文档内容
仁寿县 2023 级高二上学期半期联考
数学试卷
第I卷（选择题）
一、选择题（本题共8道小题，每小题0分，共0分）
1. 已知直线 的倾斜角为 ，则实数 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得直线 的斜率为 ，解方程即可得出答案.
【详解】已知直线 的倾斜角为 ，
则直线 的斜率为 ，
则 .
故选：B.
2. 甲、乙、丙三位同学在学校举办的建党100周年党史知识竞赛活动中获得优胜奖，颁奖时甲、乙、丙三
位同学随机站成一排，则甲乙两人恰好相邻而站的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出甲、乙、丙三位同学随机站成一排的排法总数，再计算甲乙两人恰好相邻而站的排法数，
利用古典概率公式即可求解.
【详解】甲、乙、丙三位同学随机站成一排有：（甲、乙、丙），（甲、丙、乙），（乙、甲、丙），
（乙、丙、甲），（丙、甲、乙），（丙、乙、甲），共 种
甲乙两人恰好相邻而站有：
（甲、乙、丙），（乙、甲、丙），（丙、甲、乙），（丙、乙、甲）共 种，
所以甲乙两人恰好相邻而站的概率为 ，
故选：D.
3. 已知 ， ，且 ，则向量 与 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由 求出 ，再利用空间向量的夹角公式求解即可
【详解】设向量 与 的夹角为 ，
因为 ， ，且 ，
所以 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
故选：A
4. 设 ，则两圆 与 的位置关系不可能是（ ）
A. 相切 B. 相交 C. 内切和内含 D. 外切和外离
【答案】D【解析】
的
【分析】求出两圆 圆心和半径，计算圆心距与半径比较即可求解.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为4；
圆 的圆心为 ，半径为 ．
两圆心之间的距离为 ，
又因为 ，所以两圆不可能外切和外离．
故选：D．
5. 甲、乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，飞行目标被雷达发现的概率为（
）
A. 0.02 B. 0.28 C. 0.72 D. 0.98
【答案】D
【解析】
【分析】设事件 表示“甲雷达发现飞行目标”，事件 表示“乙雷达发现飞行目标”，飞行目标被雷达
发现的概率为 ，从而即可求解.
【详解】设事件 表示“甲雷达发现飞行目标”，事件 表示“乙雷达发现飞行目标”，
的
因为甲乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标 概率分别是 和 ，
所以 ，
所以飞行目标被雷达发现的概率为
.
故选：D
6. 已知直线 与直线 平行，且 在 轴上的截距为 ，则
的值为（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】分析：根据两条直线平行，得到 的等量关系，根据直线在 轴上的截距，可得 所满足的等
量关系式，联立方程组求得结果.
详解：因为直线 与直线 平行，
所以 ，又直线 在 轴上的截距为 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
所以 ，故选A.
点睛：该题考查的是有关直线的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有两条直线平行时系数所满足的
条件，以及直线在y轴上的截距的求法，根据题中的条件，列出相应的等量关系式，求得结果.
7. 已知向量 ， ，则下列向量中，使 能构成空间的一个基底的向量是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量共面基本定理只需 无解即可满足 构成空间向量基底，据此检验各
选项即可得解.
【详解】因为 ，所以A中的向量 不能与 ， 构成基底；
因为 ，所以B中的向量 不能与 ， 构成基底；对于 ，设 ，则 ，解得 ， ，
所以 ，故 ， ， 为共面向量，所以C中的向量 不能与 ， 构成基底；
对于 ，设 ，则 ，此方程组无解，所以 ， ， 不共面，故D
中的向量 与 ， 可以构成基底.
故选：D
的
8. 在正三棱柱 中，侧棱长为 ，底面三角形 边长为1，则 与侧面 所成角的
正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作 的中点 ，连接 ， ， ，根据题意可知 与侧面 所成角即为
，根据已知条件求解即可.
【详解】作 的中点 ，连接 ， ， ，根据题意，易得 平面 ，
故 与侧面 所成角即为 ，
因侧棱长为 ，底面三角形的边长为1，
所以 ， ，
故 ，
即 与侧面 所成角的正弦值为 .
故选：D.
二、多选题（本题共3道小题，每小题0分，共0分）
9. 已知事件 ， ，且 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. 如果 ，那么 ，
B. 如果 与 互斥，那么 ，
C. 如果 与 相互独立，那么 ，
D. 如果 与 相互独立，那么 ，
【答案】BD
【解析】【分析】A选项在 前提下，计算出 ， ，即可判断；B选项在 与
互斥前提下，计算出 ， ，即可判断；C、D选项在 与 相互独立前提下，
计算出 ， ， ， ，
即可判断.
【详解】解：A选项：如果 ，那么 ， ，故A选项错误；
B选项：如果 与 互斥，那么 ， ，故B选项正确；
C选项：如果 与 相互独立，那么 ， ，故C选项错误；
D选项：如果 与 相互独立，那么 ， ，故D
选项正确.
故选：BD.
【点睛】本题考查在包含关系，互斥关系，相互独立的前提下的和事件与积事件的概率，是基础题.
10. 下面四个结论正确的是（ ）
A. 空间向量 ，若 ，则
B. 若空间四个点 ， ，则 三点共线
C. 已知向量 ，若 ，则 为钝角
D. 任意向量 满足
【答案】AB
【解析】
【分析】由空间向量的数量积及其运算性质可判断ACD，由空间向量的基本定理与共线定理可判断B
【详解】对于A：因为 ， ，则 ，故A正确；对于B：因为 ，则 ，即 ，
又 与 有公共点，所以 三点共线，故B正确；
对于C： ，
若 为钝角：则 ，且 与 不共线，
由 得 ，
当 时， ，即 ，由 与 不共线得 ，
于是得当 且 时， 为钝角，故C错误；
对于D： 是 的共线向量，而 是 的共线向量，故D错误，
故选：AB
11. 圆 ，直线 ，点 在圆 上，点 在直线 上，则下列结
论正确的是（ ）
A. 圆 关于直线 对称
B. 的最大值是9
C. 从 点向圆 引切线，切线长的最小值是3
D. 直线 被圆 截得的弦长取值范围为
【答案】CD
【解析】
【分析】根据 不在直线 上判断A；根据 判断B；根据 时，切线长最小求解判断C；根据直线 过定点 ，再结合弦长公式判断D.
【详解】解：对于A选项， 圆 ，∴圆心 ，半径 ，
∵ ，∴圆 不关于直线 对称，故A选项错误；
对于B选项，由圆心 到直线 的距离为： ，
的最小值是 ，故 ，故B选项错误；
对于C选项，从 点向圆 引切线，当 时，切线长最小，最小值是 ，故C正确；
对于D选项，直线 过定点 ，该定点在圆C内，
所以直线 被圆 截得的弦长最长时，所截弦长为过点 和圆心的圆 的直径，即弦长
的最大值为8，
最短的弦长为垂直与该直径的弦长， 和圆心 的距离为 ，最短
弦长为 ，
故直线 被圆 截得的弦长取值范围为 ，D正确．
故选：CD．
第II卷（非选择题）
三、填空题（本题共3道小题，每小题0分，共0分）
12. 某人投篮命中的概率为0.3，投篮15次，最有可能命中______次．
【答案】4
【解析】
【分析】易知投篮命中次数服从二项分布，设最有可能命中m次，于是 ，解
出不等式即可得到答案.
【详解】投篮命中次数 ，设最有可能命中 次，则
， ， ．
最有可能命中4次．
故答案为：4.
13. 直线xcosθ＋ y＋2＝0的倾斜角的范围是________．
【答案】
【解析】
【详解】由题知k＝－ cosθ，故k∈ ，结合正切函数的图象，当k∈ 时，直线倾斜
角 α∈ ，当 k∈ 时，直线倾斜角 α∈ ，故直线的倾斜角的范围是 ∪
.
14. 如图，在正四棱锥 中， ，点 为 的中点， ．若 ，则
实数 _____
【答案】4
【解析】
【分析】连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出实数λ．
【详解】解：连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标
系，
设PA＝AB＝2，则A（√2，0，0），D（0， ，0），P（0，0，√2），M（ ，0， ），B
（0，√2，0），
（0，﹣2√2，0），设N（0，b，0），则 （0，b ，0），
∵ λ ，∴﹣2 ，∴b ，
∴N（0， ，0）， （ ， ， ）， （ ，0），
∵MN⊥AD，∴ 1 0，
解得实数λ＝4．
故答案为4．
【点睛】本题考查实数值的求法，考查空间向量、正四棱锥的结构牲等基础知识，考查运算求解能力，是
中档题．
四、解答题（本题共5道小题，第1题0分，第2题0分，第3题0分，第4题0分，第5题
0分，共0分）
15. 已知直线 和直线 .
（1）若 ，求实数 的值；（2）若 ，求实数 的值.
【答案】（1）0或2 （2）
【解析】
【分析】（1）根据两直线垂直的公式 ，即可求解；
（2）根据两直线平行， ，求解 ，再代回直线验证.
【小问1详解】
若 ，则
，解得 或2；
【小问2详解】
若 ，则
，解得 或1.
时， ，满足 ，
时， ，此时 与 重合，
所以 .
16. 从2名男生(记为 和 )和3名女生(记为 ， ，和 )组成的总体中，任意依次抽取2名学生.
（1）分别写出有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样的样本空间；
（2）在（1）中的两种抽样方式下，分别求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率.
【答案】（1）见详解；（2）有放回简单随机抽样下，抽到的2人为1名男生和1名女生的概率为 ；不
放回简单随机抽样下，抽到的2人为1名男生和1名女生的概率为 .
【解析】【分析】
的
（1）用列举法，分别写出两种抽取方法对应 基本事件，即可得出结果；
（2）先列举出两种抽样方式下，“抽到的2人为1名男生和1名女生”所包含的基本事件，确定基本事件
个数，再由古典概型的概率计算公式，即可求出结果.
【详解】（1）由题意，有放回简单随机抽样的样本空间为 ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ；共包含 个基本事件；
不放回简单随机抽样的样本空间为： ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ；共包含 个基本事件；
（2）由（1）可得，两种抽样方式下，抽到的2人为1名男生和1名女生，所包含的基本事件都是：
， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ；共 个，
有放回简单随机抽样下，抽到的2人为1名男生和1名女生的概率为 ；
不放回简单随机抽样下，抽到的2人为1名男生和1名女生的概率为 .
17. 如图，已知长方体 中， ， ，连接 ，过 点作 的垂线交 于 ，交 于
（1）求证： 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离；
（3）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）分别以 ， ， 为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可；
（2）设平面 的一个法向量为 ，求出法向量，利用向量法求解解．
（3）利用向量法求解即可．
【小问1详解】
如图，分别以 ， ， 为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系，
， ，
因为 在 上，故可设 ，又 ，所以 ，解得 ，
所以 ，
，
，即
， 平面 ．
所以 平面 ．
【小问2详解】
设平面 的一个法向量为 ，
，
则 ，
，
令 ，得 ，
，
所以所求的距离为 ；
【小问3详解】由（2）知， ，
，
与 所成角为 ，
则
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
18. 在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为 ， ， ．
（1）求BC边上的中线AD的所在直线方程；
（2）求△ABC的外接圆O被直线l： 截得的弦长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求BC边的中点D的坐标，再得AD的斜率即可求解；
（2）先求△ABC的外接圆O，再求圆心到直线.直线l的距离，再由勾股定理可求解.【
小问1详解】
∵ ，
∴BC边的中点D的坐标为 ，
∴中线AD的斜率为 ，
∴中线AD的直线方程为： ，即
【小问2详解】
设△ABC的外接圆O的方程为 ，
∵A、B、C三点在圆上，
∴
解得：
∴外接圆O的方程为 ，即 ，
其中圆心O为 ，半径 ,
又圆心O到直线l的距离为 ,
∴被截得的弦长的一半为 ,
∴被截得的弦长为 .
19. 如图，在底面 为菱形的平行六面体 中， 分别在棱 上，且，且 ．
（1）用向量 表示向量 ；
（2）求证： 共面；
（3）当 为何值时， ．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）1
【解析】
【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得；
（2）根据空间向量线性运算法则得到 ，即可证明 共面；
（3）设 ，因为底面 为菱形，则当 时， ，由
，即可得出答案.
【小问1详解】
．
【小问2详解】证明： ， ，
， 共面．
【小问3详解】
当 ， ，
证明：设 ，
底面 为菱形，则当 时， ，
， ，
，
，
．
