专题14立体几何综合（5大考向真题解读）-原卷版_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年08月试卷_08202025版《真题题源解密-专题分类》数学

专题 14 立体几何综合 命题解读 考向 考查统计 1.(cid:8)(cid:9)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:19)(cid:9)(cid:32)(cid:11)(cid:33)(cid:16)(cid:34) 2023·(cid:7)(cid:8)(cid:9)Ⅰ(cid:10)(cid:11)18(cid:12)1(cid:13) (cid:12)1(cid:13)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:19)(cid:41)(cid:42)(cid:11)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38) (cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6) 2024·(cid:7)(cid:8)(cid:9)Ⅰ(cid:10)(cid:11)17(cid:12)1(cid:13) (cid:39)(cid:40)(cid:19)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:11)(cid:51)(cid:52)(cid:37)(cid:38)(cid:39) 2022·(cid:7)(cid:8)(cid:9)Ⅱ(cid:10)(cid:11)20(cid:12)1(cid:13) (cid:40)(cid:19)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:36)(cid:47)(cid:48)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60) 2023·(cid:7)(cid:8)(cid:9)Ⅱ(cid:10)(cid:11)20(cid:12)1(cid:13) (cid:14)(cid:15)(cid:5)(cid:6) (cid:12)2(cid:13)(cid:51)(cid:52)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:19)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:47)(cid:48)(cid:56) 2024·(cid:7)(cid:8)(cid:9)Ⅱ(cid:10)(cid:11)17(cid:12)1(cid:13) (cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:11)(cid:51)(cid:52)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:19)(cid:65)(cid:40)(cid:66)(cid:47)(cid:48)(cid:56) (cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21) 2022·(cid:7)(cid:8)(cid:9)Ⅰ(cid:10)(cid:11)19(cid:12)1(cid:13) (cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:11)(cid:67)(cid:68)(cid:39)(cid:40)(cid:19)(cid:65)(cid:40)(cid:66)(cid:69)(cid:70)(cid:39)(cid:40)(cid:19) 2022·(cid:7)(cid:8)(cid:9)Ⅰ(cid:10)(cid:11)19(cid:12)2(cid:13) (cid:71)(cid:61)(cid:72)(cid:14)(cid:15)(cid:60) 2022·(cid:7)(cid:8)(cid:9)Ⅱ(cid:10)(cid:11)20(cid:12)2(cid:13) (cid:22)(cid:23)(cid:18)(cid:24) (cid:12)3(cid:13)(cid:68)(cid:28)(cid:29)(cid:73)(cid:74)(cid:4)(cid:3)(cid:4)(cid:75)(cid:14)(cid:15)(cid:5)(cid:6)(cid:19) 2023·(cid:7)(cid:8)(cid:9)Ⅱ(cid:10)(cid:11)20(cid:12)2(cid:13) (cid:76)(cid:77)(cid:11)(cid:78)(cid:47)(cid:67)(cid:68)(cid:39)(cid:40)(cid:73)(cid:76)(cid:77)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:79) 2024·(cid:7)(cid:8)(cid:9)Ⅱ(cid:10)(cid:11)17(cid:12)2(cid:13) (cid:80)(cid:5)(cid:61)(cid:18)(cid:81)(cid:82)(cid:5)(cid:6)(cid:19)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:45)(cid:46)(cid:60) (cid:12)4(cid:13)(cid:67)(cid:68)(cid:39)(cid:40)(cid:73)(cid:36)(cid:87)(cid:88)(cid:18)(cid:15)(cid:61)(cid:75)(cid:15)(cid:61) 2023·(cid:7)(cid:8)(cid:9)Ⅰ(cid:10)(cid:11)18(cid:12)2(cid:13) (cid:89)(cid:3)(cid:18)(cid:75)(cid:3)(cid:18)(cid:89)(cid:3)(cid:18)(cid:19)(cid:90)(cid:24)(cid:91)(cid:92)(cid:11)(cid:93)(cid:67) (cid:105)(cid:106)(cid:23)(cid:18)(cid:24)(cid:22)(cid:48)(cid:107)(cid:40) 2024·(cid:7)(cid:8)(cid:9)Ⅰ(cid:10)(cid:11)17(cid:12)2(cid:13) (cid:94)(cid:95)(cid:36)(cid:87)(cid:96)(cid:83)(cid:97)(cid:91)(cid:92)(cid:19)(cid:98)(cid:99)(cid:11)(cid:27)(cid:100)(cid:39)(cid:40) (cid:73)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:37)(cid:38)(cid:24)(cid:91)(cid:92)(cid:79)(cid:19)(cid:104)(cid:68)(cid:60) 命题分析 2024年高考新高考Ⅰ卷考查了线面平行关系的证明和已知二面角求长度问题。Ⅱ卷考查了线线垂直关系 的证明和二面角正弦值的求解。难度适中，不过解题的证明方法还是比较少见的，大家要注意。例如Ⅰ卷是 利用垂直关系的性质来考查平行，二面角既可以用定义法也可以建系解决。预计2025年高考第（1）问还 是主要考查平行与垂直的判定与性质，第（2）问主要考查利用空间向量的相关知识解决空间角的问题(cid:22) 试题精讲 (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:21) 1(cid:27)(cid:28)2024(cid:29)(cid:30)(cid:31)Ⅰ(cid:32)·17(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)P-ABCD(cid:40)(cid:36)PA^(cid:41)(cid:42)ABCD(cid:36)PA= AC =2(cid:36) BC =1,AB= 3(cid:27)(1)(cid:43)AD^PB(cid:36)(cid:44)(cid:45)(cid:10)AD//(cid:46)(cid:42)PBC(cid:47) 42 (2)(cid:43)AD^DC(cid:36)(cid:48)(cid:49)(cid:42)(cid:50)A-CP-D(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55) (cid:36)(cid:56)AD(cid:27) 7 2(cid:27)(cid:28)2024(cid:29)(cid:30)(cid:31)Ⅱ(cid:32)·17(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:46)(cid:42)(cid:37)(cid:57)(cid:58)ABCD(cid:40)(cid:36)AB=8(cid:36)CD=3(cid:36)AD=5 3(cid:36)ÐADC =90°(cid:36)  2  1 ÐBAD=30°(cid:36)(cid:59)E(cid:36)F(cid:60)(cid:61)AE= AD(cid:36)AF = AB(cid:36)(cid:62)△AEF (cid:63)EF(cid:64)(cid:65)(cid:66) !PEF(cid:36)(cid:67)(cid:68)PC =4 3(cid:27) 5 2 (1)(cid:44)(cid:45)(cid:10)EF ^PD(cid:47) (2)(cid:56)(cid:42)PCD(cid:69)(cid:42)PBF(cid:70)(cid:71)(cid:51)(cid:49)(cid:42)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:27) (cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:21) 1(cid:27)(cid:28)2022(cid:29)(cid:30)(cid:31)Ⅰ(cid:32)·19(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:72)(cid:73)(cid:38)(cid:74)ABC-ABC (cid:51)(cid:75)(cid:76)(cid:55)4(cid:36)VABC(cid:51)(cid:42)(cid:76)(cid:55)2 2(cid:27) 1 1 1 1(1)(cid:56)A(cid:77)(cid:46)(cid:42)ABC(cid:51)(cid:78)(cid:79)(cid:47) 1 (2)(cid:80)D(cid:55)AC(cid:51)(cid:40)(cid:59)(cid:36)AA = AB(cid:36)(cid:46)(cid:42)ABC ^(cid:46)(cid:42)ABBA (cid:36)(cid:56)(cid:49)(cid:42)(cid:50)A-BD-C(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:27) 1 1 1 1 1 2(cid:27)(cid:28)2023(cid:29)(cid:30)(cid:31)Ⅰ(cid:32)·18(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:81)(cid:52)(cid:37)(cid:38)(cid:74)ABCD-ABCD (cid:40)(cid:36)AB=2,AA =4(cid:27)(cid:59)A ,B ,C ,D (cid:82)(cid:83)(cid:81) 1 1 1 1 1 2 2 2 2 (cid:38)AA,BB,CC ,DD (cid:84)(cid:36)AA =1,BB =DD =2,CC =3(cid:27) 1 1 1 1 2 2 2 2 (1)(cid:44)(cid:45)(cid:10)BC(cid:85)AD (cid:47) 2 2 2 2 (2)(cid:59)P(cid:81)(cid:38)BB (cid:84)(cid:36)(cid:86)(cid:49)(cid:42)(cid:50)P-AC -D (cid:55)150°(cid:87)(cid:36)(cid:56)B P(cid:27) 1 2 2 2 2 3(cid:27)(cid:28)2022(cid:29)(cid:30)(cid:31)Ⅱ(cid:32)·20(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)PO(cid:88)(cid:73)(cid:38)(cid:39)P-ABC(cid:51)(cid:30)(cid:36)PA=PB(cid:36)AB^AC(cid:36)E(cid:88)PB(cid:51)(cid:40)(cid:59)(cid:27) (1)(cid:44)(cid:45)(cid:10)OE//(cid:46)(cid:42)PAC(cid:47) (2)(cid:43)ÐABO=ÐCBO=30°(cid:36)PO=3(cid:36)PA=5(cid:36)(cid:56)(cid:49)(cid:42)(cid:50)C-AE-B(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:27) 4(cid:27)(cid:28)2023 (cid:29)(cid:30)(cid:31)Ⅱ(cid:32)·20(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:73)(cid:38)(cid:39)A-BCD(cid:40)(cid:36)DA=DB=DC(cid:36)BD^CD(cid:36)ÐADB=ÐADC =60o(cid:36) E(cid:55)BC(cid:51)(cid:40)(cid:59)(cid:27) (1)(cid:44)(cid:45)(cid:10)BC ^DA(cid:47)  (2)(cid:59)F(cid:60)(cid:61)EF =DA(cid:36)(cid:56)(cid:49)(cid:42)(cid:50)D-AB-F(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:27) (cid:23)(cid:24)(cid:72)(cid:89)(cid:51)(cid:90)(cid:91)(cid:91)(cid:92) 1(cid:24)(cid:72)(cid:89)(cid:51)(cid:90)(cid:91)(cid:91)(cid:92)  (cid:34)(cid:35)8-153(cid:70)(cid:93)(cid:36)l(cid:55)(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:59)A(cid:48)(cid:46)(cid:98)(cid:99)(cid:96)(cid:97)(cid:100)(cid:101)(cid:91)(cid:92)a(cid:51)(cid:72)(cid:89)(cid:27)(cid:64)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:23)(cid:59)O(cid:36)(cid:59)P(cid:81)(cid:72)(cid:89)l(cid:84)       (cid:51)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:88)(cid:110)(cid:81)(cid:111)(cid:13)t(cid:36)(cid:67)OP=OA+ta (cid:36)(cid:112)(cid:40)(cid:91)(cid:92)a(cid:113)(cid:114)(cid:72)(cid:89)l(cid:51)(cid:90)(cid:91)(cid:91)(cid:92)(cid:36)(cid:81)l(cid:84)(cid:115)AB=a(cid:36)(cid:116)(cid:117)         (cid:118)(cid:16)(cid:55)OP=OA+tAB=OA+t  OB-OA  =①1-tOA+tOB ① 1 ②  1    (cid:119) (cid:120)(cid:121)(cid:55)(cid:102)(cid:103)(cid:72)(cid:89)(cid:51)(cid:91)(cid:92)(cid:122)(cid:123)(cid:117)(cid:36)(cid:86)t = (cid:36)(cid:124)(cid:59)P(cid:88)(cid:89)(cid:125)AB(cid:51)(cid:40)(cid:59)(cid:87)(cid:36)OP= OA+OB (cid:36)(cid:126)(cid:117)(cid:113) 2 2 ① ② (cid:114)(cid:89)(cid:125)AB(cid:51)(cid:40)(cid:59)(cid:7)(cid:117)(cid:27) 2(cid:24)(cid:127)(cid:42)(cid:91)(cid:92)    (cid:34)(cid:35)8-154(cid:70)(cid:93)(cid:36)(cid:96)(cid:97)(cid:46)(cid:42)a(cid:69)(cid:91)(cid:92)a(cid:36)(cid:128)OA=a(cid:36)(cid:34)(cid:129)(cid:72)(cid:89)OA(cid:46)(cid:98)(cid:99)(cid:46)(cid:42)a(cid:130)(cid:81)(cid:46)(cid:42)a(cid:131)(cid:36)(cid:116)(cid:132)(cid:45)(cid:91)(cid:92)  a(cid:46)(cid:98)(cid:99)(cid:46)(cid:42)a(cid:27)(cid:46)(cid:98)(cid:99)(cid:133)(cid:23)(cid:46)(cid:42)(cid:51)(cid:91)(cid:92)(cid:36)(cid:113)(cid:114)(cid:127)(cid:42)(cid:91)(cid:92)(cid:27) a O A a a 3(cid:24)(cid:127)(cid:42)(cid:91)(cid:92)(cid:134)(cid:15)      (cid:34)(cid:129)(cid:135)(cid:136)(cid:91)(cid:92)a(cid:36)b(cid:137)(cid:127)(cid:89)(cid:36)(cid:138)(cid:139)(cid:91)(cid:92)p(cid:69)(cid:91)(cid:92)a(cid:36)b(cid:127)(cid:42)(cid:51)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:88)(cid:110)(cid:81)(cid:140)(cid:23)(cid:51)(cid:141)(cid:142)(cid:111)(cid:13)(cid:64)x,y(cid:36)(cid:67)    p=xa+ yb(cid:27)    (cid:143)(cid:144)(cid:10) (cid:102)(cid:103)(cid:23)(cid:59)P(cid:145)(cid:99)(cid:46)(cid:42)ABC(cid:131)(cid:51)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:88)(cid:110)(cid:81)(cid:141)(cid:142)(cid:111)(cid:13)(cid:64)x,y(cid:36)(cid:67)AP=xAB+ yAC(cid:47)(cid:130)(cid:64)(cid:102)(cid:103)     (cid:104)(cid:105)(cid:23)①(cid:59)O(cid:36)(cid:141)OP-OA=xAB+ yAC(cid:36)(cid:146)(cid:117)(cid:121)(cid:55)(cid:102)(cid:103)(cid:46)(cid:42)ABC(cid:51)(cid:91)(cid:92)(cid:122)(cid:123)(cid:117)(cid:27)     (cid:96)(cid:97)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:23)(cid:59)O(cid:119)(cid:137)(cid:127)(cid:89)(cid:51)(cid:73)(cid:59)A(cid:36)B(cid:36)C(cid:36)(cid:60)(cid:61)(cid:91)(cid:92)(cid:3)(cid:147)(cid:117)OP=xOA+ yOB+zOC (cid:28)(cid:112)(cid:40) ②x+ y+z=1(cid:33)(cid:51)(cid:59)P(cid:69)(cid:59)A(cid:36)B(cid:36)C(cid:127)(cid:42)(cid:47)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:71)(cid:151)(cid:27) (cid:49)(cid:24)(cid:102)(cid:103)(cid:91)(cid:92)(cid:51)(cid:13)(cid:92)(cid:76)(cid:152)(cid:153) 1(cid:24)(cid:135)(cid:91)(cid:92)(cid:154)(cid:50)         (cid:96)(cid:97)(cid:135)(cid:136)(cid:100)(cid:101)(cid:91)(cid:92)a(cid:36)b(cid:36)(cid:81)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:115)(cid:23)(cid:59)O(cid:36)(cid:128)OA=a(cid:36)OB=b(cid:36)(cid:116)ÐAOB(cid:113)(cid:114)(cid:91)(cid:92)a(cid:36)b(cid:51)(cid:154)(cid:50)(cid:36)(cid:155)(cid:128)      p     a,b (cid:36)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:134)0£ a,b £p(cid:36)(cid:34)(cid:129) a,b = (cid:36)(cid:138)(cid:139)(cid:91)(cid:92)a(cid:36)b(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:72)(cid:36)(cid:155)(cid:128)a^b(cid:27) 2 2(cid:24)(cid:13)(cid:92)(cid:76)(cid:134)(cid:162)                 (cid:96)(cid:97)(cid:135)(cid:136)(cid:100)(cid:101)(cid:91)(cid:92)a(cid:36)b(cid:36)(cid:116) a bcos a,b (cid:113)(cid:114)a(cid:36)b(cid:51)(cid:13)(cid:92)(cid:76)(cid:36)(cid:155)(cid:128)a×b(cid:36)(cid:124)a×b= a b cos a,b (cid:27)(cid:101)(cid:91)(cid:92)    2 (cid:69)(cid:104)(cid:163)(cid:91)(cid:92)(cid:51)(cid:13)(cid:92)(cid:76)(cid:55)0(cid:36)(cid:164)(cid:83)(cid:165)(cid:36)a×a= a (cid:27) 3(cid:24)(cid:102)(cid:103)(cid:91)(cid:92)(cid:51)(cid:13)(cid:92)(cid:76)(cid:60)(cid:61)(cid:51)(cid:152)(cid:153)(cid:166)(cid:10)             la ×b=l a×b (cid:36)a×b=b×a(cid:28)(cid:167)(cid:168)(cid:166)(cid:33)(cid:47)          a× b+c =a×b+a×c(cid:28)(cid:82)(cid:169)(cid:166)(cid:33)(cid:27) (cid:73)(cid:24)(cid:102)(cid:103)(cid:91)(cid:92)(cid:51)(cid:170)(cid:171)(cid:152)(cid:153)(cid:172)(cid:173)(cid:174)     1(cid:24)(cid:80)a=a,a ,a (cid:36)b=b,b ,b (cid:36)(cid:116)a+b=a +b,a +b ,a +b (cid:47) 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3   a-b=a -b,a -b ,a -b (cid:47) 1 1 2 2 3 3  la=la ,la ,la (cid:47) 1 2 3   a×b=ab +a b +ab (cid:47) 1 1 2 2 3 3       a//b b¹0 Þa =lb,a =lb ,a =lb (cid:47) 1 1 2 2 3 3   a^bÞab +a b +ab =0(cid:27) 1 1 2 2 3 3    2(cid:24)(cid:80)Ax,y ,z (cid:36)Bx ,y ,z (cid:36)(cid:116)AB=OB-OA=x -x,y - y ,z -z (cid:27) 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 (cid:175)(cid:176)(cid:88)(cid:132)(cid:36)(cid:23)(cid:136)(cid:91)(cid:92)(cid:81)(cid:72)(cid:50)(cid:170)(cid:171)(cid:147)(cid:40)(cid:51)(cid:170)(cid:171)(cid:177)(cid:99)(cid:122)(cid:93)(cid:146)(cid:91)(cid:92)(cid:51)(cid:141)(cid:91)(cid:89)(cid:125)(cid:51)(cid:178)(cid:59)(cid:51)(cid:170)(cid:171)(cid:179)(cid:180)(cid:59)(cid:51)(cid:170)(cid:171)(cid:27) 3(cid:24)(cid:135)(cid:136)(cid:91)(cid:92)(cid:51)(cid:154)(cid:50)(cid:172)(cid:135)(cid:59)(cid:103)(cid:51)(cid:78)(cid:79)(cid:7)(cid:117)(cid:27)     (cid:96)(cid:97)a=a,a ,a (cid:36)b=b,b ,b (cid:36)(cid:116) a = a 2 = a2 +a 2 +a2 (cid:47) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ①  b = b 2 = b2 +b2 +b2 (cid:47) 1 2 3   a×b=ab +a b +ab (cid:47) 1 1 2 2 3 3   ab +a b +ab cos a,b = 1 1 2 2 3 3 (cid:47) a2 +a 2 +a2 b2 +b2 +b2 1 2 3 1 2 3  (cid:96)(cid:97)Ax,y ,z (cid:36)Bx ,y ,z (cid:36)(cid:116) AB = x -x 2 +y - y 2 +z -z 2 (cid:36) 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2  (cid:130) ② (cid:181)dA,B= AB (cid:27)(cid:112)(cid:40)dA,B(cid:122)(cid:93)A(cid:69)B(cid:135)(cid:59)(cid:103)(cid:51)(cid:78)(cid:79)(cid:36)(cid:175)(cid:176)(cid:88)(cid:102)(cid:103)(cid:135)(cid:59)(cid:51)(cid:78)(cid:79)(cid:7)(cid:117)(cid:27)        a×b 4(cid:24)(cid:91)(cid:92)a(cid:81)(cid:91)(cid:92)b(cid:84)(cid:51)(cid:182)(cid:183)(cid:55) a cos a,b =  (cid:27) b (cid:37)(cid:24)(cid:184)(cid:91)(cid:92)(cid:51)(cid:56)(cid:25)(cid:69)(cid:185)(cid:186)(cid:173)(cid:174)1(cid:24)(cid:46)(cid:42)(cid:51)(cid:184)(cid:91)(cid:92)(cid:10)    (cid:34)(cid:129)(cid:122)(cid:93)(cid:91)(cid:92)n(cid:51)(cid:141)(cid:91)(cid:89)(cid:125)(cid:70)(cid:81)(cid:72)(cid:89)(cid:161)(cid:72)(cid:99)(cid:46)(cid:42)a(cid:36)(cid:116)(cid:121)(cid:175)(cid:136)(cid:91)(cid:92)(cid:161)(cid:72)(cid:99)(cid:46)(cid:42)a(cid:36)(cid:155)(cid:128)n^a(cid:36)(cid:34)(cid:129)n^a(cid:36)  (cid:138)(cid:139)(cid:91)(cid:92)n(cid:113)(cid:114)(cid:46)(cid:42)a(cid:51)(cid:184)(cid:91)(cid:92)(cid:27) (cid:187)(cid:59)(cid:4)(cid:105)(cid:10)   (cid:184)(cid:91)(cid:92)(cid:23)(cid:134)(cid:88)(cid:100)(cid:101)(cid:91)(cid:92)(cid:47) (cid:23)(cid:136)(cid:46)(cid:42)(cid:51)(cid:70)(cid:141)(cid:184)(cid:91)(cid:92)(cid:120)(cid:159)(cid:160)(cid:46)(cid:98)(cid:47) (cid:91)(cid:92)n(cid:88)(cid:46)(cid:42)(cid:51)(cid:184)(cid:91)(cid:92)(cid:36)(cid:91)(cid:92)m(cid:88)(cid:69)   ①(cid:46)(cid:42)(cid:46)(cid:98)(cid:130)(cid:81)(cid:46)(cid:42)(cid:131)(cid:36)(cid:116)(cid:141)②m×n=0(cid:27) ③   (cid:188)(cid:23)(cid:189)(cid:10)(cid:190)(cid:191)(cid:46)(cid:42)(cid:131)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:46)(cid:98)(cid:51)(cid:91)a=x (cid:36)y (cid:36)z (cid:36)b=x (cid:36)y (cid:36)z (cid:47) 1 1 1 2 2 2    ïìn×a=0 ìxx + yy +zz =0 (cid:188)(cid:49)(cid:189)(cid:10)(cid:138)(cid:139)(cid:46)(cid:42)(cid:184)(cid:91)(cid:92)n=x(cid:36)y(cid:36)z (cid:36)(cid:60)(cid:61)í  Þí 1 1 1 (cid:27) ïîn×b=0 îxx 2 + yy 2 +zz 2 =0 2(cid:24)(cid:192)(cid:134)(cid:72)(cid:89)(cid:24)(cid:46)(cid:42)(cid:103)(cid:51)(cid:145)(cid:193)(cid:3)(cid:147)   (cid:72)(cid:89)(cid:69)(cid:72)(cid:89)(cid:51)(cid:145)(cid:193)(cid:3)(cid:147)(cid:10)(cid:137)(cid:194)(cid:195)(cid:51)(cid:135)(cid:108)(cid:72)(cid:89)a(cid:36)b(cid:51)(cid:90)(cid:91)(cid:91)(cid:92)(cid:82)(cid:83)(cid:55)a(cid:36)b (cid:27)     (cid:43)①a b (cid:36)(cid:124)a=lb(cid:36)(cid:116)a(cid:85)b(cid:47)     (cid:43)a(cid:196)∥ b(cid:36)(cid:124)a×b=0(cid:36)(cid:116)a(cid:196)b(cid:27)   (cid:72)(cid:89)(cid:69)(cid:46)(cid:42)(cid:51)(cid:145)(cid:193)(cid:3)(cid:147)(cid:10)(cid:72)(cid:89)l(cid:51)(cid:90)(cid:91)(cid:91)(cid:92)(cid:55)a(cid:36)(cid:46)(cid:42)a(cid:51)(cid:184)(cid:91)(cid:92)(cid:55)n (cid:36)(cid:48)l(cid:196)a(cid:27)     (cid:43)②a n (cid:36)(cid:124)a=ln(cid:36)(cid:116)l(cid:196)a(cid:47)      (cid:43)a(cid:196)∥ n(cid:36)(cid:124)a×n=0(cid:36)(cid:116)a(cid:85)a(cid:27) 3(cid:24)(cid:46)(cid:42)(cid:69)(cid:46)(cid:42)(cid:51)(cid:145)(cid:193)(cid:3)(cid:147)   (cid:46)(cid:42)a(cid:51)(cid:184)(cid:91)(cid:92)(cid:55)n (cid:36)(cid:46)(cid:42)b(cid:51)(cid:184)(cid:91)(cid:92)(cid:55)n (cid:27) 1 2         (cid:43)n n (cid:36)(cid:124)n =ln (cid:36)(cid:116)a(cid:85)b(cid:47)(cid:43)n n (cid:36)(cid:124)n ×n =0(cid:36)(cid:116)a b(cid:27) 1 2 1 2 1 2 1 2 ∥ ⊥ ⊥ (cid:197)(cid:24)(cid:102)(cid:103)(cid:50)(cid:7)(cid:117)   1(cid:24)(cid:198)(cid:42)(cid:72)(cid:89)(cid:70)(cid:71)(cid:50)(cid:7)(cid:117)(cid:10)(cid:80)a(cid:36)b(cid:82)(cid:83)(cid:55)(cid:198)(cid:42)(cid:72)(cid:89)l (cid:36)l (cid:84)(cid:51)(cid:90)(cid:91)(cid:91)(cid:92)(cid:36)q(cid:55)(cid:198)(cid:42)(cid:72)(cid:89)(cid:70)(cid:71)(cid:50)(cid:51)(cid:199)(cid:200)(cid:36)(cid:116) 1 2     a×b cosq= cos a,b =   (cid:27) a b  2(cid:24)(cid:89)(cid:42)(cid:50)(cid:7)(cid:117)(cid:10)(cid:80)l(cid:55)(cid:46)(cid:42)a(cid:51)(cid:201)(cid:89)(cid:36)a(cid:55)l(cid:51)(cid:90)(cid:91)(cid:91)(cid:92)(cid:36)n(cid:55)(cid:46)(cid:42)a(cid:51)(cid:184)(cid:91)(cid:92)(cid:36)q(cid:55)     a×n l(cid:69)a(cid:70)(cid:71)(cid:50)(cid:51)(cid:199)(cid:200)(cid:36)(cid:116)sinq= cos a,n =   (cid:27) a n 3(cid:24)(cid:49)(cid:42)(cid:50)(cid:7)(cid:117)(cid:10)     (cid:80)n (cid:36)n (cid:82)(cid:83)(cid:55)(cid:46)(cid:42)a(cid:36)b(cid:51)(cid:184)(cid:91)(cid:92)(cid:36)(cid:49)(cid:42)(cid:50)(cid:51)(cid:199)(cid:200)(cid:55)q(cid:36)(cid:116)q= n,n (cid:130)p- n,n (cid:28)(cid:202)(cid:107)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:75)(cid:206)(cid:207) 1 2 1 2 1 2   n ×n (cid:192)(cid:208)(cid:160)(cid:177)(cid:130)(cid:159)(cid:209)(cid:33)(cid:36)(cid:112)(cid:40) cosq=  1  2 (cid:27) n n 1 2 (cid:210)(cid:24)(cid:102)(cid:103)(cid:40)(cid:51)(cid:78)(cid:79) (cid:56)(cid:25)(cid:102)(cid:103)(cid:40)(cid:51)(cid:78)(cid:79) 1(cid:24)(cid:198)(cid:42)(cid:72)(cid:89)(cid:103)(cid:51)(cid:78)(cid:79)(cid:10)(cid:135)(cid:108)(cid:198)(cid:42)(cid:72)(cid:89)(cid:103)(cid:51)(cid:78)(cid:79)(cid:150)(cid:137)(cid:211)(cid:212)(cid:213)(cid:7)(cid:161)(cid:89)(cid:125)(cid:36)(cid:214)(cid:202)(cid:215)(cid:174)(cid:91)(cid:92)(cid:51)(cid:52)(cid:216)(cid:183)(cid:217)(cid:218)(cid:72)(cid:219)(cid:220) (cid:153)(cid:27)   (cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:80)(cid:135)(cid:108)(cid:198)(cid:42)(cid:72)(cid:89)a(cid:36)b(cid:51)(cid:7)(cid:161)(cid:89)(cid:51)(cid:90)(cid:91)(cid:91)(cid:92)(cid:55)n (cid:36)(cid:175)(cid:87)(cid:82)(cid:83)(cid:81)a(cid:36)b(cid:84)(cid:104)(cid:115)A(cid:36)B(cid:135)(cid:59)(cid:36)(cid:116)(cid:91)(cid:92)(cid:81)n (cid:84)     n |AB×n| (cid:51)(cid:52)(cid:216)(cid:183)(cid:221)(cid:176)(cid:88)(cid:135)(cid:108)(cid:198)(cid:42)(cid:72)(cid:89)a(cid:36)b(cid:51)(cid:78)(cid:79)(cid:27)(cid:116)d =|AB×  |=  (cid:124)(cid:135)(cid:198)(cid:42)(cid:72)(cid:89)(cid:103)(cid:51)(cid:78)(cid:79)(cid:36)(cid:177)(cid:99)(cid:135)(cid:198)(cid:42)(cid:72) |n| |n| (cid:89)(cid:84)(cid:82)(cid:83)(cid:104)(cid:115)(cid:135)(cid:59)(cid:51)(cid:91)(cid:92)(cid:119)(cid:7)(cid:161)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:91)(cid:92)(cid:51)(cid:13)(cid:92)(cid:76)(cid:51)(cid:222)(cid:64)(cid:54)(cid:69)(cid:7)(cid:161)(cid:89)(cid:51)(cid:90)(cid:91)(cid:91)(cid:92)(cid:223)(cid:51)(cid:224)(cid:54)(cid:27) 2(cid:24)(cid:59)(cid:77)(cid:46)(cid:42)(cid:51)(cid:78)(cid:79)  A(cid:55)(cid:46)(cid:42)a(cid:225)(cid:23)(cid:59)(cid:28)(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:36)n (cid:55)(cid:46)(cid:42)a(cid:51)(cid:184)(cid:91)(cid:92)(cid:36)(cid:95)A(cid:128)(cid:46)(cid:42)a(cid:51)(cid:201)(cid:89)AB(cid:172)(cid:161)(cid:89)AH (cid:27)          |AB×n| |AB×n| |AH |=|AB|×sinq=|AB|×|cos< AB,n>|=|AB|   =  AB × n n   |AB×n| d =  |n|(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:21) 1(cid:27)(cid:28)2024·(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:226)·(cid:73)(cid:223)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:96)(cid:97)(cid:37)(cid:38)(cid:39)P-ABCD(cid:51)(cid:41)(cid:42)ABCD(cid:55)(cid:72)(cid:50)(cid:229)(cid:58)(cid:36)AB//CD(cid:36) π AB^BC,ÐBAD= ,AB= AD,VPAD(cid:55)(cid:177)(cid:57)(cid:73)(cid:50)(cid:58). 3 (1)(cid:44)(cid:45)(cid:10)PB^ AD(cid:47) 2π (2)(cid:43)(cid:49)(cid:42)(cid:50)P-AD-B(cid:51)(cid:199)(cid:200)(cid:55) (cid:36)(cid:56)(cid:49)(cid:42)(cid:50)A-PB-C(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54). 3 2(cid:27)(cid:28)2024·(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:233)·(cid:73)(cid:223)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:73)(cid:38)(cid:39)ABCD(cid:40)(cid:36)(cid:46)(cid:42)ABD^(cid:46)(cid:42)ACD(cid:36)(cid:46)(cid:42)ABD^(cid:46)(cid:42)BCD(cid:36)(cid:46)(cid:42) ACD^(cid:46)(cid:42)BCD(cid:36) (1)(cid:56)(cid:44)(cid:10)AD,BD,CD(cid:135)(cid:135)(cid:161)(cid:72)(cid:47) (2)(cid:43)DA=1,DB=2,DC =3,P(cid:55)AB(cid:40)(cid:59)(cid:36)Q(cid:55)AC(cid:40)(cid:59)(cid:36)(cid:56)BQ(cid:69)(cid:46)(cid:42)PDC(cid:70)(cid:71)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:27) 3(cid:27)(cid:28)2024·(cid:37)(cid:234)(cid:71)(cid:120)·(cid:73)(cid:223)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:73)(cid:38)(cid:74)ABC-ABC (cid:70)(cid:141)(cid:38)(cid:221)(cid:120)(cid:55)2(cid:36)ÐBBC =60°(cid:36)D(cid:55)AC(cid:69)AC (cid:167) 1 1 1 1 1 1 (cid:59)(cid:27) (1)(cid:44)(cid:45)(cid:10)(cid:46)(cid:42)BCD^(cid:46)(cid:42)ABC (cid:47) 1 1 13 (2)(cid:43)DB = (cid:36)(cid:56)(cid:49)(cid:42)(cid:50)A -CB -C (cid:51)(cid:235)(cid:53)(cid:54)(cid:27) 1 2 1 1 1π 4(cid:27)(cid:28)2024·(cid:226)(cid:227)(cid:236)(cid:237)·(cid:73)(cid:223)(cid:33)(cid:34)(cid:35)1(cid:36)(cid:37)(cid:57)(cid:58)ABCD(cid:55)(cid:238)(cid:58)(cid:36)ÐABC = (cid:36)E(cid:36)F (cid:82)(cid:83)(cid:55)AD(cid:36)DC(cid:51)(cid:40)(cid:59)(cid:36) 3 (cid:34)(cid:35)2(cid:27)(cid:62)VABC(cid:63)AC(cid:91)(cid:84)(cid:65)(cid:239)(cid:36)(cid:67)(cid:68)(cid:46)(cid:42)ABC^(cid:46)(cid:42)ACFE(cid:36)(cid:62)VDEF(cid:63)EF (cid:91)(cid:84)(cid:65)(cid:239)(cid:27)(cid:67)(cid:68)(cid:46)(cid:42)DEF ^ (cid:46)(cid:42)ACFE(cid:36)(cid:240)(cid:219)BD. (1)(cid:56)(cid:44)(cid:10)A(cid:36)B(cid:36)D(cid:36)E(cid:37)(cid:59)(cid:127)(cid:42)(cid:10) (2)(cid:56)(cid:46)(cid:42)AEDB(cid:69)(cid:46)(cid:42)FDBC(cid:70)(cid:71)(cid:50)(cid:51)(cid:235)(cid:53)(cid:54). 5(cid:27)(cid:28)2024·(cid:241)(cid:242)(cid:243)(cid:162)·(cid:73)(cid:223)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:81)(cid:187)(cid:163)(cid:75)ABCDFE(cid:40)(cid:36)(cid:41)(cid:42)ABCD(cid:55)(cid:238)(cid:58)(cid:36)ÐABC =60°(cid:36)AE∥DF(cid:36) AE^ AD(cid:36)AB= AE=2DF =4. (1)(cid:192)(cid:208)AD(cid:88)(cid:244)(cid:46)(cid:98)(cid:99)(cid:46)(cid:42)CEF(cid:36)(cid:245)(cid:44)(cid:45)(cid:47) (2)(cid:43)(cid:42)EAB^(cid:42)ABCD(cid:47)(cid:56)(cid:10) (cid:28)ⅰ(cid:33)(cid:46)(cid:42)ABCD(cid:69)(cid:46)(cid:42)CEF(cid:70)(cid:71)(cid:50)(cid:51)(cid:199)(cid:200)(cid:47) (cid:28)ⅱ(cid:33)(cid:56)(cid:59)A(cid:77)(cid:46)(cid:42)CEF(cid:51)(cid:78)(cid:79). 6(cid:27)(cid:28)2024·(cid:230)(cid:231)(cid:195)(cid:246)·(cid:73)(cid:223)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:23)(cid:10)(cid:177)(cid:247)(cid:72)(cid:50)VABC(cid:40)AC ^ AB(cid:48)AC =2(cid:36)(cid:82)(cid:83)(cid:63)(cid:73)(cid:50)(cid:58)(cid:73)(cid:57)(cid:91)(cid:225)(cid:128)(cid:177)(cid:247) π (cid:229)(cid:58)ABB A ,BCC B ,CAAC (cid:67)(cid:68)AA =BB =CC =1,ÐCAA =ÐBAA = (cid:36)(cid:63)(cid:73)(cid:57)AB,BC,CA(cid:65)(cid:239)(cid:36)(cid:67)(cid:68) 2 2 2 3 3 3 2 2 2 3 2 3 A A,B B ,C C (cid:36)(cid:194)(cid:195)(cid:99)A,B,C (cid:36)(cid:34)(cid:35)(cid:49) 2 3 2 3 2 3 1 1 1(1)(cid:56)(cid:44)(cid:10)AA ^BC (cid:27) 1 1 1 (2)(cid:56)(cid:72)(cid:89)CC (cid:69)(cid:46)(cid:42)AABB(cid:70)(cid:71)(cid:50)q(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:27) 1 1 1 7(cid:27)(cid:28)2024·(cid:248)(cid:241)(cid:249)(cid:250)(cid:251)·(cid:73)(cid:223)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:81)(cid:73)(cid:38)(cid:74)ABC-ABC (cid:40)(cid:36)CA=CB(cid:36)(cid:37)(cid:57)(cid:58)ABBA (cid:55)(cid:238)(cid:58)(cid:36) 1 1 1 1 1 p ÐABB = (cid:36)AC ^BC. 1 3 1 1 (1)(cid:44)(cid:45)(cid:10)BC =BB . 1 (2)(cid:96)(cid:97)(cid:46)(cid:42)ABC^(cid:46)(cid:42)ABBA (cid:36)(cid:56)(cid:49)(cid:42)(cid:50)B-CC -A(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54). 1 1 1 8(cid:27)(cid:28)2024·(cid:248)(cid:236)·(cid:73)(cid:223)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:81)(cid:72)(cid:73)(cid:38)(cid:74)ABC-ABC (cid:40)(cid:36)D(cid:88)(cid:38)BC(cid:84)(cid:23)(cid:59)(cid:28)(cid:59)D(cid:69)(cid:59)C(cid:137)(cid:194)(cid:195)(cid:33)(cid:36)(cid:48) 1 1 AD^DC(cid:36)(cid:95)A(cid:128)(cid:46)(cid:42)BCCB (cid:51)(cid:161)(cid:89)l(cid:27) 1 1 1 (1)(cid:44)(cid:45)(cid:10)l//AD(cid:47) (2)(cid:43)AC =CC =2(cid:36)(cid:86)(cid:73)(cid:38)(cid:39)C -ACD(cid:51)(cid:75)(cid:76)(cid:252)(cid:199)(cid:87)(cid:36)(cid:56)AC(cid:69)(cid:46)(cid:42)ADC (cid:70)(cid:71)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:27) 1 1 1 9(cid:27)(cid:28)2024·(cid:226)(cid:253)(cid:254)(cid:255)·(cid:73)(cid:223)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:70)(cid:93)(cid:51)(cid:187)(cid:163)(cid:75)(cid:88)(cid:256)(cid:177)(cid:30)(cid:51)(cid:72)(cid:73)(cid:38)(cid:74)(cid:119)(cid:257)(cid:136)(cid:258)(cid:74)(cid:259)(cid:195)(cid:260)(cid:71)(cid:36)BC (cid:55)(cid:257)(cid:136)(cid:258)(cid:74) 1 1 (cid:84)(cid:41)(cid:42)(cid:51)(cid:72)(cid:261)(cid:36)ÐACB=90°(cid:36)AC =BC =2(cid:36)(cid:59)E(cid:36)F (cid:82)(cid:83)(cid:55)AC(cid:36)AB(cid:51)(cid:40)(cid:59)(cid:36)(cid:59)D(cid:55)BC (cid:51)(cid:40)(cid:59)(cid:27) 1 1(1)(cid:44)(cid:45)(cid:10)(cid:46)(cid:42)BCD//(cid:46)(cid:42)CEF(cid:47) 1 (2)(cid:43)P(cid:88)(cid:89)(cid:125)CF(cid:84)(cid:23)(cid:136)(cid:262)(cid:59)(cid:36)(cid:86)CC =2(cid:87)(cid:36)(cid:56)(cid:72)(cid:89)AP(cid:69)(cid:46)(cid:42)BCD(cid:70)(cid:71)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:51)(cid:252)(cid:199)(cid:54)(cid:27) 1 1 1 10(cid:27)(cid:28)2024·(cid:263)(cid:264)(cid:265)(cid:266)·(cid:73)(cid:223)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:81)(cid:37)(cid:38)(cid:39)P-ABCD(cid:40)(cid:36)(cid:41)(cid:42)ABCD(cid:88)(cid:57)(cid:221)(cid:55)2(cid:51)(cid:52)(cid:90)(cid:58)(cid:36)PA^(cid:46)(cid:42)ABCD(cid:36) PA=2(cid:36)M (cid:88)BC(cid:40)(cid:59)(cid:36)N (cid:88)PD(cid:40)(cid:59). (1)(cid:44)(cid:45)(cid:10)(cid:72)(cid:89)MN //(cid:46)(cid:42)PAB(cid:47)   (2)(cid:43)PG=3GC(cid:36)(cid:56)(cid:46)(cid:42)PCD(cid:69)(cid:46)(cid:42)GMN(cid:51)(cid:154)(cid:50)(cid:51)(cid:235)(cid:53)(cid:54). 11(cid:27)(cid:28)2024·(cid:267)(cid:226)(cid:268)(cid:269)·(cid:73)(cid:223)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:81)(cid:72)(cid:73)(cid:38)(cid:74)ABC-ABC (cid:40)(cid:36)AB^BC(cid:36)AB=BC =BB =6(cid:36)D(cid:24)E(cid:82) 1 1 1 1 (cid:83)(cid:55)AC(cid:24)BB (cid:51)(cid:40)(cid:59)(cid:36)(cid:80)(cid:46)(cid:42)ADE(cid:167)(cid:38)BC(cid:99)(cid:59)F (cid:27) 1 1 (1)(cid:56)BF(cid:47) (2)(cid:56)(cid:49)(cid:42)(cid:50)C -DF-C(cid:51)(cid:46)(cid:42)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:270)(cid:54)(cid:27) 112(cid:27)(cid:28)2024·(cid:233)(cid:236)(cid:221)(cid:271)·(cid:73)(cid:223)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:81)(cid:37)(cid:38)(cid:272)ABCD-ABCD (cid:40)(cid:36)AD//BC(cid:36) 1 1 1 1 AB^DD,CD=2,AD=3,BC =4(cid:36)ÐADB=30o. 1 (1)(cid:44)(cid:45)(cid:10)(cid:46)(cid:42)ADDA ^(cid:46)(cid:42)ABCD(cid:47) 1 1 49 3 (2)(cid:43)AA ^AD(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:272)ABCD-ABCD (cid:51)(cid:75)(cid:76)(cid:55) ,BC =2(cid:36)(cid:56)(cid:46)(cid:42)ABCD(cid:69)(cid:46)(cid:42)CDDC (cid:154)(cid:50)(cid:51)(cid:235)(cid:53) 1 1 1 1 1 12 1 1 1 1 (cid:54). 13(cid:27)(cid:28)2024·(cid:273)(cid:264)(cid:274)(cid:272)·(cid:73)(cid:223)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:81)(cid:72)(cid:73)(cid:38)(cid:74)ABC-ABC (cid:40)(cid:36)AB=BC =BB =2(cid:36)M(cid:36)N(cid:82)(cid:83)(cid:55)BB (cid:36)AC 1 1 1 1 1 (cid:40)(cid:59)(cid:36)(cid:48)CM ^AB(cid:27) 1 (1)(cid:44)(cid:45)(cid:10)CM ^ AN (cid:47) 1 1 (2)(cid:43)D(cid:55)(cid:38)AB (cid:84)(cid:51)(cid:262)(cid:59)(cid:36)(cid:86)DN (cid:69)(cid:46)(cid:42)ABC(cid:70)(cid:71)(cid:50)(cid:252)(cid:199)(cid:87)(cid:36)(cid:56)(cid:49)(cid:42)(cid:50)A-DM -N (cid:51)(cid:235)(cid:53)(cid:54). 1 1 14(cid:27)(cid:28)2024·(cid:37)(cid:234)(cid:71)(cid:120)·(cid:73)(cid:223)(cid:33)(cid:40)(cid:275)(cid:88)(cid:276)(cid:277)(cid:51)(cid:278)(cid:279)(cid:36)(cid:236)(cid:90)(cid:121)“(cid:280)”(cid:36)(cid:241)(cid:90)(cid:121)“(cid:281)”.(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:282)(cid:283)(cid:276)(cid:277)(cid:51)(cid:284)(cid:285)(cid:223)(cid:286)(cid:88)(cid:37) (cid:38)(cid:39)P-ABCD(cid:36)(cid:112)(cid:40)AB= AD= AP=2(cid:36)CB=CD=CP=4(cid:36)AC(cid:167)BD(cid:99)(cid:59)O. (1)(cid:56)(cid:44)(cid:10)(cid:46)(cid:42)PAC ^(cid:46)(cid:42)PBD(cid:47) 2π (2)(cid:43)AC=2 5(cid:36)(cid:48)(cid:49)(cid:42)(cid:50)P-AC-B(cid:55) (cid:36)(cid:56)(cid:72)(cid:89)PB(cid:69)(cid:46)(cid:42)PAD(cid:70)(cid:71)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54). 315(cid:27)(cid:28)2024·(cid:273)(cid:264)(cid:287)(cid:251)·(cid:73)(cid:223)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:70)(cid:93)(cid:36)(cid:288)(cid:42)(cid:75)ABCDEF(cid:36)(cid:41)(cid:42)ABCD(cid:88)(cid:52)(cid:90)(cid:58)(cid:36)(cid:59)O(cid:55)(cid:41)(cid:42)(cid:51)(cid:40)(cid:289)(cid:36)(cid:59)M (cid:55)EF (cid:51)(cid:40)(cid:59)(cid:36)(cid:290)(cid:42)ADEF (cid:69)BCEF(cid:88)(cid:291)(cid:177)(cid:51)(cid:177)(cid:247)(cid:229)(cid:58)(cid:36)EF =4(cid:36)(cid:112)(cid:235)(cid:38)(cid:221)(cid:292)(cid:55)2. (1)(cid:44)(cid:45):MO^(cid:46)(cid:42)ABCD(cid:47) 2 42 (2)(cid:43)(cid:59)P(cid:81)(cid:38)CE(cid:84)(cid:36)(cid:72)(cid:89)BP(cid:69)(cid:46)(cid:42)ABM (cid:70)(cid:71)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55) (cid:36)(cid:56)EP. 21 16(cid:27)(cid:28)2024·(cid:29)(cid:293)(cid:294)(cid:295)·(cid:73)(cid:223)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:81)(cid:52)(cid:37)(cid:38)(cid:272)ABCD-ABCD (cid:40)(cid:36)ÐBBA=60°(cid:36)AB=2AB =4(cid:36)E(cid:88)CD 1 1 1 1 1 1 1 (cid:51)(cid:40)(cid:59)(cid:27) (1)(cid:56)(cid:44)(cid:10)(cid:72)(cid:89)AC ^(cid:46)(cid:42)BDDB (cid:47) 1 1 (2)(cid:56)(cid:72)(cid:89)ED (cid:69)(cid:46)(cid:42)ABBA (cid:70)(cid:71)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54) 1 1 1 17(cid:27)(cid:28)2024·(cid:267)(cid:226)·(cid:73)(cid:223)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:81)(cid:73)(cid:38)(cid:74)ABC-ABC (cid:40)(cid:36)(cid:41)(cid:42)ABC(cid:88)(cid:57)(cid:221)(cid:55)2(cid:51)(cid:52)(cid:73)(cid:50)(cid:58)(cid:36)(cid:46)(cid:42)ACC A ^ 1 1 1 1 1 π (cid:41)(cid:42)ABC(cid:36)ÐAAC = (cid:36)AA =2(cid:36)E(cid:36)F(cid:82)(cid:83)(cid:88)AC(cid:36)BC (cid:51)(cid:40)(cid:59)(cid:36)P(cid:88)(cid:89)(cid:125)EF (cid:84)(cid:51)(cid:262)(cid:59)(cid:27) 1 3 1 1 1 (1)(cid:86)P(cid:88)(cid:89)(cid:125)EF (cid:51)(cid:40)(cid:59)(cid:87)(cid:36)(cid:56)(cid:59)P(cid:77)(cid:46)(cid:42)ABBA (cid:51)(cid:78)(cid:79)(cid:47) 1 1 9 145 (2)(cid:86)(cid:46)(cid:42)PCC (cid:69)(cid:46)(cid:42)BBCC(cid:51)(cid:154)(cid:50)(cid:51)(cid:235)(cid:53)(cid:54)(cid:55) (cid:87)(cid:36)(cid:56)EP(cid:27) 1 1 1 145 18(cid:27)(cid:28)2024·(cid:233)(cid:236)(cid:296)(cid:297)·(cid:73)(cid:223)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:70)(cid:93)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)P-ABCD(cid:40)(cid:36)PA^(cid:46)(cid:42)ABCD(cid:36)ABPCD(cid:36)AB^AD(cid:36) AP= AB=2AD=2CD(cid:36)E(cid:55)(cid:38)PC(cid:84)(cid:51)(cid:262)(cid:59).(1)(cid:56)(cid:44)(cid:10)BC ^ AE(cid:47)   (2)(cid:43)PE=2EC(cid:36)(cid:56)(cid:72)(cid:89)DE(cid:69)(cid:46)(cid:42)PBC(cid:70)(cid:71)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54). 19(cid:27)(cid:28)2024·(cid:226)(cid:227)(cid:29)(cid:235)·(cid:49)(cid:223)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:81)(cid:37)(cid:38)(cid:39)P-ABCD(cid:40)(cid:36)(cid:41)(cid:42)ABCD(cid:88)(cid:72)(cid:50)(cid:229)(cid:58)(cid:36)ABPCD(cid:36) ÐABC =90°(cid:36)(cid:48)PA=PD= AD(cid:36)PC =PB. (1)(cid:43)O(cid:55)AD(cid:51)(cid:40)(cid:59)(cid:36)(cid:44)(cid:45)(cid:10)(cid:46)(cid:42)POC ^(cid:46)(cid:42)ABCD(cid:47) 1   (2)(cid:43)ÐCDA=60°(cid:36)AB= CD=1(cid:36)(cid:89)(cid:125)PD(cid:84)(cid:51)(cid:59)M (cid:60)(cid:61)DM =lDP(cid:36)(cid:48)(cid:46)(cid:42)PCB(cid:69)(cid:46)(cid:42)ACM(cid:154)(cid:50)(cid:51)(cid:235) 2 42 (cid:53)(cid:54)(cid:55) (cid:36)(cid:56)(cid:111)(cid:13)l(cid:51)(cid:54). 7 20(cid:27)(cid:28)2024·(cid:298)(cid:299)(cid:210)(cid:300)(cid:301)·(cid:73)(cid:223)(cid:33)(cid:96)(cid:97)(cid:37)(cid:38)(cid:272)ABCD-ABCD (cid:51)(cid:84)(cid:24)(cid:302)(cid:41)(cid:42)(cid:82)(cid:83)(cid:88)(cid:57)(cid:221)(cid:55)2(cid:119)4(cid:51)(cid:52)(cid:90)(cid:58)(cid:36)(cid:46) 1 1 1 1 2 13 (cid:42)ADDA ^(cid:46)(cid:42)ABCD(cid:36)AA =3(cid:36)DD = 13(cid:36)cosÐADD=- (cid:36)(cid:59)P(cid:55)DD (cid:51)(cid:40)(cid:59)(cid:36)(cid:59)Q(cid:81)(cid:38)BC 1 1 1 1 1 1 13 1 (cid:84)(cid:36)(cid:48)BQ=3QC(cid:27) (1)(cid:44)(cid:45)(cid:10)PQ//(cid:46)(cid:42)ABBA (cid:47) 1 1 (2)(cid:56)(cid:49)(cid:42)(cid:50)Q-AP-D (cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:27) 1 121(cid:27)(cid:28)2024·(cid:29)(cid:293)·(cid:73)(cid:223)(cid:33)(cid:96)(cid:97)(cid:41)(cid:42)ABCD(cid:88)(cid:46)(cid:98)(cid:37)(cid:57)(cid:58)(cid:36)PA^(cid:46)(cid:42)ABCD(cid:36)PA∥DQ(cid:36)PA=3DQ=3(cid:36) AD=2AB=2(cid:36)(cid:48)ÐABC =60°. (1)(cid:56)(cid:44)(cid:10)(cid:46)(cid:42)PAC ^(cid:46)(cid:42)CDQ(cid:47) 15 PM (2)(cid:89)(cid:125)PC(cid:84)(cid:88)(cid:244)(cid:110)(cid:81)(cid:59)M (cid:36)(cid:67)(cid:68)(cid:72)(cid:89)AM (cid:69)(cid:46)(cid:42)PCQ(cid:70)(cid:71)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:88) .(cid:43)(cid:110)(cid:81)(cid:36)(cid:56)(cid:191) (cid:51)(cid:54)(cid:47)(cid:43) 5 PC (cid:137)(cid:110)(cid:81)(cid:36)(cid:132)(cid:45)(cid:15)(cid:256). 22(cid:27)(cid:28)2024·(cid:267)(cid:226)(cid:268)(cid:269)·(cid:73)(cid:223)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:81)(cid:73)(cid:38)(cid:39)A-BCD(cid:40)(cid:36)VABC(cid:88)(cid:52)(cid:73)(cid:50)(cid:58)(cid:36)(cid:46)(cid:42)ABC^(cid:46)(cid:42)BCD(cid:36)   BD^CD(cid:36)(cid:59)E(cid:88)BC(cid:51)(cid:40)(cid:59)(cid:36)AO=2OE(cid:27) (1)(cid:56)(cid:44)(cid:10)O(cid:55)(cid:73)(cid:38)(cid:39)A-BCD(cid:225)(cid:219)(cid:303)(cid:51)(cid:303)(cid:289)(cid:47) (2)(cid:56)(cid:72)(cid:89)AD(cid:69)(cid:46)(cid:42)BCD(cid:70)(cid:71)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:47)   (3)(cid:43)ÐBCD=60°(cid:36)BG=lBD(cid:36)(cid:56)(cid:46)(cid:42)AEG(cid:69)(cid:46)(cid:42)ACD(cid:70)(cid:71)(cid:304)(cid:49)(cid:42)(cid:50)(cid:51)(cid:235)(cid:53)(cid:54)(cid:252)(cid:199)(cid:87)l(cid:51)(cid:54)(cid:27)