专题12解三角形（4大考向真题解读）-解析版_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年08月试卷_08202025版《真题题源解密-专题分类》数学

专题 12 解三角形 命题解读 考向 考查统计 1.高考对解三角形的考查，重点是 2024新高考Ⅰ卷·15 正余弦定理解三角形、三角形面积公 （1）掌握正弦定理、余弦定理及其变 2022新高考Ⅱ卷·18 式 形。 2024新高考Ⅱ卷·15 （2）能利用正弦定理、余弦定理解决 解三角形结合基本不等式 2022新高考Ⅰ卷·18 一些简单的三角形度量问题。 解三角形结合三角形的中线问题 2023新高考Ⅱ卷·17 （3）能够运用正弦定理、余弦定理等 知识和方法解决一些与测量和几何计 解三角形结合三角形的垂线问题 2023新高考Ⅰ卷·17 算有关的实际问题。 命题分析 2024(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:4)(cid:5)Ⅰ(cid:7)(cid:8)Ⅱ(cid:7)(cid:9)(cid:5)(cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:15)(cid:34)(cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:15)(cid:16) (cid:32)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:11)(cid:13)(cid:14)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:19)(cid:20)(cid:16)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:14)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:16)(cid:49)(cid:50)(cid:23)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:41)(cid:58)(cid:32)(cid:59)(cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:15)(cid:17)(cid:18)(cid:60)(cid:5)(cid:10) (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:41)(cid:61)(cid:25)(cid:55)(cid:62)(cid:63)(cid:46)(cid:47)(cid:64)(cid:17)(cid:16)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:5)(cid:10)(cid:70)(cid:71)(cid:41)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:55)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:12)(cid:76)(cid:77)(cid:58)(cid:81)(cid:82)2025 (cid:3)(cid:17)(cid:18)(cid:83)(cid:23)(cid:5)(cid:10)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:15)(cid:16)(cid:84)(cid:23)(cid:5)(cid:71)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:16)(cid:89)(cid:76)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:77)(cid:93)(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:41)(cid:97)(cid:98)(cid:35)(cid:16)(cid:99)(cid:96)(cid:36)(cid:100)(cid:18) (cid:101)(cid:102)(cid:97)(cid:98)(cid:58) 试题精讲 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:21) 1(cid:26)(cid:27)2024(cid:28)(cid:29)(cid:30)Ⅰ(cid:31)·15(cid:32)(cid:33)VABC(cid:34)(cid:35)A(cid:23)B(cid:23)C(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)a(cid:42)b(cid:42)c(cid:42)(cid:43)(cid:44)sinC = 2cosB(cid:42) a2+b2-c2 = 2ab (1)(cid:45)B(cid:46) (2)(cid:47)VABC(cid:36)(cid:48)(cid:49)(cid:41)3+ 3(cid:42)(cid:45)c(cid:26) π (cid:50)(cid:25)(cid:51)(cid:52)(1)B= 3 (2)2 2 (cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:52)(cid:27)1(cid:32)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:23)(cid:58)(cid:59)(cid:3)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:45)(cid:63)cosC,sinC(cid:42)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:43)(cid:44)sinC = 2cosB(cid:68)cosB(cid:36)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:46)(cid:27)2(cid:32)(cid:72)(cid:73)(cid:45)(cid:63)A,B,C(cid:42)(cid:74)(cid:65)(cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:71)(cid:76)a,b(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)c(cid:36)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:42)(cid:66)(cid:67)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:81)(cid:70)(cid:71)(cid:87)(cid:59)(cid:88) (cid:45)(cid:24). (cid:50)(cid:89)(cid:24)(cid:52)(cid:27)1(cid:32)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:80)a2+b2-c2 =2abcosC(cid:42)(cid:37)(cid:90)(cid:43)(cid:44)a2+b2-c2 = 2ab(cid:42) a2+b2-c2 2ab 2 (cid:71)(cid:68)cosC = = = (cid:42) 2ab 2ab 2 (cid:91)(cid:41)CÎ0,π(cid:42)(cid:92)(cid:93)sinC >0(cid:42) 2 æ 2ö 2 (cid:94)(cid:95)sinC = 1-cos2C = 1-ç ÷ = (cid:42) ç ÷ è 2 ø 2 1 (cid:96)(cid:91)(cid:41)sinC = 2cosB(cid:42)(cid:70)cosB= (cid:42) 2 (cid:4)(cid:97)(cid:98)BÎ0,π(cid:42) π (cid:92)(cid:93)B= . 3 (cid:27)2(cid:32)(cid:54)(cid:27)1(cid:32)(cid:71)(cid:68)B= π (cid:42)cosC = 2 (cid:42)CÎ0,π(cid:42)(cid:94)(cid:95)C = π (cid:42)A=π- π - π = 5π (cid:42) 3 2 4 3 4 12 æ5πö æπ πö 2 3 2 1 6+ 2 (cid:95)sinA=sinç ÷=sinç + ÷= ´ + ´ = (cid:42) è12ø è4 6ø 2 2 2 2 4 a b c = = (cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:80) 5π π π (cid:42) sin sin sin 12 3 4 6+ 2 3+1 3 6 (cid:94)(cid:95)a= × 2c= c,b= × 2c= c(cid:42) 4 2 2 2 (cid:54)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:81)(cid:71)(cid:44)(cid:42)VABC(cid:36)(cid:48)(cid:49)(cid:71)(cid:83)(cid:84)(cid:41) 1 1 3+1 6 2 3+ 3 S = absinC = × c× c× = c2(cid:42) VABC 2 2 2 2 2 8 3+ 3 (cid:54)(cid:43)(cid:44)VABC(cid:36)(cid:48)(cid:49)(cid:41)3+ 3(cid:42)(cid:71)(cid:68) c2 =3+ 3(cid:42) 8 (cid:92)(cid:93)c=2 2. 2(cid:26)(cid:27)2024(cid:28)(cid:29)(cid:30)Ⅱ(cid:31)·15(cid:32)(cid:33)VABC(cid:36)(cid:34)(cid:35)A(cid:42)B(cid:42)C(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)a(cid:42)b(cid:42)c(cid:42)(cid:43)(cid:44)sinA+ 3cosA=2(cid:26) (1)(cid:45)A(cid:26) (2)(cid:47)a=2(cid:42) 2bsinC=csin2B(cid:42)(cid:45)VABC(cid:36)(cid:99)(cid:100)(cid:26) π (cid:50)(cid:25)(cid:51)(cid:52)(1)A= 6 (2)2+ 6+3 2 (cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:52)(cid:27)1(cid:32)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:35)(cid:7)(cid:81)(cid:37)(cid:105)(cid:106)sinA+ 3cosA=2(cid:107)(cid:108)(cid:16)(cid:109)(cid:110)(cid:15)(cid:70)(cid:71)(cid:45)(cid:24)(cid:42)(cid:111)(cid:112)(cid:59)(cid:113)(cid:114)(cid:71)(cid:115)(cid:78)(cid:116)(cid:35)(cid:85)(cid:35)(cid:117)(cid:13)(cid:36)(cid:3)(cid:60)(cid:24)(cid:59)(cid:88)(cid:118)(cid:42)(cid:119)(cid:71)(cid:115)(cid:78)(cid:120)(cid:13)(cid:42)(cid:121)(cid:122)(cid:13)(cid:122)(cid:49)(cid:7)(cid:81)(cid:42)(cid:123)(cid:124)(cid:7)(cid:81)(cid:24)(cid:125)(cid:46) (cid:27)2(cid:32)(cid:73)(cid:101)(cid:102)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:38)(cid:35)(cid:126)(cid:16)(cid:127)(cid:63)B(cid:42)(cid:74)(cid:65)(cid:101)(cid:102)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:127)(cid:63)b,c(cid:70)(cid:71)(cid:68)(cid:63)(cid:99)(cid:100). (cid:50)(cid:89)(cid:24)(cid:52)(cid:27)1(cid:32)(cid:59)(cid:113)(cid:22)(cid:10)(cid:111)(cid:112)(cid:59)(cid:113)(cid:27)(cid:103)(cid:104)(cid:35)(cid:7)(cid:81)(cid:32) 1 3 π (cid:54)sinA+ 3cosA=2(cid:71)(cid:68) sinA+ cosA=1(cid:42)(cid:70)sin(A+ )=1(cid:42) 2 2 3 π π 4π π π π (cid:54)(cid:128)AÎ(0,π)Þ A+ Î( , )(cid:42)(cid:129)A+ = (cid:42)(cid:24)(cid:68)A= 3 3 3 3 2 6 (cid:59)(cid:113)(cid:130)(cid:10)(cid:111)(cid:112)(cid:59)(cid:113)(cid:27)(cid:116)(cid:35)(cid:85)(cid:35)(cid:117)(cid:13)(cid:36)(cid:131)(cid:132)(cid:3)(cid:60)(cid:32) (cid:54)sinA+ 3cosA=2(cid:42)(cid:96)sin2 A+cos2 A=1(cid:42)(cid:133)(cid:134)sin A(cid:68)(cid:98)(cid:10) 3 4cos2 A-4 3cosA+3=0Û(2cosA- 3)2 =0(cid:42)(cid:24)(cid:68)cosA= (cid:42) 2 π (cid:96)AÎ(0,π)(cid:42)(cid:129)A= 6 (cid:59)(cid:113)(cid:85)(cid:10)(cid:115)(cid:78)(cid:135)(cid:69)(cid:136)(cid:45)(cid:24) æ πö (cid:137) f(x)=sinx+ 3cosx(00(cid:42)(cid:92)(cid:93) 0(cid:42)(cid:96)sinB= (cid:42) 2ac 32 æ1ö 2 2 1 3 2 1 2 (cid:138)cosB= 1-ç ÷ = (cid:42)ac= = (cid:42)(cid:138)S = acsinB= (cid:46) è3ø 3 cosB 4 VABC 2 8 3 2 b a c b2 a c ac 4 9 b 3 (cid:27)2(cid:32)(cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:68)(cid:10) = = (cid:42)(cid:138) = × = = = (cid:42)(cid:138) = (cid:42) sinB sinA sinC sin2B sinA sinC sinAsinC 2 4 sinB 2 3 3 1 b= sinB= . 2 2 4(cid:26)(cid:27)2023(cid:28)(cid:29)(cid:30)Ⅱ(cid:31)·17(cid:32)(cid:33)VABC(cid:36)(cid:34)(cid:35)A,B,C(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)a,b,c(cid:42)(cid:43)(cid:44)VABC(cid:36)(cid:48)(cid:49)(cid:41) 3 (cid:42)D(cid:41)BC (cid:171)(cid:136)(cid:42)(cid:169)AD=1(cid:26) π (1)(cid:47)ÐADC = (cid:42)(cid:45)tanB(cid:46) 3 (2)(cid:47)b2+c2 =8(cid:42)(cid:45)b,c(cid:26) 3 (cid:50)(cid:25)(cid:51)(cid:52)(1) (cid:46) 5 (2)b=c=2. (cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:52)(cid:27)1(cid:32)(cid:59)(cid:113)1(cid:42)(cid:115)(cid:78)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:81)(cid:45)(cid:63)a(cid:42)(cid:167)(cid:115)(cid:78)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:45)(cid:24)(cid:174)(cid:25)(cid:46)(cid:59)(cid:113)2(cid:42)(cid:115)(cid:78)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:48)(cid:49) (cid:7)(cid:81)(cid:45)(cid:63)a(cid:42)(cid:174)(cid:63)BC(cid:38)(cid:145)(cid:36)(cid:29)(cid:42)(cid:115)(cid:78)(cid:175)(cid:35)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:45)(cid:24)(cid:174)(cid:25). (cid:27)2(cid:32)(cid:59)(cid:113)1(cid:42)(cid:115)(cid:78)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:45)(cid:63)a(cid:42)(cid:167)(cid:115)(cid:78)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:81)(cid:45)(cid:63)ÐADC(cid:70)(cid:71)(cid:45)(cid:24)(cid:174)(cid:25)(cid:46)(cid:59)(cid:113)2(cid:42)(cid:115)(cid:78)(cid:121)(cid:122) (cid:176)(cid:127)(cid:177)(cid:178)(cid:179)(cid:3)(cid:60)(cid:45)(cid:63)a(cid:42)(cid:167)(cid:115)(cid:78)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:81)(cid:45)(cid:63)ÐADC(cid:70)(cid:71)(cid:45)(cid:24)(cid:174)(cid:25). π (cid:50)(cid:89)(cid:24)(cid:52)(cid:27)1(cid:32)(cid:59)(cid:113)1(cid:10)(cid:141)VABC(cid:171)(cid:42)(cid:91)(cid:41)D(cid:41)BC(cid:171)(cid:136)(cid:42)ÐADC = (cid:42)AD=1(cid:42) 3 1 1 1 3 3 1 3 (cid:138)S = AD×DCsinÐADC = ´1´ a´ = a= S = (cid:42)(cid:24)(cid:68)a=4(cid:42) VADC 2 2 2 2 8 2 VABC 2 2π (cid:141)△ABD(cid:171)(cid:42)ÐADB= (cid:42)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:68)c2 =BD2+AD2-2BD×ADcosÐADB(cid:42) 3 1 7+4-1 5 7 (cid:70)c2 =4+1-2´2´1´(- )=7(cid:42)(cid:24)(cid:68)c= 7(cid:42)(cid:138)cosB= = (cid:42) 2 2 7´2 14 5 7 21 sinB= 1-cos2B = 1-( )2 = (cid:42) 14 14 sinB 3 (cid:92)(cid:93)tanB= = . cosB 5π (cid:59)(cid:113)2(cid:10)(cid:141)VABC(cid:171)(cid:42)(cid:91)(cid:41)D(cid:41)BC(cid:171)(cid:136)(cid:42)ÐADC = (cid:42)AD=1(cid:42) 3 1 1 1 3 3 1 3 (cid:138)S = AD×DCsinÐADC = ´1´ a´ = a= S = (cid:42)(cid:24)(cid:68)a=4(cid:42) VADC 2 2 2 2 8 2 VABC 2 (cid:141)VACD(cid:171)(cid:42)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:68)b2 =CD2+AD2-2CD×ADcosÐADC(cid:42) (cid:70)b2 =4+1-2´2´1´ 1 =3(cid:42)(cid:24)(cid:68)b= 3(cid:42)(cid:80)AC2+AD2 =4=CD2(cid:42)(cid:138)ÐCAD= π(cid:42) 2 2 π 3 3 5 C = (cid:42)(cid:180)A(cid:174)AE^BC(cid:128)E(cid:42)(cid:128)(cid:148)CE= ACcosC = ,AE= ACsinC = (cid:42)BE= (cid:42) 6 2 2 2 AE 3 (cid:92)(cid:93)tanB= = . BE 5 ì 1 1 c2 = a2+1-2´ a´1´cos(π-ÐADC) ï ï 4 2 (cid:27)2(cid:32)(cid:59)(cid:113)1(cid:10)(cid:141)△ABD(cid:181)VACD(cid:171)(cid:42)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:68)í (cid:42) ï b2 = 1 a2+1-2´ 1 a´1´cosÐADC ïî 4 2 1 (cid:159)(cid:15)(cid:68) a2+2=b2+c2(cid:42)(cid:95)b2+c2 =8(cid:42)(cid:138)a=2 3(cid:42) 2 1 3 π (cid:96)S = ´ 3´1´sinÐADC = (cid:42)(cid:24)(cid:68)sinÐADC =1(cid:42)(cid:95)0<ÐADC<π(cid:42)(cid:128)(cid:148)ÐADC = (cid:42) VADC 2 2 2 (cid:92)(cid:93) b=c= AD2+CD2 =2. r r r r r r (cid:59)(cid:113)2(cid:10)(cid:141)VABC(cid:171)(cid:42)(cid:91)(cid:41)D(cid:41)BC(cid:171)(cid:136)(cid:42)(cid:138)2AD= AB+AC(cid:42)(cid:96)CB= AB-AC(cid:42) r r r r r r (cid:128)(cid:148)4AD 2 +CB 2 =(AB+AC)2+(AB-AC)2 =2(b2+c2)=16(cid:42)(cid:70)4+a2 =16(cid:42)(cid:24)(cid:68)a=2 3(cid:42) 1 3 π (cid:96)S = ´ 3´1´sinÐADC = (cid:42)(cid:24)(cid:68)sinÐADC =1(cid:42)(cid:95)0<ÐADC<π(cid:42)(cid:128)(cid:148)ÐADC = (cid:42) VADC 2 2 2 (cid:92)(cid:93) b=c= AD2+CD2 =2. (cid:22)(cid:23)(cid:131)(cid:132)(cid:57)(cid:15)(cid:7)(cid:81) (cid:27)1(cid:32)(cid:75)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:10)(cid:141) ABC(cid:171)(cid:42)(cid:35)A(cid:42)B(cid:42)C(cid:92)(cid:37)(cid:36)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:148)a(cid:42)b(cid:42)c(cid:42)R(cid:41) ABC(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:185)(cid:186)(cid:42)(cid:138) (cid:57)(cid:15) (cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15) (cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15) △ △ a2 =b2 +c2 -2bccosA(cid:46) a b c (cid:7)(cid:81) = = =2R b2 =c2 +a2 -2accosB(cid:46) sinA sinB sinC c2 =a2 +b2 -2abcosC(cid:26)b2 +c2 -a2 cosA= (cid:46) (cid:27)1(cid:32)a=2RsinA(cid:42)b=2RsinB(cid:42)c=2RsinC(cid:46) 2bc a b c c2 +a2 -b2 (cid:111)(cid:187)(cid:188)(cid:86) (cid:27)2(cid:32)sinA= (cid:42)sinB= (cid:42)sinC= (cid:46) cosB= (cid:46) 2R 2R 2R 2ac a2 +b2 -c2 cosC= (cid:26) 2ab (cid:27)2(cid:32)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:81)(cid:10) 1 1 1 S ABC = absinC = bcsinA= acsinB D 2 2 2 abc 1 S ABC = = (a+b+c)×r(cid:27)r(cid:148)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:34)(cid:189)(cid:184)(cid:36)(cid:185)(cid:186)(cid:42)(cid:190)(cid:71)(cid:54)(cid:155)(cid:191)(cid:127)R(cid:42)r(cid:26)(cid:32) D 4R 2 (cid:130)(cid:23)(cid:192)(cid:3)(cid:193)(cid:78) (cid:27)1(cid:32)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:36)(cid:193)(cid:78) (cid:38)(cid:16)(cid:35)(cid:42)(cid:35)(cid:16)(cid:38)Ûa:b:c=sinA:sinB:sinC (cid:147)(cid:38)(cid:37)(cid:147)(cid:35) (cid:147)(cid:35)(cid:37)(cid:147)(cid:38) ① ②a>bÛ A>BÛsinA>sinBÛcosAb a£b (cid:24)(cid:36)(cid:173)(cid:13) (cid:22)(cid:24) (cid:164)(cid:24) (cid:22)(cid:24) (cid:22)(cid:24) (cid:238)(cid:24) 2(cid:23)(cid:141)(cid:24)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:21)(cid:212)(cid:171)(cid:42)(cid:47)(cid:43)(cid:44)(cid:105)(cid:106)(cid:116)(cid:140)(cid:79)(cid:80)(cid:38)(cid:161)(cid:35)(cid:42)(cid:239)(cid:153)(cid:124)(cid:175)(cid:183)(cid:240)(cid:78)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:237)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:68)(cid:98)(cid:25)(cid:51)(cid:42)(cid:241)(cid:20) (cid:242)“(cid:38)(cid:16)(cid:35)”(cid:237)“(cid:35)(cid:16)(cid:38)”(cid:42)(cid:188)(cid:243)(cid:244)(cid:138)(cid:111)(cid:78)(cid:10) (cid:27)1(cid:32)(cid:47)(cid:81)(cid:82)(cid:79)(cid:80)sinx(cid:36)(cid:245)(cid:62)(cid:81)(cid:42)(cid:246)(cid:73)(cid:30)(cid:247)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:42)“(cid:35)(cid:16)(cid:38)”(cid:46) (cid:27)2(cid:32)(cid:47)(cid:81)(cid:82)(cid:79)(cid:80)a,b,c(cid:36)(cid:245)(cid:62)(cid:81)(cid:42)(cid:246)(cid:73)(cid:30)(cid:247)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:42)“(cid:38)(cid:16)(cid:35)”(cid:46) (cid:27)3(cid:32)(cid:47)(cid:81)(cid:82)(cid:79)(cid:80)cosx(cid:36)(cid:245)(cid:62)(cid:81)(cid:42)(cid:246)(cid:73)(cid:30)(cid:247)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:42)“(cid:35)(cid:16)(cid:38)”(cid:46) (cid:27)4(cid:32)(cid:248)(cid:13)(cid:188)(cid:86)(cid:237)(cid:249)(cid:85)(cid:35)(cid:250)(cid:154)(cid:188)(cid:243)(cid:251)(cid:252)(cid:46) (cid:27)5(cid:32)(cid:79)(cid:80)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:81)(cid:36)(cid:253)(cid:21)(cid:42)(cid:241)(cid:30)(cid:247)(cid:66)(cid:67)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:240)(cid:78)(cid:46) (cid:27)6(cid:32)(cid:116)(cid:140)(cid:63)(cid:254)(cid:164)(cid:173)(cid:255)(cid:54)(cid:35)(cid:27)(cid:237)(cid:85)(cid:173)(cid:255)(cid:54)(cid:35)(cid:32)(cid:140)(cid:42)(cid:241)(cid:78)(cid:98)A+B+C =p(cid:26) 3(cid:23)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:171)(cid:36)(cid:256)(cid:257)(cid:57)(cid:15) (cid:141)VABC (cid:171)(cid:42)a =bcosC+ccosB(cid:46)b=acosC+ccosA(cid:46)c=bcosA+acosB(cid:26) (cid:22)(cid:23)(cid:258)(cid:20)(cid:21) π 1(cid:26)(cid:27)2024·(cid:259)(cid:260)(cid:261)(cid:262)(cid:201)·(cid:85)(cid:263)(cid:32)(cid:141)VABC(cid:171)(cid:42)AB=2(cid:42)AC =3(cid:42) ÐA= (cid:42)(cid:138)VABC(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:36)(cid:185)(cid:186)(cid:41)(cid:27)(cid:264)(cid:264)(cid:32) 3 7 21 2 7 2 21 A(cid:26) B(cid:26) C(cid:26) D(cid:26) 3 3 3 3 (cid:50)(cid:25)(cid:51)(cid:52)B(cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:52)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:71)(cid:68)BC(cid:36)(cid:69)(cid:42)(cid:167)(cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:71)(cid:68)VABC(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:36)(cid:185)(cid:186)(cid:26) π (cid:50)(cid:89)(cid:24)(cid:52)(cid:91)(cid:41)AB=2(cid:42)AC =3(cid:42) ÐA= (cid:42)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:71)(cid:68)(cid:10) 3 3 BC = AB2+AC2-4AB×ACcosA = 4+9-2´2´3´ = 7(cid:42) 2 BC 7 2R= = 21 (cid:137)VABC(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:36)(cid:185)(cid:186)(cid:41)R(cid:42)(cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:71)(cid:68)(cid:10) sinA 3 (cid:42)(cid:138)R= (cid:26) 3 7 (cid:129)(cid:20)(cid:10)B(cid:26) 1 2(cid:26)(cid:27)2024·(cid:265)(cid:220)·(cid:85)(cid:263)(cid:32)(cid:141)VABC(cid:171)(cid:42)AB=3 2,cosÐBAC =- ,AD^ AC(cid:42)(cid:169)AD(cid:266)BC(cid:128)(cid:136)D(cid:42)AD=3(cid:42) 3 (cid:138)sinC =(cid:27) (cid:32) 1 3 6 2 2 A(cid:26) B(cid:26) C(cid:26) D(cid:26) 3 3 3 3 (cid:50)(cid:25)(cid:51)(cid:52)B (cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:52)(cid:115)(cid:78)(cid:267)(cid:120)(cid:7)(cid:81)(cid:45)(cid:63)cosÐBAD(cid:42)(cid:167)(cid:115)(cid:78)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:45)(cid:63)BD(cid:163)cosÐADB(cid:70)(cid:71)(cid:68)(cid:24). 1 π 1 (cid:50)(cid:89)(cid:24)(cid:52)(cid:54)cosÐBAC =- ,AD^ AC(cid:42)(cid:68)sinÐBAD=sin(ÐBAC- )=-cosÐBAC = (cid:42) 3 2 3 1 2 2 (cid:95)ÐBAD(cid:41)(cid:235)(cid:35)(cid:42)(cid:138)cosÐBAD= 1-( )2 = (cid:42) 3 3 2 2 (cid:141)△ABD(cid:171)(cid:42)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:68)BD= (3 2)2+32-2´3 2´3´ = 3(cid:42) 3 32+( 3)2-(3 2)2 3 (cid:92)(cid:93)sinC =cosÐADC =-cosÐADB=- = . 2´3´ 3 3 (cid:129)(cid:20)(cid:10)B r r r 3(cid:26)(cid:27)2024·(cid:268)(cid:269)(cid:208)(cid:270)·(cid:85)(cid:263)(cid:32)(cid:141)VABC(cid:171)(cid:42) AB =2 2(cid:42)O(cid:41)VABC(cid:182)(cid:271)(cid:42)(cid:169)AO×AC =1(cid:42)(cid:138)ÐABC(cid:36)(cid:64)(cid:147) (cid:69)(cid:41)(cid:27) (cid:32) A(cid:26)30° B(cid:26)45° C(cid:26)60° D(cid:26)90° (cid:50)(cid:25)(cid:51)(cid:52)A (cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:52)r r 1r (cid:101)(cid:102)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:182)(cid:271)(cid:272)(cid:273)(cid:163)(cid:13)(cid:122)(cid:49)(cid:36)(cid:274)(cid:275)(cid:97)(cid:276)(cid:42)(cid:71)(cid:68)AO(cid:141)AC(cid:59)(cid:121)(cid:145)(cid:36)(cid:277)(cid:257)(cid:121)(cid:122)(cid:41) AC(cid:42)(cid:94)(cid:95)(cid:45)(cid:68) 2 r AC = 2(cid:42)(cid:167)(cid:101)(cid:102)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:163)(cid:131)(cid:132)(cid:153)(cid:154)(cid:81)(cid:71)(cid:45)(cid:68)(cid:64)(cid:69)(cid:26) (cid:50)(cid:89)(cid:24)(cid:52) r r 1r (cid:54)O(cid:41) ABC(cid:182)(cid:271)(cid:42)(cid:71)(cid:68)AO(cid:141)AC(cid:59)(cid:121)(cid:145)(cid:36)(cid:277)(cid:257)(cid:121)(cid:122)(cid:41) AC(cid:42) 2 r △r 1r 2 r (cid:138)AO×AC = AC =1(cid:42)(cid:129) AC = 2(cid:42) 2 r r (cid:96) AB =2 2(cid:42)(cid:137) BC =a(cid:42)  2  2 (cid:138) 2 2 +a2- 2 6+a2 cosÐABC = = 2´2 2a 4 2a 3 a 3 a 3 = + ³2 ´ = (cid:42) 2 2a 4 2 2 2a 4 2 2 (cid:168)(cid:169)(cid:170)(cid:168)a= 6(cid:140)(cid:154)(cid:9)(cid:166)(cid:179)(cid:42) (cid:54)0°(cid:278)ÐABC(cid:278)180°(cid:71)(cid:44)(cid:42)0°(cid:278)ÐABC£30°(cid:42) (cid:129)ÐABC(cid:36)(cid:64)(cid:147)(cid:69)(cid:41)30°(cid:26) (cid:129)(cid:20)(cid:10)A(cid:26) 4(cid:26)(cid:27)2024·(cid:279)(cid:152)(cid:280)(cid:244)·(cid:85)(cid:263)(cid:32)(cid:43)(cid:44)VABC (cid:171)(cid:42)A=120o(cid:42)D(cid:148)BC(cid:36)(cid:171)(cid:136)(cid:42)(cid:169) AD=1(cid:42)(cid:138)VABC (cid:48)(cid:49)(cid:36)(cid:64)(cid:147) (cid:69)(cid:27) (cid:32) A(cid:26) 3 B(cid:26)2 3 C(cid:26)1 D(cid:26)2 (cid:50)(cid:25)(cid:51)(cid:52)A (cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:52)(cid:115)(cid:78)(cid:171)(cid:157)(cid:68)(cid:98)4=b2+c2-bc(cid:42)(cid:66)(cid:67)(cid:153)(cid:154)(cid:81)(cid:68)(cid:63)bc£4(cid:42)(cid:107)(cid:95)(cid:68)(cid:98)(cid:48)(cid:49)(cid:36)(cid:64)(cid:147)(cid:69). r r r r 1 (cid:50)(cid:89)(cid:24)(cid:52)(cid:91)(cid:41)A=120o(cid:42)(cid:92)(cid:93)AB×AC = AB AC cos120°=- bc(cid:42) 2 r 1 r r  r 2 1r 2 r 2 r r (cid:91)(cid:41)AD(cid:148)(cid:171)(cid:157)(cid:42)(cid:92)(cid:93)AD= AB+AC (cid:42)AD = AB +AC +2AB×AC (cid:42) 2 4 (cid:92)(cid:93)4=b2+c2-bc³bc(cid:42)(cid:168)(cid:169)(cid:170)(cid:168)b=c(cid:140)(cid:42)(cid:154)(cid:9)(cid:166)(cid:179)(cid:46) 1 1 3 VABC (cid:48)(cid:49)(cid:41)S = bcsinA£ ´4´ = 3. 2 2 2 (cid:129)(cid:20)(cid:10)A a b 3c 5(cid:26)(cid:27)2024·(cid:265)(cid:220)·(cid:85)(cid:263)(cid:32)(cid:141)VABC(cid:171)(cid:42)(cid:35)A(cid:42)B(cid:42)C(cid:92)(cid:37)(cid:36)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)a(cid:42)b(cid:42)c(cid:26)(cid:47) + = (cid:42)(cid:138)tan A+tanC cosA cosB cosC (cid:36)(cid:64)(cid:162)(cid:69)(cid:148)(cid:27) (cid:32) 4 8 A(cid:26) B(cid:26) C(cid:26)2 3 D(cid:26)4 3 3(cid:50)(cid:25)(cid:51)(cid:52)B (cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:52)(cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:68)tan A+tanB =3tanC (cid:42)(cid:167)(cid:281)(cid:180)(cid:164)(cid:35)(cid:161)(cid:36)(cid:75)(cid:189)(cid:7)(cid:81)(cid:68)tanAtanB=4(cid:42)(cid:64)(cid:65)(cid:240)(cid:78)(cid:131)(cid:132)(cid:153) (cid:154)(cid:81)(cid:45)(cid:24)(cid:70)(cid:71). a b 3c (cid:50)(cid:89)(cid:24)(cid:52)(cid:91)(cid:41) + = (cid:42) cosA cosB cosC sinA sinB 3sinC (cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:68) + = (cid:42) cosA cosB cosC (cid:92)(cid:93)tan A+tanB =3tanC (cid:42) (cid:96)(cid:91)(cid:41)C =π-(A+B)(cid:42) tanA+tanB (cid:92)(cid:93)tanA+tanB=-3 (cid:42) 1-tanAtanB 3 (cid:92)(cid:93)1= (cid:42) tanAtanB-1 (cid:70)tanAtanB=4. 4 1 1æ 4 ö (cid:92)(cid:93)tanB= ,tanC= (tanA+tanB)= çtanA+ ÷(cid:42) tanA 3 3è tanAø (cid:139)(cid:74)tanA(cid:149)(cid:41)(cid:75)(cid:27)(cid:282)(cid:138)tanA(cid:161)tanC(cid:283)(cid:41)(cid:284)(cid:42)(cid:285)(cid:164)(cid:173)(cid:236)(cid:35)(cid:32)(cid:42) 4 4 16 8 (cid:92)(cid:93)tanA+tanC = tanA+ ³2 = (cid:42) 3 3tanA 9 3 4 4 π (cid:168)(cid:169)(cid:170)(cid:168) tanA= (cid:42)(cid:70)tanA=1,A= (cid:146)(cid:154)(cid:9). 3 3tanA 4 8 (cid:92)(cid:93)tanA+tanC³ . 3 (cid:129)(cid:20)(cid:10)B. (cid:130)(cid:23)(cid:232)(cid:20)(cid:21) r æb ö 6(cid:26)(cid:27)2024·(cid:286)(cid:287)·(cid:85)(cid:263)(cid:32)(cid:43)(cid:44)VABC(cid:171)(cid:42)(cid:35)A(cid:42)B(cid:42)C(cid:92)(cid:37)(cid:36)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)a(cid:42)b(cid:42)c(cid:42)(cid:221)(cid:171)b=4(cid:42)m=ç ,tanB÷(cid:42) èc ø r æ bö r r 3 n=çtanA, ÷(cid:42)m×n= (cid:42)(cid:138)(cid:27) (cid:32) è cø 3cosA 5π A(cid:26)B= 6 B(cid:26)VABC(cid:36)(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:48)(cid:49)(cid:41)16π r 3r 8 13 C(cid:26)(cid:47)AM = AC(cid:42)ÐBAC=ÐABM (cid:42)(cid:138)BC = 4 13 r 3r 13 D(cid:26)(cid:47)AM = AC(cid:42)ÐBAC=ÐABM (cid:42)(cid:138)sinÐBAC = 4 13 (cid:50)(cid:25)(cid:51)(cid:52)BCD(cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:52)(cid:132)(cid:21)(cid:30)(cid:288)(cid:289)(cid:121)(cid:122)(cid:36)(cid:13)(cid:122)(cid:49)(cid:23)(cid:115)(cid:78)(cid:75)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:24)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:161)(cid:85)(cid:35)(cid:250)(cid:154)(cid:188)(cid:243)(cid:42)(cid:148)(cid:171)(cid:290)(cid:21). 3 π (cid:73)(cid:54)(cid:121)(cid:122)(cid:36)(cid:13)(cid:122)(cid:49)(cid:23)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:161)(cid:85)(cid:35)(cid:250)(cid:154)(cid:188)(cid:243)(cid:68)tanB= (cid:42)(cid:138)B= (cid:42)(cid:167)(cid:54)(cid:115)(cid:78)(cid:75)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:24)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:291)(cid:22) 3 6 (cid:292)(cid:57)(cid:70)(cid:71). r r b b 1 (cid:50)(cid:89)(cid:24)(cid:52)(cid:37)(cid:128)A(cid:20)(cid:293)(cid:42)(cid:61)(cid:21)(cid:97)(cid:42)m×n= tanA+ tanB= (cid:42) c c 3cosA sinA sinB sinC (cid:138) + = (cid:42) cosA cosB 3sinBcosA sinA+B sinC (cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:42) = (cid:42) cosAcosB 3sinBcosA (cid:91)(cid:41)sinA+B=sinπ-C=sinC(cid:42)(cid:169)sinC ¹0(cid:42) 3 (cid:129) 3sinB=cosB(cid:42)(cid:129)tanB= (cid:42) 3 (cid:91)(cid:41)BÎ0,π(cid:42)(cid:129)B= π (cid:42)(cid:129)A(cid:294)(cid:295)(cid:46) 6 b (cid:37)(cid:128)B(cid:20)(cid:293)(cid:42)(cid:54)(cid:20)(cid:293)A(cid:71)(cid:44)(cid:42)R= =4(cid:42)(cid:129)(cid:221)(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:48)(cid:49)(cid:41)16π(cid:42)(cid:129)B(cid:75)(cid:296)(cid:46) 2sinB (cid:37)(cid:128)C(cid:23)D(cid:20)(cid:293)(cid:42)(cid:91)(cid:41)AM =3MC =3(cid:42)(cid:33)ÐBAC =ÐABM =q(cid:42) (cid:92)(cid:93)ÐBMC =2q(cid:42)AM =BM =3(cid:42)MC =1(cid:42)AC =4(cid:42) BC AC (cid:141)VABC(cid:171)(cid:42)(cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:42) = (cid:42)(cid:70)BC =8sinq(cid:42) sinq sinÐABC (cid:141)(cid:194)BMC(cid:171)(cid:42)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:42)BC2 =BM2+CM2-2BM×CM×cos2q=10-6cos2q(cid:42) 1 (cid:129)64sin2q=10-6cos2q(cid:42)(cid:24)(cid:68)sin2q= (cid:42) 13 æ (cid:297)ö 13 8 13 (cid:91)(cid:41)qÎ ç0, ÷(cid:42)(cid:138)sinq= (cid:42)BC =8sinq= (cid:42)(cid:129)C(cid:23)D(cid:75)(cid:296)(cid:46) è 2ø 13 13 (cid:129)(cid:20)(cid:10)BCD. 2 A+C 7(cid:26)(cid:27)2024·(cid:298)(cid:299)·(cid:85)(cid:263)(cid:32)(cid:43)(cid:44) VABC (cid:36)(cid:34)(cid:35)A,B,C(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)a,b,c(cid:42)(cid:169) a×sin2 =b×sinA(cid:42)(cid:203)(cid:87)(cid:66) 3 2 (cid:229)(cid:75)(cid:296)(cid:36)(cid:148)(cid:27) (cid:32) π A(cid:26)B= 3 B(cid:26)(cid:47) a=4(cid:42)b=5 (cid:42)(cid:138) VABC (cid:80)(cid:164)(cid:24) 3 C(cid:26)(cid:168)a-c= b(cid:140)(cid:42) VABC (cid:41)(cid:175)(cid:35)(cid:85)(cid:35)(cid:86) 3 3 D(cid:26)(cid:47) VABC (cid:41)(cid:235)(cid:35)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:42)(cid:138) cosA+cosC (cid:36)(cid:146)(cid:69)(cid:300)(cid:301)(cid:148)( ,1] 2 (cid:50)(cid:25)(cid:51)(cid:52)ACD(cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:52)(cid:281)(cid:180)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:23)(cid:267)(cid:120)(cid:7)(cid:81)(cid:23)(cid:130)(cid:160)(cid:35)(cid:7)(cid:81)(cid:163)(cid:103)(cid:104)(cid:35)(cid:7)(cid:81)(cid:70)(cid:71)(cid:292)(cid:302)A(cid:46)(cid:281)(cid:180)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:70)(cid:71)(cid:292)(cid:302)B(cid:46)(cid:281) 3 π π (cid:180)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:163)a-c= b(cid:71)(cid:68)a=2c(cid:237)c=2a(cid:42)(cid:70)(cid:71)(cid:292)(cid:302)C(cid:46)(cid:281)(cid:180)(cid:45)A(cid:36)(cid:146)(cid:69)(cid:300)(cid:301) 0(cid:42)(cid:92)(cid:93)c=2+ 13((cid:284)(cid:69)(cid:303))(cid:42)(cid:70)VABC(cid:80)(cid:22)(cid:24)(cid:42)(cid:129)B(cid:294)(cid:295)(cid:46) 3 b2 (cid:37)(cid:128)C(cid:42)(cid:91)(cid:41)a-c= b(cid:42)(cid:164)(cid:38)(cid:58)(cid:59)(cid:68)a2-2ac+c2 = (cid:42) 3 3 (cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:68)b2 =a2+c2-2accosB=a2+c2-ac(cid:42) (cid:54)(cid:164)(cid:81)(cid:133)b2(cid:68)(cid:42)2a2-5ac+2c2 =0(cid:42)(cid:24)(cid:68)a=2c(cid:237)c=2a(cid:42) π π (cid:54)B= (cid:42)a=2c(cid:42)b= 3c(cid:24)(cid:68)ÐA= (cid:42) 3 2 π π (cid:54)B= (cid:42)c=2a(cid:42)b= 3a(cid:24)(cid:68)ÐC = ; 3 2 (cid:129)VABC(cid:41)(cid:175)(cid:35)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:42)(cid:129)C(cid:75)(cid:296)(cid:46) π (cid:37)(cid:128)D(cid:42)(cid:91)(cid:41)VABC(cid:41)(cid:235)(cid:35)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:42)(cid:169)B= (cid:42) 3 ì π ì π 0< A< 0< A< ï ï ï 2 ï 2 π π (cid:92)(cid:93)í Þí Þ < A< (cid:42) ï 0 (cid:42) è 4ø 2 6 æπ πö æ 2 3ö æ1 3ö (cid:92)(cid:93)BÎç , ÷(cid:42)(cid:92)(cid:93)cosBÎç ç , ÷ ÷ (cid:42)(cid:138)cos2BÎç , ÷(cid:42) è6 4ø è 2 2 ø è2 4ø (cid:92)(cid:93)4cos2B-1Î1,2(cid:42)(cid:129)(cid:20)(cid:293)C(cid:75)(cid:296)(cid:46) a b c (cid:141)VABC(cid:171)(cid:42)(cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15) = = (cid:42)(cid:96)A=2B(cid:42)a=2 6(cid:42)b=3(cid:42) sinA sinB sinC 3 2 6 2 6 6 (cid:68) = = (cid:42)(cid:138)cosB= sinB sin2B 2sinBcosB 36 (cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:42)b2 =a2+c2-2accosB(cid:42) (cid:68)9=24+c2-2´2 6´ c(cid:42) 3 (cid:159)(cid:15)(cid:68)c2-8c+15=0(cid:42)(cid:24)(cid:68)c=5(cid:42)(cid:237)c=3(cid:42) (cid:168)c=3(cid:140)(cid:42)(cid:80)C =B(cid:42)(cid:96)A=2B(cid:42)(cid:92)(cid:93)B=C =45°,A=90°(cid:42) (cid:91)(cid:41)b2+c2 ¹a2(cid:42)(cid:138)c=3(cid:153)(cid:166)(cid:179)(cid:42)(cid:129)(cid:20)(cid:293)D(cid:75)(cid:296). (cid:129)(cid:20)(cid:10)BCD. (cid:85)(cid:23)(cid:306)(cid:307)(cid:21) 1 9(cid:26)(cid:27)2024·(cid:28)(cid:308)·(cid:85)(cid:263)(cid:32)(cid:141)VABC(cid:171)(cid:42)3sinA=2sinC(cid:42)cosB= .(cid:138)sinA= . 3 4 2 (cid:50)(cid:25)(cid:51)(cid:52) 9 (cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:52)(cid:101)(cid:102)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:163)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:71)(cid:68)b=c(cid:42)(cid:167)(cid:54)(cid:267)(cid:120)(cid:7)(cid:81)(cid:163)(cid:130)(cid:160)(cid:35)(cid:75)(cid:56)(cid:7)(cid:81)(cid:45)(cid:24). (cid:50)(cid:89)(cid:24)(cid:52)(cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:42)3sinA=2sinCÞ3a=2c(cid:42) a2+c2-b2 1 (cid:92)(cid:93)(cid:54)cosB= = (cid:71)(cid:68)3a=2b(cid:42) 2ac 3 (cid:92)(cid:93)b=c(cid:42)(cid:92)(cid:93)B=C(cid:42) 1 1 4 2 (cid:92)(cid:93)sinA=sinπ-2B=sin2B=2sinBcosB=2´ 1- ´ = . 9 3 9 4 2 (cid:129)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:10) 9 a 10(cid:26)(cid:27)2024·(cid:299)(cid:152)(cid:220)(cid:309)·(cid:85)(cid:263)(cid:32)(cid:141)VABC(cid:171)(cid:42) =2cosB<1(cid:42)(cid:138)cos(B-C)= . b (cid:50)(cid:25)(cid:51)(cid:52)1 (cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:52)(cid:175)(cid:183)(cid:115)(cid:78)(cid:85)(cid:35)(cid:117)(cid:13)(cid:36)(cid:3)(cid:60)(cid:81)(cid:36)(cid:188)(cid:243)(cid:93)(cid:163)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:36)(cid:193)(cid:78)(cid:45)(cid:63)(cid:66)(cid:310). a sinA (cid:50)(cid:89)(cid:24)(cid:52)(cid:141)VABC(cid:171)(cid:42) =2cosB<1(cid:42)(cid:115)(cid:78)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:10) =2cosB(cid:42) b sinB (cid:92)(cid:93)sinA= 2sinBcosB(cid:42)(cid:159)(cid:15)(cid:68)sinA =sin2B(cid:42) (cid:92)(cid:93)A=2B(cid:237)A+2B=π(cid:42) (cid:54)(cid:128)a0,cosB¹0, = (cid:42) sinC cosC π (cid:92)(cid:93)tanC = 3(cid:42)(cid:91)(cid:41)CÎ(0,π)(cid:42)(cid:71)(cid:68)C = (cid:46) 3 C (cid:20) (cid:42) 3sinA+B=3-2cos2 (cid:42)(cid:71)(cid:68) 3sinC =2-cosC(cid:42) 2 ③ π π (cid:71)(cid:68)2sin(C+ )=2Þsin(C+ )=1(cid:42) 6 6 π æπ 7πö π π π (cid:91)(cid:41)cÎ(0,π),C+ Îç , ÷(cid:42)(cid:92)(cid:93)C+ = (cid:42)(cid:71)(cid:68)C = (cid:46) 6 è6 6 ø 6 2 3 (cid:27)2(cid:32)(cid:141)VABC(cid:171)(cid:42)S =S +S (cid:42) (cid:194)ABC (cid:194)ACD (cid:194)BCD 1 (cid:71)(cid:68) a×CD+CD= 3a(cid:42)(cid:33)(cid:41) (cid:42) 4 ① 1 2 3 (cid:96)S = a×CD= (cid:42)(cid:33)(cid:41) (cid:42) VCDB 3 2 ② a2 2 (cid:54) (cid:71)(cid:68) = (cid:42) a+4 3 ①② 2 (cid:24)(cid:68)a=2(cid:237)a=- (cid:27)(cid:303)(cid:134)(cid:32)(cid:42) 3 (cid:92)(cid:93)(cid:38)(cid:100)a=2(cid:26) 21(cid:26)(cid:27)2024·(cid:299)(cid:355)(cid:355)(cid:260)·(cid:85)(cid:263)(cid:32)(cid:141)VABC(cid:171)(cid:42)(cid:34)(cid:35)A(cid:42)B(cid:42)C(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)a(cid:42)b(cid:42)c(cid:42)(cid:169)a¹b,c=1. r r r (1)(cid:47)|CA+CB|=|AB|,2sinA=sinC(cid:42)(cid:45)VABC(cid:36)(cid:48)(cid:49); a-b (2)(cid:47)cosB-cosA= (cid:42)(cid:45)(cid:240)(cid:68)m>a+b(cid:250)(cid:166)(cid:179)(cid:140)(cid:42)(cid:196)(cid:13)m(cid:36)(cid:64)(cid:162)(cid:69). 23 (cid:50)(cid:25)(cid:51)(cid:52)(1) 8 2 3 (2) 3 r r r r r r (cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:52)(cid:27)1(cid:32)(cid:101)(cid:102)(cid:21)(cid:97)(cid:42)(cid:54)(cid:105)(cid:106)(cid:71)(cid:68)|CA+CB|=|CB-CA|(cid:42)(cid:94)(cid:95)(cid:71)(cid:68)CA^CB(cid:42)(cid:167)(cid:54)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:36)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:81)(cid:248) (cid:304)(cid:191)(cid:127)(cid:42)(cid:70)(cid:71)(cid:45)(cid:24)(cid:46) (cid:27)2(cid:32)(cid:101)(cid:102)(cid:21)(cid:97)(cid:42)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:248)(cid:304)(cid:191)(cid:127)(cid:42)(cid:70)(cid:71)(cid:68)(cid:98)a2+ab+b2 =1(cid:42)(cid:167)(cid:54)(cid:131)(cid:132)(cid:153)(cid:154)(cid:81)(cid:248)(cid:304)(cid:191)(cid:127)(cid:42)(cid:70)(cid:71)(cid:68)(cid:98) 2 3 a+b< (cid:42)(cid:94)(cid:95)(cid:68)(cid:98)(cid:66)(cid:310). 3 r r r r r r r r r r r (cid:50)(cid:89)(cid:24)(cid:52)(cid:27)1(cid:32)(cid:91)(cid:41)|CA+CB|=|AB|(cid:42)(cid:70)|CA+CB|=|CB-CA|(cid:42)(cid:92)(cid:93)|CA+CB|2=|CB-CA|2(cid:42) r r r r r r r r r r r r (cid:70) CA 2 +2CA×CB+CB 2 =CA 2 -2CA×CB+CB 2(cid:42)(cid:138)CA×CB=0(cid:42)(cid:92)(cid:93)CA^CB(cid:42) π 1 (cid:92)(cid:93)ÐC = (cid:42)(cid:169)2sinA=sinC(cid:42)(cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:71)(cid:68)2a=c=1(cid:42)(cid:138)a= (cid:42) 2 2 2 æ1ö 3 1 1 3 3 (cid:92)(cid:93)b= 1-ç ÷ = (cid:42)(cid:138)S = ´ ´ = . è2ø 2 VABC 2 2 2 8 a-b a2+c2-b2 b2+c2-a2 a-b (cid:27)2(cid:32)(cid:91)(cid:41)cosB-cosA= (cid:42)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:71)(cid:68) - = (cid:42) 2 2ac 2bc 2 a2+1-b2 b2+1-a2 æ 1-b2 ö æ 1-a2 ö (cid:96)c=1(cid:42)(cid:138) - =a-b(cid:42)(cid:70)ça+ ÷-çb+ ÷=a-b(cid:42) a b è a ø è b ø (cid:92)(cid:93) 1-b2 = 1-a2 (cid:42)(cid:16)(cid:109)(cid:71)(cid:68)a-b=a3-b3 =a-b a2+ab+b2 (cid:42) a b æa+bö 2 (cid:91)(cid:41)a¹b(cid:42)(cid:92)(cid:93)a2+ab+b2 =1(cid:42)(cid:92)(cid:93)a+b2 =1+ab£1+ç ÷ (cid:42) è 2 ø 3a+b2 2 3 (cid:70) £1 (cid:42)(cid:92)(cid:93)a+b£ (cid:42)(cid:168)(cid:169)(cid:170)(cid:168)a=b(cid:140)(cid:42)(cid:154)(cid:9)(cid:166)(cid:179)(cid:42) 4 3 2 3 2 3 2 3 (cid:96)a¹b(cid:42)(cid:92)(cid:93)a+b< (cid:42)(cid:129)m³ (cid:70)(cid:71)(cid:42)(cid:92)(cid:93)m(cid:36)(cid:64)(cid:162)(cid:69)(cid:41) . 3 3 3 22(cid:26)(cid:27)2024·(cid:286)(cid:287)(cid:261)(cid:286)·(cid:85)(cid:263)(cid:32)(cid:141) bsinA+sinB=c+asinC-sinA(cid:42) tanB+tanC =- 3a (cid:42) ccosB ① ② ③ A+B 3bsin =csinB 2 (cid:356)(cid:85)(cid:173)(cid:105)(cid:106)(cid:171)(cid:357)(cid:20)(cid:22)(cid:173)(cid:42)(cid:353)(cid:354)(cid:141)(cid:203)(cid:48)(cid:36)(cid:358)(cid:157)(cid:145)(cid:42)(cid:190)(cid:24)(cid:25)(cid:26) (cid:141)VABC(cid:171)(cid:42)(cid:34)(cid:35)A(cid:42)B(cid:42)C(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)a(cid:42)b(cid:42)c(cid:42)(cid:169)______(cid:26) (1)(cid:45)(cid:35)C(cid:36)(cid:147)(cid:162)(cid:46) (2)(cid:43)(cid:44)c=7(cid:42)D(cid:148)(cid:38)AB(cid:36)(cid:171)(cid:136)(cid:42)(cid:169)CD^CB(cid:42)(cid:45)CD(cid:36)(cid:100)(cid:26)2π (cid:50)(cid:25)(cid:51)(cid:52)(1) 3 21 (2) 2 (cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:52)(cid:27)1(cid:32)(cid:47)(cid:20) (cid:42)(cid:115)(cid:78)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:76)(cid:35)(cid:16)(cid:38)(cid:42)(cid:167)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:191)(cid:127)(cid:71)(cid:68)(cid:46)(cid:47)(cid:20) (cid:42)(cid:115)(cid:78)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:76)(cid:38)(cid:16) (cid:35)(cid:42)(cid:167)(cid:66)(cid:67)(cid:85)(cid:35)(cid:250)(cid:154) ① (cid:188)(cid:243)(cid:7)(cid:81)(cid:45)(cid:63)tanC(cid:42)(cid:70)(cid:71)(cid:68)(cid:24)(cid:46)(cid:47)(cid:20) (cid:42)(cid:115)(cid:78)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:76)(cid:38) ② (cid:16)(cid:35)(cid:42)(cid:167)(cid:54)(cid:267)(cid:120)(cid:7)(cid:81)(cid:163)(cid:130) (cid:160)(cid:35)(cid:7)(cid:81)(cid:191)(cid:127)(cid:71)(cid:68)(cid:46) ③ (cid:27)2(cid:32)(cid:72)(cid:73)(cid:45)(cid:63)ÐDCA(cid:42)(cid:54)(cid:171)(cid:157)(cid:36)(cid:272)(cid:273)(cid:68)(cid:98)S =S (cid:42)(cid:54)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:81)(cid:68)(cid:98)b=2a(cid:42)(cid:167)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:68)(cid:98) VADC VBCD c= 7a(cid:42)(cid:70)(cid:71)(cid:45)(cid:63)a(cid:23)b(cid:42)(cid:167)(cid:54)(cid:359)(cid:360)(cid:57)(cid:15)(cid:191)(cid:127)(cid:71)(cid:68). (cid:50)(cid:89)(cid:24)(cid:52)(cid:27)1(cid:32)(cid:59)(cid:51)(cid:22)(cid:10)(cid:20)(cid:105)(cid:106) (cid:26)(cid:91)(cid:41)bsinA+sinB=c+asinC-sinA (cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:68)ba+b=c+a①c-a(cid:42)(cid:70)a2+b2-c2 =-ab(cid:42) a2+b2-c2 ab 1 (cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:68)cosC = =- =- (cid:26) 2ab 2ab 2 2π (cid:96)CÎ0,π(cid:42)(cid:92)(cid:93)C = (cid:26) 3 3a (cid:59)(cid:51)(cid:130)(cid:10)(cid:20)(cid:105)(cid:106) (cid:26)(cid:91)(cid:41)tanB+tanC =- (cid:42) ccosB ② sinB sinC 3sinA (cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:68) + =- (cid:42) cosB cosC sinCcosB sinBcosC+cosBsinC sinB+C sinA 3sinA (cid:92)(cid:93) = = =- (cid:42) cosBcosC cosBcosC cosBcosC sinCcosB 2π (cid:91)(cid:41)0< A<π(cid:42)(cid:92)(cid:93)sinA¹0(cid:42)(cid:96)cosB¹0(cid:42)(cid:92)(cid:93)tanC=- 3(cid:42)(cid:96)0