文档内容
泸州市龙马潭区高 2023 级高二上期半期考试
数学试题
注意事项：
1.答卷前考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，用0.5毫
米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.试卷满分150分，考试时间150分钟，考试结束后将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
一、单选题（共40分）
1. 直线 的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【
分析】求得斜率，然后求得倾斜角.
【详解】直线的斜率为 ，对应的倾斜角为 .
故选：B
2. 已知实数 ， 满足 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的性质判断即可.
【详解】因为 , 是定义在 上的偶函数，
所以当实数 满足 时， , 不一定成立，故 不符合题意；因为 是定义在 上单调递增的奇函数，
所以当实数 满足 时，则 ，故 符合题意；
因为 在 上单调递减，
所以当实数 满足 时， 不一定成立，不符合题意.
故选： .
【点睛】判断不等式恒成立问题，方法有以下几种：1、可借助函数的单调性判断；2、可带特殊值说明不
等式不成立；3、根据不等式关性质判断；4、作差比较大小；5、作商比较大小.对于选择题我们一般采用
排除法.
3. 直线 ： 和 ： 垂直，则实数
.
A -1 B. 1 C. -1或1 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】 不合题意，由方程求出两直线的斜率，利用斜率之积为 即可得结果.
【详解】因为直线 ： 和 ： 垂直（ 不合题意），
两直线的斜率分别为 ，
所以 ，解得a=-1，故选A.
【点睛】本题主要考查直线的方程，两条直线垂直与斜率的关系，属于简单题. 对直线位置关系的考查是
热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，在斜率存在的前提下， （
），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这
一点一定不能掉以轻心.
4. ，“直线 和直线 平行”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】求出两直线平行时 的值，再根据充分必要条件的定义判断．
【详解】由题意 ，则 ， ，
因此题中应为充分必要条件．
故选：C．
5. 已知ΔABC的内角 所对的边分别为 ，若 ,
，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【 分 析 】 由 ， 利 用 诱 导 公 式 以 及 两 角 和 的 正 弦 公 式 可 得
，再利用余弦定理解方程求解即可.
【详解】由 ，
得 ，
即
，
得 ，
因为 ，
所以 ，
化为 ，得 ，故选D.
【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式以及余弦定理解三角形，属于中档题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1） ；（2） ，同时还要熟练掌握运用两种形式的
条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住 等特殊角的三角函数值，以
便在解题中直接应用.
6. 若 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ）
A. -1 B. 0 C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】作出满足不等式组的可行域，由 可得 ，可得 为该直线在 轴上的截距，
截距越大， 越小，结合图形可求 的最小值.
【详解】解：作出 ， 满足约束条件 所表示的平面区域，如图所示：
由于 可得 ，可得 为该直线在 轴上的截距，截距越大， 越小，
作直线 ，然后把直线 向平面区域平移，
由图可知，直线平移到点 时， 最小，
由 可得 ，
即当直线 经过点 时， 取得最小值，
所以 .
故选：C.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用目标函数的几何意义求最值，属于基础题．
7. 设k为实数，直线 与圆 交点个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】找到直线所过定点坐标，判断点与圆的位置关系，即可确定交点数.
【详解】由 ，即直线恒过 ，而圆 可化为 ，
所以 ，即点 在圆内，则直线与圆恒有2个交点.
故选：C
8. 已知直线 过圆 的圆心，且与直线 垂直，则 的方程是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设直线 的方程为 ，将圆心坐标代入直线 的方程，求出 的值，即可得解.
【详解】由于直线 与直线 垂直，不妨设直线 的方程为 ，
圆心坐标为 ，将圆心坐标代入直线 的方程得 ，解得 .
因此，直线 的方程为 .故选：A.
二、多选题（共18分）
9. 已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，点 在 上，且 的最大值为3，
最小值为1，则（ ）
A. 椭圆 的离心率为
B. 的周长为6
C. 若 ，则 的面积为3
D. 若 ，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A，根据题意可得 ， 即可求解；对B，根据椭圆的定义判断即可；对C，根
据余弦定理结合椭圆的定义判断即可；对D，根据余弦定理与椭圆的定义求解即可．
【详解】对A，由题意 ， ，故 ， ，故A正确；
对B， 的周长为 ，故B正确；
对C， ，
，当且仅当 时，等号成立，
因为 在 上递减，所以此时 最大，又 ， ，所以 的最大值为 ，
，不成立，故C错误；
对D，由余弦定理，即 ，
解得 ，故 ，故D正确；
故选：ABD
10. 已知正方体 的棱长为4，点 为平面 内一动点，则下列说法正确的是（
）
A. 若点 在棱 上运动，则 的最小值为
B. 若点 是棱 的中点，则平面 截正方体所得截面的周长为
C. 若点 满足 ，则动点 的轨迹是一条直线
D. 若点 在直线 上运动，则 到直线 的最小距离为
【答案】BCD
【解析】
【分析】A项，由展开图转化为平面两点间距离最短问题可得最小值；B项，先作辅助线取中点找截面，
由平行四边形得线线平行，利用中位线的平行关系及空间平行的传递性证明所找截面即为所求，进而求周
长可得；C项，利用“过一点与已知直线垂直的直线在过该点与已知直线垂直的平面内”结论，可得两平
面的交线即为轨迹；D项，建立空间直角坐标系，求利用向量方法点线距可得.
【详解】A项，如图将平面 展开与平面 处于一个平面，
连接 与 交于点 ，
由图形知 ，当且仅当 三点共线时，等号成立.
即此时 取得最小值，
即 ，故A错误；B项，如图取 的中点 ，连接 ，
因为点 是棱 的中点，所以 且 ，
又 且 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，所以 ，则 四点共面，
所以平面四边形 即为平面 截正方体所得截面，
又 ， ，
所以截面周长为 ，故B正确；
C项，如图， 平面 平面 ，
所以 ，又 平面 ，
所以 平面 ，又 ，故过 与 垂直的直线 在过 与直线 垂直的平面 内，
因为平面 平面 平面 ，且 平面 ，
所以 在直线 上，
即动点 的轨迹是一条直线，故C正确；
D项，如图，以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴，
建立空间直角坐标系，
则 ，设 ，所以 ，
，则 ，
， ，
所以 到棱 的距离 ，
所以当 时 ，故D正确；
故选：BCD.11. 已知椭圆 的离心率为 ，双曲线 的离心率为 ，
两曲线有公共焦点 是椭圆与双曲线的一个公共点， ，以下结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 若 ，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据焦距相等可判断A；根据椭圆和双曲线定义，结合余弦定理整理可判断B；根据B中
变形可判断C；由B中结论，结合 的范围可判断D.
【详解】根据题意，设 ，
对于A中，因为椭圆与双曲线有公共焦点，可得 ，所以 ，
即 ，所以A错误；
对于B中，不妨设点P在第一象限，由椭圆和双曲线的定义，可得 ，
所以 ，
又由余弦定理得 ，
可得 ，所以 ，所以B正确；
对于C中，由 ，可得 ，所以C正确；
对于D中，因为 ，所以 ，
由 可得 ，所以 ，所以D正确.
故选：BCD.
三、填空题（共15分）
12. 点 到直线l： 的距离是_______.
【答案】1
【解析】
【分析】利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】点 到直线 的距离：
.
故答案为：
13. 正四棱锥 中，底面边长为 ，二面角 为 ，则该四棱锥的高等于
____________．
【答案】
【解析】【分析】根据题意，画出直观图，根据二面角的平面角的定义，找到其平面角为 ，在 计
算 即为四棱锥的高.
【详解】如图所示，
取 的中点为 ，底面中心为 ，连接 ，
因为四棱锥 为正四棱锥，所以 ，
中， ，底面 为正方形，故 ，
所以 是二面角 的平面角，即 ，
又在 中， ，所以 ，即该四棱锥的高为 .
故答案为： .
14. 在平面直角坐标系 中，圆 经过点 ，则圆 上的点到原点的距离的最大值为
___________．
【答案】
【解析】
【分析】由已知条件计算出经过三点的圆 的直径，即可计算出圆上的点到原点距离最大值.
【详解】解：记 ，圆 经过点O，A，B．则 ， ，，所以 ，故 为圆 的直径．从而圆 上的点到原点O的距离的最大值为
．
故答案为：
四、解答题（共77分）
15. 根据下列给定的条件，判断直线 与直线 是否平行．
（1） 的倾斜角为60°， 经过点 ， ；
（2） 平行于y轴， 经过点 ， ．
【答案】（1） 或 与 重合
（2）
【解析】
【分析】（1）根据两直线的斜率关系即可判断位置关系，
（2）根据两直线均无斜率即可判断位置关系.
【小问1详解】
由题意，知直线 的斜率 ，
直线 的斜率 ，
所以 ，所以 或 与 重合．
【小问2详解】
由题意，知 是y轴所在的直线，所以 ．
16. 为创建全国文明城市，宁德市进行“礼让斑马线”交通专项整治活动，按交通法规定：机动车行经人
行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行．下表是2020年宁德市某一主干路口
监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为，其中违章情况统计数据如下表：
月份 1 2 3 4 5违章驾驶员人数 100 85 80 70 65
（1）请利用所给数据求违章人数y与月份x之间的回归直线方程 ；
（2）预测该路口2020年9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；并估计该路口经过几个月后“不礼
让”的不文明行为可以消失．
参考公式： ， ，参考数据： ．
【答案】（1） ；（2）预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数为29，经过
13个月“不礼让”的不文明行为可以消失.
【解析】
【分析】
（1）首先求 ， ，根据参考公式，分别求 和 ，求解回归直线方程；（2）令 代入回归直线方
程，求 的预报值，并令 ，求 .
【详解】（1）由表中数据知，
∴
即 ，
∴所求回归直线方程为.
（2） 令 ，则 人.
令 得
答：预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数为21，故估计经过13个月“不礼让”的不文
明行为可以消失.17. 已知双曲线C： 经过点 ，其中一条渐近线为 ，O为坐标
原点．
（1）求C的标准方程；
（2）过C的右焦点F，且在 轴上的截距为 的直线 ，交 于P，Q两点，求 的值．
【答案】（1）
（2）7
【解析】
【分析】（1）根据渐近线方程以及点的坐标得到关于 的方程组，由此求解出 即可知C的标准方
程；
（2）根据条件先求出 的方程，然后联立 与双曲线的方程得到对应坐标的韦达定理形式，再将
表示为坐标形式即可求解出结果.
【小问1详解】
因为双曲线 的渐近线方程为 ，所以 ①，
又因为点 在双曲线上，所以 ②，
①②联立解得 ，所以双曲线 的方程为 ．
【小问2详解】
由（1）可知双曲线 中 ，
所以右焦点 坐标为 ，即直线 的横截距为2，
又因为直线 在 轴上的截距为 ，所以直线 的方程为 ，即 ，联立 得 ，
设 ，则 ，
所以 ．
18. 在直三棱柱 中， ， 为 的中点．
（I）求证：平面 ⊥平面 ；
（II）求直线 与平面 所成角的大小；
（III）求二面角 的大小．
【答案】（I）见解析；（II）arctan ；（III）arctan
【解析】
【分析】（I）平面 中有直线 ，可证明 垂直平面 中两条相交直线，则 垂直平
面 ，即可证明；
（II）要求直线与平面所成角，只需求直线与她在平面内的射影所成角即可，先在直线上找一点，过该点
向平面作垂线，再连接斜足和垂足，所得直线为射影，把直线与它在平面内的射影放入同一个三角形中，利用解三角形，求出线面角．
（III）求二面角的平面角的大小，可用三垂线法找到二面角的平面角，再放到一个三角形中，通过解三
角形，得出结果．
【详解】
（I）在△ABC中，由余弦定理，得，BC＝ ，
为直三棱柱， 平面 ．
平面 ， 平面 平面 ．
（II） ，由（I）知， 平面 为直线 与平面 所成的角．
在 中， ＝ ＝ ，
故直线DA 与平面 所成角为
1
（III）过C作CH⊥DC ，垂足为H，连接AH，则由三垂线定理可知，DC ⊥AH，从而∠AHC为二面角A
1 1
﹣DC ﹣C的平面角．
1
Rt△CDC 中，CD＝ BC＝ ，CH＝ ＝ ，tan∠AHC ＝ .
在1
故二面角A﹣DC ﹣C大小为arctan ．
1
【点睛】本题考查了直棱柱的性质，直线与平面所成的角，二面角的平面角的求法等有关知识，考查空间
想象能力，逻辑推理能力，属于中档题.
19. 已知椭圆 的离心率为 ，且过点 .
（1）求椭圆C的标准方程；（2）过定点 的直线 与椭圆C相交于A、B两点，已知点 ，设直线 、 的斜率分
别为 、 ，判断 是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由.
【答案】（1） ；（2）是， =1.
【解析】
分析】（1）根据 和过点 求解；
【
（2）（i）若 的斜率不存在，易知 的值，（ii）若 的斜率存在，设 的方程为：
，与椭圆方程联立，由 ，结合韦达定理求解；另解：当直线AB的斜率
不为0时，可设直线AB为： ，解法同上.
详解】（1）∵ ，
【
且过点 ， ，
又 ，
解得 ，
∴椭圆 的标准方程 .
（2）（i）若 的斜率不存在，则 ， ，
此时 ，（ii）若 的斜率存在，设 ， ，设 的方程为： ，
，
由韦达定理得： ， ，
，
∴
所以： =1.
另解：（2）当直线AB的斜率为0时， ，
直线AB的斜率不为0时，设直线AB为： ，设 则：
，
，
则： ，
，
所以： =1.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
