专题12插空法模型_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年08月试卷_0816新高考数学题型全归纳之排列组合（20个专题）

专题 12 插空法模型 例1．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若 化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ） A．72种 B．144种 C．288种 D．360种 例2．只用1,2,3,4四个数字组成一个五位数，规定这四个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现， 这样的五位数有（ ） A．96 B．144 C．240 D．288 例3．楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关， 则关灯方案的种数为( ) A．10 B．15 C．20 D．24 例4．某班某天上午有五节课，需安排的科目有语文，数学，英语，物理，化学，其中语文和英语必须连续 安排，数学和物理不得连续安排，则不同的排课方法数为（ ） A．60 B．48 C．36 D．24 例5．三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不 同的站法共有( ) A．72种 B．108种 C．36种 D．144种 例6．为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备 从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且 当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为（ ） A．720 B．768 C．810 D．816 例7．已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿 相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ） A．48种 B．72种 C．78种 D．84种 例8．琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”．为弘扬 中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续 安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种 乐器互不相邻的概率为（ ） 1 1 7 1 A． B． C． D． 360 6 15 15 1例9．某中学话剧社的6个演员站成一排照相，高一､高二和高三年级均有2个演员，则高一与高二两个年 级中仅有一个年级的同学相邻的站法种数为（ ） A．48 B．144 C．288 D．576 例10．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排 队方法数为（ ）. A．432 B．576 C．696 D．960 例11．中国古代儒家提出的“六艺”指:礼､乐､射､御､书､数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动, 周六这天准备排课六节,每艺一节,排课有如下要求:“乐”与“书”不能相邻,“射”和“御”要相邻,则针对“六艺”课程 讲座活动的不同排课顺序共有( ) A．18种 B．36种 C．72种 D．144种 例12．电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都 有空位且甲坐在中间的坐法的种数为（ ） A．40 B．36 C．32 D．20 例13．某公共汽车站有6个候车位排成一排，甲、乙、丙三个乘客在该汽车站等候228路公交车的到来， 由于市内堵车，228路公交车一直没到站，三人决定在座位上候车，且每人只能坐一个位置，则恰好有2个 连续空座位的候车方式的种数是( ) A．48 B．54 C．72 D．84 例14．某公园新购进3盆锦紫苏、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，现将这6盆盆栽摆成一排，要求郁 金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（ ）种 A．96 B．120 C．48 D．72 例15．甲、乙、丙、丁、戊、己六人按一定的顺序依次抽奖，要求甲排在乙前面，丙与丁不相邻且均不排 在最后，则抽奖的顺序有（ ） A．72种 B．144种 C．360种 D．720种 例16．现有排成一排的7个不同的盒子，将红、黄、蓝、白颜色的4个小球全部放入这7个盒子中，若每 个盒子最多放一个小球，则恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共有_______种.（结果用数 字表示） 例17．若6把椅子摆成一排，3人随机就座，则有且仅有两人相邻的坐法有______种（用数字填空）． 例18．用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只 有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为________. 2例19．在疫情防控常态化条件下，各地电影院有序开放，某影院一排共有10个座位，选出3个用于观影， 防疫要求选出座位的左右两边都是空位，则不同的选法有_______种（用数字回答）. 例20．A,B,C,D,E,F 六人并排站成一排，A,B必须站在一起，且C,D不能相邻，那么不同的排法共有 _____种（结果用数字表示）. 例21．将5个相同的小球放入3个不同的盒子，盒子不空，有________种投放方法. 例22．高三2011级某班的12名班委合影留念，他们先站成了前排4人，后排8人的队形.现在摄影师准备 保留前排顺序不变，从后排中调两个不相邻的同学，相邻地站在前排，则不同的调整方法种数是（用数值 作答）________. 3专题 12 插空法模型 例1．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若 化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ） A．72种 B．144种 C．288种 D．360种 【解析】 第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有A2 12种排法；第二步将数学和物理插 4 入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有A2 12种排法，所以不同的排表方法共有1212144种. 4 选B. 例2．只用1,2,3,4四个数字组成一个五位数，规定这四个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现， 这样的五位数有（ ） A．96 B．144 C．240 D．288 【解析】 当重复使用的数字为数字1时，符合题意的五位数共有：A3C2 36个 3 4 当重复使用的数字为2,3,4时，与重复使用的数字为1情况相同 满足题意的五位数共有：364144个 本题正确选项：B 例3．楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关， 则关灯方案的种数为( ) A．10 B．15 C．20 D．24 【解析】 问题等价于将3盏关着的灯插入6盏亮着的灯所形成的除最左端和最右端的空挡以外的5个空档之内 关灯方案共有：C3 10种 5 故选：A 例4．某班某天上午有五节课，需安排的科目有语文，数学，英语，物理，化学，其中语文和英语必须连续 安排，数学和物理不得连续安排，则不同的排课方法数为（ ） A．60 B．48 C．36 D．24 【解析】 1先将语文和英语捆绑在一起，作为一个新元素处理， 再将此新元素与化学全排，再在3个空中选2个空将数学和物理插入即可， 即不同的排课方法数为A2A2A2 24， 2 2 3 故选：D． 例5．三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不 同的站法共有( ) A．72种 B．108种 C．36种 D．144种 【解析】 先将男生甲与男生乙“捆绑”，有A2种方法， 2 再与另一个男生排列，则有A2种方法， 2 三名女生任选两名“捆绑”，有A2种方法， 3 再将两组女生插空，插入男生3个空位中，则有A2种方法， 3 利用分步乘法原理，共有A2A2A2A2 144种. 2 2 3 3 故选：D． 例6．为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备 从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且 当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为（ ） A．720 B．768 C．810 D．816 【解析】 由题知结果有三种情况．(1)甲、乙、丙三名同学全参加，有C1A4=96种情况，其中甲、乙相邻的有 4 4 C1A2A3 48种情况，所以甲、乙、丙三名同学全参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻顺序有964848 4 2 3 种情况；(2)甲、乙、丙三名同学恰有一人参加，不同的朗诵顺序有C3C1A4 288种情况；(3)甲、乙、 4 3 4 丙三名同学恰有二人参加时，不同的朗诵顺序有C2C2A4 432种情况．则选派的4名学生不同的朗诵顺序 4 3 4 有28843248768种情况，故本题答案选B 例7．已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿 相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ） 2A．48种 B．72种 C．78种 D．84种 【解析】 由题意知先使五个人的全排列，共有A5种结果． 5 (1) 身穿红、黄两种颜色衣服的两人都相邻时，把相邻的两人看成一个整体，共有A2A2A3 24种情况； 2 2 3 (2)只穿红颜色衣服两人相邻，穿黄颜色衣服的两人不相邻，把相邻的两人看成一个整体，不相邻的采用插 空法，共有A2A2A2 24种情况； 2 2 3 (3) 只穿黄颜色衣服两人相邻，穿红颜色衣服的两人不相邻，把相邻的两人看成一个整体，不相邻的采用插 空法，共有A2A2A2 24种情况； 2 2 3 ∴穿相同颜色衣服的人不能相邻的排法有A5 2422448种情况， 5 故选：A． 例8．琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”．为弘扬 中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续 安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种 乐器互不相邻的概率为（ ） 1 1 7 1 A． B． C． D． 360 6 15 15 【解析】 从这十种乐器中挑八种全排列，有情况种数为A8 ．从除琵琶、二胡、编钟三种乐器外的七种乐器中挑五种 10 全排列，有A5种情况，再从排好的五种乐器形成的6个空中挑3个插入琵琶、二胡、编钟三种乐器，有A3 7 6 种情况，故琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的情况种数为A5A3． 7 6 A5A3 1 所以所求的概率P  7 6  ， A8 6 10 故选：B． 例9．某中学话剧社的6个演员站成一排照相，高一､高二和高三年级均有2个演员，则高一与高二两个年 级中仅有一个年级的同学相邻的站法种数为（ ） A．48 B．144 C．288 D．576 【解析】 3分两类，第一类高一年级同学相邻高二年级同学不相邻， 把高一两个同学“捆绑”看作一个元素与高三两个同学排列有A2A3种不同排法，把高二年级两个同学排入 2 3 4个空位中的2个（插空法）有A2种不同方法， 4 故第一类有A2A3A2 144种站法， 2 3 4 第二类高二年级同学相邻高一年级同学不相邻，与第一类方法相同，也有144种站法， 由分类加法计数原理知，共有144144288种站法， 故选：C 例10．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排 队方法数为（ ）. A．432 B．576 C．696 D．960 【解析】 首先将除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好，共有A3种不同排列方式，甲、丁排在一起共有A2种不同方 3 2 式； 若甲、丁一起与乙、丙都不相邻，插入余下三人产生的空档中，共有A3种不同方式； 4 若甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻，插入余下三人产生的空档中，共有C1A2种不同方式； 2 4 根据分类加法、分步乘法原理，得满足要求的排队方法数为A3 A2 (A3 C1A2)576种. 3 2 4 2 4 故选：B. 例11．中国古代儒家提出的“六艺”指:礼､乐､射､御､书､数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动, 周六这天准备排课六节,每艺一节,排课有如下要求:“乐”与“书”不能相邻,“射”和“御”要相邻,则针对“六艺”课程 讲座活动的不同排课顺序共有( ) A．18种 B．36种 C．72种 D．144种 【解析】 由题意“乐”与“书”不能相邻,“射”和“御”要相邻， 可将“射”和“御”进行捆绑看成一个整体，共有A2种， 2 然后与“礼”、“数”进行排序，共有A3种， 3 最后将“乐”与“书”插入4个空即可，共有A2种， 4 4由于是分步进行，所以共有A2A3A2 144 种， 2 3 4 故选：D. 例12．电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都 有空位且甲坐在中间的坐法的种数为（ ） A．40 B．36 C．32 D．20 【解析】 除甲、乙、丙三人的座位外，还有7个座位，它们之间共可形成六个空， 三人从6个空中选三位置坐上去有C3种坐法， 6 又甲坐在中间，所以乙、丙有A2种方法， 2 所以他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有C3 A2 40种. 6 2 故选：A. 例13．某公共汽车站有6个候车位排成一排，甲、乙、丙三个乘客在该汽车站等候228路公交车的到来， 由于市内堵车，228路公交车一直没到站，三人决定在座位上候车，且每人只能坐一个位置，则恰好有2个 连续空座位的候车方式的种数是( ) A．48 B．54 C．72 D．84 【解析】 根据题意，分2步进行分析： ①先将3名乘客全排列，有A3 6种情况， 3 ②3名乘客排好后，有4个空位，在4个空位中任选1个，安排2个连续空座位，有4种情况， 在剩下的3个空位中任选1个，安排1个空座位，有3种情况， 则恰好有2个连续空座位的候车方式有64372种； 故选：C． 例14．某公园新购进3盆锦紫苏、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，现将这6盆盆栽摆成一排，要求郁 金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（ ）种 A．96 B．120 C．48 D．72 【解析】 使用插空法，先排2盆虞美人、1盆郁金香有A3种， 3 5然后将3盆锦紫苏放入到4个位置中有A3种， 4 根据分步乘法计数原理有A3A3，扣除郁金香在两边， 3 4 排2盆虞美人、1盆郁金香有2A2种， 2 再将3盆锦紫苏放入到3个位置中有A3， 3 根据分步计数原理有2A2A3， 2 3 所以共有A3A3 2A2A3 120种. 3 4 2 3 故选:B. 例15．甲、乙、丙、丁、戊、己六人按一定的顺序依次抽奖，要求甲排在乙前面，丙与丁不相邻且均不排 在最后，则抽奖的顺序有（ ） A．72种 B．144种 C．360种 D．720种 【解析】 A4 第一步先排甲、乙、戊、己，甲排在乙前面，则有 4 种，第二步再将丙与丁插空到第一步排好的序列中， 2 但注意到丙与丁均不排在最后，故有4个空可选，所以有A2中插空方法，所以根据分步乘法计数原理有 4 A4 4 A2=144种. 2 4 故选：B. 例16．现有排成一排的7个不同的盒子，将红、黄、蓝、白颜色的4个小球全部放入这7个盒子中，若每 个盒子最多放一个小球，则恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共有_______种.（结果用数 字表示） 【解析】 先不考虑红球与黄球不相邻，则4个小球有A4种排法，再安排空盒，有C2A2种方法， 4 5 2 再考虑红球与黄球相邻，则4个小球有A3A2种排法，再安排空盒，有C2A2种方法， 3 2 4 2 因此所求放法种数为A4 C2A2  A3A2 C2A2 336. 4 5 2 3 2 4 2 例17．若6把椅子摆成一排，3人随机就座，则有且仅有两人相邻的坐法有______种（用数字填空）． 【解析】 6从3人选择2人进行捆绑，形成1个“大元素”，然后与另外1人形成2个元素，再由3把椅子所形成的4个 空位中选择2个空位插入即可， 由分步乘法计数原理可知，符合条件的坐法种数为A2A2 72. 3 4 故答案为：72. 例18．用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只 有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为________. 【解析】 从2，4，6三个偶数中任意取出2个看作一个整体，方法有A2 6种， 3 先排三个奇数，有A3 6种，形成了4个空，将“整体”和另一个偶数插在3个奇数形成的四个空中，方 3 法有A2 12种 4 根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有：6612432种 若1排在两端，3个奇数的排法有A1A2 4种，形成了3个空，将“整体”和另一个偶数中插在3个奇数 2 2 形成的3个空中，方法有A2 6种，根据分步计数原理求得此时满足条件的6位数共有646144种 3 故满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻的六位数有432144288种 故答案为：288 例19．在疫情防控常态化条件下，各地电影院有序开放，某影院一排共有10个座位，选出3个用于观影， 防疫要求选出座位的左右两边都是空位，则不同的选法有_______种（用数字回答）. 【解析】 由某影院一排共有10个座位，选出3个用于观影，要求选出座位的左右两边都是空位， 可先将其中的7个空位排成一排，其中有6个空隙， 再把三个座位放在其中的3个空隙中，共有C3 20种不同方法. 6 故答案为：20 例20．A,B,C,D,E,F 六人并排站成一排，A,B必须站在一起，且C,D不能相邻，那么不同的排法共有 _____种（结果用数字表示）. 【解析】 解：根据题意，分2步进行分析： 7①将AB两人看成一个元素，与EF2人进行全排列， 有A2A3 12种排法，排好后有4个空位， 2 3 ②在4个空位中任选2个，安排C、D，有A2 12种情况， 4 则有1212144种不同的排法. 故答案为：144. 例21．将5个相同的小球放入3个不同的盒子，盒子不空，有________种投放方法. 【解析】 5个相同的小球产生4个空，插入两块隔板，共有C2 6种投放方法. 4 故答案为：6. 例22．高三2011级某班的12名班委合影留念，他们先站成了前排4人，后排8人的队形.现在摄影师准备 保留前排顺序不变，从后排中调两个不相邻的同学，相邻地站在前排，则不同的调整方法种数是（用数值 作答）________. 【解析】 第一步：从后排8人中，抽取2个不相邻的同学共有：65432121种选法； 第二步：将所抽取的两名同学捆绑，共有A2 2种方法； 2 第三步：将所抽取的两名同学插入前排4人形成的5个空档中，共有C1 5种方法， 5 由分步乘法计数原理可知，共有2125210种调整方法. 故答案为：210. 8