专题12解三角形（4大考向真题解读）-解析版_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年08月试卷_08202025版《真题题源解密-专题分类》数学

专题 12 解三角形
命题解读 考向 考查统计
1.高考对解三角形的考查，重点是 2024新高考Ⅰ卷·15
正余弦定理解三角形、三角形面积公
（1）掌握正弦定理、余弦定理及其变 2022新高考Ⅱ卷·18
式
形。 2024新高考Ⅱ卷·15
（2）能利用正弦定理、余弦定理解决 解三角形结合基本不等式 2022新高考Ⅰ卷·18
一些简单的三角形度量问题。 解三角形结合三角形的中线问题 2023新高考Ⅱ卷·17
（3）能够运用正弦定理、余弦定理等
知识和方法解决一些与测量和几何计 解三角形结合三角形的垂线问题 2023新高考Ⅰ卷·17
算有关的实际问题。
命题分析
2024(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:4)(cid:5)Ⅰ(cid:7)(cid:8)Ⅱ(cid:7)(cid:9)(cid:5)(cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:15)(cid:34)(cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:15)(cid:16)
(cid:32)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:11)(cid:13)(cid:14)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:19)(cid:20)(cid:16)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:14)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:16)(cid:49)(cid:50)(cid:23)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:41)(cid:58)(cid:32)(cid:59)(cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:15)(cid:17)(cid:18)(cid:60)(cid:5)(cid:10)
(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:41)(cid:61)(cid:25)(cid:55)(cid:62)(cid:63)(cid:46)(cid:47)(cid:64)(cid:17)(cid:16)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:5)(cid:10)(cid:70)(cid:71)(cid:41)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:55)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:12)(cid:76)(cid:77)(cid:58)(cid:81)(cid:82)2025
(cid:3)(cid:17)(cid:18)(cid:83)(cid:23)(cid:5)(cid:10)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:15)(cid:16)(cid:84)(cid:23)(cid:5)(cid:71)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:16)(cid:89)(cid:76)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:77)(cid:93)(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:41)(cid:97)(cid:98)(cid:35)(cid:16)(cid:99)(cid:96)(cid:36)(cid:100)(cid:18)
(cid:101)(cid:102)(cid:97)(cid:98)(cid:58)
试题精讲
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:21)
1(cid:26)(cid:27)2024(cid:28)(cid:29)(cid:30)Ⅰ(cid:31)·15(cid:32)(cid:33)VABC(cid:34)(cid:35)A(cid:23)B(cid:23)C(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)a(cid:42)b(cid:42)c(cid:42)(cid:43)(cid:44)sinC = 2cosB(cid:42)
a2+b2-c2 = 2ab
(1)(cid:45)B(cid:46)
(2)(cid:47)VABC(cid:36)(cid:48)(cid:49)(cid:41)3+ 3(cid:42)(cid:45)c(cid:26)
π
(cid:50)(cid:25)(cid:51)(cid:52)(1)B=
3
(2)2 2
(cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:52)(cid:27)1(cid:32)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:23)(cid:58)(cid:59)(cid:3)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:45)(cid:63)cosC,sinC(cid:42)(cid:64)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:43)(cid:44)sinC = 2cosB(cid:68)cosB(cid:36)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:46)(cid:27)2(cid:32)(cid:72)(cid:73)(cid:45)(cid:63)A,B,C(cid:42)(cid:74)(cid:65)(cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:71)(cid:76)a,b(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)c(cid:36)(cid:81)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:42)(cid:66)(cid:67)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:81)(cid:70)(cid:71)(cid:87)(cid:59)(cid:88)
(cid:45)(cid:24).
(cid:50)(cid:89)(cid:24)(cid:52)(cid:27)1(cid:32)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:80)a2+b2-c2 =2abcosC(cid:42)(cid:37)(cid:90)(cid:43)(cid:44)a2+b2-c2 = 2ab(cid:42)
a2+b2-c2 2ab 2
(cid:71)(cid:68)cosC = = = (cid:42)
2ab 2ab 2
(cid:91)(cid:41)CÎ0,π(cid:42)(cid:92)(cid:93)sinC >0(cid:42)
2
æ 2ö 2
(cid:94)(cid:95)sinC = 1-cos2C = 1-ç ÷ = (cid:42)
ç ÷
è 2 ø 2
1
(cid:96)(cid:91)(cid:41)sinC = 2cosB(cid:42)(cid:70)cosB= (cid:42)
2
(cid:4)(cid:97)(cid:98)BÎ0,π(cid:42)
π
(cid:92)(cid:93)B= .
3
(cid:27)2(cid:32)(cid:54)(cid:27)1(cid:32)(cid:71)(cid:68)B= π (cid:42)cosC = 2 (cid:42)CÎ0,π(cid:42)(cid:94)(cid:95)C = π (cid:42)A=π- π - π = 5π (cid:42)
3 2 4 3 4 12
æ5πö æπ πö 2 3 2 1 6+ 2
(cid:95)sinA=sinç ÷=sinç + ÷= ´ + ´ = (cid:42)
è12ø è4 6ø 2 2 2 2 4
a b c
= =
(cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:80) 5π π π (cid:42)
sin sin sin
12 3 4
6+ 2 3+1 3 6
(cid:94)(cid:95)a= × 2c= c,b= × 2c= c(cid:42)
4 2 2 2
(cid:54)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:81)(cid:71)(cid:44)(cid:42)VABC(cid:36)(cid:48)(cid:49)(cid:71)(cid:83)(cid:84)(cid:41)
1 1 3+1 6 2 3+ 3
S = absinC = × c× c× = c2(cid:42)
VABC 2 2 2 2 2 8
3+ 3
(cid:54)(cid:43)(cid:44)VABC(cid:36)(cid:48)(cid:49)(cid:41)3+ 3(cid:42)(cid:71)(cid:68) c2 =3+ 3(cid:42)
8
(cid:92)(cid:93)c=2 2.
2(cid:26)(cid:27)2024(cid:28)(cid:29)(cid:30)Ⅱ(cid:31)·15(cid:32)(cid:33)VABC(cid:36)(cid:34)(cid:35)A(cid:42)B(cid:42)C(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)a(cid:42)b(cid:42)c(cid:42)(cid:43)(cid:44)sinA+ 3cosA=2(cid:26)
(1)(cid:45)A(cid:26)
(2)(cid:47)a=2(cid:42) 2bsinC=csin2B(cid:42)(cid:45)VABC(cid:36)(cid:99)(cid:100)(cid:26)
π
(cid:50)(cid:25)(cid:51)(cid:52)(1)A=
6
(2)2+ 6+3 2
(cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:52)(cid:27)1(cid:32)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:35)(cid:7)(cid:81)(cid:37)(cid:105)(cid:106)sinA+ 3cosA=2(cid:107)(cid:108)(cid:16)(cid:109)(cid:110)(cid:15)(cid:70)(cid:71)(cid:45)(cid:24)(cid:42)(cid:111)(cid:112)(cid:59)(cid:113)(cid:114)(cid:71)(cid:115)(cid:78)(cid:116)(cid:35)(cid:85)(cid:35)(cid:117)(cid:13)(cid:36)(cid:3)(cid:60)(cid:24)(cid:59)(cid:88)(cid:118)(cid:42)(cid:119)(cid:71)(cid:115)(cid:78)(cid:120)(cid:13)(cid:42)(cid:121)(cid:122)(cid:13)(cid:122)(cid:49)(cid:7)(cid:81)(cid:42)(cid:123)(cid:124)(cid:7)(cid:81)(cid:24)(cid:125)(cid:46)
(cid:27)2(cid:32)(cid:73)(cid:101)(cid:102)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:38)(cid:35)(cid:126)(cid:16)(cid:127)(cid:63)B(cid:42)(cid:74)(cid:65)(cid:101)(cid:102)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:127)(cid:63)b,c(cid:70)(cid:71)(cid:68)(cid:63)(cid:99)(cid:100).
(cid:50)(cid:89)(cid:24)(cid:52)(cid:27)1(cid:32)(cid:59)(cid:113)(cid:22)(cid:10)(cid:111)(cid:112)(cid:59)(cid:113)(cid:27)(cid:103)(cid:104)(cid:35)(cid:7)(cid:81)(cid:32)
1 3 π
(cid:54)sinA+ 3cosA=2(cid:71)(cid:68) sinA+ cosA=1(cid:42)(cid:70)sin(A+ )=1(cid:42)
2 2 3
π π 4π π π π
(cid:54)(cid:128)AÎ(0,π)Þ A+ Î( , )(cid:42)(cid:129)A+ = (cid:42)(cid:24)(cid:68)A=
3 3 3 3 2 6
(cid:59)(cid:113)(cid:130)(cid:10)(cid:111)(cid:112)(cid:59)(cid:113)(cid:27)(cid:116)(cid:35)(cid:85)(cid:35)(cid:117)(cid:13)(cid:36)(cid:131)(cid:132)(cid:3)(cid:60)(cid:32)
(cid:54)sinA+ 3cosA=2(cid:42)(cid:96)sin2 A+cos2 A=1(cid:42)(cid:133)(cid:134)sin A(cid:68)(cid:98)(cid:10)
3
4cos2 A-4 3cosA+3=0Û(2cosA- 3)2 =0(cid:42)(cid:24)(cid:68)cosA= (cid:42)
2
π
(cid:96)AÎ(0,π)(cid:42)(cid:129)A=
6
(cid:59)(cid:113)(cid:85)(cid:10)(cid:115)(cid:78)(cid:135)(cid:69)(cid:136)(cid:45)(cid:24)
æ πö
(cid:137) f(x)=sinx+ 3cosx(0<x<π)(cid:42)(cid:138) f(x)=2sinçx+ ÷(0<x<π)(cid:42)
è 3ø
π π
(cid:139)(cid:74)x= (cid:140)(cid:42) f(x) =2(cid:42)(cid:4)(cid:97)(cid:98) f(A)=sinA+ 3cosA=2=2sin(A+ )(cid:42)
6 max 3
f(x) = f(A)(cid:42)(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144)(0,π)(cid:145)(cid:146)(cid:98)(cid:64)(cid:147)(cid:69)(cid:42)(cid:128)(cid:148)x= A(cid:149)(cid:57)(cid:148)(cid:135)(cid:69)(cid:136)(cid:42)
max
3
(cid:70) f¢(A)=0=cosA- 3sinA(cid:42)(cid:70)tanA= (cid:42)
3
π
(cid:96)AÎ(0,π)(cid:42)(cid:129)A=
6
(cid:59)(cid:113)(cid:150)(cid:10)(cid:115)(cid:78)(cid:121)(cid:122)(cid:13)(cid:122)(cid:49)(cid:7)(cid:81)(cid:27)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:81)(cid:32)
r r r r
(cid:137)a=(1, 3),b=(sinA,cosA)(cid:42)(cid:54)(cid:21)(cid:97)(cid:42)a×b=sinA+ 3cosA=2(cid:42)
r r r r r r r r
(cid:101)(cid:102)(cid:121)(cid:122)(cid:36)(cid:13)(cid:122)(cid:49)(cid:7)(cid:81)(cid:42)a×b = a b cos a,b =2cos a,b (cid:42)
r r r r r r r r
(cid:138)2cosa,b =2Ûcosa,b =1(cid:42)(cid:155)(cid:140)a,b =0(cid:42)(cid:70)a,b(cid:116)(cid:121)(cid:156)(cid:157)(cid:42)
3
(cid:101)(cid:102)(cid:121)(cid:122)(cid:156)(cid:157)(cid:105)(cid:106)(cid:42)1×cosA= 3×sinAÛtanA= (cid:42)
3
π
(cid:96)AÎ(0,π)(cid:42)(cid:129)A=
6
(cid:59)(cid:113)(cid:158)(cid:10)(cid:115)(cid:78)(cid:123)(cid:124)(cid:7)(cid:81)(cid:45)(cid:24)
A 2t 3(1-t2)
(cid:137)t=tan (cid:42)(cid:101)(cid:102)(cid:123)(cid:124)(cid:7)(cid:81)(cid:42)sinA+ 3cosA=2= + (cid:42)
2 1+t2 1+t2
(cid:159)(cid:15)(cid:71)(cid:68)(cid:42)t2-2(2- 3)t+(2- 3)2 =0=(t-(2- 3))2(cid:42)A 2t 3
(cid:24)(cid:68)tan =t =2- 3(cid:42)(cid:101)(cid:102)(cid:130)(cid:160)(cid:35)(cid:7)(cid:81)(cid:42)tanA= = (cid:42)
2 1-t2 3
π
(cid:96)AÎ(0,π)(cid:42)(cid:129)A=
6
(cid:27)2(cid:32)(cid:54)(cid:21)(cid:137)(cid:105)(cid:106)(cid:161)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)
2bsinC =csin2BÛ 2sinBsinC =2sinCsinBcosB(cid:42)
2 π
(cid:96)B,CÎ(0,π)(cid:42)(cid:138)sinBsinC ¹0(cid:42)(cid:107)(cid:95)cosB= (cid:42)(cid:68)(cid:98)B= (cid:42)
2 4
7π
(cid:128)(cid:148)C =π-A-B= (cid:42)
12
2+ 6
sinC =sin(π-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA= (cid:42)
4
2 b c
a b c = =
(cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:71)(cid:68)(cid:42) = = (cid:42)(cid:70) π π 7π (cid:42)
sinA sinB sinC sin sin sin
6 4 12
(cid:24)(cid:68)b=2 2,c= 6+ 2(cid:42)
(cid:129)VABC(cid:36)(cid:99)(cid:100)(cid:41)2+ 6+3 2
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:21)
cosA sin2B
1(cid:26)(cid:27)2022(cid:28)(cid:29)(cid:30)Ⅰ(cid:31)·18(cid:32)(cid:33)VABC(cid:36)(cid:34)(cid:35)A(cid:42)B(cid:42)C(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)a(cid:42)b(cid:42)c(cid:42)(cid:43)(cid:44) = (cid:26)
1+sinA 1+cos2B
2p
(1)(cid:47)C = (cid:42)(cid:45)B(cid:46)
3
a2 + b2
(2)(cid:45) (cid:36)(cid:64)(cid:162)(cid:69)(cid:26)
c2
π
(cid:50)(cid:25)(cid:51)(cid:52)(1) (cid:46)
6
(2)4 2-5(cid:26)
cosA sin2B
(cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:52)(cid:27)1(cid:32)(cid:101)(cid:102)(cid:130)(cid:160)(cid:35)(cid:7)(cid:81)(cid:93)(cid:163)(cid:164)(cid:35)(cid:165)(cid:36)(cid:55)(cid:56)(cid:7)(cid:81)(cid:71)(cid:76) = (cid:16)(cid:166)cosA+B=sinB(cid:42)(cid:167)
1+sinA 1+cos2B
π
(cid:66)(cid:67)0<B< (cid:42)(cid:70)(cid:71)(cid:45)(cid:63)(cid:46)
2
π π a2 + b2
(cid:27)2(cid:32)(cid:54)(cid:27)1(cid:32)(cid:44)(cid:42)C = +B(cid:42)A= -2B(cid:42)(cid:167)(cid:115)(cid:78)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:93)(cid:163)(cid:130)(cid:160)(cid:35)(cid:7)(cid:81)(cid:76) (cid:16)(cid:166)
2 2 c22
4cos2B+ -5(cid:42)(cid:74)(cid:65)(cid:115)(cid:78)(cid:131)(cid:132)(cid:153)(cid:154)(cid:81)(cid:70)(cid:71)(cid:24)(cid:63)(cid:26)
cos2B
cosA sin2B 2sinBcosB sinB
(cid:50)(cid:89)(cid:24)(cid:52)(cid:27)1(cid:32)(cid:91)(cid:41) = = = (cid:42)(cid:70)
1+sinA 1+cos2B 2cos2B cosB
1
sinB=cosAcosB-sinAsinB=cosA+B=-cosC = (cid:42)
2
π π
(cid:95)0<B< (cid:42)(cid:92)(cid:93)B= (cid:46)
2 6
π π
(cid:27)2(cid:32)(cid:54)(cid:27)1(cid:32)(cid:44)(cid:42)sinB=-cosC >0(cid:42)(cid:92)(cid:93) <C<π,0<B< (cid:42)
2 2
æ πö
(cid:95)sinB=-cosC =sinçC- ÷(cid:42)
è 2ø
π π æ pö æp 3pö
(cid:92)(cid:93)C = +B(cid:42)(cid:70)(cid:80)A= -2B(cid:42)(cid:92)(cid:93)BÎç0, ÷,CÎç , ÷
2 2 è 4ø è 2 4 ø
a2+b2 sin2 A+sin2B cos22B+1-cos2B
(cid:92)(cid:93) = =
c2 sin2C cos2B
=
 2cos2B-1 2 +1-cos2B
=4cos2B+ 2 -5³2 8-5=4 2-5 (cid:26)
cos2B cos2B
2 a2 + b2
(cid:168)(cid:169)(cid:170)(cid:168)cos2B= (cid:140)(cid:146)(cid:154)(cid:9)(cid:42)(cid:92)(cid:93) (cid:36)(cid:64)(cid:162)(cid:69)(cid:41)4 2-5(cid:26)
2 c2
2(cid:26)(cid:27)2023(cid:28)(cid:29)(cid:30)Ⅰ(cid:31)·17(cid:32)(cid:43)(cid:44)(cid:141)VABC(cid:171)(cid:42)A+B=3C,2sinA-C=sinB(cid:26)
(1)(cid:45)sinA(cid:46)
(2)(cid:137)AB=5(cid:42)(cid:45)AB(cid:38)(cid:145)(cid:36)(cid:29)(cid:26)
3 10
(cid:50)(cid:25)(cid:51)(cid:52)(1)
10
(2)6
(cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:52)(cid:27)1(cid:32)(cid:101)(cid:102)(cid:35)(cid:36)(cid:3)(cid:60)(cid:163)(cid:164)(cid:35)(cid:161)(cid:165)(cid:75)(cid:56)(cid:7)(cid:81)(cid:42)(cid:16)(cid:109)(cid:70)(cid:71)(cid:68)(cid:24)(cid:46)
(cid:27)2(cid:32)(cid:115)(cid:78)(cid:116)(cid:35)(cid:172)(cid:144)(cid:36)(cid:85)(cid:35)(cid:117)(cid:13)(cid:131)(cid:132)(cid:3)(cid:60)(cid:163)(cid:164)(cid:35)(cid:161)(cid:36)(cid:75)(cid:56)(cid:7)(cid:81)(cid:45)sinB,(cid:167)(cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:45)(cid:63)b(cid:42)(cid:101)(cid:102)(cid:154)(cid:48)(cid:49)(cid:113)
(cid:45)(cid:24)(cid:70)(cid:71).
(cid:50)(cid:89)(cid:24)(cid:52)(cid:27)1(cid:32)QA+B=3C(cid:42)
π
\π-C =3C(cid:42)(cid:70)C = (cid:42)
4
(cid:96)2sin(A-C)=sinB=sin(A+C)(cid:42)
\2sinAcosC-2cosAsinC =sinAcosC+cosAsinC(cid:42)
\sinAcosC =3cosAsinC(cid:42)
\sinA=3cosA(cid:42)π
(cid:70)tanA=3(cid:42)(cid:92)(cid:93)0<A< (cid:42)
2
3 3 10
\sinA= = .
10 10
1 10
(cid:27)2(cid:32)(cid:54)(cid:27)1(cid:32)(cid:44)(cid:42)cosA= = (cid:42)
10 10
2 3 10 10 2 5
(cid:54)sinB=sin(A+C) =sinAcosC+cosAsinC = ( + )= (cid:42)
2 10 10 5
2 5
5´
c b 5
(cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:42) = (cid:42)(cid:71)(cid:68)b= =2 10(cid:42)
sinC sinB 2
2
1 1
\ AB×h= AB×AC×sinA(cid:42)
2 2
3 10
\h=b×sinA=2 10´ =6.
10
3(cid:26)(cid:27)2022(cid:28)(cid:29)(cid:30)Ⅱ(cid:31)·18(cid:32)(cid:33)VABC(cid:36)(cid:34)(cid:35)A(cid:42)B(cid:42)C(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)a(cid:42)b(cid:42)c(cid:42)(cid:39)(cid:40)(cid:93)a(cid:42)b(cid:42)c(cid:41)(cid:38)(cid:100)(cid:36)(cid:85)(cid:173)
3 1
(cid:75)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:36)(cid:48)(cid:49)(cid:61)(cid:62)(cid:41)S ,S ,S (cid:42)(cid:43)(cid:44)S -S +S = ,sinB= (cid:26)
1 2 3 1 2 3 2 3
(1)(cid:45)VABC(cid:36)(cid:48)(cid:49)(cid:46)
2
(2)(cid:47)sinAsinC = (cid:42)(cid:45)b(cid:26)
3
2
(cid:50)(cid:25)(cid:51)(cid:52)(1)
8
1
(2)
2
3
(cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:52)(cid:27)1(cid:32)(cid:73)(cid:83)(cid:84)(cid:63)S ,S ,S (cid:42)(cid:167)(cid:54)S -S +S = (cid:45)(cid:68)a2+c2-b2 =2(cid:42)(cid:66)(cid:67)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:163)(cid:58)(cid:59)(cid:3)(cid:60)(cid:45)(cid:68)
1 2 3 1 2 3 2
ac(cid:42)(cid:167)(cid:54)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:81)(cid:45)(cid:24)(cid:70)(cid:71)(cid:46)
b2 ac
(cid:27)2(cid:32)(cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:68) = (cid:42)(cid:70)(cid:71)(cid:45)(cid:24).
sin2B sinAsinC
1 3 3 3 3
(cid:50)(cid:89)(cid:24)(cid:52)(cid:27)1(cid:32)(cid:54)(cid:21)(cid:97)(cid:68)S = ×a2× = a2,S = b2,S = c2(cid:42)(cid:138)
1 2 2 4 2 4 3 4
3 3 3 3
S -S +S = a2- b2+ c2 = (cid:42)
1 2 3 4 4 4 2
a2+c2-b2 1
(cid:70)a2+c2-b2 =2(cid:42)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:68)cosB= (cid:42)(cid:159)(cid:15)(cid:68)accosB=1(cid:42)(cid:138)cosB>0(cid:42)(cid:96)sinB= (cid:42)
2ac 32
æ1ö 2 2 1 3 2 1 2
(cid:138)cosB= 1-ç ÷ = (cid:42)ac= = (cid:42)(cid:138)S = acsinB= (cid:46)
è3ø 3 cosB 4 VABC 2 8
3 2
b a c b2 a c ac 4 9 b 3
(cid:27)2(cid:32)(cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:68)(cid:10) = = (cid:42)(cid:138) = × = = = (cid:42)(cid:138) = (cid:42)
sinB sinA sinC sin2B sinA sinC sinAsinC 2 4 sinB 2
3
3 1
b= sinB= .
2 2
4(cid:26)(cid:27)2023(cid:28)(cid:29)(cid:30)Ⅱ(cid:31)·17(cid:32)(cid:33)VABC(cid:36)(cid:34)(cid:35)A,B,C(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)a,b,c(cid:42)(cid:43)(cid:44)VABC(cid:36)(cid:48)(cid:49)(cid:41)
3
(cid:42)D(cid:41)BC
(cid:171)(cid:136)(cid:42)(cid:169)AD=1(cid:26)
π
(1)(cid:47)ÐADC = (cid:42)(cid:45)tanB(cid:46)
3
(2)(cid:47)b2+c2 =8(cid:42)(cid:45)b,c(cid:26)
3
(cid:50)(cid:25)(cid:51)(cid:52)(1) (cid:46)
5
(2)b=c=2.
(cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:52)(cid:27)1(cid:32)(cid:59)(cid:113)1(cid:42)(cid:115)(cid:78)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:81)(cid:45)(cid:63)a(cid:42)(cid:167)(cid:115)(cid:78)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:45)(cid:24)(cid:174)(cid:25)(cid:46)(cid:59)(cid:113)2(cid:42)(cid:115)(cid:78)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:48)(cid:49)
(cid:7)(cid:81)(cid:45)(cid:63)a(cid:42)(cid:174)(cid:63)BC(cid:38)(cid:145)(cid:36)(cid:29)(cid:42)(cid:115)(cid:78)(cid:175)(cid:35)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:45)(cid:24)(cid:174)(cid:25).
(cid:27)2(cid:32)(cid:59)(cid:113)1(cid:42)(cid:115)(cid:78)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:45)(cid:63)a(cid:42)(cid:167)(cid:115)(cid:78)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:81)(cid:45)(cid:63)ÐADC(cid:70)(cid:71)(cid:45)(cid:24)(cid:174)(cid:25)(cid:46)(cid:59)(cid:113)2(cid:42)(cid:115)(cid:78)(cid:121)(cid:122)
(cid:176)(cid:127)(cid:177)(cid:178)(cid:179)(cid:3)(cid:60)(cid:45)(cid:63)a(cid:42)(cid:167)(cid:115)(cid:78)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:81)(cid:45)(cid:63)ÐADC(cid:70)(cid:71)(cid:45)(cid:24)(cid:174)(cid:25).
π
(cid:50)(cid:89)(cid:24)(cid:52)(cid:27)1(cid:32)(cid:59)(cid:113)1(cid:10)(cid:141)VABC(cid:171)(cid:42)(cid:91)(cid:41)D(cid:41)BC(cid:171)(cid:136)(cid:42)ÐADC = (cid:42)AD=1(cid:42)
3
1 1 1 3 3 1 3
(cid:138)S = AD×DCsinÐADC = ´1´ a´ = a= S = (cid:42)(cid:24)(cid:68)a=4(cid:42)
VADC 2 2 2 2 8 2 VABC 2
2π
(cid:141)△ABD(cid:171)(cid:42)ÐADB= (cid:42)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:68)c2 =BD2+AD2-2BD×ADcosÐADB(cid:42)
3
1 7+4-1 5 7
(cid:70)c2 =4+1-2´2´1´(- )=7(cid:42)(cid:24)(cid:68)c= 7(cid:42)(cid:138)cosB= = (cid:42)
2 2 7´2 14
5 7 21
sinB= 1-cos2B = 1-( )2 = (cid:42)
14 14
sinB 3
(cid:92)(cid:93)tanB= = .
cosB 5π
(cid:59)(cid:113)2(cid:10)(cid:141)VABC(cid:171)(cid:42)(cid:91)(cid:41)D(cid:41)BC(cid:171)(cid:136)(cid:42)ÐADC = (cid:42)AD=1(cid:42)
3
1 1 1 3 3 1 3
(cid:138)S = AD×DCsinÐADC = ´1´ a´ = a= S = (cid:42)(cid:24)(cid:68)a=4(cid:42)
VADC 2 2 2 2 8 2 VABC 2
(cid:141)VACD(cid:171)(cid:42)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:68)b2 =CD2+AD2-2CD×ADcosÐADC(cid:42)
(cid:70)b2 =4+1-2´2´1´ 1 =3(cid:42)(cid:24)(cid:68)b= 3(cid:42)(cid:80)AC2+AD2 =4=CD2(cid:42)(cid:138)ÐCAD= π(cid:42)
2 2
π 3 3 5
C = (cid:42)(cid:180)A(cid:174)AE^BC(cid:128)E(cid:42)(cid:128)(cid:148)CE= ACcosC = ,AE= ACsinC = (cid:42)BE= (cid:42)
6 2 2 2
AE 3
(cid:92)(cid:93)tanB= = .
BE 5
ì 1 1
c2 = a2+1-2´ a´1´cos(π-ÐADC)
ï
ï 4 2
(cid:27)2(cid:32)(cid:59)(cid:113)1(cid:10)(cid:141)△ABD(cid:181)VACD(cid:171)(cid:42)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:68)í (cid:42)
ï b2 = 1 a2+1-2´ 1 a´1´cosÐADC
ïî 4 2
1
(cid:159)(cid:15)(cid:68) a2+2=b2+c2(cid:42)(cid:95)b2+c2 =8(cid:42)(cid:138)a=2 3(cid:42)
2
1 3 π
(cid:96)S = ´ 3´1´sinÐADC = (cid:42)(cid:24)(cid:68)sinÐADC =1(cid:42)(cid:95)0<ÐADC<π(cid:42)(cid:128)(cid:148)ÐADC = (cid:42)
VADC 2 2 2
(cid:92)(cid:93) b=c= AD2+CD2 =2.
r r r r r r
(cid:59)(cid:113)2(cid:10)(cid:141)VABC(cid:171)(cid:42)(cid:91)(cid:41)D(cid:41)BC(cid:171)(cid:136)(cid:42)(cid:138)2AD= AB+AC(cid:42)(cid:96)CB= AB-AC(cid:42)
r r r r r r
(cid:128)(cid:148)4AD 2 +CB 2 =(AB+AC)2+(AB-AC)2 =2(b2+c2)=16(cid:42)(cid:70)4+a2 =16(cid:42)(cid:24)(cid:68)a=2 3(cid:42)
1 3 π
(cid:96)S = ´ 3´1´sinÐADC = (cid:42)(cid:24)(cid:68)sinÐADC =1(cid:42)(cid:95)0<ÐADC<π(cid:42)(cid:128)(cid:148)ÐADC = (cid:42)
VADC 2 2 2
(cid:92)(cid:93) b=c= AD2+CD2 =2.
(cid:22)(cid:23)(cid:131)(cid:132)(cid:57)(cid:15)(cid:7)(cid:81)
(cid:27)1(cid:32)(cid:75)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:10)(cid:141) ABC(cid:171)(cid:42)(cid:35)A(cid:42)B(cid:42)C(cid:92)(cid:37)(cid:36)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:148)a(cid:42)b(cid:42)c(cid:42)R(cid:41) ABC(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:185)(cid:186)(cid:42)(cid:138)
(cid:57)(cid:15) (cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15) (cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)
△ △
a2 =b2 +c2 -2bccosA(cid:46)
a b c
(cid:7)(cid:81) = = =2R b2 =c2 +a2 -2accosB(cid:46)
sinA sinB sinC
c2 =a2 +b2 -2abcosC(cid:26)b2 +c2 -a2
cosA= (cid:46)
(cid:27)1(cid:32)a=2RsinA(cid:42)b=2RsinB(cid:42)c=2RsinC(cid:46) 2bc
a b c c2 +a2 -b2
(cid:111)(cid:187)(cid:188)(cid:86) (cid:27)2(cid:32)sinA= (cid:42)sinB= (cid:42)sinC= (cid:46) cosB= (cid:46)
2R 2R 2R 2ac
a2 +b2 -c2
cosC= (cid:26)
2ab
(cid:27)2(cid:32)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:81)(cid:10)
1 1 1
S ABC = absinC = bcsinA= acsinB
D
2 2 2
abc 1
S ABC = = (a+b+c)×r(cid:27)r(cid:148)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:34)(cid:189)(cid:184)(cid:36)(cid:185)(cid:186)(cid:42)(cid:190)(cid:71)(cid:54)(cid:155)(cid:191)(cid:127)R(cid:42)r(cid:26)(cid:32)
D
4R 2
(cid:130)(cid:23)(cid:192)(cid:3)(cid:193)(cid:78)
(cid:27)1(cid:32)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:36)(cid:193)(cid:78)
(cid:38)(cid:16)(cid:35)(cid:42)(cid:35)(cid:16)(cid:38)Ûa:b:c=sinA:sinB:sinC
(cid:147)(cid:38)(cid:37)(cid:147)(cid:35) (cid:147)(cid:35)(cid:37)(cid:147)(cid:38)
①
②a>bÛ A>BÛsinA>sinBÛcosA<cosB
a+b+c a+b b+c a+c a b c
(cid:67)(cid:39)(cid:90)(cid:10) = = = = = = =2R
sinA+sinB+sinC sinA+sinB sinB+sinC sinA+sinC sinA sinB sinC
③
(cid:27)2(cid:32)(cid:194)ABC(cid:34)(cid:35)(cid:161)(cid:57)(cid:15)(cid:10)A+B+C =p
sinC =sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB Ûc=acosB+bcosA
①(cid:116)(cid:15)(cid:80)(cid:10)a=bcosC+ccosB(cid:42)b=ccosA+acosC(cid:26)
-cosC =cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB(cid:46)
② tanA+tanB
(cid:195)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:171)(cid:42)-tanC =tan(A+B)= ÛtanA+tanB+tanC=tanA×tanB×tanC
1-tanA×tanB
③
A+B C A+B C
sin( )=cos (cid:46)cos( )=sin
2 2 2 2
④
p 2p
(cid:141)DABC (cid:171)(cid:42)(cid:34)(cid:35)A(cid:42)B(cid:42)C(cid:166)(cid:154)(cid:165)(cid:13)(cid:87)Û B= ,A+C = (cid:26)
3 3
⑤
(cid:85)(cid:23)(cid:196)(cid:197)(cid:193)(cid:78)
(cid:27)1(cid:32)(cid:198)(cid:35)(cid:161)(cid:199)(cid:35)
(cid:141)(cid:200)(cid:157)(cid:161)(cid:201)(cid:58)(cid:157)(cid:92)(cid:166)(cid:36)(cid:35)(cid:171)(cid:42)(cid:200)(cid:157)(cid:141)(cid:201)(cid:58)(cid:157)(cid:145)(cid:59)(cid:36)(cid:35)(cid:202)(cid:198)(cid:35)(cid:42)(cid:141)(cid:201)(cid:58)(cid:157)(cid:203)(cid:59)(cid:36)(cid:35)(cid:202)(cid:199)(cid:35)(cid:27)(cid:204)(cid:205) (cid:32)(cid:26)
①
(cid:27)2(cid:32)(cid:59)(cid:206)(cid:35)
(cid:94)(cid:207)(cid:208)(cid:59)(cid:121)(cid:209)(cid:140)(cid:210)(cid:211)(cid:98)(cid:212)(cid:213)(cid:59)(cid:121)(cid:157)(cid:36)(cid:201)(cid:58)(cid:35)(cid:42)(cid:204)B(cid:136)(cid:36)(cid:59)(cid:206)(cid:35)(cid:41)α(cid:27)(cid:204)(cid:205) (cid:32)(cid:26)
②(cid:27)3(cid:32)(cid:59)(cid:121)(cid:35)(cid:10)(cid:192)(cid:37)(cid:128)(cid:214)(cid:22)(cid:75)(cid:59)(cid:121)(cid:36)(cid:201)(cid:58)(cid:35)(cid:26)
(cid:208)(cid:215)(cid:216)α(cid:42)(cid:70)(cid:54)(cid:207)(cid:208)(cid:59)(cid:121)(cid:209)(cid:140)(cid:210)(cid:217)(cid:211)α(cid:98)(cid:218)(cid:212)(cid:213)(cid:59)(cid:121)(cid:27)(cid:204)(cid:205) (cid:32)(cid:26)
①
(cid:208)(cid:215)(cid:152)α(cid:42)(cid:70)(cid:54)(cid:207)(cid:208)(cid:59)(cid:121)(cid:219)(cid:140)(cid:210)(cid:217)(cid:211)α(cid:98)(cid:218)(cid:212)(cid:213)(cid:59)(cid:121)(cid:26)
③
(cid:220)(cid:215)(cid:152)(cid:154)(cid:221)(cid:222)(cid:59)(cid:121)(cid:35)(cid:223)(cid:224)(cid:26)
②
(cid:27)4(cid:32)(cid:225)(cid:35)(cid:181)(cid:225)(cid:226)
③
(cid:225)(cid:35)(cid:10)(cid:225)(cid:48)(cid:181)(cid:201)(cid:58)(cid:48)(cid:92)(cid:166)(cid:36)(cid:130)(cid:48)(cid:35)(cid:36)(cid:226)(cid:13)(cid:27)(cid:204)(cid:205) (cid:42)(cid:35)θ(cid:41)(cid:225)(cid:35)(cid:32)(cid:26)
(cid:225)(cid:226)(cid:10)(cid:225)(cid:48)(cid:36)(cid:227)(cid:175)(cid:29)(cid:226)(cid:181)(cid:201)(cid:58)(cid:100)(cid:226)(cid:172)(cid:90)(cid:27)(cid:204)(cid:205) (cid:42)i(cid:41)(cid:225)(cid:226)(cid:32)(cid:26)(cid:225)(cid:226)(cid:96)(cid:228)(cid:41)(cid:225)(cid:90)(cid:26)
① ④
(cid:50)(cid:24)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:111)(cid:78)(cid:66)(cid:229)(cid:52)
② ④
1(cid:23)(cid:59)(cid:113)(cid:230)(cid:231)(cid:10)(cid:24)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:232)(cid:24)(cid:233)(cid:234)
(cid:141) ABC(cid:171)(cid:42)(cid:43)(cid:44)a(cid:42)b(cid:161)A(cid:140)(cid:42)(cid:24)(cid:36)(cid:233)(cid:234)(cid:204)(cid:203)(cid:10)
A(cid:41)(cid:235)(cid:35) A(cid:41)(cid:236)(cid:35)(cid:237)(cid:175)(cid:35)
△
(cid:205)(cid:86)
(cid:3)(cid:60)(cid:81) a=bsinA bsinA<a<b a³b a>b a£b
(cid:24)(cid:36)(cid:173)(cid:13) (cid:22)(cid:24) (cid:164)(cid:24) (cid:22)(cid:24) (cid:22)(cid:24) (cid:238)(cid:24)
2(cid:23)(cid:141)(cid:24)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:21)(cid:212)(cid:171)(cid:42)(cid:47)(cid:43)(cid:44)(cid:105)(cid:106)(cid:116)(cid:140)(cid:79)(cid:80)(cid:38)(cid:161)(cid:35)(cid:42)(cid:239)(cid:153)(cid:124)(cid:175)(cid:183)(cid:240)(cid:78)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:237)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:68)(cid:98)(cid:25)(cid:51)(cid:42)(cid:241)(cid:20)
(cid:242)“(cid:38)(cid:16)(cid:35)”(cid:237)“(cid:35)(cid:16)(cid:38)”(cid:42)(cid:188)(cid:243)(cid:244)(cid:138)(cid:111)(cid:78)(cid:10)
(cid:27)1(cid:32)(cid:47)(cid:81)(cid:82)(cid:79)(cid:80)sinx(cid:36)(cid:245)(cid:62)(cid:81)(cid:42)(cid:246)(cid:73)(cid:30)(cid:247)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:42)“(cid:35)(cid:16)(cid:38)”(cid:46)
(cid:27)2(cid:32)(cid:47)(cid:81)(cid:82)(cid:79)(cid:80)a,b,c(cid:36)(cid:245)(cid:62)(cid:81)(cid:42)(cid:246)(cid:73)(cid:30)(cid:247)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:42)“(cid:38)(cid:16)(cid:35)”(cid:46)
(cid:27)3(cid:32)(cid:47)(cid:81)(cid:82)(cid:79)(cid:80)cosx(cid:36)(cid:245)(cid:62)(cid:81)(cid:42)(cid:246)(cid:73)(cid:30)(cid:247)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:42)“(cid:35)(cid:16)(cid:38)”(cid:46)
(cid:27)4(cid:32)(cid:248)(cid:13)(cid:188)(cid:86)(cid:237)(cid:249)(cid:85)(cid:35)(cid:250)(cid:154)(cid:188)(cid:243)(cid:251)(cid:252)(cid:46)
(cid:27)5(cid:32)(cid:79)(cid:80)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:81)(cid:36)(cid:253)(cid:21)(cid:42)(cid:241)(cid:30)(cid:247)(cid:66)(cid:67)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:240)(cid:78)(cid:46)
(cid:27)6(cid:32)(cid:116)(cid:140)(cid:63)(cid:254)(cid:164)(cid:173)(cid:255)(cid:54)(cid:35)(cid:27)(cid:237)(cid:85)(cid:173)(cid:255)(cid:54)(cid:35)(cid:32)(cid:140)(cid:42)(cid:241)(cid:78)(cid:98)A+B+C =p(cid:26)
3(cid:23)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:171)(cid:36)(cid:256)(cid:257)(cid:57)(cid:15)
(cid:141)VABC (cid:171)(cid:42)a =bcosC+ccosB(cid:46)b=acosC+ccosA(cid:46)c=bcosA+acosB(cid:26)
(cid:22)(cid:23)(cid:258)(cid:20)(cid:21)
π
1(cid:26)(cid:27)2024·(cid:259)(cid:260)(cid:261)(cid:262)(cid:201)·(cid:85)(cid:263)(cid:32)(cid:141)VABC(cid:171)(cid:42)AB=2(cid:42)AC =3(cid:42) ÐA= (cid:42)(cid:138)VABC(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:36)(cid:185)(cid:186)(cid:41)(cid:27)(cid:264)(cid:264)(cid:32)
3
7 21 2 7 2 21
A(cid:26) B(cid:26) C(cid:26) D(cid:26)
3 3 3 3
(cid:50)(cid:25)(cid:51)(cid:52)B(cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:52)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:71)(cid:68)BC(cid:36)(cid:69)(cid:42)(cid:167)(cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:71)(cid:68)VABC(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:36)(cid:185)(cid:186)(cid:26)
π
(cid:50)(cid:89)(cid:24)(cid:52)(cid:91)(cid:41)AB=2(cid:42)AC =3(cid:42) ÐA= (cid:42)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:71)(cid:68)(cid:10)
3
3
BC = AB2+AC2-4AB×ACcosA = 4+9-2´2´3´ = 7(cid:42)
2
BC 7
2R= = 21
(cid:137)VABC(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:36)(cid:185)(cid:186)(cid:41)R(cid:42)(cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:71)(cid:68)(cid:10) sinA 3 (cid:42)(cid:138)R= (cid:26)
3
7
(cid:129)(cid:20)(cid:10)B(cid:26)
1
2(cid:26)(cid:27)2024·(cid:265)(cid:220)·(cid:85)(cid:263)(cid:32)(cid:141)VABC(cid:171)(cid:42)AB=3 2,cosÐBAC =- ,AD^ AC(cid:42)(cid:169)AD(cid:266)BC(cid:128)(cid:136)D(cid:42)AD=3(cid:42)
3
(cid:138)sinC =(cid:27) (cid:32)
1 3 6 2 2
A(cid:26) B(cid:26) C(cid:26) D(cid:26)
3 3 3 3
(cid:50)(cid:25)(cid:51)(cid:52)B
(cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:52)(cid:115)(cid:78)(cid:267)(cid:120)(cid:7)(cid:81)(cid:45)(cid:63)cosÐBAD(cid:42)(cid:167)(cid:115)(cid:78)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:45)(cid:63)BD(cid:163)cosÐADB(cid:70)(cid:71)(cid:68)(cid:24).
1 π 1
(cid:50)(cid:89)(cid:24)(cid:52)(cid:54)cosÐBAC =- ,AD^ AC(cid:42)(cid:68)sinÐBAD=sin(ÐBAC- )=-cosÐBAC = (cid:42)
3 2 3
1 2 2
(cid:95)ÐBAD(cid:41)(cid:235)(cid:35)(cid:42)(cid:138)cosÐBAD= 1-( )2 = (cid:42)
3 3
2 2
(cid:141)△ABD(cid:171)(cid:42)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:68)BD= (3 2)2+32-2´3 2´3´ = 3(cid:42)
3
32+( 3)2-(3 2)2 3
(cid:92)(cid:93)sinC =cosÐADC =-cosÐADB=- = .
2´3´ 3 3
(cid:129)(cid:20)(cid:10)B
r r r
3(cid:26)(cid:27)2024·(cid:268)(cid:269)(cid:208)(cid:270)·(cid:85)(cid:263)(cid:32)(cid:141)VABC(cid:171)(cid:42) AB =2 2(cid:42)O(cid:41)VABC(cid:182)(cid:271)(cid:42)(cid:169)AO×AC =1(cid:42)(cid:138)ÐABC(cid:36)(cid:64)(cid:147)
(cid:69)(cid:41)(cid:27) (cid:32)
A(cid:26)30° B(cid:26)45° C(cid:26)60° D(cid:26)90°
(cid:50)(cid:25)(cid:51)(cid:52)A
(cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:52)r r 1r
(cid:101)(cid:102)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:182)(cid:271)(cid:272)(cid:273)(cid:163)(cid:13)(cid:122)(cid:49)(cid:36)(cid:274)(cid:275)(cid:97)(cid:276)(cid:42)(cid:71)(cid:68)AO(cid:141)AC(cid:59)(cid:121)(cid:145)(cid:36)(cid:277)(cid:257)(cid:121)(cid:122)(cid:41) AC(cid:42)(cid:94)(cid:95)(cid:45)(cid:68)
2
r
AC = 2(cid:42)(cid:167)(cid:101)(cid:102)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:163)(cid:131)(cid:132)(cid:153)(cid:154)(cid:81)(cid:71)(cid:45)(cid:68)(cid:64)(cid:69)(cid:26)
(cid:50)(cid:89)(cid:24)(cid:52)
r r 1r
(cid:54)O(cid:41) ABC(cid:182)(cid:271)(cid:42)(cid:71)(cid:68)AO(cid:141)AC(cid:59)(cid:121)(cid:145)(cid:36)(cid:277)(cid:257)(cid:121)(cid:122)(cid:41) AC(cid:42)
2
r △r 1r
2
r
(cid:138)AO×AC = AC =1(cid:42)(cid:129) AC = 2(cid:42)
2
r r
(cid:96) AB =2 2(cid:42)(cid:137) BC =a(cid:42)
 2  2
(cid:138)
2 2 +a2- 2 6+a2
cosÐABC = =
2´2 2a 4 2a
3 a 3 a 3
= + ³2 ´ = (cid:42)
2 2a 4 2 2 2a 4 2 2
(cid:168)(cid:169)(cid:170)(cid:168)a= 6(cid:140)(cid:154)(cid:9)(cid:166)(cid:179)(cid:42)
(cid:54)0°(cid:278)ÐABC(cid:278)180°(cid:71)(cid:44)(cid:42)0°(cid:278)ÐABC£30°(cid:42)
(cid:129)ÐABC(cid:36)(cid:64)(cid:147)(cid:69)(cid:41)30°(cid:26)
(cid:129)(cid:20)(cid:10)A(cid:26)
4(cid:26)(cid:27)2024·(cid:279)(cid:152)(cid:280)(cid:244)·(cid:85)(cid:263)(cid:32)(cid:43)(cid:44)VABC (cid:171)(cid:42)A=120o(cid:42)D(cid:148)BC(cid:36)(cid:171)(cid:136)(cid:42)(cid:169) AD=1(cid:42)(cid:138)VABC (cid:48)(cid:49)(cid:36)(cid:64)(cid:147)
(cid:69)(cid:27) (cid:32)
A(cid:26) 3 B(cid:26)2 3 C(cid:26)1 D(cid:26)2
(cid:50)(cid:25)(cid:51)(cid:52)A
(cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:52)(cid:115)(cid:78)(cid:171)(cid:157)(cid:68)(cid:98)4=b2+c2-bc(cid:42)(cid:66)(cid:67)(cid:153)(cid:154)(cid:81)(cid:68)(cid:63)bc£4(cid:42)(cid:107)(cid:95)(cid:68)(cid:98)(cid:48)(cid:49)(cid:36)(cid:64)(cid:147)(cid:69).
r r r r 1
(cid:50)(cid:89)(cid:24)(cid:52)(cid:91)(cid:41)A=120o(cid:42)(cid:92)(cid:93)AB×AC = AB AC cos120°=- bc(cid:42)
2
r 1 r r  r 2 1r 2 r 2 r r
(cid:91)(cid:41)AD(cid:148)(cid:171)(cid:157)(cid:42)(cid:92)(cid:93)AD= AB+AC (cid:42)AD = AB +AC +2AB×AC (cid:42)
2 4
(cid:92)(cid:93)4=b2+c2-bc³bc(cid:42)(cid:168)(cid:169)(cid:170)(cid:168)b=c(cid:140)(cid:42)(cid:154)(cid:9)(cid:166)(cid:179)(cid:46)
1 1 3
VABC (cid:48)(cid:49)(cid:41)S = bcsinA£ ´4´ = 3.
2 2 2
(cid:129)(cid:20)(cid:10)A
a b 3c
5(cid:26)(cid:27)2024·(cid:265)(cid:220)·(cid:85)(cid:263)(cid:32)(cid:141)VABC(cid:171)(cid:42)(cid:35)A(cid:42)B(cid:42)C(cid:92)(cid:37)(cid:36)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)a(cid:42)b(cid:42)c(cid:26)(cid:47) + = (cid:42)(cid:138)tan A+tanC
cosA cosB cosC
(cid:36)(cid:64)(cid:162)(cid:69)(cid:148)(cid:27) (cid:32)
4 8
A(cid:26) B(cid:26) C(cid:26)2 3 D(cid:26)4
3 3(cid:50)(cid:25)(cid:51)(cid:52)B
(cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:52)(cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:68)tan A+tanB =3tanC (cid:42)(cid:167)(cid:281)(cid:180)(cid:164)(cid:35)(cid:161)(cid:36)(cid:75)(cid:189)(cid:7)(cid:81)(cid:68)tanAtanB=4(cid:42)(cid:64)(cid:65)(cid:240)(cid:78)(cid:131)(cid:132)(cid:153)
(cid:154)(cid:81)(cid:45)(cid:24)(cid:70)(cid:71).
a b 3c
(cid:50)(cid:89)(cid:24)(cid:52)(cid:91)(cid:41) + = (cid:42)
cosA cosB cosC
sinA sinB 3sinC
(cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:68) + = (cid:42)
cosA cosB cosC
(cid:92)(cid:93)tan A+tanB =3tanC (cid:42)
(cid:96)(cid:91)(cid:41)C =π-(A+B)(cid:42)
tanA+tanB
(cid:92)(cid:93)tanA+tanB=-3 (cid:42)
1-tanAtanB
3
(cid:92)(cid:93)1= (cid:42)
tanAtanB-1
(cid:70)tanAtanB=4.
4 1 1æ 4 ö
(cid:92)(cid:93)tanB= ,tanC= (tanA+tanB)= çtanA+ ÷(cid:42)
tanA 3 3è tanAø
(cid:139)(cid:74)tanA(cid:149)(cid:41)(cid:75)(cid:27)(cid:282)(cid:138)tanA(cid:161)tanC(cid:283)(cid:41)(cid:284)(cid:42)(cid:285)(cid:164)(cid:173)(cid:236)(cid:35)(cid:32)(cid:42)
4 4 16 8
(cid:92)(cid:93)tanA+tanC = tanA+ ³2 = (cid:42)
3 3tanA 9 3
4 4 π
(cid:168)(cid:169)(cid:170)(cid:168) tanA= (cid:42)(cid:70)tanA=1,A= (cid:146)(cid:154)(cid:9).
3 3tanA 4
8
(cid:92)(cid:93)tanA+tanC³ .
3
(cid:129)(cid:20)(cid:10)B.
(cid:130)(cid:23)(cid:232)(cid:20)(cid:21)
r æb ö
6(cid:26)(cid:27)2024·(cid:286)(cid:287)·(cid:85)(cid:263)(cid:32)(cid:43)(cid:44)VABC(cid:171)(cid:42)(cid:35)A(cid:42)B(cid:42)C(cid:92)(cid:37)(cid:36)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)a(cid:42)b(cid:42)c(cid:42)(cid:221)(cid:171)b=4(cid:42)m=ç ,tanB÷(cid:42)
èc ø
r æ bö r r 3
n=çtanA, ÷(cid:42)m×n= (cid:42)(cid:138)(cid:27) (cid:32)
è cø 3cosA
5π
A(cid:26)B=
6
B(cid:26)VABC(cid:36)(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:48)(cid:49)(cid:41)16π
r 3r
8 13
C(cid:26)(cid:47)AM = AC(cid:42)ÐBAC=ÐABM (cid:42)(cid:138)BC =
4 13
r 3r
13
D(cid:26)(cid:47)AM = AC(cid:42)ÐBAC=ÐABM (cid:42)(cid:138)sinÐBAC =
4 13
(cid:50)(cid:25)(cid:51)(cid:52)BCD(cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:52)(cid:132)(cid:21)(cid:30)(cid:288)(cid:289)(cid:121)(cid:122)(cid:36)(cid:13)(cid:122)(cid:49)(cid:23)(cid:115)(cid:78)(cid:75)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:24)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:161)(cid:85)(cid:35)(cid:250)(cid:154)(cid:188)(cid:243)(cid:42)(cid:148)(cid:171)(cid:290)(cid:21).
3 π
(cid:73)(cid:54)(cid:121)(cid:122)(cid:36)(cid:13)(cid:122)(cid:49)(cid:23)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:161)(cid:85)(cid:35)(cid:250)(cid:154)(cid:188)(cid:243)(cid:68)tanB= (cid:42)(cid:138)B= (cid:42)(cid:167)(cid:54)(cid:115)(cid:78)(cid:75)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:24)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:291)(cid:22)
3 6
(cid:292)(cid:57)(cid:70)(cid:71).
r r b b 1
(cid:50)(cid:89)(cid:24)(cid:52)(cid:37)(cid:128)A(cid:20)(cid:293)(cid:42)(cid:61)(cid:21)(cid:97)(cid:42)m×n= tanA+ tanB= (cid:42)
c c 3cosA
sinA sinB sinC
(cid:138) + = (cid:42)
cosA cosB 3sinBcosA
sinA+B
sinC
(cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:42) = (cid:42)
cosAcosB 3sinBcosA
(cid:91)(cid:41)sinA+B=sinπ-C=sinC(cid:42)(cid:169)sinC ¹0(cid:42)
3
(cid:129) 3sinB=cosB(cid:42)(cid:129)tanB= (cid:42)
3
(cid:91)(cid:41)BÎ0,π(cid:42)(cid:129)B= π (cid:42)(cid:129)A(cid:294)(cid:295)(cid:46)
6
b
(cid:37)(cid:128)B(cid:20)(cid:293)(cid:42)(cid:54)(cid:20)(cid:293)A(cid:71)(cid:44)(cid:42)R= =4(cid:42)(cid:129)(cid:221)(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:48)(cid:49)(cid:41)16π(cid:42)(cid:129)B(cid:75)(cid:296)(cid:46)
2sinB
(cid:37)(cid:128)C(cid:23)D(cid:20)(cid:293)(cid:42)(cid:91)(cid:41)AM =3MC =3(cid:42)(cid:33)ÐBAC =ÐABM =q(cid:42)
(cid:92)(cid:93)ÐBMC =2q(cid:42)AM =BM =3(cid:42)MC =1(cid:42)AC =4(cid:42)
BC AC
(cid:141)VABC(cid:171)(cid:42)(cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:42) = (cid:42)(cid:70)BC =8sinq(cid:42)
sinq sinÐABC
(cid:141)(cid:194)BMC(cid:171)(cid:42)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:42)BC2 =BM2+CM2-2BM×CM×cos2q=10-6cos2q(cid:42)
1
(cid:129)64sin2q=10-6cos2q(cid:42)(cid:24)(cid:68)sin2q= (cid:42)
13
æ (cid:297)ö 13 8 13
(cid:91)(cid:41)qÎ ç0, ÷(cid:42)(cid:138)sinq= (cid:42)BC =8sinq= (cid:42)(cid:129)C(cid:23)D(cid:75)(cid:296)(cid:46)
è 2ø 13 13
(cid:129)(cid:20)(cid:10)BCD.
2 A+C
7(cid:26)(cid:27)2024·(cid:298)(cid:299)·(cid:85)(cid:263)(cid:32)(cid:43)(cid:44) VABC (cid:36)(cid:34)(cid:35)A,B,C(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)a,b,c(cid:42)(cid:169) a×sin2 =b×sinA(cid:42)(cid:203)(cid:87)(cid:66)
3 2
(cid:229)(cid:75)(cid:296)(cid:36)(cid:148)(cid:27) (cid:32)
π
A(cid:26)B=
3
B(cid:26)(cid:47) a=4(cid:42)b=5 (cid:42)(cid:138) VABC (cid:80)(cid:164)(cid:24)
3
C(cid:26)(cid:168)a-c= b(cid:140)(cid:42) VABC (cid:41)(cid:175)(cid:35)(cid:85)(cid:35)(cid:86)
3
3
D(cid:26)(cid:47) VABC (cid:41)(cid:235)(cid:35)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:42)(cid:138) cosA+cosC (cid:36)(cid:146)(cid:69)(cid:300)(cid:301)(cid:148)( ,1]
2
(cid:50)(cid:25)(cid:51)(cid:52)ACD(cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:52)(cid:281)(cid:180)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:23)(cid:267)(cid:120)(cid:7)(cid:81)(cid:23)(cid:130)(cid:160)(cid:35)(cid:7)(cid:81)(cid:163)(cid:103)(cid:104)(cid:35)(cid:7)(cid:81)(cid:70)(cid:71)(cid:292)(cid:302)A(cid:46)(cid:281)(cid:180)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:70)(cid:71)(cid:292)(cid:302)B(cid:46)(cid:281)
3 π π
(cid:180)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:163)a-c= b(cid:71)(cid:68)a=2c(cid:237)c=2a(cid:42)(cid:70)(cid:71)(cid:292)(cid:302)C(cid:46)(cid:281)(cid:180)(cid:45)A(cid:36)(cid:146)(cid:69)(cid:300)(cid:301) <A< (cid:42)(cid:190)(cid:76)
3 6 2
π
cosA+cosC =sin(A+ )(cid:70)(cid:71)(cid:292)(cid:302)D.
6
2 A+C
(cid:50)(cid:89)(cid:24)(cid:52)(cid:37)(cid:128)A(cid:42)(cid:91)(cid:41) a×sin2 =b×sinA(cid:42)
3 2
2 π-B
(cid:92)(cid:93)(cid:54)A+B+C=π(cid:163)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:68)(cid:42) sinA×sin2 =sinB×sinA(cid:42)
3 2
2 B
(cid:54)(cid:267)(cid:120)(cid:7)(cid:81)(cid:68)(cid:42) sinA×cos2 =sinB×sinA(cid:42)
3 2
2 B B B
(cid:91)(cid:41)AÎ(0,π)(cid:42)(cid:129)sinA¹0(cid:42)(cid:92)(cid:93) cos2 =2sin cos (cid:42)
3 2 2 2
B B B B B π
(cid:16)(cid:24)(cid:68)cos ( 3sin -cos )=0(cid:42)(cid:70)cos sin( - )=0(cid:42)
2 2 2 2 2 6
B B π π
(cid:92)(cid:93)cos =0(cid:237)sin( - )=0(cid:42)(cid:70)B=π(cid:27)(cid:303)(cid:32)(cid:237)B= (cid:42)(cid:129)A(cid:75)(cid:296)(cid:46)
2 2 6 3
1
(cid:37)(cid:128)B(cid:42)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:68)b2 =a2+c2-2accosB(cid:42)(cid:70)25=16+c2-8´c´ (cid:42)(cid:68)c2-4c-9=0(cid:42)
2
(cid:54)D=(-4)2-4´(-9)=52>0(cid:42)(cid:92)(cid:93)c=2+ 13((cid:284)(cid:69)(cid:303))(cid:42)(cid:70)VABC(cid:80)(cid:22)(cid:24)(cid:42)(cid:129)B(cid:294)(cid:295)(cid:46)
3 b2
(cid:37)(cid:128)C(cid:42)(cid:91)(cid:41)a-c= b(cid:42)(cid:164)(cid:38)(cid:58)(cid:59)(cid:68)a2-2ac+c2 = (cid:42)
3 3
(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:68)b2 =a2+c2-2accosB=a2+c2-ac(cid:42)
(cid:54)(cid:164)(cid:81)(cid:133)b2(cid:68)(cid:42)2a2-5ac+2c2 =0(cid:42)(cid:24)(cid:68)a=2c(cid:237)c=2a(cid:42)
π π
(cid:54)B= (cid:42)a=2c(cid:42)b= 3c(cid:24)(cid:68)ÐA= (cid:42)
3 2
π π
(cid:54)B= (cid:42)c=2a(cid:42)b= 3a(cid:24)(cid:68)ÐC = ;
3 2
(cid:129)VABC(cid:41)(cid:175)(cid:35)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:42)(cid:129)C(cid:75)(cid:296)(cid:46)
π
(cid:37)(cid:128)D(cid:42)(cid:91)(cid:41)VABC(cid:41)(cid:235)(cid:35)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:42)(cid:169)B= (cid:42)
3
ì π ì π
0< A< 0< A<
ï ï
ï 2 ï 2 π π
(cid:92)(cid:93)í Þí Þ < A< (cid:42)
ï 0<C< π ï 0< 2π -A< π 6 2
îï 2 ïî 3 2
2π 1 3 π
(cid:70)cosA+cosC =cosA+cos( -A)= cosA+ sinA=sin(A+ )(cid:42)
3 2 2 6
π π 2π π 3
(cid:92)(cid:93)A+ Î( , )(cid:42)(cid:92)(cid:93)sin(A+ )Î( ,1](cid:42)(cid:129)D(cid:75)(cid:296).
6 3 3 6 2(cid:129)(cid:20)(cid:10)ACD.
8(cid:26)(cid:27)2024·(cid:265)(cid:208)·(cid:85)(cid:263)(cid:32)(cid:43)(cid:44)VABC(cid:34)(cid:35)A(cid:23)B(cid:23)C(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:148)a(cid:23)b(cid:23)c(cid:42)A=2B(cid:42)(cid:138)(cid:27) (cid:32)
A(cid:26)a2 =cb+c B(cid:26) b + a2 (cid:36)(cid:64)(cid:162)(cid:69)(cid:41)3
c b2
c
C(cid:26)(cid:47)VABC(cid:41)(cid:235)(cid:35)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:42)(cid:138) Î1,2 D(cid:26)(cid:47)a=2 6(cid:42)b=3(cid:42)(cid:138)c=5
b
(cid:50)(cid:25)(cid:51)(cid:52)BCD
(cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:52)(cid:54)A=2B(cid:42)(cid:68)sinA=2sinBcosB(cid:42)(cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:68)(cid:161)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:16)(cid:109)(cid:68)a2 =bb+c(cid:42)(cid:70)(cid:71)(cid:292)(cid:302)A(cid:46)
(cid:76)a2 =bb+c(cid:248)(cid:304) b + a2 (cid:16)(cid:109)(cid:166) b + c +1(cid:42)(cid:54)(cid:131)(cid:132)(cid:153)(cid:154)(cid:81)(cid:71)(cid:68)(cid:305)(cid:36)(cid:64)(cid:162)(cid:69)(cid:42)(cid:70)(cid:71)(cid:292)(cid:302)B(cid:46)(cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:38)(cid:16)
c b2 c b
c c
(cid:35)(cid:71)(cid:68) =4cos2B-1(cid:42)(cid:167)(cid:54)cosB(cid:36)(cid:300)(cid:301)(cid:71)(cid:68) (cid:36)(cid:300)(cid:301)(cid:42)(cid:70)(cid:71)(cid:292)(cid:302)C(cid:46)(cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:45)(cid:63)cosB(cid:42)(cid:167)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)
b b
(cid:15)(cid:71)(cid:68)c(cid:42)(cid:70)(cid:71)(cid:292)(cid:302)D.
(cid:50)(cid:89)(cid:24)(cid:52)(cid:54)A=2B(cid:42)(cid:68)sinA=sin2B=2sinBcosB(cid:42)
a2+c2-b2
(cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:68)a=2bcosB(cid:42)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:68)a=2b× (cid:42)
2ac
(cid:138)c-b a2-b2-bc  =0(cid:42)(cid:168)b¹c(cid:140)(cid:42)a2-b2-bc=0(cid:42)(cid:70)a2 =bb+c(cid:42)
(cid:168)b=c(cid:140)(cid:42)B=C(cid:42)(cid:96)A=2B(cid:42)(cid:92)(cid:93)A=90°,B=C=45°(cid:42)
 2
(cid:92)(cid:93)a= 2b(cid:42)(cid:92)(cid:93)a2-b2-bc= 2b -b2-b×b=0(cid:42)
(cid:92)(cid:93)a2 =bb+c(cid:42)(cid:129)(cid:20)(cid:293)A(cid:294)(cid:295)(cid:46)
(cid:54)a2 =bb+c(cid:42)(cid:138) b + a2 = b + b2+bc = b + c +1³3(cid:42)(cid:168)(cid:169)(cid:170)(cid:168)b=c(cid:140)(cid:42)(cid:129)(cid:20)(cid:293)B(cid:75)(cid:296)(cid:46)
c b2 c b2 c b
c sinC sin2B+B sin2BcosB+cos2BsinB
(cid:141)VABC(cid:171)(cid:42)sinB¹0(cid:42)(cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:42) = = =
b sinB sinB sinB
2sinBcos2B+  2cos2B-1  sinB
= =4cos2B-1 (cid:42)
sinB
æ πö π π
(cid:47)VABC(cid:41)(cid:235)(cid:35)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:42)(cid:96)A=2B(cid:42)(cid:138)BÎç0, ÷,C =π-3B< (cid:42)(cid:129)B> (cid:42)
è 4ø 2 6
æπ πö æ 2 3ö æ1 3ö
(cid:92)(cid:93)BÎç , ÷(cid:42)(cid:92)(cid:93)cosBÎç
ç
, ÷
÷
(cid:42)(cid:138)cos2BÎç , ÷(cid:42)
è6 4ø è 2 2 ø è2 4ø
(cid:92)(cid:93)4cos2B-1Î1,2(cid:42)(cid:129)(cid:20)(cid:293)C(cid:75)(cid:296)(cid:46)
a b c
(cid:141)VABC(cid:171)(cid:42)(cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15) = = (cid:42)(cid:96)A=2B(cid:42)a=2 6(cid:42)b=3(cid:42)
sinA sinB sinC
3 2 6 2 6 6
(cid:68) = = (cid:42)(cid:138)cosB=
sinB sin2B 2sinBcosB 36
(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:42)b2 =a2+c2-2accosB(cid:42) (cid:68)9=24+c2-2´2 6´ c(cid:42)
3
(cid:159)(cid:15)(cid:68)c2-8c+15=0(cid:42)(cid:24)(cid:68)c=5(cid:42)(cid:237)c=3(cid:42)
(cid:168)c=3(cid:140)(cid:42)(cid:80)C =B(cid:42)(cid:96)A=2B(cid:42)(cid:92)(cid:93)B=C =45°,A=90°(cid:42)
(cid:91)(cid:41)b2+c2 ¹a2(cid:42)(cid:138)c=3(cid:153)(cid:166)(cid:179)(cid:42)(cid:129)(cid:20)(cid:293)D(cid:75)(cid:296).
(cid:129)(cid:20)(cid:10)BCD.
(cid:85)(cid:23)(cid:306)(cid:307)(cid:21)
1
9(cid:26)(cid:27)2024·(cid:28)(cid:308)·(cid:85)(cid:263)(cid:32)(cid:141)VABC(cid:171)(cid:42)3sinA=2sinC(cid:42)cosB= .(cid:138)sinA= .
3
4 2
(cid:50)(cid:25)(cid:51)(cid:52)
9
(cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:52)(cid:101)(cid:102)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:163)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:71)(cid:68)b=c(cid:42)(cid:167)(cid:54)(cid:267)(cid:120)(cid:7)(cid:81)(cid:163)(cid:130)(cid:160)(cid:35)(cid:75)(cid:56)(cid:7)(cid:81)(cid:45)(cid:24).
(cid:50)(cid:89)(cid:24)(cid:52)(cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:42)3sinA=2sinCÞ3a=2c(cid:42)
a2+c2-b2 1
(cid:92)(cid:93)(cid:54)cosB= = (cid:71)(cid:68)3a=2b(cid:42)
2ac 3
(cid:92)(cid:93)b=c(cid:42)(cid:92)(cid:93)B=C(cid:42)
1 1 4 2
(cid:92)(cid:93)sinA=sinπ-2B=sin2B=2sinBcosB=2´ 1- ´ = .
9 3 9
4 2
(cid:129)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:10)
9
a
10(cid:26)(cid:27)2024·(cid:299)(cid:152)(cid:220)(cid:309)·(cid:85)(cid:263)(cid:32)(cid:141)VABC(cid:171)(cid:42) =2cosB<1(cid:42)(cid:138)cos(B-C)= .
b
(cid:50)(cid:25)(cid:51)(cid:52)1
(cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:52)(cid:175)(cid:183)(cid:115)(cid:78)(cid:85)(cid:35)(cid:117)(cid:13)(cid:36)(cid:3)(cid:60)(cid:81)(cid:36)(cid:188)(cid:243)(cid:93)(cid:163)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:36)(cid:193)(cid:78)(cid:45)(cid:63)(cid:66)(cid:310).
a sinA
(cid:50)(cid:89)(cid:24)(cid:52)(cid:141)VABC(cid:171)(cid:42) =2cosB<1(cid:42)(cid:115)(cid:78)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:10) =2cosB(cid:42)
b sinB
(cid:92)(cid:93)sinA= 2sinBcosB(cid:42)(cid:159)(cid:15)(cid:68)sinA =sin2B(cid:42)
(cid:92)(cid:93)A=2B(cid:237)A+2B=π(cid:42)
(cid:54)(cid:128)a<b(cid:42)(cid:92)(cid:93)A<B(cid:42)(cid:129)A+2B=π(cid:42)(cid:54)(cid:128)A+ B+C =π(cid:42)
(cid:92)(cid:93)B=C(cid:42) cosB-C=1.
(cid:129)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:10)1.
11(cid:26)(cid:27)2024·(cid:311)(cid:312)(cid:313)(cid:314)(cid:225)·(cid:85)(cid:263)(cid:32)(cid:137)VABC(cid:36)(cid:34)(cid:35)A(cid:42)B(cid:42)C(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)a(cid:42)b(cid:42)c(cid:42)(cid:221)(cid:48)(cid:49)(cid:41)S(cid:42)(cid:43)(cid:44)
A+B
asin =csinA(cid:42)c=2.(cid:138)C = (cid:46)S(cid:36)(cid:64)(cid:147)(cid:69)(cid:41) .
2
p
(cid:50)(cid:25)(cid:51)(cid:52) /60° 3
3(cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:52)(cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:38)(cid:16)(cid:35)(cid:66)(cid:67)(cid:267)(cid:120)(cid:7)(cid:81)(cid:45)(cid:24)(cid:35)C(cid:46)(cid:115)(cid:78)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:66)(cid:67)(cid:131)(cid:132)(cid:153)(cid:154)(cid:81)(cid:45)(cid:48)(cid:49)(cid:64)(cid:147)(cid:69)(cid:70)(cid:71).
A+B A+B
(cid:50)(cid:89)(cid:24)(cid:52)(cid:91)(cid:41)asin =csinA(cid:42)(cid:92)(cid:93)(cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:44)sinAsin =sinCsinA(cid:42)
2 2
C C C C C 1
(cid:92)(cid:93)sinAcos =2sin cos sinA(cid:42)(cid:91)(cid:41)sinA¹0,cos ¹0(cid:42)(cid:92)(cid:93)sin = (cid:42)
2 2 2 2 2 2
C æ πö C π π
(cid:96)CÎ0,π(cid:42)(cid:92)(cid:93) Îç0, ÷(cid:42)(cid:92)(cid:93) = (cid:42)(cid:92)(cid:93)C = (cid:46)
2 è 2ø 2 6 3
π
(cid:54)(cid:43)(cid:44)(cid:163)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:68)(cid:10)4=a2+b2-2abcos =a2+b2-ab³2ab-ab=ab(cid:42)
3
(cid:92)(cid:93)ab£4(cid:42)(cid:168)(cid:169)(cid:170)(cid:168)a=b(cid:140)(cid:42)(cid:154)(cid:9)(cid:166)(cid:179)(cid:42)
1 3 3
S = absinC = ab£ ´4= 3(cid:42)
VABC 2 4 4
(cid:138)VABC(cid:48)(cid:49)S(cid:36)(cid:64)(cid:147)(cid:69)(cid:41) 3.
π
(cid:129)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:10) (cid:46)
3
3
12(cid:26)(cid:27)2024·(cid:150)(cid:315)(cid:255)(cid:316)·(cid:85)(cid:263)(cid:32)(cid:204)(cid:205)(cid:42)D(cid:41)VABC(cid:36)(cid:38)AC(cid:145)(cid:22)(cid:136)(cid:42)|AD|=2|DC|(cid:42)ÐABC =60°(cid:42)
|AB|+2|BC|=4(cid:42)(cid:138) BD (cid:36)(cid:64)(cid:162)(cid:69)(cid:41) .
2 3
(cid:50)(cid:25)(cid:51)(cid:52)
3
(cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:52)(cid:137) CD =x, BD = y, BC =m(cid:42)(cid:138)AD=2x,AB=4-2m(cid:42)(cid:141)VABC(cid:171)(cid:42)(cid:176)(cid:78)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:71)(cid:68)
4 8m 16
9x2 =7m2-20m+16(cid:42)(cid:167)(cid:54)ÐADB+ÐBDC =180°(cid:42)cosÐADB=-cosÐBDC(cid:42)(cid:68)y2 = m2- + (cid:42)(cid:248)(cid:304)
9 9 9
(cid:101)(cid:102)(cid:130)(cid:62)(cid:117)(cid:13)(cid:36)(cid:64)(cid:69)(cid:71)(cid:45)(cid:68)(cid:168)m=1(cid:140)(cid:42)y(cid:80)(cid:64)(cid:162)(cid:69)(cid:42)(cid:102)(cid:155)(cid:70)(cid:71)(cid:45)(cid:24).
(cid:50)(cid:89)(cid:24)(cid:52)(cid:137) CD =x, BD = y, BC =m(cid:42)(cid:138) AD =2x, AB =4-2m(cid:42)
(4-2m)2+m2-(3x)2 1
(cid:141)VABC(cid:171)(cid:42)ÐABC =60°(cid:42)(cid:92)(cid:93)cosÐABC = = (cid:42)
2×m×(4-2m) 2
(cid:92)(cid:93)9x2 =7m2-20m+16(cid:42)
(cid:91)(cid:41)ÐADB+ÐBDC =180°(cid:42)(cid:92)(cid:93)cosÐADB=-cosÐBDC(cid:42)
4x2+y2-(4-2m)2 x2+y2-m2
(cid:92)(cid:93) =- (cid:42)
2×2x×y 2×x×y
16 16
(cid:92)(cid:93)y2 =-2x2+2m2- m+ (cid:42)
3 37 20 16 16 16
(cid:92)(cid:93)y2 =-2( m2- m+ )+2m2- m+ (cid:42)
9 9 9 3 3
4 8m 16
(cid:92)(cid:93)y2 = m2- + (cid:42)(cid:168)m=1(cid:140)(cid:42)y2(cid:80)(cid:64)(cid:162)(cid:69)(cid:42)(cid:155)(cid:140)|BD|(cid:146)(cid:64)(cid:162)(cid:69)(cid:42)
9 9 9
2 3
(cid:92)(cid:93) BD = y= .
3
2 3
(cid:129)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:10) .
3
(cid:50)(cid:136)(cid:317)(cid:52)(cid:3)(cid:318)(cid:136)(cid:136)(cid:317)(cid:10)(cid:132)(cid:21)(cid:30)(cid:288)(cid:24)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:36)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:42)(cid:130)(cid:62)(cid:117)(cid:13)(cid:36)(cid:64)(cid:69)(cid:42)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:36)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:81)(cid:42)(cid:3)(cid:318)(cid:141)(cid:128)(cid:83)
(cid:84)BD(cid:36)(cid:100)(cid:42)(cid:45)(cid:68)(cid:275)(cid:140)BD(cid:146)(cid:68)(cid:64)(cid:162)(cid:69)(cid:42)(cid:319)(cid:128)(cid:171)(cid:290)(cid:21).
13(cid:26)(cid:27)2024·(cid:320)(cid:220)(cid:321)(cid:322)·(cid:85)(cid:263)(cid:32)(cid:43)(cid:44)a(cid:16)b(cid:16)c(cid:39)(cid:40)(cid:41)VABC(cid:85)(cid:173)(cid:34)(cid:35)A(cid:42)B(cid:42)C(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:42)(cid:169)
sin2B+sin2C-sin2A+sinBsinC =0(cid:42)(cid:138)A= (cid:46)(cid:47)b=2(cid:42)c=1(cid:42)  B  P r =t  B  C r (cid:42)tÎ 0,1 (cid:42)(cid:138)  P  C r 2 -  B  C r ×  A  P r
(cid:36)(cid:146)(cid:69)(cid:300)(cid:301)(cid:148) (cid:26)
(cid:50)(cid:25)(cid:51)(cid:52) 2p /120°/ 2 p -5,9 
3 3
(cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:52)(cid:323)(cid:22)(cid:307)(cid:148)(cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:35)(cid:16)(cid:38)(cid:42)(cid:167)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:45)(cid:35)(cid:70)(cid:71)(cid:46)(cid:323)(cid:130)(cid:307)(cid:148)(cid:115)(cid:78)(cid:73)(cid:121)(cid:122)(cid:36)(cid:157)(cid:272)(cid:176)(cid:127)(cid:42)(cid:167)(cid:191)(cid:127)
(cid:13)(cid:122)(cid:49)(cid:42)(cid:94)(cid:95)(cid:45)(cid:63)(cid:146)(cid:69)(cid:300)(cid:301).
(cid:50)(cid:89)(cid:24)(cid:52)(cid:54)sin2B+sin2C-sin2A+sinBsinC =0(cid:163)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:42)(cid:68)b2+c2-a2+bc=0(cid:42)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:71)(cid:44)
b2+c2-a2 1
cosA= =- (cid:42)
2bc 2
2π
(cid:96)QAÎ0,π(cid:42)\A= (cid:26)
3
2 7
Qb=2(cid:42)c=1(cid:42)\(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:68)a= 7(cid:42)cosB= (cid:42)
7
r r 2 7
\AB (cid:181)BC(cid:36)(cid:324)(cid:35)(cid:36)(cid:55)(cid:56)(cid:69)(cid:41)- (cid:26)
7
r r r r
(cid:96) QBP=tBC(cid:42)\PC =1-tBC(cid:42)
r r r r r r r r
  2
(cid:169)AP×BC = AB+tBC ×BC = AB×BC+tBC =7t-2(cid:42)
r r r
\PC2-BC×AP=71-t2-7t-2=7t2-21t+9(cid:42)tÎ
0,1
(cid:42)
r r r
\PC 2 -BC×APÎ-5,9 (cid:42)
2π
(cid:129)(cid:25)(cid:51)(cid:41)(cid:10) (cid:42)-5,9 
3
(cid:150)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:21)
14(cid:26)(cid:27)2024·(cid:34)(cid:325)(cid:326)(cid:327)(cid:161)(cid:328)(cid:329)·(cid:130)(cid:263)(cid:32)(cid:141)VABC(cid:171)(cid:42)(cid:33)(cid:35)A(cid:23)B(cid:23)C(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)a(cid:23)b(cid:23)c(cid:42)(cid:43)(cid:44)
3a= 3ccosB+csinB(cid:26)(1)(cid:45)(cid:35)C(cid:46)
(2)(cid:43)(cid:44)(cid:136)D(cid:141)AC(cid:38)(cid:145)(cid:42)(cid:169)AD=2DC(cid:42)BC =6(cid:42)BD=2 7(cid:42)(cid:45)VABC(cid:36)(cid:48)(cid:49)(cid:26)
π
(cid:50)(cid:25)(cid:51)(cid:52)(1)ÐC =
3
(2)S =9 3(cid:237)S =18 3
(cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:52)(cid:27)1(cid:32)(cid:248)(cid:304)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:161)(cid:164)(cid:35)(cid:161)(cid:36)(cid:75)(cid:56)(cid:7)(cid:81)(cid:70)(cid:71)(cid:46)
(cid:27)2(cid:32)(cid:73)(cid:296)(cid:57)DC(cid:100)(cid:226)(cid:42)(cid:167)(cid:296)(cid:57)AC(cid:42)(cid:70)(cid:71)(cid:292)(cid:302)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:86)(cid:330)(cid:42)(cid:296)(cid:57)(cid:48)(cid:49)(cid:26)
(cid:50)(cid:89)(cid:24)(cid:52)(cid:27)1(cid:32)Q 3a= 3ccosB+csinB(cid:42)(cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:71)(cid:68) 3sin(B+C)= 3sinCcosB+sinCsinB(cid:42)
\ 3sinBcosC+ 3cosBsinC= 3sinCcosB+sinCsinB (cid:42)
QsinB¹0(cid:42)
\tanC = 3(cid:42)CÎ0,π(cid:42)
π
\ÐC = (cid:46)
3
π 1 x2+36-28
(cid:27)2(cid:32)(cid:137)DC =x(cid:42)cos = = (cid:42)\6x=x2+8(cid:42)\x=2(cid:237)4(cid:42)
3 2 12x
π 1 3
(cid:168)x=2(cid:140)(cid:42)AC =6(cid:42)C = (cid:42)(cid:155)(cid:140)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:41)(cid:75)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:42)S = ´6´6´ =9 3
3 2 2
(cid:168)x=4(cid:140)(cid:42)AC =12(cid:42)AB2 =BC2+AC2-2AC×BCcosC=108(cid:42)
1
(cid:331)(cid:332)AB2+BC2 = AC2(cid:42)(cid:155)(cid:140)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:41)(cid:175)(cid:35)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:42)S= ´6 3´6=18 3(cid:26)
2
15(cid:26)(cid:27)2024·(cid:279)(cid:216)(cid:333)(cid:334)·(cid:85)(cid:263)(cid:32)(cid:137)(cid:85)(cid:35)(cid:86)ABC(cid:36)(cid:34)(cid:35)A(cid:23)B(cid:23)C(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)a(cid:23)b(cid:23)c(cid:169)
A
sinB+C=2 3sin2 (cid:26)
2
(1)(cid:45)(cid:35)A(cid:36)(cid:147)(cid:162)(cid:46)
3 21
(2)(cid:47)b=3(cid:42)BC(cid:38)(cid:145)(cid:36)(cid:29)(cid:41) (cid:42)(cid:45)(cid:85)(cid:35)(cid:86)ABC(cid:36)(cid:99)(cid:100)(cid:26)
7
π
(cid:50)(cid:25)(cid:51)(cid:52)(1)A=
3
(2)5+ 7A 1-cosA
(cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:52)(cid:27)1(cid:32)(cid:115)(cid:78)(cid:34)(cid:35)(cid:161)(cid:41)180°(cid:16)(cid:109)sinB+C=sinA(cid:42)(cid:115)(cid:78)(cid:130)(cid:160)(cid:35)(cid:7)(cid:81)(cid:16)(cid:109)sin2 = (cid:42)(cid:167)(cid:115)(cid:78)(cid:103)
2 2
π
(cid:104)(cid:35)(cid:7)(cid:81)(cid:16)(cid:109)(cid:70)(cid:71)(cid:45)(cid:68)A= (cid:46)
3
(cid:27)2(cid:32)(cid:54)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:81)(cid:161)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:42)(cid:335)(cid:179)(cid:59)(cid:88)(cid:118)(cid:45)(cid:24)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:70)(cid:71).
(cid:50)(cid:89)(cid:24)(cid:52)(cid:27)1(cid:32)(cid:91)(cid:41)A(cid:42)B(cid:42)C(cid:41)VABC(cid:36)(cid:34)(cid:35)(cid:42)(cid:92)(cid:93)sinB+C=sinA(cid:42)
A 1-cosA A
(cid:91)(cid:41)sin2 = (cid:42)(cid:92)(cid:93)sinB+C=2 3sin2 (cid:71)(cid:16)(cid:41)(cid:10)sinA= 31-cosA(cid:42)
2 2 2
æ πö 3
(cid:70)sinA+ 3cosA= 3(cid:42)(cid:70)sinçA+ ÷= (cid:42)
è 3ø 2
π æπ 4πö π 2π π
(cid:91)(cid:41)A+ Îç , ÷(cid:42)(cid:24)(cid:68)(cid:10)A+ = (cid:42)(cid:70)A= (cid:26)
3 è3 3 ø 3 3 3
1 1 3 21 1 π 1 3 21
(cid:27)2(cid:32)(cid:54)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:81)(cid:68) b×csinA= ´ a(cid:42)b=3(cid:248)(cid:304)(cid:68)(cid:10) ´3×csin = ´ a(cid:42)
2 2 7 2 3 2 7
7 7
(cid:92)(cid:93)a= c(cid:42)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)a2 =b2+c2-2bccosA= c2(cid:68)(cid:10) c2+4c-12=0 (cid:42)
2 4
(cid:24)(cid:68)(cid:10)c=2(cid:237)c=-6(cid:303)(cid:134)(cid:42)(cid:70)a= 7(cid:42)
(cid:92)(cid:93)VABC(cid:36)(cid:99)(cid:100)(cid:41)5+ 7.
æ πö
16(cid:26)(cid:27)2024·(cid:268)(cid:269)(cid:336)(cid:337)(cid:28)·(cid:85)(cid:263)(cid:32)(cid:141)VABC(cid:171)(cid:42)(cid:34)(cid:35)A,B,C(cid:92)(cid:37)(cid:36)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)a,b,c(cid:42)bsinA=acosçB- ÷(cid:42)
è 6ø
a=2(cid:42)c=3(cid:26)
(1)(cid:45)(cid:35)B(cid:36)(cid:147)(cid:162)(cid:10)
(2)(cid:45)b(cid:36)(cid:69)(cid:46)
(3)(cid:45)sin2A-B(cid:36)(cid:69)(cid:26)
π
(cid:50)(cid:25)(cid:51)(cid:52)(1) (cid:46)
3
(2) 7(cid:46)
3 3
(3) .
14
æ πö
(cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:52)(cid:27)1(cid:32)(cid:101)(cid:102)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:71)(cid:68)bsinA=asinB(cid:42)(cid:66)(cid:67)(cid:43)(cid:44)bsinA=acosçB- ÷(cid:70)(cid:71)(cid:45)(cid:63)B(cid:36)(cid:147)(cid:162)(cid:46)
è 6ø
(cid:27)2(cid:32)(cid:115)(cid:78)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:70)(cid:71)(cid:45)(cid:63)b(cid:36)(cid:69)(cid:46)
æ πö
(cid:27)3(cid:32)(cid:101)(cid:102)bsinA=acosçB- ÷(cid:45)(cid:63)sinA(cid:42)cosA(cid:42)(cid:94)(cid:95)(cid:71)(cid:45)sin2A(cid:23)cos2A(cid:42)(cid:167)(cid:101)(cid:102)(cid:75)(cid:56)(cid:36)(cid:165)(cid:35)(cid:7)(cid:81)(cid:70)(cid:71)(cid:191)
è 6ø
(cid:127)(cid:26)a b
(cid:50)(cid:89)(cid:24)(cid:52)(cid:27)1(cid:32)(cid:141)VABC(cid:171)(cid:42)(cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15) = (cid:42)(cid:71)(cid:68)bsinA=asinB(cid:42)
sinA sinB
æ πö æ πö
(cid:96)(cid:54)bsinA=acosçB- ÷(cid:42)(cid:68)asinB=acosç B- ÷
è 6ø è 6ø
æ πö
(cid:70)sinB=cosç B- ÷(cid:42)
è 6ø
3 1 1 3
sinB= cosB+ sinB(cid:42) sinB= cosB(cid:42) tanB= 3(cid:26)
2 2 2 2
∴ ∴ ∴
(cid:96)(cid:91)(cid:41)BÎ0,π(cid:42)(cid:71)(cid:68)B= π (cid:46)
3
π
(cid:27)2(cid:32)(cid:141)VABC(cid:171)(cid:42)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:163)a=2(cid:42)c=3(cid:42)B= (cid:42)
3
(cid:80)b2 =a2+c2-2accosB=7(cid:42)(cid:129)b= 7(cid:46)
æ πö 3
(cid:27)3(cid:32)(cid:54)bsinA=acosçB- ÷(cid:42)(cid:71)(cid:68)sinA= (cid:42)
è 6ø 7
2
(cid:91)(cid:41)a<c(cid:42)(cid:92)(cid:93)A<C(cid:42)(cid:129)A(cid:41)(cid:235)(cid:35)(cid:42)(cid:129)cosA= (cid:42)
7
(cid:91)(cid:155)sin2A=2sinAcosA= 4 3 (cid:42)cos2A=2cos2 A-1= 1 (cid:26)
7 7
4 3 1 1 3 3 3
(cid:92)(cid:93)(cid:42)sin2A-B=sin2AcosB-cos2AsinB= ´ - ´ = (cid:26)
7 2 7 2 14
π
17(cid:26)(cid:27)2024·(cid:268)(cid:269)(cid:265)(cid:152)·(cid:85)(cid:263)(cid:32)(cid:141)VABC(cid:171)(cid:42)(cid:34)(cid:35)A(cid:42)B(cid:42)C(cid:92)(cid:37)(cid:36)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)a(cid:42)b(cid:42)c(cid:42)(cid:43)(cid:44)A= (cid:42)
4
1
b2-a2 = c2(cid:26)
2
(1)(cid:45)tanC(cid:36)(cid:69)(cid:46)
æ πö
(2)(cid:137)(cid:117)(cid:13) f x=tanç2x- ÷(cid:26)
è 4ø
(cid:27)ⅰ(cid:32)(cid:45) f x(cid:36)(cid:57)(cid:276)(cid:338)(cid:161)(cid:64)(cid:162)(cid:75)(cid:99)(cid:339)(cid:46)
(cid:27)ⅱ(cid:32)(cid:45) f C(cid:36)(cid:69)(cid:26)
(cid:50)(cid:25)(cid:51)(cid:52)(1)2
ì 3π 1 ü π
(2)(cid:27)i(cid:32)íx|x¹ + kπ,kÎZý(cid:42)T = (cid:46)(cid:27)ii(cid:32)7
î 8 2 þ 2
(cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:52)(cid:27)1(cid:32)(cid:54)(cid:21)(cid:97)(cid:115)(cid:78)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:71)(cid:340)(cid:63)3c=2 2b(cid:42)(cid:167)(cid:115)(cid:78)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:38)(cid:16)(cid:35)(cid:42)(cid:66)(cid:67)(cid:116)(cid:35)(cid:85)(cid:35)(cid:117)(cid:13)(cid:3)(cid:60)(cid:42)
(cid:70)(cid:71)(cid:45)(cid:68)(cid:25)(cid:51)(cid:46)
(cid:27)2(cid:32)(cid:27)i(cid:32)(cid:101)(cid:102)(cid:75)(cid:189)(cid:117)(cid:13)(cid:36)(cid:272)(cid:273)(cid:42)(cid:70)(cid:71)(cid:45)(cid:68)(cid:25)(cid:51)(cid:46)(cid:27)ii(cid:32)(cid:115)(cid:78)(cid:130)(cid:160)(cid:35)(cid:75)(cid:189)(cid:7)(cid:81)(cid:93)(cid:163)(cid:164)(cid:35)(cid:165)(cid:36)(cid:75)(cid:189)(cid:7)(cid:81)(cid:45)(cid:24)(cid:42)
(cid:70)(cid:68)(cid:25)(cid:51).π b2+c2-a2 2
(cid:50)(cid:89)(cid:24)(cid:52)(cid:27)1(cid:32)(cid:54)(cid:21)(cid:97)(cid:44)A= (cid:42)(cid:138)cosA= = (cid:42)
4 2bc 2
1
(cid:138)b2+c2-a2 = 2bc(cid:42)(cid:96)b2-a2 = c2(cid:42)
2
3
(cid:129) c2 = 2bc,\3c=2 2b(cid:42)(cid:138)(cid:71)(cid:68)3sinC =2 2sinB(cid:42)
2
æ3π ö
(cid:70)3sinC =2 2sinç -C÷(cid:42)(cid:70)3sinC =2cosC+2sinC(cid:42)
è 4 ø
(cid:70)sinC =2cosC(cid:42)(cid:129)tanC =2(cid:46)
æ πö
(cid:27)2(cid:32)(cid:27)i(cid:32)(cid:54)(cid:128) f x=tanç2x- ÷,
è 4ø
π π 3π 1
(cid:341)2x- ¹ +kπ,kÎZ(cid:42)(cid:138)x¹ + kπ,kÎZ(cid:42)
4 2 8 2
ì 3π 1 ü π
(cid:129) f x(cid:36)(cid:57)(cid:276)(cid:338)(cid:41)íx|x¹ + kπ,kÎZý(cid:42)(cid:64)(cid:162)(cid:75)(cid:99)(cid:339)(cid:41)T = (cid:46)
î 8 2 þ 2
2tanC 2´2 4
(cid:27)ii(cid:32)tan2C = = =- (cid:42)
1-tan2C 1-4 3
π 4
tan2C-tan - -1
(cid:129) f C=tan æ ç2C- πö ÷= 4 = 3 =7.
è 4ø π 4
1+tan2Ctan 1-
4 3
18(cid:26)(cid:27)2024·(cid:145)(cid:337)·(cid:85)(cid:263)(cid:32)(cid:43)(cid:44)VABC(cid:36)(cid:34)(cid:35)A(cid:42)B(cid:42)C(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)a(cid:42)b(cid:42)c(cid:42)(cid:169) 3a=2csinA(cid:26)
(1)(cid:45)sinC(cid:36)(cid:69)(cid:46)
(2)(cid:47)c=3(cid:42)(cid:45)VABC(cid:48)(cid:49)S(cid:36)(cid:64)(cid:147)(cid:69)(cid:26)
3
(cid:50)(cid:25)(cid:51)(cid:52)(1)
2
9 3
(2)
4
3
(cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:52)(cid:27)1(cid:32)(cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:70)(cid:71)(cid:68)sinC = (cid:46)
2
1
(cid:27)2(cid:32)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:66)(cid:67)(cid:311)(cid:241)(cid:153)(cid:154)(cid:81)(cid:71)(cid:68)ab(cid:146)(cid:69)(cid:300)(cid:301)(cid:42)(cid:167)(cid:54)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:36)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:81)S = absinC(cid:71)(cid:45)(cid:63)(cid:48)(cid:49)(cid:36)
VABC 2
(cid:64)(cid:147)(cid:69).
(cid:50)(cid:89)(cid:24)(cid:52)(cid:27)1(cid:32)(cid:54)(cid:21)(cid:97)(cid:71)(cid:44)(cid:42) 3a=2csinA(cid:42)
(cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:68) 3sinA=2sinCsinA(cid:42)
(cid:91)(cid:41)A(cid:42)CÎ(0,π)(cid:42)(cid:92)(cid:93)sinA¹0(cid:42)3
(cid:70)sinC = .
2
3
(cid:27)2(cid:32)(cid:54)(cid:27)1(cid:32)(cid:71)(cid:44)sinC = (cid:42)
2
π 2π
(cid:92)(cid:93)C = (cid:237)C = .
3 3
(cid:141)VABC(cid:171)(cid:42)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:68)
AB2 = AC2+BC2-2AC´BCcosC(cid:42)
π
(cid:168)C = (cid:140)(cid:42)c=3(cid:42)
3
1
9=b2+a2-2ab× =b2+a2-ab³2ab-ab=ab(cid:42)
2
(cid:168)(cid:169)(cid:170)(cid:168)a=b=3(cid:140)(cid:146)(cid:154)(cid:9)(cid:42)(cid:70)ab£9(cid:42)
1 3 9 3
(cid:129)VABC(cid:36)(cid:48)(cid:49)S = absinC = ab£ .
(cid:194)ABC
2 4 4
2π
(cid:168)C = (cid:140)(cid:42)c=3(cid:42)
3
1
9=b2+a2+2ab× =b2+a2+ab³2ab+ab=3ab(cid:42)
2
(cid:168)(cid:169)(cid:170)(cid:168)a=b= 3(cid:140)(cid:146)(cid:154)(cid:9)(cid:42)(cid:70)ab£3(cid:42)
1 3 3 3
(cid:129)VABC(cid:36)(cid:48)(cid:49)S = absinC = ab£ .
VABC 2 4 4
(cid:342)(cid:145)(cid:92)(cid:343)(cid:42)VABC(cid:36)(cid:48)(cid:49)(cid:64)(cid:147)(cid:69)(cid:41)9 3
.
4
19(cid:26)(cid:27)2024·(cid:320)(cid:220)(cid:344)(cid:322)·(cid:85)(cid:263)(cid:32)(cid:141)VABC(cid:171)(cid:42)(cid:35)A(cid:42)B(cid:42)C(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)a(cid:23)b(cid:23)c(cid:42)(cid:169)
ccosB+2acosA+bcosC =0(cid:26)
(1)(cid:45)A(cid:46)
π
(2)(cid:204)(cid:205)(cid:92)(cid:84)(cid:42)D(cid:41)(cid:58)(cid:48)(cid:145)(cid:22)(cid:136)(cid:42)(cid:181)VABC(cid:345)(cid:166)(cid:22)(cid:173)(cid:150)(cid:38)(cid:86)ABDC(cid:42)(cid:169)ÐBDC = (cid:42)(cid:47)c=b=2(cid:42)(cid:45)AD(cid:36)(cid:64)
3
(cid:147)(cid:69)(cid:26)
2π
(cid:50)(cid:25)(cid:51)(cid:52)(1)A= .
3(2)4
(cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:52)(cid:27)1(cid:32)(cid:101)(cid:102)(cid:21)(cid:97)(cid:42)(cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:36)(cid:38)(cid:35)(cid:126)(cid:16)(cid:107)(cid:108)(cid:16)(cid:109)(cid:42)(cid:248)(cid:304)(cid:191)(cid:127)(cid:42)(cid:70)(cid:71)(cid:68)(cid:98)(cid:66)(cid:310)(cid:46)
(cid:27)2(cid:32)(cid:59)(cid:113)(cid:22)(cid:10)(cid:101)(cid:102)(cid:21)(cid:97)(cid:42)(cid:39)(cid:40)(cid:141)△ABD(cid:181)VACD(cid:171)(cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:16)(cid:109)(cid:42)(cid:70)(cid:71)(cid:68)(cid:98)AD=4sina(cid:42)(cid:94)(cid:95)(cid:68)(cid:98)(cid:66)
a
(cid:310)(cid:46)(cid:59)(cid:113)(cid:130)(cid:10)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:71)(cid:68)a=2 3(cid:42)(cid:167)(cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)2R= (cid:248)(cid:304)(cid:191)(cid:127)(cid:42)(cid:70)(cid:71)(cid:68)(cid:98)(cid:66)(cid:310)(cid:46)
sinA
(cid:50)(cid:89)(cid:24)(cid:52)(cid:27)1(cid:32)(cid:91)(cid:41)ccosB+2acosA+bcosC =0(cid:42)
(cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:68)(cid:42)sinCcosB+2sinAcosA+sinBcosC =0(cid:42)
(cid:92)(cid:93)2sinAcosA+sinB+C=0(cid:42)(cid:92)(cid:93)2sinAcosA+sinA=0(cid:42)
(cid:91)(cid:41)sinA¹0(cid:42)(cid:92)(cid:93)cosA=- 1 (cid:42)(cid:91)(cid:41)AÎ0,π(cid:42)(cid:92)(cid:93)A= 2π .
2 3
(cid:27)2(cid:32)(cid:59)(cid:113)(cid:22)(cid:10)(cid:137)ÐABD=a(cid:42)ÐADB=b(cid:42)(cid:138)(cid:10)
AD AC
AD AB =
(cid:141)△ABD(cid:171)(cid:42) = (cid:42) (cid:42)(cid:141)VACD(cid:171)(cid:42)sinπ-a æπ ö(cid:42)
sina sinb sinç -b÷
è3 ø
① ②
(cid:346) æ πö
(cid:10)sinb=sinçb- ÷(cid:42)(cid:92)(cid:93)b=30°(cid:42)(cid:92)(cid:93)AD=4sina(cid:42)(cid:92)(cid:93)AD(cid:36)(cid:64)(cid:147)(cid:69)(cid:148)4
(cid:347) è 3ø
(cid:24)(cid:113)(cid:130)(cid:10)(cid:141)VABC(cid:171)(cid:42)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:68)(cid:42) a= c2+b2-2cbcosA=2 3(cid:42)
2π π
(cid:91)(cid:41)ÐBAC+ÐBDC = + =π(cid:42)
3 3
a 2 3 2 3
2R= = = =4
(cid:92)(cid:93)(cid:150)(cid:38)(cid:86)ABDC(cid:348)(cid:141)(cid:22)(cid:173)(cid:182)(cid:183)(cid:184)O(cid:42)(cid:92)(cid:93)(cid:184)O(cid:36)(cid:175)(cid:186)(cid:41) sinA 2π 3
sin
3 2
(cid:91)(cid:41)AD£2R(cid:42)(cid:70)AD£4(cid:42)(cid:168)AD(cid:41)(cid:184)O(cid:175)(cid:186)(cid:140)(cid:146)(cid:154)(cid:9)(cid:42)(cid:129)AD(cid:36)(cid:64)(cid:147)(cid:69)(cid:41)4.
3a
20(cid:26)(cid:27)2024·(cid:150)(cid:315)(cid:349)(cid:350)(cid:351)·(cid:85)(cid:263)(cid:32)(cid:352)(cid:141) 2a-b=2ccosB(cid:42) =tanC+tanB(cid:42)
ccosB
① ②
C
3sinA+B=3-2cos2 (cid:85)(cid:173)(cid:105)(cid:106)(cid:171)(cid:20)(cid:242)(cid:22)(cid:173)(cid:42)(cid:353)(cid:354)(cid:141)(cid:203)(cid:48)(cid:36)(cid:253)(cid:21)(cid:171)(cid:42)B,C(cid:92)(cid:37)(cid:36)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:148)a,b,c(cid:42)(cid:43)
2
(cid:44)③ _____(cid:26)
(1)(cid:45)(cid:35)C(cid:46)
(2)(cid:47)b=4(cid:42)(cid:136)D(cid:141)(cid:38)AB(cid:145)(cid:42)CD(cid:41)ÐACB(cid:36)(cid:58)(cid:39)(cid:157)(cid:42)(cid:45)(cid:38)(cid:100)a(cid:36)(cid:69)(cid:26)
π
(cid:50)(cid:25)(cid:51)(cid:52)(1)C = (cid:46)
3
(2)a=2
(cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:52)(cid:27)1(cid:32)(cid:20) (cid:42)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:71)(cid:68)cosC(cid:36)(cid:69)(cid:42)(cid:167)(cid:54)(cid:35)C(cid:36)(cid:300)(cid:301)(cid:42)(cid:68)(cid:98)(cid:35)C(cid:36)(cid:147)(cid:162)(cid:70)(cid:71)(cid:46)(cid:20) (cid:42)(cid:54)(cid:75)(cid:56)
(cid:57)(cid:15)(cid:163)(cid:103)(cid:104)(cid:35)(cid:7)(cid:81)
①
(cid:42)(cid:71)(cid:68)tanC(cid:36)(cid:69)(cid:42)(cid:167)(cid:54)(cid:35)C(cid:36)(cid:300)(cid:301)(cid:42)(cid:68)(cid:98)(cid:35)C(cid:36)(cid:147)(cid:162)(cid:70)(cid:71)(cid:46)(cid:20) (cid:42)(cid:54)(cid:85)(cid:35)(cid:86)
②
(cid:34)(cid:35)(cid:161)(cid:57)(cid:15)
③(cid:163)(cid:185)(cid:35)(cid:7)(cid:81)(cid:68)(cid:98)(cid:35)C(cid:36)(cid:147)(cid:162)(cid:70)(cid:71)(cid:46)
(cid:27)2(cid:32)(cid:54)(cid:35)(cid:58)(cid:39)(cid:157)(cid:36)(cid:272)(cid:273)(cid:66)(cid:67)(cid:154)(cid:48)(cid:49)(cid:113)(cid:87)(cid:63)(cid:59)(cid:88)(cid:42)(cid:68)(cid:98)a(cid:36)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:26)
(cid:50)(cid:89)(cid:24)(cid:52)(cid:27)1(cid:32)(cid:20) (cid:42)(cid:91)(cid:41)2a-b=2ccosB(cid:42)
① a2+c2-b2
(cid:138)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:71)(cid:68)2a-b=2c× (cid:42)
2ac
(cid:159)(cid:15)(cid:71)(cid:68)a2+b2-c2 =ab(cid:42)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:71)(cid:68)a2+b2-c2 =2abcosC(cid:42)
1 π
(cid:71)(cid:68)cosC = (cid:42)(cid:91)(cid:41)CÎ(0,π)(cid:42)(cid:92)(cid:93)C = (cid:46)
2 3
3a
(cid:20) (cid:42) =tanC+tanB(cid:42)
ccosB
②
3sinA sinC sinB
(cid:92)(cid:93) = + (cid:42)
sinCcosB cosC cosB
3sinA sin(B+C) sinA
(cid:159)(cid:15)(cid:71)(cid:68)(cid:10) = = (cid:42)
sinCcosB cosCcosB cosCcosB
3 1
(cid:91)(cid:41)sinA>0,cosB¹0, = (cid:42)
sinC cosC
π
(cid:92)(cid:93)tanC = 3(cid:42)(cid:91)(cid:41)CÎ(0,π)(cid:42)(cid:71)(cid:68)C = (cid:46)
3
C
(cid:20) (cid:42) 3sinA+B=3-2cos2 (cid:42)(cid:71)(cid:68) 3sinC =2-cosC(cid:42)
2
③
π π
(cid:71)(cid:68)2sin(C+ )=2Þsin(C+ )=1(cid:42)
6 6
π æπ 7πö π π π
(cid:91)(cid:41)cÎ(0,π),C+ Îç , ÷(cid:42)(cid:92)(cid:93)C+ = (cid:42)(cid:71)(cid:68)C = (cid:46)
6 è6 6 ø 6 2 3
(cid:27)2(cid:32)(cid:141)VABC(cid:171)(cid:42)S =S +S (cid:42)
(cid:194)ABC (cid:194)ACD (cid:194)BCD
1
(cid:71)(cid:68) a×CD+CD= 3a(cid:42)(cid:33)(cid:41) (cid:42)
4
①
1 2 3
(cid:96)S = a×CD= (cid:42)(cid:33)(cid:41) (cid:42)
VCDB 3 2
②
a2 2
(cid:54) (cid:71)(cid:68) = (cid:42)
a+4 3
①②
2
(cid:24)(cid:68)a=2(cid:237)a=- (cid:27)(cid:303)(cid:134)(cid:32)(cid:42)
3
(cid:92)(cid:93)(cid:38)(cid:100)a=2(cid:26)
21(cid:26)(cid:27)2024·(cid:299)(cid:355)(cid:355)(cid:260)·(cid:85)(cid:263)(cid:32)(cid:141)VABC(cid:171)(cid:42)(cid:34)(cid:35)A(cid:42)B(cid:42)C(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)a(cid:42)b(cid:42)c(cid:42)(cid:169)a¹b,c=1.
r r r
(1)(cid:47)|CA+CB|=|AB|,2sinA=sinC(cid:42)(cid:45)VABC(cid:36)(cid:48)(cid:49);
a-b
(2)(cid:47)cosB-cosA= (cid:42)(cid:45)(cid:240)(cid:68)m>a+b(cid:250)(cid:166)(cid:179)(cid:140)(cid:42)(cid:196)(cid:13)m(cid:36)(cid:64)(cid:162)(cid:69).
23
(cid:50)(cid:25)(cid:51)(cid:52)(1)
8
2 3
(2)
3
r r r r r r
(cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:52)(cid:27)1(cid:32)(cid:101)(cid:102)(cid:21)(cid:97)(cid:42)(cid:54)(cid:105)(cid:106)(cid:71)(cid:68)|CA+CB|=|CB-CA|(cid:42)(cid:94)(cid:95)(cid:71)(cid:68)CA^CB(cid:42)(cid:167)(cid:54)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:36)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:81)(cid:248)
(cid:304)(cid:191)(cid:127)(cid:42)(cid:70)(cid:71)(cid:45)(cid:24)(cid:46)
(cid:27)2(cid:32)(cid:101)(cid:102)(cid:21)(cid:97)(cid:42)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:248)(cid:304)(cid:191)(cid:127)(cid:42)(cid:70)(cid:71)(cid:68)(cid:98)a2+ab+b2 =1(cid:42)(cid:167)(cid:54)(cid:131)(cid:132)(cid:153)(cid:154)(cid:81)(cid:248)(cid:304)(cid:191)(cid:127)(cid:42)(cid:70)(cid:71)(cid:68)(cid:98)
2 3
a+b< (cid:42)(cid:94)(cid:95)(cid:68)(cid:98)(cid:66)(cid:310).
3
r r r r r r r r r r r
(cid:50)(cid:89)(cid:24)(cid:52)(cid:27)1(cid:32)(cid:91)(cid:41)|CA+CB|=|AB|(cid:42)(cid:70)|CA+CB|=|CB-CA|(cid:42)(cid:92)(cid:93)|CA+CB|2=|CB-CA|2(cid:42)
r r r r r r r r r r r r
(cid:70) CA 2 +2CA×CB+CB 2 =CA 2 -2CA×CB+CB 2(cid:42)(cid:138)CA×CB=0(cid:42)(cid:92)(cid:93)CA^CB(cid:42)
π 1
(cid:92)(cid:93)ÐC = (cid:42)(cid:169)2sinA=sinC(cid:42)(cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:71)(cid:68)2a=c=1(cid:42)(cid:138)a= (cid:42)
2 2
2
æ1ö 3 1 1 3 3
(cid:92)(cid:93)b= 1-ç ÷ = (cid:42)(cid:138)S = ´ ´ = .
è2ø 2 VABC 2 2 2 8
a-b a2+c2-b2 b2+c2-a2 a-b
(cid:27)2(cid:32)(cid:91)(cid:41)cosB-cosA= (cid:42)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:71)(cid:68) - = (cid:42)
2 2ac 2bc 2
a2+1-b2 b2+1-a2 æ 1-b2 ö æ 1-a2 ö
(cid:96)c=1(cid:42)(cid:138) - =a-b(cid:42)(cid:70)ça+ ÷-çb+ ÷=a-b(cid:42)
a b è a ø è b ø
(cid:92)(cid:93) 1-b2 = 1-a2 (cid:42)(cid:16)(cid:109)(cid:71)(cid:68)a-b=a3-b3 =a-b a2+ab+b2 (cid:42)
a b
æa+bö 2
(cid:91)(cid:41)a¹b(cid:42)(cid:92)(cid:93)a2+ab+b2 =1(cid:42)(cid:92)(cid:93)a+b2 =1+ab£1+ç ÷ (cid:42)
è 2 ø
3a+b2
2 3
(cid:70) £1 (cid:42)(cid:92)(cid:93)a+b£ (cid:42)(cid:168)(cid:169)(cid:170)(cid:168)a=b(cid:140)(cid:42)(cid:154)(cid:9)(cid:166)(cid:179)(cid:42)
4 3
2 3 2 3 2 3
(cid:96)a¹b(cid:42)(cid:92)(cid:93)a+b< (cid:42)(cid:129)m³ (cid:70)(cid:71)(cid:42)(cid:92)(cid:93)m(cid:36)(cid:64)(cid:162)(cid:69)(cid:41) .
3 3 3
22(cid:26)(cid:27)2024·(cid:286)(cid:287)(cid:261)(cid:286)·(cid:85)(cid:263)(cid:32)(cid:141) bsinA+sinB=c+asinC-sinA(cid:42) tanB+tanC =- 3a (cid:42)
ccosB
① ② ③
A+B
3bsin =csinB
2
(cid:356)(cid:85)(cid:173)(cid:105)(cid:106)(cid:171)(cid:357)(cid:20)(cid:22)(cid:173)(cid:42)(cid:353)(cid:354)(cid:141)(cid:203)(cid:48)(cid:36)(cid:358)(cid:157)(cid:145)(cid:42)(cid:190)(cid:24)(cid:25)(cid:26)
(cid:141)VABC(cid:171)(cid:42)(cid:34)(cid:35)A(cid:42)B(cid:42)C(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)a(cid:42)b(cid:42)c(cid:42)(cid:169)______(cid:26)
(1)(cid:45)(cid:35)C(cid:36)(cid:147)(cid:162)(cid:46)
(2)(cid:43)(cid:44)c=7(cid:42)D(cid:148)(cid:38)AB(cid:36)(cid:171)(cid:136)(cid:42)(cid:169)CD^CB(cid:42)(cid:45)CD(cid:36)(cid:100)(cid:26)2π
(cid:50)(cid:25)(cid:51)(cid:52)(1)
3
21
(2)
2
(cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:52)(cid:27)1(cid:32)(cid:47)(cid:20) (cid:42)(cid:115)(cid:78)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:76)(cid:35)(cid:16)(cid:38)(cid:42)(cid:167)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:191)(cid:127)(cid:71)(cid:68)(cid:46)(cid:47)(cid:20) (cid:42)(cid:115)(cid:78)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:76)(cid:38)(cid:16)
(cid:35)(cid:42)(cid:167)(cid:66)(cid:67)(cid:85)(cid:35)(cid:250)(cid:154)
①
(cid:188)(cid:243)(cid:7)(cid:81)(cid:45)(cid:63)tanC(cid:42)(cid:70)(cid:71)(cid:68)(cid:24)(cid:46)(cid:47)(cid:20) (cid:42)(cid:115)(cid:78)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:76)(cid:38)
②
(cid:16)(cid:35)(cid:42)(cid:167)(cid:54)(cid:267)(cid:120)(cid:7)(cid:81)(cid:163)(cid:130)
(cid:160)(cid:35)(cid:7)(cid:81)(cid:191)(cid:127)(cid:71)(cid:68)(cid:46)
③
(cid:27)2(cid:32)(cid:72)(cid:73)(cid:45)(cid:63)ÐDCA(cid:42)(cid:54)(cid:171)(cid:157)(cid:36)(cid:272)(cid:273)(cid:68)(cid:98)S =S (cid:42)(cid:54)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:81)(cid:68)(cid:98)b=2a(cid:42)(cid:167)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:68)(cid:98)
VADC VBCD
c= 7a(cid:42)(cid:70)(cid:71)(cid:45)(cid:63)a(cid:23)b(cid:42)(cid:167)(cid:54)(cid:359)(cid:360)(cid:57)(cid:15)(cid:191)(cid:127)(cid:71)(cid:68).
(cid:50)(cid:89)(cid:24)(cid:52)(cid:27)1(cid:32)(cid:59)(cid:51)(cid:22)(cid:10)(cid:20)(cid:105)(cid:106) (cid:26)(cid:91)(cid:41)bsinA+sinB=c+asinC-sinA
(cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:68)ba+b=c+a①c-a(cid:42)(cid:70)a2+b2-c2 =-ab(cid:42)
a2+b2-c2 ab 1
(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:68)cosC = =- =- (cid:26)
2ab 2ab 2
2π
(cid:96)CÎ0,π(cid:42)(cid:92)(cid:93)C = (cid:26)
3
3a
(cid:59)(cid:51)(cid:130)(cid:10)(cid:20)(cid:105)(cid:106) (cid:26)(cid:91)(cid:41)tanB+tanC =- (cid:42)
ccosB
②
sinB sinC 3sinA
(cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:68) + =- (cid:42)
cosB cosC sinCcosB
sinBcosC+cosBsinC sinB+C sinA 3sinA
(cid:92)(cid:93) = = =- (cid:42)
cosBcosC cosBcosC cosBcosC sinCcosB
2π
(cid:91)(cid:41)0< A<π(cid:42)(cid:92)(cid:93)sinA¹0(cid:42)(cid:96)cosB¹0(cid:42)(cid:92)(cid:93)tanC=- 3(cid:42)(cid:96)0<C<π(cid:42)(cid:92)(cid:93)C = (cid:26)
3
A+B
(cid:59)(cid:51)(cid:85)(cid:10)(cid:20)(cid:105)(cid:106) (cid:26)(cid:91)(cid:41) 3bsin =csinB(cid:42)
2
③ A+B
(cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:68) 3sinBsin =sinCsinB(cid:42)
2
A+B
(cid:91)(cid:41)0<B<π(cid:42)(cid:92)(cid:93)sinB¹0(cid:42)(cid:92)(cid:93) 3sin =sinC(cid:26)
2
A+B π-C C
(cid:141)VABC(cid:171)(cid:42)A+B+C=π(cid:42)(cid:71)(cid:68)sin =sin =cos (cid:42)
2 2 2
C C C C π
(cid:129) 3cos =2sin cos (cid:42)(cid:91)(cid:41)0<C<π(cid:42)(cid:138)0< < (cid:42)
2 2 2 2 2
C C 3 C π 2π
(cid:92)(cid:93)cos ¹0(cid:42)(cid:129)sin = (cid:42)(cid:92)(cid:93) = (cid:42)(cid:138)C = (cid:26)
2 2 2 2 3 3
2π
(cid:27)2(cid:32)(cid:24)(cid:113)(cid:22)(cid:10)(cid:91)(cid:41)D(cid:148)(cid:38)AB(cid:36)(cid:171)(cid:136)(cid:42)(cid:92)(cid:93)S =S (cid:42)(cid:54)(cid:27)1(cid:32)(cid:44)ÐACB= (cid:42)
VADC VBCD 3π 1 π 1
(cid:91)(cid:41)CD^CB(cid:42)(cid:92)(cid:93)ÐDCA= (cid:42)(cid:129) b×CDsin = a×CD(cid:42)(cid:129)b=2a(cid:26)
6 2 6 2
2π
(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:68)c2 =a2+b2-2abcos =a2+b2+ab=7a2(cid:42)
3
(cid:129)c= 7a(cid:42)(cid:91)(cid:41)c=7(cid:42)(cid:92)(cid:93)a= 7(cid:42)b=2 7(cid:26)
AB c 7
(cid:141)RtVBCD(cid:171)(cid:42)BD= = = (cid:42)BC =a= 7(cid:42)
2 2 2
49 21 21
(cid:92)(cid:93)CD= BD2-BC2 = -7 = (cid:42)(cid:70)CD(cid:36)(cid:100)(cid:41) (cid:26)
4 2 2
2π π
(cid:24)(cid:113)(cid:130)(cid:10)(cid:54)(cid:27)1(cid:32)(cid:44)ÐACB= (cid:42)(cid:91)(cid:41)CD^CB(cid:42)(cid:92)(cid:93)ÐDCA= (cid:42)
3 6
AB c 7
(cid:91)(cid:41)c=7(cid:42)D(cid:148)(cid:38)AB(cid:36)(cid:171)(cid:136)(cid:42)(cid:92)(cid:93)AD=BD= = =
2 2 2
π 7
(cid:137)ÐABC =a(cid:42)(cid:138)ÐCAB= -a(cid:42)(cid:141)RtVBCD(cid:171)(cid:42)CD=BD×sina= sina (cid:42)
3 2
①
CD
CD AD =7
(cid:141)VACD(cid:171)(cid:42)(cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15) = (cid:42)(cid:70) æπ ö (cid:42)
sinÐCAB sinÐACD sinç -a÷
è3 ø
②
æπ ö 3
(cid:164)(cid:81)(cid:192)(cid:361)(cid:71)(cid:68)sina=2sinç -a÷(cid:42)(cid:70)sina= 3cosa-sina(cid:42)(cid:68)tana= (cid:42)
è3 ø 2
①②
3 7 3 21
(cid:92)(cid:93)sina= (cid:42)(cid:92)(cid:93)CD=BD×sina= ´ =
7 2 7 2
(cid:24)(cid:113)(cid:85)(cid:10)(cid:93)C(cid:41)(cid:362)(cid:213)(cid:244)(cid:136)(cid:42)CB(cid:92)(cid:141)(cid:175)(cid:157)(cid:41)x(cid:363)(cid:42)CD(cid:92)(cid:141)(cid:175)(cid:157)(cid:41)y(cid:363)(cid:42)(cid:178)(cid:179)(cid:204)(cid:205)(cid:92)(cid:84)(cid:36)(cid:58)(cid:48)(cid:175)(cid:35)(cid:362)(cid:213)(cid:60)(cid:42)
(cid:138)C0,0(cid:42)Ba,0(cid:42)(cid:137)D0,d(cid:42)(cid:91)(cid:41)D(cid:148)(cid:38)AB(cid:36)(cid:171)(cid:136)(cid:42)(cid:92)(cid:93)A-a,2d(cid:26)
2π 2d 2 3d
(cid:91)(cid:41)ÐACB= (cid:42)(cid:92)(cid:93)(cid:175)(cid:157)AC(cid:36)(cid:195)(cid:364)(cid:41)- 3(cid:42)(cid:138)- =- 3(cid:42)(cid:92)(cid:93)a= (cid:26)
3 a 3
(cid:96) BD = AB = c = 7 (cid:42)(cid:92)(cid:93) BD 2 =a2+d2 = 4 d2+d2 = 7 d2 = 49 (cid:42)
2 2 2 3 3 4
21 21
(cid:92)(cid:93) CD =d = (cid:42)(cid:129)CD(cid:36)(cid:100)(cid:41) (cid:26)
2 223(cid:26)(cid:27)2024·(cid:150)(cid:315)(cid:365)(cid:322)·(cid:263)(cid:366)(cid:367)(cid:368)(cid:32)(cid:43)(cid:44)(cid:141)VABC(cid:171)(cid:42)D(cid:41)BC(cid:38)(cid:36)(cid:171)(cid:136)(cid:42)(cid:169)AD= 5(cid:26)
5
(1)(cid:47)VABC(cid:36)(cid:48)(cid:49)(cid:41)2(cid:42)cosÐADC = (cid:42)(cid:45)B(cid:46)
5
(2)(cid:47)AB2+AC2 =18(cid:42)(cid:45)VABC(cid:36)(cid:99)(cid:100)(cid:36)(cid:64)(cid:147)(cid:69)(cid:26)
π
(cid:50)(cid:25)(cid:51)(cid:52)(1)
4
(2)10
(cid:50)(cid:39)(cid:53)(cid:52)(cid:27)1(cid:32)(cid:101)(cid:102)(cid:21)(cid:97)(cid:42)(cid:115)(cid:78)(cid:85)(cid:35)(cid:86)(cid:36)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:81)(cid:42)(cid:45)(cid:68)BD=1(cid:42)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:42)(cid:45)(cid:68)AB=2 2(cid:42)(cid:167)(cid:54)(cid:75)(cid:56)
2
(cid:57)(cid:15)(cid:45)(cid:68)sinB= (cid:42)(cid:107)(cid:95)(cid:45)(cid:68)B(cid:36)(cid:69)(cid:46)
2
(cid:27)2(cid:32)(cid:137)CD=BD=x(cid:42)(cid:39)(cid:40)(cid:141)△ABD(cid:161)VACD(cid:171)(cid:42)(cid:115)(cid:78)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:42)(cid:87)(cid:63)(cid:59)(cid:88)(cid:45)(cid:68)x=2(cid:42)(cid:66)(cid:67)
AB+AC2 £2  AB2+AC2 (cid:42)(cid:70)(cid:71)(cid:45)(cid:24).
(cid:50)(cid:89)(cid:24)(cid:52)(cid:27)1(cid:32)(cid:24)(cid:10)(cid:91)(cid:41)VABC(cid:36)(cid:48)(cid:49)(cid:41)2(cid:42)(cid:169)D(cid:41)BC(cid:36)(cid:171)(cid:136)(cid:42)
1
(cid:71)(cid:68)S = AD BDsinÐADB=1(cid:42)
VABD 2
2 5
(cid:96)(cid:91)(cid:41)sinÐADB=sinÐADC = (cid:42)(cid:71)(cid:68)BD=1(cid:42)(cid:92)(cid:93)BC =2
5
(cid:141)△ABD(cid:171)(cid:42)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:68)AB2 = AD2+BD2-2AD×BD×cosÐADB
2 5
=( 5)2+12-2´ 5´1´ =8(cid:42)(cid:92)(cid:93)AB=2 2(cid:42)
5
AB AD 2
(cid:54)(cid:75)(cid:56)(cid:57)(cid:15) = (cid:42)(cid:71)(cid:68)sinB= (cid:42)
sinÐADB sinB 2
5
(cid:91)(cid:41)ÐADC+ÐADB=π(cid:169)cosÐADC = (cid:42)
5
5
(cid:71)(cid:68)cosÐADB=cos(π-ÐADC)=-cosÐADC =- <0(cid:42)
5
π
(cid:70)ÐADB(cid:41)(cid:236)(cid:35)(cid:42)(cid:92)(cid:93)B(cid:41)(cid:235)(cid:35)(cid:42)(cid:92)(cid:93)B= .
4
(cid:27)2(cid:32)(cid:24)(cid:10)(cid:137)CD=BD=x(cid:42)(cid:39)(cid:40)(cid:141)△ABD(cid:161)VACD(cid:171)(cid:42)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)AB2 = AD2+BD2-2AD×BD×cosÐADB(cid:42)
(cid:70)AB2 =x2+5-2x× 5cosÐADB(cid:42)(cid:116)(cid:15)(cid:71)(cid:68)AC2 =x2+5+2x× 5cosÐADB(cid:42)
(cid:92)(cid:93)AB2+AC2 =2(x2+5)=18(cid:42)(cid:71)(cid:68)x=2(cid:42)
(cid:96)(cid:91)(cid:41)AB+AC2 £2  AB2+AC2 =36(cid:42)(cid:168)(cid:169)(cid:170)(cid:168)AB= AC(cid:140)(cid:42)(cid:154)(cid:9)(cid:166)(cid:179)(cid:42)
(cid:92)(cid:93)AB+AC£6(cid:42)(cid:92)(cid:93)VABC(cid:99)(cid:100)(cid:36)(cid:64)(cid:147)(cid:69)(cid:41)10(cid:26)