解析】（1）令 ，则 ，可得 ， x1,y1 f 2 f 02f 1 f 1 f 2187 令 ，则 ，则 ； 5 （2）令xn,y1,nN ，则 f n1 f n12f n f 1 2 f n ，  2f n1 f n22f n f n1   ， 即 a n 2a n1，又 a 1 3 ，所以数列 a n为以 2 为公比， 3 为首项的等比数列， a a a 即a 3.2n1，则log 2 3 1 log 2 3 2 log 2 2 3 024 012023 n 020232024 = 2047276； 2 （3）由题意得：函数 f x 定义域为R，定义域关于原点对称，令 x0,y 为任意实数， f y f y2f 0 f y2f y f y f y，gx 则 ，即 是偶函数， p p 为有理数，不妨设 x  1, x  2 ，令 为 ，分母的最小公倍数， x 2 , x 1 1 q 1 2 q 2 N x 2 , x 1 a b x  , x  ,a,b 且 均为自然数，且 ， 1 N 2 N ab  n  n1 设C  g ,g01 g ，则 ， n N   N  c c 0 1 n 1 n1 n1  n  令x ,y ，则g g 2g ， N N  N   N  N  C C 2C C 2C C C C C C 即 n1 n1 n， n1 n n1 n n n1 n， 学科网（北京）股份有限公司C  gx  gx  故数列 n 单调递增，则 2 1 ， gx gx gx  又 是偶函数，所以有 2 1 . （三）披着函数外衣的数列问题 对于函数 ，若其定义域为 ，则 就是数列，所以定义域为 的函 数问题，通常可以转化为数列求解. 【例3】（2024届山东省菏泽市高三下学期二模）定义二元函数 ，同时满足：① ；② ；③ 三个条件． (1)求 的值； (2)求 的解析式； (3)若 ．比较 与0的大小关系，并说明理由． 附：参考公式 【解析】（1）由条件②可得 ； 由条件③可得 ． （2）由条件②）可得： ， ， ， 将上述 个等式相加，得 ； 由条件③可得： 学科网（北京）股份有限公司， ， 将上述 个等式相加，得 ． （3）由（2） ，所以 ， 则 ， 则 ， 当且仅当 时， ，上式取得等号， 即 时，均有 ，所以，当 时， ； 当 时， ；当 时， ，所以 ． （四）函数图像上的点列问题 此类问题，通常连续作图，得到一系列的点，建立点的横坐标或纵坐标之间的递推关系，可构造特殊数列， 然后按照数列知识求解. 【例4】（2024届四川省成都蓉城名校联盟高三下学期第三次模拟）已知函数 ，若数列 的 各项由以下算法得到： ①任取 （其中 ），并令正整数 ； ②求函数 图象在 处的切线在 轴上的截距 ； ③判断 是否成立，若成立，执行第④步；若不成立，跳至第⑤步； ④令 ，返回第②步； ⑤结束算法，确定数列 的项依次为 ． 学科网（北京）股份有限公司根据以上信息回答下列问题： (1)求证： ； (2)是否存在实数 使得 为等差数列，若存在，求出数列 的项数 ；若不存在，请说明理由．参考 数据： ． 【解析】（1）因为 ，所以函数 图象在 处的切线方程为 ， 即 ，令 可得 ，即切线与 轴的交点为 ， 所以 （2）若 为等差数列，设其公差为 ，则 ， 令 ，则 ， 所以当 时 ，当 时 ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 ， 因此 最多有两个不同的根，即最多 项成等差数列， 若 、 、 成等差数列，即 ， 由（1）可知 ，所以 ，又 ， 令 ，则 ， 所以当 时 ，所以 在 上单调递增， 学科网（北京）股份有限公司又 ， （其中 ，所以 ），又 ， 所以存在 ，使得 ， 即存在 ，使得 ，即 为等差数列， 此时 ，数列 的项数 . （五）利用导数探讨数列的性质 此类问题，一般是把相关的数列的项看作某个函数的函数值，然后利用导数研究函数的性质，再利用函数 性质，研究数列项之间的关系. 【例5】（2025届江西省多所学校高三下学期第一次大联考）定义：若对于任意 ，数列 满 足：① ；② ，其中 的定义域为 ，则称 关于 满足性质 . (1)请写出一个定义域为 的函数 ，使得 关于 满足性质 ； (2)设 ，若 关于 满足性质 ，证明： ； (3)设 ，若 关于 满足性质 ，求数列 的前 项和. 【解析】（1）令 ，定义域为R， 显然任意 ， ，且 ， 故 满足要求，（注：所有的定义域为 的偶函数均符合题意） （2）因为 ，所以 ， 学科网（北京）股份有限公司移项得 ， 因为 ，所以 ，故 ， 由基本不等式 ，当且仅当 时取到等号， 而 ，故 ，即 . （3）由题意， ， 故 ，设 ， 则 ， 故 在 上单调递增，而 ， 故 时， 时， ， 因此 在 上单调递减，在 上单调递增. 不妨设 ，因为 ， 所以当 时， ，当 或 时， ， 且 时， 时， ， 故对于任意 ，方程 有且只有两个不同的根 ， 又 ，故 的图象关于 对称，故 ， 因此数列 的前 项和为 . 【例6】（2024届广西来宾市忻城县高中高三下学期6月热身考）已知数列 满足： ， 学科网（北京）股份有限公司，其中 为数列 的前n项和． (1)求数列 的通项公式； (2)设m为正整数，若存在首项为1且公比为正数的等比数列 （ ），对任意正整数k，当 时， 都有 成立，求m的最大值． 【解析】（1）因为 ，所以 ， 由 ， 得 ，则 ， ， 由 ，得 ， 当 时，由 ，得 ， 故 整理得 ，所以数列 是等差数列，且首项为 ，公差为 ， 所以 ； （2）由（1）知 ， , 因为数列 为首项为1且公比为正数的等比数列，设公比为q，所以 ， ， 因为 ，所以 ，其中 ，2，3，…，m． 当 时，有 ；当 ，3， ，m时，有 ． 设 （ ），则 ， 令 ，得 ，列表如下： 学科网（北京）股份有限公司x 单调递 极大值 单调递减 增 因为 ，所以 ． 所以 ，故 ，故 ， 令 （ ），则 ，令 ，则 ， 当 时， ，即 ，∴ 在 上单调递减， 即 时， ，则 ， 下面求解不等式 ，化简得 ， 令 ，则 ， 由 得 ， ，∴ 在 上单调递减， 又由于 ， ， ∴存在 使得 ，所以 ，m的最大值为5． （六）利用导数证明数列不等式 此类问题，一般先用导数证明一个函数不等式，然后对该函数中的自变量进行赋值，通常令自变量分别为 ，得到n个不等式，再通过累加或累乘，得到所证不等式. 【例7】（2024届湖南省长沙市第一中学高三下学期模拟）已知函数 ． (1)判断并证明 的零点个数 学科网（北京）股份有限公司(2)记 在 上的零点为 ，求证; （i） 是一个递减数列 （ii） ． 【解析】（1）当 为奇数时， 有1个零点；当 为偶数时， 有2个零点. 证明如下： 当 时，由 ，得 ， 所以函数 在 上单调递增，又 ， ， 所以函数 在 内有唯一零点； 当 时， ， 若 为奇数， ，则 ，此时 在 内无零点； 若 为偶数，设 ， 则 ，方程 有一个解 ， 所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 且 ，此时 在 内有1个零点. 综上，当 为奇数时， 有1个零点；当 为偶数时， 有2个零点. （2）（i）由（1）知，当 时， 在在 内的零点 ， 当 时， ， ， 则 ，故 ，所以数列 是一个递减数列； （ii）由（i）知，当 时， ， 当 时， ， 学科网（北京）股份有限公司有 ，所以 ，求和可得 ，当且仅当 时等号成立； 当 时， ， 故 ，则 ，得 ， 即 ，即 ，即 ， 即 ，即 ， 即 ，当 时， ， 所以当 时，均有 成立，求和可得 . 综上， . 【例8】（2024届陕西师范大学附中高三下学期模考）已知函数 ， 曲线 在点 处的切线与 轴平行或重合． (1)求 的值； (2)若对 恒成立，求 的取值范围； (3)利用下表数据证明： ． 1.010 0.990 2.182 0.458 2.204 0.454 【解析】（1） ，所以 ， 学科网（北京）股份有限公司由条件得 ，得到 ，又 ，所以 ． （2）由（1）知 ，由 得： ， 即 ，即对 恒成立， 令 ，因为 ， ①当 时， ，因 ， 即当 时， 恒成立，即 单调递减， 故 ，条件成立； ②当 时， ，即条件不成立． 综上， 的取值范围为 ． （3） ， 由（2）知当 时， ， 故得， 在 上恒成立，当且仅当 时取等号， 所以 ， 学科网（北京）股份有限公司即 ，故命题得证． 【例1】（2024届湖南省多校高三下学期4月大联考）若数列 在某项之后的所有项均为一常数，则称 是“最终常数列”.已知对任意 ，函数 和数列 满足 . (1)当 时，证明： 是“最终常数列”； (2)设数列 满足 ，对任意正整数 .若方程 无实根，证明： 不是 “最终常数列”的充要条件是：对任意正整数 ， ； (3)若 不是“最终常数列”，求 的取值范围. 【解析】（1）因为 ，所以对任意 ，故数列最小值不变. 即对于任意 恒成立. 故对于任意 ，有 ，故 是“最终常数列”. （2）必要性，若 不为“最终常数列”，假设存在一个 使得 ，则由（1）同理可知 其最小值不变，故 为“最终常数列”，矛盾.所以对任意 . 故对任意 ，均有 成立，故 对任意 成立， 又由 定义递推，知对任意正整数 . 充分性：若任意正整数 ，则 对任意 成立， 学科网（北京）股份有限公司又由 定义知任意 ，均有 成立. 由此知 . 又由 知 ，故 ，即 在第 项后严格递减， 故不是“最终常数列”.综上，原命题得证. （3）由（2）知：要求 ，解得 . 下面证明： 即为所求.由 时， ， 由递推可知，对任意 均有 . 进而 对任意 均成立，结合（2）结论知 不是“最终常数列”.故 的取值范围是 . 【例2】（2024届重庆市主城区高三下学期第二次调研抽测）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基 者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”定义为：对于任意实数x，记 表示不 超过x的最大整数，则 称为“高斯函数”．例如： ， ． (1)设 ， ，求证： 是 的一个周期，且 恒成立； (2)已知数列 的通项公式为 ，设 ． ①求证： ； ②求 的值． 【解析】（1） ． 学科网（北京）股份有限公司故是 的一个周期． 当 时， ， ，故 ． 由于周期为 ，故对任意 ，都有 ． （2）①记 ． ，则 ． ∵ ，∴ ． 而 ．∴ ． ∴ ，∴ ． ②由①知 ，则 ． 由（1）知：对任意 ，都有 ， ∴ ．∴ ． 学科网（北京）股份有限公司∵ ，∴ ． 令 ， ∵ ； ． ∵ ，∴ ． 【例3】（2024届甘肃省张掖市高三下学期模拟）泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函 数在某一点处展开成无限项的多项式.当 在 处的 阶导数都存在时，它的公式表达式如下： .注： 表示函数 在原点处的一阶导 数， 表示在原点处的二阶导数，以此类推， 表示在原点处的 阶导数. (1)根据公式估算 的值，精确到小数点后两位； (2)当 时，比较 与 的大小，并证明； (3)设 ，证明： . 【解析】（1）由公式可得 ， 所以 . （2）由（1）得 ，得到结论：当 时， 下面给出证明：令 ，则 ， 学科网（北京）股份有限公司令 ，则 ， 所以函数 在 上单调递增，即当 时， ， 所以 在 上恒成立，所以函数 在 上单调递增， 即当 时， ，故当 时， . （3）因为 ，所以 ，则 ， 由（2）可得： 且 ， 故 ， 即 ， ， ， ， 所以， . 【例4】（2024届广东省广州市华南师范大学附中高三下学期5月月考）对给定的在定义域内连续且存在 导函数的函数 ，若对在 定义域内的给定常数 ，存在数列 满足 在 的定义域内且 ，且对 在区间 的图象上有且仅有在 一个点处的切线平行于 学科网（北京）股份有限公司和 的连线，则称数列 为函数 的“ 关联切线伴随数列”. (1)若函数 ，证明： 都存在“ 关联切线伴随数列”； (2)若函数 ，数列 为函数 的“1关联切线伴随数列”，且 ，求 的通项 公式； (3)若函数 ，数列 为函数 的“ 关联切线伴随数列”，记数列 的前 项和为 ，证明：当 时， . 【解析】（1）因为 ，则 ， 由题意可得： ， 则 ，即 ，且 ， 可知数列 为以 为首项， 为公比的等比数列， 显然这样的数列对于给定的 是存在的， 所以 都存在“ 关联切线伴随数列”. （2）因为 ，则 ， 设 ，即 ， 由题意可知： ，则 ， 可得 ，且 ， 可知数列 为以 为首项， 为公比的等比数列， 学科网（北京）股份有限公司可得 ，所以数列通项公式为 . （3）先证明 ，设函数 ， 则 ， ，则 ， 定义 的导函数为 的导函数为 ， 则 ， 且 ， ， 令 ，则 ， ， 因为 ， 可知 在 内单调递增，则 ， 同理得 ， ， 故 ， 又 在 内单调递增， 在 有 有 因此取 ，有 ， 又 在 单调递减，在 单调递增，故 ， 当 时， ，符合题意；当 时， ， 学科网（北京）股份有限公司累加可得 ， 整理得 ， 所以 ；综上所述： . 【例5】（2024届重庆市巴蜀中学校高三下学期适应性月考）阅读材料一：“装错信封问题”是由数学家 约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667～1748）的儿子丹尼尔·伯努利提出来的，大意如下：一个人写了 封 不同的信及相应的 个不同的信封，他把这 封信都装错了信封，问都装错信封的这一情况有多少种？后 来瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler，1707～1783）给出了解答：记都装错 封信的情况为 种，可以用全 排列 减去有装正确的情况种数，结合容斥原理可得公式： ，其中 ． 阅读材料二：英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当 在 处 阶可导，则有： ，注 表示 的 阶导数，该公式也称 麦克劳林公式．阅读以上材料后请完成以下问题： (1)求出 的值； (2)估算 的大小（保留小数点后2位），并给出用 和 表示 的估计公式； (3)求证： ，其中 ． 【解析】（1）因为 ， 所以 ， ， ，所以 ． （2）由麦克劳林公式，令 ，有 学科网（北京）股份有限公司再取 ，可得 ， 所以估算值为 ． 在 中，取 ，可得 . （3）证明：由麦克劳林公式，当 时，令 ，有 ，猜想： 令 ，有 ，猜想： 令 ，由 ，所以 ，即 ． 令 ，由 ， 再令 ，则 恒成立， 所以 在 上为增函数，且 ， 所以 在 上为增函数，所以 ，即 ． 又 时， ， ，所以 . 令 ， 当 ，有 ， 则 ，命题得证． a  a a a a a 1 【例6】（2025届福建省泉州市高三适应性练习）已知数列 n 满足递推式 n1 n n1 n，且 1 ，数 2 b  1  S  n1   列b n 的前 n1 项和 n1 2 2a n  ，数列c n 的通项公式为c n C1 n 2C2 n 3C3 n   nCn n ． b  (1)求数列 n 的通项公式； a b c  n T (2)求数列 n n n 的前 项和 n； 学科网（北京）股份有限公司n 2ancn1 1 d   (3)若数列 d  满足： i 2b 1，证明：d 1． n i1 i1 i n 1 a 1  n 【解析】（1）由题可知：a 0，将a a a a 化为a a ， n n1 n n1 n n1 n 1 1 1 1 可得 1 ，即 - =1， a a a a n1 n n+1 n  1  1 1   =1 =n 所以数列a 是以a 为首项，1为公差的等差数列，所以a ， n 1 n 1 所以数列a n 的通项公式为 a n  n ， 2 由题， S n1  b n 2 1    2 1 a n     b n 2 1  n 4 2 ，则 S n  b 2 n  (n 4 1)2 ， b b 2n1 b b 2n1 两式相减可得S S  n1  n  ，即 b  n1  n  ， n1 n 2 2 4 n1 2 2 4 b b 2n1 2n1 1 整理得 n1  n  ，所以 b b  n ； 2 2 4 n1 n 2 2 b b 令 ，可得S  1 0，即b  1 0，所以 ； n1 1 2 1 2 b 0 1 S b b b b  b b  当 n 为偶数时，可得： n 1 2 3 4  n1 n  1  1  1 1 n   1 2     3 2      n1 2   135  n1 2  2 n 1n1  2  n  n2n ①； 2 4 4 当n为奇数时，可得：  1  1  1 S n b 1 b 2 b 3 b 4 b 5   b n1 b n  0  2 2     4 2      n1 2   n1 2n1 246 n1 1  n1  2  n1  n2n ②．  2 2 2 4 4 n2n 结合①②可得：S  ， n 4 学科网（北京）股份有限公司n2n (n1)2n1 1 1 则b S S    n n2，且 满足上式， n n n1 4 4 2 2 b 0 1 1 1 b  n 综上所述， ； n 2 2 f xC0 C1xC2x2 Cnxn (1x)n,  n1,nN* （2）令 n n n  n ， fxn(1x)n1C1 2C2x3C3x2 nCnxn1 则 n n n  n ， 故 f1C1 n 2C n 23C3 n   nC n n n2n1 ，即 c n n2n1 ， a b c n12n2 故 n n n ， T 021120 n12n2 则 n  ， 2T 020 n22n2n12n1 n  2T T T   20 2n2 n12n1 所以当n2,nN* 时， n n n  ， 12n1  n12n1 n22n11， 12 T n22n11 所以 n ； n 2ancn1 1 n 2n11 d   d  （3）由题，数列 d  满足 i 2b 1，即 i i， n i1 i1 i i1 i1 1 1 1 则 d 1 d 2   d n 1 2  3    2n1 ， 1 1 1 所以d 1 d 2   d n1 1 2  3    2n11 n2 ， 1 1 1 1 两式相减得d n  2n1  2n11  2n12    2n1 ， 1 1 1 1 2n1  2n1  2n1    2n1   2n12n11  2n1  2n1 1， n1 d 1 b 1 1 n 当 时， ，所以 ． 学科网（北京）股份有限公司1 1．（2024届河南省信阳市名校高三下学期全真模拟）已知函数y f x，其中 f x x3kx2 ， . 3 kR y f x y f x 若点A在函数 的图像上，且经过点A的切线与函数 图像的另一个交点为点B，则称点B y f x M M M 为点A的一个“上位点”，现有函数 图像上的点列 1， 2，…， n，…，使得对任意正整数 n M M ，点 n都是点 n1的一个“上位点”. (1)若k 0，请判断原点O是否存在“上位点”，并说明理由； M 3k,0 M M (2)若点 1的坐标为 ，请分别求出点 2、 3的坐标； (3)若 M 1的坐标为 3,0 ，记点 M n到直线 ym 的距离为 d n.问是否存在实数 m 和正整数 T ，使得无穷数列 d d d m T、 T1、…、 Tn…严格减？若存在，求出实数 的所有可能值；若不存在，请说明理由. f xax2cosx1 aR 2．（2024届江西省宜丰中学高三下学期模拟）设 ， . 1 a (1)当 2 时，证明： fx0； 1 1 1 4 (2)证明： cos cos L cos n  nN*,n1  . 2 3 n 3 3．（2024届江苏省扬州中学高三下学期全真模拟）帕德近似是法国数学家帕德发明的用多项式近似特定 f x m,n x0 函数的方法．给定两个正整数m，n，函数 在 处的 阶帕德近似定义为： a a x a xm Rx 0 1  m 1b 1 x  b n xn ，且满足： f 0R0 ， f0R0 ， f0R0 ，…， fmn0Rmn0．注： fx  fx   ， fx  fx   ， f4x  fx    ， f5x  f4(x)   ， 学科网（北京）股份有限公司1ax …已知 f xex在 处的1,1阶帕德近似为Rx ． x0 1bx (1)求实数a，b的值； x0,1 f x Rx (2)当 时，试比较 与 的大小，并证明； 1 1 1 (3)已知正项数列a n 满足：a 1  2 ， a n ean1 ean 1 ，求证： 2n a n  2n1 ． a  a a a  nN* 4．（2024届重庆市第一中学校高三下学期模拟）对于数列 n ，定义 n n1 n ，满足 a 1 a 2 1,a n m(mR) ，记 f(m,n)a 1 ma 2 m2  a n mn ，称 f(m,n) 为由数列 a n  生成的“ m 函 数”． 2 f(2,n) f(2,3) (1)试写出“ 函数” ，并求 的值； 1 f(1,n)15 (2)若“ 函数” ，求n的最大值； S(x)x2x2  nxn S(x) m (3)记函数 ，其导函数为 ，证明：“ 函数” m2 3m n f(m,n) S(m) S(m)(m1)m 2 2 ． i1 a  n S 5．（2024届湖南省衡阳市祁东县高三下学期考前仿真联考）已知正项数列 n 的前 项和为 n，首项 a 1 1 . a2 4S 2a 1 a  (1)若 n n n ，求数列 n 的通项公式； f(x)2ex x a  a  f(a )(nN*) (2)若函数 ，正项数列 n 满足： n1 n . S 3n n1 （i）证明： n ； 1 1 1 1 (1 )(1 )(1 ) (1 ) 3e(n2,nN*)  （ii）证明： 5a2 5a2 5a2 5a2 . 2 3 4 n 学科网（北京）股份有限公司6．（2024届安徽省皖北五校联盟高三第二次联考）在数学中，把只能被自己和1整除的大于1自然数叫 22n 1nN 做素数（质数）.历史上研究素数在自然数中分布规律的公式有“费马数” ；还有“欧拉质数 n2n41nN 多项式”： .但经后人研究，这两个公式也有局限性.现有一项利用素数的数据加密技术— 2 DZB数据加密协议：将一个既约分数的分子分母分别乘以同一个素数，比如分数 的分子分母分别乘以同 3 38 一个素数19，就会得到加密数据 .这个过程叫加密，逆过程叫解密. 57 51 1285 458759 (1)数列a n 中a 1 ,a 2 ,a 3 经DZB数据加密协议加密后依次变为 34 , 1542 , 786444 .求经解密还原的数据 a,a ,a 1 2 3 的数值； a,a ,a a  a  n (2)依据 1 2 3的数值写出数列 n 的通项公式（不用严格证明但要检验符合）.并求数列 n 前 项的和 S n ； f xx2x1,, f x0 (3)为研究“欧拉质数多项式”的性质，构造函数 是方程 的两个根 f a  a 1,a a  n n1,2,  (), fx 是 f x 的导数.设 1 n1 n fa   .证明：对任意的正整数n，都有a . n n a  （本小题数列 n 不同于第（1）（2）小题） f(x)(2x)exx 7．（2024届山东省济宁市高三下学期三模）已知 . f(x) (0,) (1)判断 在 上的单调性； a  a 1,a ea n1 ea n 1(nN*) (2)已知正项数列 n 满足 1 n . a a 2a (nN*) （i）证明: n1 n n1 ； 学科网（北京）股份有限公司1 （ii）若a n 的前 n 项和为S n ，证明: S n 2 2n1 (nN*) . f(x)ex g(x)ln(xn) l:y xm 8．（2024届四川省射洪市高三下学期模拟）已知函数 ， ，直线 为曲线 y f(x) yg(x) 与 的一条公切线. m,n (1)求 ； l:ys0s1 y f(x) l yg(x) A(x,y ),B(x ,y ),C(x ,y ) (2)若直线 与曲线 ，直线 ，曲线 分别交于 1 1 2 2 3 3 三 x x x x,x ,x 1 2 3 1 2 3 s 点，其中 ，且 成等差数列，证明：满足条件的 有且只有一个. f xx6sinx a  n 9．（2024届海南省海口市高三下学期4月调研）已知函数 ，等差数列 n 的前 项和为 n T  f a  S ，记 n i . n i1 f x π,π (1)求证： 的图象关于点 中心对称； a a a T 1 2 3 3 (2)若 ， ， 是某三角形的三个内角，求 的取值范围； S 100π T 100π 100 100 (3)若 ，求证： .反之是否成立?并请说明理由. gxlnxmx1 10．（2024届河南省部分学校高三5月份大联考）已知函数 . gx m0 (1)当 时，求 的单调区间； x  x 1,x gx  (2)当 m1 时，设正项数列 n 满足： 1 n1 n ， x ①求证： n 1； 2n1 n  1  ln1 1 ②求证： i2  x i 2  . n1  nN* 11．（2024届河北省承德市部分示范性高中高三下学期二模）给定一个 元函数组： 学科网（北京）股份有限公司f 0 x, f 1 x,  , f n x ，若对任意正整数n，均有 f n x f n1 x ，则把 f 0 x 称作该函数组的“初始函 数”.已知 g 0 x 是函数组 g 0 x ， g 1 x,  ,g n x的“初始函数”，且g n x 2 n sin    x n 4 π   ex . g x (1)求函数 2 的单调区间； g xa sinxb cosxex,nN* c a b c  n S x,y,z (2)设 n n n ，记 n n n，数列 n 的前 项和为 n. 是三个互不相等的 S  S 2 S xyz 正整数，若 x z y ，求 除以4的余数. ax 12．（2024届安徽省蚌埠市高三第四次教学质量检查）已知函数 f xlnx1,gx ，其中 ． xa a1 x f x (1)若a1，证明：x0时， 2gx1 ； Fx f xgx a (2)若函数 在其定义域内单调递增，求实数 的值； n!en a  3 (3)已知数列 a n  的通项公式为 n nn n ，求证：a n a n1 e4． p1 x1 x0 f(x)(1x)p  px1 13．设整数 ， 且 ，函数 ． f(x)0 (1)证明： ； x0 ln(1x)x (2)设 ，证明： ； 1 1 1 (3)设nN*，证明：122 33   nn 2nln(n1)． a a a 1 2 n 14．（2024届广东省深圳市二模）无穷数列 ， ，…， ，…的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可 a 3n1 n 能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是 ﹔如果n是奇数，就对 尽可能多次地除以2， a n 直到得出一个奇数，这个奇数就是 ． (1)写出这个数列的前7项； 学科网（北京）股份有限公司a m a n n m (2)如果 且 ，求m，n的值； n f n f f n  f  f  f n     (3)记a n  f n，nN*，求一个正整数n，满足  20  24个  f ． 15．变分法是研究变元函数达到极值的必要条件和充要条件，欧拉、拉格朗日等数学家为其奠定了理论基 y f x D 础，其中“平缓函数”是变分法中的一个重要概念．设 是定义域为 的函数，如果对任意的 x ,x Dx  x , f x  f x   x x y f x 1 2 1 2 1 2 1 2 均成立，则称 是“平缓函数”． f x x2x,x0,1;hxsinx,xR y f x yhx (1)若 ．试判断 和 是否为“平缓函数”?并说明理   由；（参考公式：① 时， 恒成立；②sinsin2sin cos ．） x0 sinxx 2 2 y f x x,x Rx  x  (2)若函数 是周期为2的“平缓函数”，证明：对定义域内任意的 1 2 1 2 ，均有 f x  f x  1 1 2 ； ygx y Agx (3)设 为定义在R上的函数，且存在正常数 A1 ，使得函数 为“平缓函数”．现定义 A g0 数列 x n  满足： x 1 0,x n  gx n1 n2,3,4, ，试证明：对任意的正整数 n, gx n   A1 ． 1an （参考公式： 且 时，a0a1  an1  ．） a0 a1 1a 学科网（北京）股份有限公司