专题13数列（4大考向真题解读）-原卷版_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年08月试卷_08202025版《真题题源解密-专题分类》数学

专题 13 数列
命题解读 考向 考查统计
1.(cid:16)(cid:17)(cid:40)(cid:7)(cid:8)(cid:12)(cid:17)(cid:41)(cid:19)(cid:42)(cid:43)(cid:44) 2024·(cid:15)(cid:16)(cid:17)Ⅱ(cid:18)(cid:19)12
(cid:45)1(cid:46)(cid:7)(cid:8)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:12)(cid:53)(cid:23)(cid:17)(cid:54) (cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:3)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:13)(cid:14) 2023·(cid:15)(cid:16)(cid:17)Ⅰ(cid:18)(cid:19)20
(cid:55)(cid:7)(cid:8)(cid:12)(cid:56)(cid:57)(cid:34)(cid:35)(cid:5)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:3)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:12) 2022·(cid:15)(cid:16)(cid:17)Ⅱ(cid:18)(cid:19)17
(cid:58)(cid:59)(cid:5)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:60)(cid:61)n(cid:33)(cid:39)(cid:34)(cid:35)(cid:5)(cid:7)(cid:8) (cid:3)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:12)(cid:20)(cid:21)(cid:5)(cid:7)(cid:8)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27) 2024·(cid:15)(cid:16)(cid:17)Ⅱ(cid:18)(cid:19)19
(cid:31)(cid:39)(cid:3)(cid:62) (cid:28)(cid:29)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:5)(cid:36)(cid:33)(cid:37)(cid:38)(cid:30)(cid:31)(cid:39) 2022·(cid:15)(cid:16)(cid:17)Ⅰ(cid:18)(cid:19)17
(cid:45)2(cid:46)(cid:63)(cid:64)(cid:15)(cid:7)(cid:8)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:5)(cid:31)(cid:39)
(cid:55)“(cid:65)(cid:66)(cid:5)(cid:28)(cid:67)(cid:5)(cid:28)(cid:29)(cid:19)(cid:68)(cid:69)(cid:5)(cid:70)(cid:71)(cid:37)
(cid:72)(cid:5)(cid:73)(cid:74)(cid:37)(cid:67)(cid:5)(cid:36)(cid:33)(cid:5)(cid:75)(cid:33)(cid:31)(cid:39)”(cid:3)(cid:76)
(cid:30)(cid:12)(cid:77)(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:15)(cid:62)
(cid:45)3(cid:46)(cid:53)(cid:23)(cid:58)(cid:51)(cid:52) (cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:33)(cid:12)(cid:68)(cid:69)(cid:31)(cid:39) 2023·(cid:15)(cid:16)(cid:17)Ⅱ(cid:18)(cid:19)18
(cid:55)(cid:79)(cid:81)(cid:3)(cid:35)(cid:5)(cid:82)(cid:7)(cid:3)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:12)(cid:87)(cid:88)(cid:51)
(cid:52)(cid:19)(cid:79)(cid:7)(cid:8)(cid:89)(cid:90)(cid:12)(cid:7)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:51)(cid:52)(cid:60)(cid:79)(cid:94)
(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:37)(cid:90)(cid:12)(cid:77)(cid:78)(cid:51)(cid:52)(cid:98)(cid:60)(cid:22)(cid:63)(cid:81)(cid:99)
(cid:51)(cid:52)(cid:100)
命题分析
2024(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:4)(cid:5)Ⅰ(cid:7)(cid:5)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:6)(cid:13)(cid:14)(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:16)(cid:21)(cid:22)(cid:23)(cid:24)Ⅱ(cid:7)(cid:5)(cid:8)(cid:9)(cid:25)(cid:26)(cid:10)(cid:11)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:12)(cid:30)(cid:31)(cid:17)
(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:16)(cid:39)(cid:17)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:24)(cid:44)(cid:16)(cid:39)(cid:5)(cid:8)(cid:9)(cid:25)(cid:45)(cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:46)(cid:47)(cid:17)(cid:48)(cid:49)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:5)(cid:8)(cid:12)(cid:17)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:40)(cid:24)
(cid:10)(cid:11)(cid:15)(cid:16)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:5)(cid:60)(cid:10)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:12)(cid:5)(cid:8)(cid:17)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:45)(cid:71)(cid:73)(cid:74)(cid:25)(cid:75)(cid:76)(cid:12)(cid:77)(cid:78)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:5)(cid:60)(cid:10)
(cid:61)(cid:79)(cid:80)(cid:71)(cid:81)(cid:82)(cid:62)(cid:63)(cid:12)(cid:83)(cid:84)(cid:17)(cid:85)(cid:67)(cid:68)(cid:67)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:71)(cid:73)(cid:74)(cid:87)(cid:88)(cid:71)(cid:89)n(cid:86)(cid:90)(cid:87)(cid:88)(cid:25)(cid:91)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:44)(cid:29)(cid:95)(cid:64)(cid:96)(cid:97)(cid:17)(cid:83)(cid:84)(cid:5)
(cid:60)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:63)(cid:71)(cid:101)(cid:31)(cid:102)(cid:103)(cid:64)(cid:65)(cid:24)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:3)(cid:12)(cid:4)(cid:5)(cid:16)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:58)(cid:17)(cid:10)(cid:11)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:108)(cid:5)(cid:8)(cid:27)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:112)(cid:17)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)
(cid:5)(cid:60)(cid:12)(cid:101)(cid:31)(cid:102)(cid:103)(cid:64)(cid:65)(cid:71)(cid:98)(cid:99)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:65)(cid:25)(cid:24)(cid:122)(cid:123)(cid:5)(cid:8)(cid:5)(cid:60)(cid:59)(cid:10)(cid:11)(cid:27)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:12)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:41)(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:77)(cid:78)(cid:17)(cid:118)(cid:119)(cid:130)(cid:113)
(cid:122)(cid:131)(cid:59)(cid:67)(cid:82)(cid:67)(cid:76)(cid:12)(cid:83)(cid:84)(cid:17)(cid:132)(cid:108)(cid:34)(cid:133)(cid:5)(cid:39)(cid:77)(cid:134)(cid:122)(cid:123)(cid:135)(cid:34)(cid:108)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:75)(cid:139)(cid:24)
(cid:140)1)(cid:59)(cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:141)(cid:142)(cid:127)(cid:143)(cid:144)(cid:76)(cid:12)(cid:81)(cid:103)(cid:90)(cid:77)(cid:78)(cid:145)
(cid:140)2(cid:146)(cid:25)(cid:26)(cid:71)(cid:25)(cid:45)(cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:82)(cid:147)(cid:71)(cid:67)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:71)(cid:73)(cid:74)(cid:87)(cid:88)(cid:71)(cid:89)n(cid:86)(cid:90)(cid:87)(cid:88)(cid:39)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:12)(cid:101)(cid:31)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:78)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:12)(cid:155)
(cid:156)(cid:88)(cid:67)(cid:68)(cid:157)(cid:158)(cid:41)(cid:159)(cid:160)(cid:132)(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:12)(cid:50)(cid:164)(cid:17)(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:55)(cid:170)(cid:17)(cid:150)(cid:78)(cid:169)(cid:171)(cid:172)(cid:93)(cid:94)(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:176)(cid:177)(cid:178)(cid:179)(cid:102)(cid:103)(cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:15)(cid:16)(cid:145)(cid:140)3(cid:146)(cid:21)(cid:150)(cid:78)(cid:25)(cid:26)(cid:71)(cid:25)(cid:45)(cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:180)(cid:181)(cid:148)(cid:46)(cid:47)(cid:10)(cid:11)(cid:15)(cid:16)(cid:145)
(cid:140)4(cid:146)(cid:67)(cid:68)(cid:178)(cid:179)(cid:177)(cid:179)(cid:69)(cid:62)(cid:182)(cid:150)(cid:78)(cid:183)(cid:184)(cid:185)(cid:186)(cid:71)(cid:187)(cid:86)(cid:185)(cid:188)(cid:71)(cid:111)(cid:189)(cid:102)(cid:90)(cid:25)(cid:75)(cid:76)(cid:102)(cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:89)n(cid:86)(cid:90)(cid:145)
(cid:140)5(cid:146)(cid:10)(cid:11)(cid:177)(cid:190)(cid:25)(cid:88)(cid:71)(cid:103)(cid:168)(cid:137)(cid:191)(cid:71)(cid:192)(cid:10)(cid:193)(cid:10)(cid:25)(cid:115)(cid:116)(cid:12)(cid:194)(cid:195)(cid:15)(cid:16)(cid:145)
(cid:140)6(cid:146)(cid:155)(cid:196)(cid:10)(cid:61)(cid:197)(cid:28)(cid:39)(cid:198)(cid:155)(cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:199)(cid:200)(cid:177)(cid:62)(cid:5)(cid:79)(cid:80)(cid:177)(cid:201)(cid:33)(cid:12)(cid:61)(cid:202)(cid:203)(cid:204)(cid:17)(cid:198)(cid:205)(cid:116)(cid:206)(cid:83)(cid:84)(cid:5)(cid:60)(cid:12)(cid:199)(cid:200)(cid:64)(cid:65)(cid:90)(cid:207)(cid:208)
(cid:209)(cid:78)(cid:64)(cid:65)(cid:17)(cid:130)(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:213)(cid:214)(cid:204)(cid:39)(cid:177)(cid:10)(cid:11)(cid:198)(cid:155)(cid:12)(cid:10)(cid:61)(cid:215)(cid:179)(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:177)(cid:216)(cid:217)(cid:60)(cid:129)(cid:185)(cid:155)(cid:12)(cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:77)(cid:78)(cid:15)(cid:16)(cid:145)
(cid:140)7(cid:146)(cid:50)(cid:164)(cid:190)(cid:218)(cid:219)(cid:16)(cid:71)(cid:220)(cid:221)(cid:15)(cid:16)(cid:25)(cid:222)(cid:6)(cid:16)(cid:223)(cid:24)
(cid:224)(cid:30)2025(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:225)(cid:49)(cid:112)(cid:113)(cid:5)(cid:8)(cid:10)(cid:11)(cid:27)(cid:28)(cid:29)(cid:12)(cid:30)(cid:31)(cid:90)(cid:10)(cid:11)(cid:177)(cid:169)(cid:226)(cid:115)(cid:116)(cid:194)(cid:195)(cid:12)(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:221)(cid:227)(cid:10)(cid:11)(cid:90)(cid:190)(cid:25)(cid:88)(cid:25)(cid:24)
试题精讲
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:21)
1(cid:26)(cid:27)2024(cid:28)(cid:29)(cid:30)Ⅱ(cid:31)·19(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)C:x2-y2 =mm>0(cid:38)(cid:39)P5,4(cid:40)C(cid:41)(cid:38)k(cid:42)(cid:43)(cid:13)(cid:38)0<k <1(cid:26)(cid:44)(cid:45)
1
(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:39)P n=2,3,...(cid:38)(cid:54)P (cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:42)k(cid:58)(cid:59)(cid:37)(cid:60)C(cid:58)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:39)Q (cid:38)(cid:65)P (cid:42)Q (cid:3)(cid:64)y(cid:66)
n n-1 n-1 n n-1
(cid:58)(cid:67)(cid:68)(cid:39)(cid:38)(cid:69)P (cid:58)(cid:70)(cid:71)(cid:42)x ,y  .
n n n
1
(1)(cid:72)k = (cid:38)(cid:73)x ,y (cid:74)
2 2 2
(2)(cid:75)(cid:76)(cid:10)(cid:13)(cid:77)x -y (cid:78)(cid:7)(cid:79)(cid:42)
1+k
(cid:58)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:74)
n n 1-k
(cid:81)(cid:25)(cid:82)(cid:83)(1)x =3(cid:38)y =0
2 2
(2)(cid:75)(cid:76)(cid:84)(cid:24)(cid:85)
(cid:81)(cid:86)(cid:85)(cid:83)(cid:27)1(cid:32)(cid:59)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:21)(cid:90)(cid:91)(cid:58)(cid:52)(cid:53)(cid:48)(cid:49)(cid:92)(cid:93)(cid:94)P (cid:58)(cid:70)(cid:71)(cid:95)(cid:96)(cid:74)
2
(cid:27)2(cid:32)(cid:88)(cid:89)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:58)(cid:97)(cid:98)(cid:95)(cid:96)(cid:99)(cid:75)(cid:100)(cid:101)(cid:74)
(cid:81)(cid:102)(cid:24)(cid:83)(cid:27)1(cid:32)
(cid:103)(cid:33)(cid:34)(cid:104)m=52-42 =9(cid:38)(cid:105)C(cid:58)(cid:48)(cid:106)(cid:42)x2-y2 =9.
(cid:107)k = 1
2
(cid:108)(cid:38)(cid:54)P
1
5,4(cid:109)(cid:56)(cid:57)(cid:42) 1
2
(cid:58)(cid:59)(cid:37)(cid:42)y= x
2
+3 (cid:38)(cid:60)x2-y2 =9(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:113)x2- æ
ç è
x+
2
3ö
÷ ø
2 =9.
(cid:24)(cid:112)x=-3(cid:114)x=5(cid:38)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:59)(cid:37)(cid:60)C(cid:58)(cid:118)(cid:119)(cid:64)P(cid:58)(cid:63)(cid:39)(cid:42)Q -3,0(cid:38)(cid:117)(cid:39)(cid:120)(cid:121)(cid:40)C(cid:58)(cid:61)(cid:62)(cid:41).
1 1
(cid:105)P 3,0(cid:38)(cid:122)(cid:123)x =3(cid:38)y =0.
2 2 2(cid:27)2(cid:32)(cid:103)(cid:64)(cid:54)P x ,y (cid:109)(cid:56)(cid:57)(cid:42)k(cid:58)(cid:59)(cid:37)(cid:42)y=kx-x +y (cid:38)(cid:60)x2-y2 =9(cid:110)(cid:111)(cid:38)(cid:112)(cid:113)(cid:48)(cid:106)
n n n n n
x2-  kx-x +y 2 =9.
n n
(cid:124)(cid:125)(cid:95)(cid:112)  1-k2 x2-2ky -kx x-y -kx 2-9=0(cid:38)(cid:103)(cid:64)P x ,y (cid:33)(cid:126)(cid:78)(cid:59)(cid:37)y=kx-x +y (cid:127)
n n n n n n n n n
x2-y2 =9(cid:58)(cid:7)(cid:128)(cid:39)(cid:38)(cid:105)(cid:48)(cid:106)(cid:129)(cid:104)(cid:22)(cid:88)x=x .
n
2ky -kx  2ky -x -k2x
(cid:122)(cid:123)(cid:88)(cid:89)(cid:130)(cid:131)(cid:97)(cid:15)(cid:38)(cid:132)(cid:22)(cid:88)x= n n -x = n n n (cid:38)(cid:133)(cid:134)(cid:58)
1-k2 n 1-k2
y +k2y -2kx
y=kx-x +y = n n n .
n n 1-k2
æ2ky -x -k2x y +k2y -2kx ö
(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:59)(cid:37)(cid:60)C(cid:58)(cid:118)(cid:119)(cid:64)P (cid:58)(cid:63)(cid:39)(cid:42)Q ç n n n , n n n ÷(cid:38)(cid:123)(cid:4)(cid:135)(cid:113)Q (cid:58)(cid:136)(cid:70)(cid:71)(cid:137)(cid:96)(cid:138)(cid:54)
n n
è
1-k2 1-k2
ø
n
-y -kx 2-9
(cid:130)(cid:131)(cid:97)(cid:15)(cid:139)(cid:140)(cid:42) n n (cid:38)(cid:105)Q (cid:22)(cid:97)(cid:40)C(cid:58)(cid:61)(cid:62)(cid:41).
 1-k2 x n
n
æx +k2x -2ky y +k2y -2kx ö
(cid:115)(cid:116)P ç n n n , n n n ÷.
n+1
è
1-k2 1-k2
ø
x +k2x -2ky y +k2y -2kx
(cid:141)(cid:142)(cid:112)(cid:113)x = n n n (cid:38)y = n n n .
n+1 1-k2 n+1 1-k2
x +k2x -2ky y +k2y -2kx
(cid:115)(cid:116)x -y = n n n - n n n
n+1 n+1 1-k2 1-k2
x +k2x +2kx y +k2y +2ky 1+k2+2k 1+k
= n n n - n n n = x -y = x -y .
1-k2 1-k2 1-k2 n n 1-k n n
1+k
(cid:143)(cid:103)x2-y2 =9(cid:38)(cid:142)(cid:34)(cid:144)x -y ¹0(cid:38)(cid:115)(cid:116)(cid:13)(cid:77)x -y (cid:78)(cid:7)(cid:79)(cid:42) (cid:58)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77).
1 1 1 1 n n 1-k
(cid:22)(cid:23)(cid:145)(cid:146)(cid:21)
1(cid:26)(cid:27)2024(cid:28)(cid:29)(cid:30)Ⅱ(cid:31)·12(cid:32)(cid:69)S (cid:42)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77){a }(cid:58)(cid:148)n(cid:149)(cid:127)(cid:38)(cid:72)a +a =7(cid:38)3a +a =5(cid:38)(cid:150)S = .
n n 3 4 2 5 10
(cid:81)(cid:25)(cid:82)(cid:83)95
(cid:81)(cid:86)(cid:85)(cid:83)(cid:151)(cid:152)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:138)(cid:149)(cid:7)(cid:49)(cid:112)(cid:113)(cid:48)(cid:106)(cid:153)(cid:38)(cid:24)(cid:94)a,d(cid:38)(cid:143)(cid:151)(cid:152)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:58)(cid:73)(cid:127)(cid:7)(cid:49)(cid:154)(cid:95)(cid:96)(cid:112)(cid:113)(cid:25)(cid:82).
1
ì a +2d+a +3d =7 ìa =-4
(cid:81)(cid:102)(cid:24)(cid:83)(cid:155)(cid:42)(cid:13)(cid:77)a (cid:42)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:38)(cid:150)(cid:103)(cid:21)(cid:135)(cid:112)í 1 1 (cid:38)(cid:24)(cid:112)í 1 (cid:38)
n î3a
1
+d+a
1
+4d =5 î d =3
10´9
(cid:150)S =10a + d =10´-4+45´3=95.
10 1 2
(cid:105)(cid:25)(cid:82)(cid:42)(cid:10)95.(cid:156)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:21)
ìS ü 1
1(cid:26)(cid:27)2022(cid:28)(cid:29)(cid:30)Ⅰ(cid:31)·17(cid:32)(cid:69)S (cid:42)(cid:13)(cid:77)a (cid:58)(cid:148)n(cid:149)(cid:127)(cid:38)(cid:33)(cid:34)a =1,í ný(cid:78)(cid:7)(cid:147)(cid:42) (cid:58)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:26)
n n 1 îa þ 3
n
(1)(cid:73)a (cid:58)(cid:138)(cid:149)(cid:7)(cid:49)(cid:74)
n
1 1 1
(2)(cid:75)(cid:76)(cid:10) + +L+ <2(cid:26)
a a a
1 2 n
nn+1
(cid:81)(cid:25)(cid:82)(cid:83)(1)a =
n 2
(2)(cid:84)(cid:24)(cid:85)
(cid:81)(cid:86)(cid:85)(cid:83)(cid:27)1(cid:32)(cid:151)(cid:152)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:58)(cid:138)(cid:149)(cid:7)(cid:49)(cid:73)(cid:112)
S
n =1+
1
n-1=
n+2
(cid:38)(cid:112)(cid:113)S =
n+2a
n (cid:38)(cid:151)(cid:152)(cid:127)(cid:60)(cid:149)(cid:58)(cid:3)
a 3 3 n 3
n
n+2a n+1a a n+1 nn+1
(cid:157)(cid:112)(cid:113)(cid:107)n³2(cid:108)(cid:38)a =S -S = n - n-1 ,(cid:158)(cid:123)(cid:112)(cid:10) n = (cid:38)(cid:151)(cid:152)(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:73)(cid:112)a = (cid:38)
n n n-1 3 3 a n-1 n 2
n-1
nn+1
(cid:162)(cid:99)(cid:67)(cid:64)n=1(cid:163)(cid:164)(cid:111)(cid:38)(cid:112)(cid:113)a (cid:58)(cid:138)(cid:149)(cid:7)(cid:49)a = (cid:74)
n n 2
1 1 1 æ 1 ö
(cid:27)2(cid:32)(cid:103)(cid:27)1(cid:32)(cid:58)(cid:100)(cid:101)(cid:38)(cid:151)(cid:152)(cid:165)(cid:149)(cid:73)(cid:127)(cid:161)(cid:112)(cid:113) + +L+ =2ç1- ÷(cid:38)(cid:158)(cid:123)(cid:75)(cid:112).
a a a è n+1ø
1 2 n
S
(cid:81)(cid:102)(cid:24)(cid:83)(cid:27)1(cid:32) a =1(cid:38) S =a =1, 1 =1,
1 1 1 a
1
∵ ∴ ∴
ìS ü 1
(cid:166) í ný(cid:78)(cid:7)(cid:147)(cid:42) (cid:58)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:38)
îa þ 3
n
∵
S
n =1+
1
n-1=
n+2
, S =
n+2a
n ,
a 3 3 n 3
n
∴ n+1 ∴a
(cid:107)n³2(cid:108)(cid:38)S = n-1 (cid:38)
n-1
3
∴ n+2a n+1a
a =S -S = n - n-1 ,
n n n-1 3 3
∴ (cid:167)(cid:15)(cid:112)(cid:10)n-1a =n+1a ,
n n-1
a n+1
(cid:95) n = ,
a n-1
n-1
a a a a
a =a ´ 2 ´ 3 ´¼´ n-1 ´ n
n 1 a a a a
1 2 n-2 n-1
∴ 3 4 n n+1 nn+1
=1´ ´ ´¼´ ´ = (cid:38)
1 2 n-2 n-1 2
(cid:120)(cid:121)(cid:67)(cid:64)n=1(cid:163)(cid:164)(cid:111)(cid:38)nn+1
a (cid:58)(cid:138)(cid:149)(cid:7)(cid:49)a = (cid:74)
n n 2
∴
1 2 æ1 1 ö
(cid:27)2(cid:32) = =2ç - ÷,
a nn+1 èn n+1ø
n
1 1 1 éæ 1ö æ1 1ö æ1 1 öù æ 1 ö
+ +L+ =2êç1- ÷+ç - ÷+Lç - ÷ú =2ç1- ÷<2
a a a ëè 2ø è2 3ø èn n+1øû è n+1ø
1 2 n
∴
n2+n
2(cid:26)(cid:27)2023(cid:28)(cid:29)(cid:30)Ⅰ(cid:31)·20(cid:32)(cid:168)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)a (cid:58)(cid:7)(cid:147)(cid:42)d(cid:38)(cid:109)d >1(cid:26)(cid:65)b = (cid:38)(cid:69)S ,T (cid:86)(cid:169)(cid:42)(cid:13)(cid:77)a ,b 
n n a n n n n
n
(cid:58)(cid:148)n(cid:149)(cid:127)(cid:26)
(1)(cid:72)3a =3a +a ,S +T =21(cid:38)(cid:73)a (cid:58)(cid:138)(cid:149)(cid:7)(cid:49)(cid:74)
2 1 3 3 3 n
(2)(cid:72)b (cid:42)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:38)(cid:109)S -T =99(cid:38)(cid:73)d(cid:26)
n 99 99
(cid:81)(cid:25)(cid:82)(cid:83)(1)a =3n
n
51
(2)d =
50
(cid:81)(cid:86)(cid:85)(cid:83)(cid:27)1(cid:32)(cid:88)(cid:89)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:58)(cid:138)(cid:149)(cid:7)(cid:49)(cid:170)(cid:111)(cid:48)(cid:106)(cid:73)(cid:24)(cid:95)(cid:96)(cid:74)
(cid:27)2(cid:32)(cid:103){b }(cid:42)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:112)(cid:94)a =d (cid:114)a =2d(cid:38)(cid:143)(cid:103)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:58)(cid:171)(cid:172)(cid:96)(cid:112)a -b =1(cid:38)(cid:86)(cid:173)(cid:174)(cid:101)(cid:95)(cid:96)(cid:112)(cid:24).
n 1 1 50 50
(cid:81)(cid:102)(cid:24)(cid:83)(cid:27)1(cid:32)Q3a =3a +a (cid:38)\3d =a +2d (cid:38)(cid:24)(cid:112)a =d (cid:38)
2 1 3 1 1
\S =3a =3(a +d)=6d(cid:38)
3 2 1
2 6 12 9
(cid:166)T =b +b +b = + + = (cid:38)
3 1 2 3 d 2d 3d d
9
\S +T =6d+ =21(cid:38)
3 3 d
1
(cid:95)2d2-7d+3=0(cid:38)(cid:24)(cid:112)d =3(cid:114)d = (cid:27)(cid:175)(cid:176)(cid:32)(cid:38)
2
\a =a +(n-1)×d =3n.
n 1
(cid:27)2(cid:32)Q{b }(cid:42)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:38)
n
12 2 12
\2b =b +b (cid:38)(cid:95) = + (cid:38)
2 1 3 a a a
2 1 3
1 1 6d 1
\6( - )= = (cid:38)(cid:95)a2-3ad+2d2 =0(cid:38)(cid:24)(cid:112)a =d (cid:114)a =2d(cid:38)
a a a a a 1 1 1 1
2 3 2 3 1
Qd >1(cid:38)\a >0(cid:38)
n
(cid:166)S -T =99(cid:38)(cid:103)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:171)(cid:172)(cid:34)(cid:38)99a -99b =99(cid:38)(cid:95)a -b =1(cid:38)
99 99 50 50 50 50
2550
\a - =1(cid:38)(cid:95)a2 -a -2550=0(cid:38)(cid:24)(cid:112)a =51(cid:114)a =-50(cid:27)(cid:175)(cid:176)(cid:32)
50 a 50 50 50 50
50(cid:107)a =2d(cid:108)(cid:38)a =a +49d =51d =51(cid:38)(cid:24)(cid:112)d =1(cid:38)(cid:60)d >1(cid:177)(cid:178)(cid:38)(cid:179)(cid:24)(cid:74)
1 50 1
51
(cid:107)a =d (cid:108)(cid:38)a =a +49d =50d =51(cid:38)(cid:24)(cid:112)d = .
1 50 1 50
51
(cid:180)(cid:41)(cid:38)d = .
50
3(cid:26)(cid:27)2022(cid:28)(cid:29)(cid:30)Ⅱ(cid:31)·17(cid:32)(cid:33)(cid:34)a (cid:42)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:38)b (cid:78)(cid:7)(cid:79)(cid:42)2(cid:58)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:38)(cid:109)
n n
a -b =a -b =b -a (cid:26)
2 2 3 3 4 4
(1)(cid:75)(cid:76)(cid:10)a =b (cid:74)
1 1
(2)(cid:73)(cid:181)(cid:182)  k b =a +a,1£m£500  (cid:91)(cid:183)(cid:184)(cid:185)(cid:13)(cid:26)
k m 1
(cid:81)(cid:25)(cid:82)(cid:83)(1)(cid:75)(cid:76)(cid:84)(cid:24)(cid:85)(cid:74)
(2)9(cid:26)
(cid:81)(cid:86)(cid:85)(cid:83)(cid:27)1(cid:32)(cid:168)(cid:13)(cid:77)a (cid:58)(cid:7)(cid:147)(cid:42)d(cid:38)(cid:88)(cid:89)(cid:21)(cid:135)(cid:77)(cid:94)(cid:48)(cid:106)(cid:153)(cid:95)(cid:96)(cid:75)(cid:94)(cid:74)
n
(cid:27)2(cid:32)(cid:88)(cid:89)(cid:21)(cid:135)(cid:16)(cid:186)(cid:96)(cid:112)m=2k-2(cid:38)(cid:95)(cid:96)(cid:24)(cid:94)(cid:26)
ì a +d-2b =a +2d-4b d
(cid:81)(cid:102)(cid:24)(cid:83)(cid:27)1(cid:32)(cid:168)(cid:13)(cid:77)a (cid:58)(cid:7)(cid:147)(cid:42)d(cid:38)(cid:115)(cid:116)(cid:38)í 1 1 1 1 (cid:38)(cid:95)(cid:96)(cid:24)(cid:112)(cid:38)b =a = (cid:38)(cid:115)(cid:116)
n îa
1
+d-2b
1
=8b
1
-a
1
+3d 1 1 2
(cid:187)(cid:188)(cid:21)(cid:112)(cid:75)(cid:26)
d
(cid:27)2(cid:32)(cid:103)(cid:27)1(cid:32)(cid:34)(cid:38)b =a = (cid:38)(cid:115)(cid:116)b =a +a Ûb ´2k-1 =a +m-1d+a (cid:38)(cid:95)2k-1 =2m(cid:38)(cid:137)(cid:95)
1 1 2 k m 1 1 1 1
m=2k-2Î 1,500 (cid:38)(cid:24)(cid:112)2£k £10(cid:38)(cid:115)(cid:116)(cid:189)(cid:190)(cid:80)(cid:49)(cid:58)(cid:24)k =2,3,4,L,10(cid:38)(cid:105)(cid:181)(cid:182)k|b =a +a,1£m£500
k m 1
(cid:91)(cid:58)(cid:183)(cid:184)(cid:185)(cid:13)(cid:42)10-2+1=9(cid:26)
ìa -6,n(cid:42)(cid:191)(cid:13)
4(cid:26)(cid:27)2023(cid:28)(cid:29)(cid:30)Ⅱ(cid:31)·18(cid:32)(cid:33)(cid:34)a (cid:42)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:38)b =í n (cid:38)(cid:69)S (cid:38)T (cid:86)(cid:169)(cid:42)(cid:13)(cid:77)a (cid:38)b (cid:58)
n n î2a ,n(cid:42)(cid:192)(cid:13) n n n n
n
(cid:148)n(cid:149)(cid:127)(cid:38)S =32(cid:38)T =16(cid:26)
4 3
(1)(cid:73)a (cid:58)(cid:138)(cid:149)(cid:7)(cid:49)(cid:74)
n
(2)(cid:75)(cid:76)(cid:10)(cid:107)n>5(cid:108)(cid:38)T >S (cid:26)
n n
(cid:81)(cid:25)(cid:82)(cid:83)(1)a =2n+3(cid:74)
n
(2)(cid:75)(cid:76)(cid:84)(cid:24)(cid:85).
(cid:81)(cid:86)(cid:85)(cid:83)(cid:27)1(cid:32)(cid:168)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)a (cid:58)(cid:7)(cid:147)(cid:42)d(cid:38)(cid:152)a,d(cid:139)(cid:140)S (cid:193)T (cid:38)(cid:95)(cid:96)(cid:73)(cid:24)(cid:55)(cid:25).
n 1 n n
(cid:27)2(cid:32)(cid:48)(cid:161)1(cid:38)(cid:151)(cid:152)(cid:27)1(cid:32)(cid:58)(cid:100)(cid:101)(cid:73)(cid:94)S (cid:38)b (cid:38)(cid:143)(cid:86)(cid:191)(cid:192)(cid:100)(cid:182)(cid:86)(cid:153)(cid:73)(cid:127)(cid:161)(cid:73)(cid:94)T (cid:38)(cid:194)(cid:60)S (cid:55)(cid:147)(cid:79)(cid:195)(cid:55)(cid:25)(cid:74)(cid:48)
n n n n
(cid:161)2(cid:38)(cid:151)(cid:152)(cid:27)1(cid:32)(cid:58)(cid:100)(cid:101)(cid:73)(cid:94)S (cid:38)b (cid:38)(cid:143)(cid:86)(cid:191)(cid:192)(cid:196)(cid:197)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:148)n(cid:149)(cid:127)(cid:7)(cid:49)(cid:73)(cid:94)T (cid:38)(cid:194)(cid:60)S (cid:55)(cid:147)(cid:79)(cid:195)(cid:55)(cid:25).
n n n nìa -6,n=2k-1
(cid:81)(cid:102)(cid:24)(cid:83)(cid:27)1(cid:32)(cid:168)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)a (cid:58)(cid:7)(cid:147)(cid:42)d(cid:38)(cid:123)b =í n ,kÎN*(cid:38)
n n î2a ,n=2k
n
(cid:150)b =a -6,b =2a =2a +2d,b =a -6=a +2d-6(cid:38)
1 1 2 2 1 3 3 1
ìS =4a +6d =32
(cid:64)(cid:78)í 4 1 (cid:38)(cid:24)(cid:112)a =5,d =2(cid:38)a =a +(n-1)d =2n+3(cid:38)
îT =4a +4d-12=16 1 n 1
3 1
(cid:115)(cid:116)(cid:13)(cid:77)a (cid:58)(cid:138)(cid:149)(cid:7)(cid:49)(cid:78)a =2n+3.
n n
n(5+2n+3) ì2n-3,n=2k-1
(cid:27)2(cid:32)(cid:48)(cid:161)1(cid:10)(cid:103)(cid:27)1(cid:32)(cid:34)(cid:38)S = =n2+4n(cid:38)b =í ,kÎN*(cid:38)
n 2 n î4n+6,n=2k
(cid:107)n(cid:42)(cid:192)(cid:13)(cid:108)(cid:38)b +b =2(n-1)-3+4n+6=6n+1(cid:38)
n-1 n
13+(6n+1) n 3 7
T = × = n2+ n(cid:38)
n 2 2 2 2
3 7 1
(cid:107)n>5(cid:108)(cid:38)T -S =( n2+ n)-(n2+4n)= n(n-1)>0(cid:38)(cid:155)(cid:198)T >S (cid:38)
n n 2 2 2 n n
3 7 3 5
(cid:107)n(cid:42)(cid:191)(cid:13)(cid:108)(cid:38)T =T -b = (n+1)2+ (n+1)-[4(n+1)+6]= n2+ n-5(cid:38)
n n+1 n+1 2 2 2 2
3 5 1
(cid:107)n>5(cid:108)(cid:38)T -S =( n2+ n-5)-(n2+4n)= (n+2)(n-5)>0(cid:38)(cid:155)(cid:198)T >S (cid:38)
n n 2 2 2 n n
(cid:115)(cid:116)(cid:107)n>5(cid:108)(cid:38)T >S .
n n
n(5+2n+3) ì2n-3,n=2k-1
(cid:48)(cid:161)2(cid:10)(cid:103)(cid:27)1(cid:32)(cid:34)(cid:38)S = =n2+4n(cid:38)b =í ,kÎN*(cid:38)
n 2 n î4n+6,n=2k
-1+2(n-1)-3 n 14+4n+6 n 3 7
(cid:107)n(cid:42)(cid:192)(cid:13)(cid:108)(cid:38)T =(b +b +L+b )+(b +b +L+b )= × + × = n2+ n(cid:38)
n 1 3 n-1 2 4 n 2 2 2 2 2 2
3 7 1
(cid:107)n>5(cid:108)(cid:38)T -S =( n2+ n)-(n2+4n)= n(n-1)>0(cid:38)(cid:155)(cid:198)T >S (cid:38)
n n 2 2 2 n n
-1+2n-3 n+1 14+4(n-1)+6 n-1
(cid:107)n(cid:42)(cid:191)(cid:13)(cid:108)(cid:38)(cid:72)n³3(cid:38)(cid:150)T =(b +b +L+b )+(b +b +L+b )= × + ×
n 1 3 n 2 4 n-1 2 2 2 2
3 5 3 5
= n2+ n-5(cid:38)(cid:120)(cid:121)T =b =-1(cid:189)(cid:190)(cid:41)(cid:49)(cid:38)(cid:155)(cid:198)(cid:107)n(cid:42)(cid:191)(cid:13)(cid:108)(cid:38)T = n2+ n-5(cid:38)
2 2 1 1 n 2 2
3 5 1
(cid:107)n>5(cid:108)(cid:38)T -S =( n2+ n-5)-(n2+4n)= (n+2)(n-5)>0(cid:38)(cid:155)(cid:198)T >S (cid:38)
n n 2 2 2 n n
(cid:115)(cid:116)(cid:107)n>5(cid:108)(cid:38)T >S .
n n
(cid:22)(cid:23)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:58)(cid:104)(cid:3)(cid:199)(cid:200)
1(cid:23)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:58)(cid:97)(cid:98)(cid:22)(cid:201)(cid:202)(cid:38)(cid:46)(cid:203)(cid:22)(cid:185)(cid:13)(cid:77)(cid:122)(cid:204)2(cid:149)(cid:205)(cid:38)(cid:206)(cid:22)(cid:149)(cid:60)(cid:207)(cid:58)(cid:148)(cid:22)(cid:149)(cid:58)(cid:147)(cid:80)(cid:64)(cid:119)(cid:22)(cid:185)(cid:43)(cid:13)(cid:38)(cid:208)(cid:209)(cid:141)(cid:185)(cid:13)(cid:77)(cid:142)(cid:210)(cid:211)(cid:80)(cid:147)
(cid:13)(cid:77)(cid:38)(cid:141)(cid:185)(cid:43)(cid:13)(cid:210)(cid:211)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:58)(cid:7)(cid:147)(cid:38)(cid:138)(cid:43)(cid:152)(cid:212)(cid:213)d(cid:139)(cid:140)(cid:38)(cid:97)(cid:98)(cid:139)(cid:131)(cid:49)(cid:42)a -a =d (cid:27)(cid:43)(cid:13)(cid:32)
n n(cid:214)1
(nÎN*(cid:38)n³2)(cid:26)
2(cid:23)(cid:80)(cid:147)(cid:91)(cid:149)
a+b
(cid:72)(cid:215)(cid:185)(cid:13)a(cid:38)A(cid:38)b(cid:164)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:38)(cid:150)A(cid:210)(cid:211)a(cid:60)b(cid:58)(cid:80)(cid:147)(cid:91)(cid:149)(cid:38)(cid:109)(cid:104)A= (cid:26)
2
(cid:156)(cid:23)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:58)(cid:104)(cid:3)(cid:7)(cid:49)
1(cid:23)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:58)(cid:138)(cid:149)(cid:7)(cid:49)
(cid:46)(cid:203)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77){a }(cid:58)(cid:216)(cid:149)(cid:42)a (cid:38)(cid:7)(cid:147)(cid:42)d(cid:38)(cid:208)(cid:209)(cid:207)(cid:58)(cid:138)(cid:149)(cid:7)(cid:49)(cid:78)a =a +(n-1)d (cid:26)
n 1 n 1
2(cid:23)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:58)(cid:148)n(cid:149)(cid:127)(cid:7)(cid:49)
n(n-1) n(a +a )
(cid:168)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77){a }(cid:58)(cid:7)(cid:147)(cid:42)d(cid:38)(cid:217)(cid:148)n(cid:149)(cid:127)S =na + d = 1 n (cid:26)
n n 1 2 2
(cid:215)(cid:23)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:58)(cid:43)(cid:152)(cid:171)(cid:172)
(cid:33)(cid:34){a }(cid:42)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:38)d(cid:42)(cid:7)(cid:147)(cid:38)S (cid:42)(cid:117)(cid:13)(cid:77)(cid:58)(cid:148)n(cid:149)(cid:127)(cid:26)
n n
1(cid:23)(cid:138)(cid:149)(cid:7)(cid:49)(cid:58)(cid:218)(cid:219)(cid:10)a =a +(n-m)d(n(cid:38)mÎN*)(cid:26)
n m
2(cid:23)(cid:40)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77){a }(cid:91)(cid:38)(cid:107)m+n= p+q(cid:108)(cid:38)a +a =a +a (m(cid:38)n(cid:38)p(cid:38)qÎN*)(cid:26)
n m n p q
(cid:220)(cid:169)(cid:202)(cid:38)(cid:72)m+n=2t(cid:38)(cid:150)a +a =2a (m(cid:38)n(cid:38)tÎN*)(cid:26)
m n t
3(cid:23)a(cid:38)a (cid:38)a (cid:38)…(cid:222)(cid:78)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:38)(cid:7)(cid:147)(cid:42)md(k(cid:38)mÎN*)(cid:26)
k k(cid:221)m k(cid:221)2m
S(cid:38)S (cid:214)S(cid:38)S (cid:214)S (cid:38)…(cid:163)(cid:164)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:38)(cid:7)(cid:147)(cid:42)n2d (cid:26)
4(cid:23) n 2n n 3n 2n
5(cid:23)(cid:72){a }(cid:38){b }(cid:78)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:38)(cid:150){pa +qb }(cid:163)(cid:78)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:26)
n n n n
S 1
6(cid:23)(cid:72){a }(cid:78)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:38)(cid:150){ n}(cid:163)(cid:164)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:38)(cid:217)(cid:216)(cid:149)(cid:60){a }(cid:216)(cid:149)(cid:133)(cid:119)(cid:38)(cid:7)(cid:147)(cid:78){a }(cid:7)(cid:147)(cid:58) (cid:26)
n n n n 2
S a
7(cid:23)(cid:72)(cid:149)(cid:13)(cid:42)(cid:192)(cid:13)2n(cid:38)(cid:150)S =n(a +a )=n(a +a )(cid:74)S (cid:214)S (cid:223)nd (cid:74) (cid:191) = n (cid:26)
2n 1 2n n n+1 (cid:192) (cid:191) S a
(cid:192) n+1
S n
8(cid:23)(cid:72)(cid:149)(cid:13)(cid:42)(cid:191)(cid:13)2n-1(cid:38)(cid:150)S =(2n-1)a (cid:74)S (cid:214)S =a (cid:74) (cid:191) = (cid:26)
2n(cid:214)1 n (cid:191) (cid:192) n S n-1
(cid:192)
ìa ³0
9(cid:23)(cid:40)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77){a }(cid:91)(cid:38)(cid:72)a >0(cid:38)d <0(cid:38)(cid:150)(cid:189)(cid:190)í m (cid:58)(cid:149)(cid:13)m(cid:224)(cid:112)S (cid:225)(cid:112)(cid:226)(cid:227)(cid:228)S (cid:74)(cid:72)a <0(cid:38)d >0(cid:38)
n 1 îa £0 n m 1
m+1
ìa £0
(cid:150)(cid:189)(cid:190)í m (cid:58)(cid:149)(cid:13)m(cid:224)(cid:112)S (cid:225)(cid:112)(cid:226)(cid:229)(cid:228)S (cid:26)
îa ³0 n m
m+1
(cid:230)(cid:23)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:58)(cid:148) n(cid:149)(cid:127)(cid:7)(cid:49)(cid:60)(cid:231)(cid:13)(cid:58)(cid:3)(cid:157)
d d
S = n2 +(a - )n(cid:26)(cid:13)(cid:77){a }(cid:78)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77) S = An2 +Bn(cid:27)A(cid:23)B(cid:42)(cid:43)(cid:13)(cid:32)(cid:26)
n 2 1 2 n n
⇔(cid:232)(cid:23)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:58)(cid:148) n(cid:149)(cid:127)(cid:58)(cid:226)(cid:228)
(cid:7)(cid:147)d >0Û{a }(cid:42)(cid:233)(cid:234)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:38)S (cid:104)(cid:226)(cid:229)(cid:228)(cid:74)
n n
(cid:7)(cid:147)d <0Û{a }(cid:42)(cid:233)(cid:235)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:38)S (cid:104)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:74)
n n
(cid:7)(cid:147)d =0Û{a }(cid:42)(cid:43)(cid:13)(cid:77)(cid:26)
n
(cid:220)(cid:169)(cid:202)
ìa >0
(cid:72)í 1 (cid:38)(cid:150)S (cid:104)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:27)(cid:115)(cid:104)(cid:236)(cid:149)(cid:114)(cid:237)(cid:238)(cid:149)(cid:239)(cid:127)(cid:32)(cid:74)
îd <0 n
ìa <0
(cid:72)í 1 (cid:38)(cid:150)S (cid:104)(cid:226)(cid:229)(cid:228)(cid:27)(cid:115)(cid:104)(cid:238)(cid:149)(cid:114)(cid:237)(cid:236)(cid:149)(cid:239)(cid:127)(cid:32)(cid:26)
îd >0 n
(cid:240)(cid:23)(cid:217)(cid:241)(cid:242)(cid:243)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:26)
1(cid:23)(cid:72)(cid:33)(cid:34)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77){a }(cid:38)(cid:7)(cid:147)(cid:42)d(cid:38)(cid:148)n(cid:149)(cid:127)(cid:42)S (cid:38)(cid:150)(cid:10)
n n
(cid:80)(cid:244)(cid:245)(cid:246)(cid:225)a ,a ,a ,La ,L(cid:42)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:38)(cid:7)(cid:147)(cid:42)td (cid:26)
p p+t p+2t p+(n-1)t
①(cid:80)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:225)S ,S -S ,S -S ,L(cid:42)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:38)(cid:7)(cid:147)(cid:42)m2d (cid:26)
m 2m m 3m 2m
② S S S d
(cid:93)(cid:250)(cid:251)(cid:252)(cid:228) 1, 2 , 3,L(cid:42)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:38)(cid:7)(cid:147)(cid:42) (cid:26)
1 2 3 2
③
(cid:253)(cid:23)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:58)(cid:104)(cid:3)(cid:199)(cid:200)
1(cid:23)(cid:97)(cid:98)(cid:10)(cid:46)(cid:203)(cid:22)(cid:185)(cid:13)(cid:77)(cid:122)(cid:204)2(cid:149)(cid:205)(cid:38)(cid:206)(cid:22)(cid:149)(cid:60)(cid:207)(cid:58)(cid:148)(cid:22)(cid:149)(cid:58)(cid:79)(cid:80)(cid:64)(cid:119)(cid:22)(cid:43)(cid:13)(cid:27)(cid:118)(cid:42)(cid:254)(cid:32)(cid:38)(cid:208)(cid:209)(cid:141)(cid:185)(cid:13)(cid:77)(cid:142)
(cid:210)(cid:211)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:26)(cid:141)(cid:185)(cid:43)(cid:13)(cid:210)(cid:211)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:58)(cid:7)(cid:79)(cid:38)(cid:138)(cid:43)(cid:152)(cid:212)(cid:213)q(cid:139)(cid:140)(cid:38)(cid:97)(cid:98)(cid:58)(cid:139)(cid:131)(cid:49)(cid:42)a n+1 =q (cid:26)
a
n
2(cid:23)(cid:80)(cid:79)(cid:91)(cid:149)(cid:10)(cid:46)(cid:203) (cid:38)G (cid:38)b(cid:164)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:38)(cid:208)(cid:209)G (cid:210)(cid:211) (cid:60)b(cid:58)(cid:80)(cid:79)(cid:91)(cid:149)(cid:26)
a a
(cid:95)G (cid:78)
a
(cid:60)b(cid:58)(cid:80)(cid:79)(cid:91)(cid:149)
a
(cid:38)G (cid:38)b(cid:164)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77) G2 =ab(cid:26)
(cid:255)(cid:23)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:58)(cid:104)(cid:3)(cid:7)(cid:49)
⇔ ⇒
1(cid:23)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:58)(cid:138)(cid:149)(cid:7)(cid:49)
a
(cid:168)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77) {a } (cid:58)(cid:216)(cid:149)(cid:42) a (cid:38)(cid:7)(cid:79)(cid:42)q(q¹0)(cid:38)(cid:150)(cid:207)(cid:58)(cid:138)(cid:149)(cid:7)(cid:49)a =aqn-1 =c×qn(c= 1)(a,q¹0)(cid:26)
n 1 n 1 q 1
(cid:218)(cid:219)(cid:256)(cid:49)(cid:10) a = a ×qn(cid:214)m
n m
2(cid:23)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:58)(cid:148)n(cid:149)(cid:127)(cid:7)(cid:49)
ìna (q=1)
1
ï
(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77) {a n } (cid:58)(cid:7)(cid:79)(cid:42)q(q¹0)(cid:38)(cid:217)(cid:148) n (cid:149)(cid:127)(cid:42)S n =í
ï
a 1 (1-qn) = a 1 -a n q (q¹1)
î 1-q 1-q
(cid:257)(cid:23)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:58)(cid:171)(cid:172)
1(cid:23)(cid:80)(cid:79)(cid:91)(cid:149)(cid:58)(cid:218)(cid:219)
(cid:72)m+n=p+q(cid:108)(cid:38)(cid:150)a a =aa (cid:38)(cid:220)(cid:169)(cid:202)(cid:38)(cid:107)m+n=2p(cid:108)(cid:38)a a =a2(cid:26)
m n p q m n p2(cid:23) (cid:168) {a } (cid:42)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:38)(cid:150) {la } (cid:27)l(cid:42)(cid:237)(cid:254)(cid:43)(cid:13)(cid:32)(cid:38) {a } (cid:38) {am} (cid:222)(cid:42)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:26)
n n n n
(cid:168)①{a
}
(cid:60)
{b }
(cid:42)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:38)(cid:150)
{a b }
(cid:163)(cid:42)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:26)
n n n n
②3(cid:23)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)
{a }
(cid:58)(cid:258)(cid:259)(cid:171)(cid:27)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:58)(cid:258)(cid:259)(cid:171)(cid:103)(cid:216)(cid:149)
a
(cid:60)(cid:7)(cid:79)q(cid:260)(cid:97)(cid:32)(cid:26)
n 1
ìa >0 ìa <0
(cid:107)í 1 (cid:114)í 1 (cid:108)(cid:38)
{a }
(cid:42)(cid:233)(cid:234)(cid:13)(cid:77)(cid:74)
îq>1 î0<q<1 n
ìa >0 ìa <0
(cid:107)í 1 (cid:114)í 1 (cid:108)(cid:38)
{a }
(cid:42)(cid:233)(cid:235)(cid:13)(cid:77)(cid:26)
î0<q<1 îq>1 n
4(cid:23)(cid:217)(cid:241)(cid:242)(cid:243)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:26)
(cid:72)(cid:33)(cid:34)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77) (cid:38)(cid:7)(cid:79)(cid:42)q(cid:38)(cid:148) (cid:149)(cid:127)(cid:42) (cid:38)(cid:150)(cid:10)
{a } n S
n n
(cid:80)(cid:244)(cid:245)(cid:246)(cid:225)
①a p ,a p+t ,a p+2t ,La p+(n-1)t ,L(cid:42)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:38)(cid:7)(cid:79)(cid:42) qt (cid:26)
(cid:80)(cid:247)(cid:248)(cid:249)(cid:225)
②S ,S -S ,S -S ,L (cid:42)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:38)(cid:7)(cid:79)(cid:42) qm(cid:27)(cid:107)q=-1(cid:108)(cid:38) m (cid:118)(cid:42)(cid:192)(cid:13)(cid:32)(cid:26)
m 2m m 3m 2m
(cid:261)(cid:23)(cid:73)(cid:13)(cid:77)(cid:58)(cid:138)(cid:149)(cid:7)(cid:49)
1(cid:23)(cid:262)(cid:263)(cid:161)(cid:10)
(cid:33)(cid:34)(cid:13)(cid:77)(cid:148)(cid:72)(cid:264)(cid:149)(cid:38)(cid:73)(cid:117)(cid:13)(cid:77)(cid:58)(cid:138)(cid:149)(cid:108)(cid:38)(cid:22)(cid:201)(cid:67)(cid:115)(cid:265)(cid:58)(cid:149)(cid:262)(cid:263)(cid:86)(cid:85)(cid:38)(cid:266)(cid:267)(cid:268)(cid:269)(cid:38)(cid:122)(cid:123)(cid:88)(cid:89)(cid:268)(cid:269)(cid:270)(cid:94)(cid:198)(cid:13)(cid:77)
(cid:58)(cid:22)(cid:185)(cid:138)(cid:149)(cid:26)
2(cid:23)(cid:7)(cid:49)(cid:161)(cid:10)
n S
(cid:72)(cid:33)(cid:34)(cid:13)(cid:77)(cid:58)(cid:148) (cid:149)(cid:127) n(cid:60)
a
(cid:58)(cid:3)(cid:157)(cid:38)(cid:73)(cid:13)(cid:77)a (cid:58)(cid:138)(cid:149)
a
(cid:96)(cid:152)(cid:7)(cid:49)
n n n
ìS , (n=1)
a =í 1 (cid:52)(cid:53)(cid:271)(cid:49)(cid:55)(cid:147)(cid:73)(cid:24)(cid:26)
n îS -S ,(n³2)
n n-1
(cid:152)(cid:198)(cid:7)(cid:49)(cid:108)(cid:272)(cid:4)(cid:135)(cid:100)(cid:101)(cid:104)(cid:271)(cid:273)(cid:96)(cid:274)(cid:38)(cid:22)(cid:273)(cid:78)“(cid:22)(cid:86)(cid:42)(cid:156)”(cid:38)(cid:95)(cid:86)(cid:275)(cid:49)(cid:74)(cid:132)(cid:22)(cid:273)(cid:78)“(cid:182)(cid:156)(cid:42)(cid:22)”(cid:38)(cid:95)
a
(cid:127)
a
(cid:182)(cid:42)
1 n
(cid:22)(cid:185)(cid:139)(cid:131)(cid:38)(cid:27)(cid:272)(cid:276)(cid:86)n=1(cid:127)n³2(cid:271)(cid:273)(cid:277)(cid:278)(cid:86)(cid:169)(cid:158)(cid:279)(cid:280)(cid:93)(cid:38)(cid:121)(cid:281)(cid:99)(cid:75)(cid:274)(cid:282)(cid:283)(cid:22)(cid:32)(cid:26)
3(cid:23)(cid:159)(cid:284)(cid:161)(cid:10)
ìa -a = f(n-1)
n n-1
ï
ïa -a = f(n-2)
(cid:256)(cid:46) a = a + f(n) (cid:285)(cid:58)(cid:233)(cid:218)(cid:13)(cid:77)(cid:27)(cid:217)(cid:91) f(n)(cid:78)(cid:3)(cid:64) n (cid:58)(cid:231)(cid:13)(cid:32)(cid:96)(cid:52)(cid:53)(cid:10) í n-1 n-2
n+1 n ï...
ï îa -a = f(1)
2 1
(cid:286)(cid:41)(cid:287) m (cid:185)(cid:49)(cid:288)(cid:271)(cid:289)(cid:86)(cid:169)(cid:133)(cid:284)(cid:38)(cid:96)(cid:112)(cid:10) a = f(n-1)+ f(n-2)+...f(2)+ f(1)+a ,(n³ 2)
2 n 1
(cid:72) f(n)(cid:78)(cid:3)(cid:64)
n
(cid:58)(cid:22)(cid:51)(cid:231)(cid:13)(cid:38)(cid:159)(cid:284)(cid:281)(cid:96)(cid:290)(cid:16)(cid:42)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:73)(cid:127)(cid:74)
① (cid:72) f(n)(cid:78)(cid:3)(cid:64) n (cid:58)(cid:291)(cid:13)(cid:231)(cid:13)(cid:38)(cid:159)(cid:284)(cid:281)(cid:96)(cid:290)(cid:16)(cid:42)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:73)(cid:127)(cid:74)
②(cid:72) f(n)(cid:78)(cid:3)(cid:64)
n
(cid:58)(cid:156)(cid:51)(cid:231)(cid:13)(cid:38)(cid:159)(cid:284)(cid:281)(cid:96)(cid:86)(cid:153)(cid:73)(cid:127)(cid:74)
③(cid:72) f(n)(cid:78)(cid:3)(cid:64)
n
(cid:58)(cid:86)(cid:49)(cid:231)(cid:13)(cid:38)(cid:159)(cid:284)(cid:281)(cid:96)(cid:165)(cid:149)(cid:73)(cid:127)(cid:26)
4④(cid:23)(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:10)
ì a
ï
n = f(n-1)
a
ï n-1
ïa
(cid:256)(cid:46) a =a × f(n) æ ç a n+1 = f(n) ö ÷(cid:285)(cid:58)(cid:233)(cid:218)(cid:13)(cid:77)(cid:27)(cid:217)(cid:91) f(n)(cid:78)(cid:3)(cid:64) n (cid:58)(cid:231)(cid:13)(cid:32)(cid:96)(cid:52)(cid:53)(cid:10) ï ía n-1 = f(n-2)
n+1 n è a n ø ï n-2
...
ï
ïa
ï 2 = f(1)
îa
1
(cid:286)(cid:41)(cid:287) m (cid:185)(cid:49)(cid:288)(cid:271)(cid:289)(cid:86)(cid:169)(cid:133)(cid:160)(cid:38)(cid:96)(cid:112)(cid:10) a = f(n-1)× f(n-2)×...× f(2)f(1)a ,(n³ 2)
2 n 1
(cid:104)(cid:108)(cid:72)(cid:118)(cid:274)(cid:59)(cid:87)(cid:152)(cid:38)(cid:96)(cid:292)(cid:256)(cid:164)(cid:141)(cid:273)(cid:256)(cid:49)(cid:38)(cid:121)(cid:281)(cid:152)(cid:141)(cid:273)(cid:48)(cid:161)(cid:73)(cid:24)(cid:26)
5(cid:23)(cid:52)(cid:53)(cid:13)(cid:77)(cid:161)(cid:10)
(cid:27)(cid:22)(cid:32)(cid:256)(cid:46) a = pa + q (cid:27)(cid:217)(cid:91) p,q(cid:252)(cid:42)(cid:43)(cid:13)(cid:109) p ¹ 0 (cid:32)(cid:285)(cid:58)(cid:233)(cid:218)(cid:49)(cid:10)
n+1 n
(cid:27)1(cid:32)(cid:72)p=1(cid:108)(cid:38)(cid:13)(cid:77){a }(cid:42)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:74)
n
(cid:27)2(cid:32)(cid:72)q=0(cid:108)(cid:38)(cid:13)(cid:77){a }(cid:42)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:74)
n
(cid:27)3(cid:32)(cid:72)p¹1(cid:109)q¹0(cid:108)(cid:38)(cid:13)(cid:77){a }(cid:42)(cid:37)(cid:171)(cid:233)(cid:218)(cid:13)(cid:77)(cid:38)(cid:217)(cid:138)(cid:149)(cid:96)(cid:138)(cid:54)(cid:293)(cid:97)(cid:157)(cid:13)(cid:161)(cid:52)(cid:53)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:294)(cid:73)(cid:26)(cid:48)(cid:161)(cid:104)
n
(cid:46)(cid:47)(cid:271)(cid:273)(cid:10)
(cid:161)(cid:22)(cid:10)(cid:168) a +l= p(a +l) (cid:38)(cid:124)(cid:125)(cid:295)(cid:149)(cid:167)(cid:15)(cid:112) a = pa +(p-1)l(cid:38)(cid:60)(cid:21)(cid:168) a = pa + q (cid:79)(cid:195)(cid:157)(cid:13)(cid:27)(cid:293)(cid:97)
n+1 n n+1 n n+1 n
ì q ü
(cid:157)(cid:13)(cid:161)(cid:32)(cid:112)l= q ,(p¹0)Þa + q = p(a + q ) Þa + q = p(a + q )(cid:38)(cid:95)ía + ý(cid:52)(cid:164)
p-1 n+1 p-1 n p-1 n p-1 n-1 p-1 î n p-1þ
ì q ü
(cid:116)a + q (cid:42)(cid:216)(cid:149)(cid:38)(cid:116) p (cid:42)(cid:7)(cid:79)(cid:58)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:26)(cid:143)(cid:151)(cid:152)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:58)(cid:138)(cid:149)(cid:7)(cid:49)(cid:73)(cid:94)ía + ý(cid:58)(cid:138)(cid:149)(cid:167)(cid:15)(cid:96)
1 p-1 î n p-1þ
(cid:112)
a .
n
(cid:161)(cid:156)(cid:10)(cid:103) a = pa + q (cid:112) a = pa +q(n³2) (cid:271)(cid:49)(cid:133)(cid:235)(cid:194)(cid:167)(cid:15)(cid:112)a n+1 -a n = p, (cid:95)a - a (cid:52)(cid:164)(cid:116) a -a (cid:42)(cid:216)
n+1 n n n-1 a -a n+1 n 2 1
n n-1
(cid:149)(cid:38)(cid:116) p (cid:42)(cid:7)(cid:79)(cid:58)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:26)(cid:73)(cid:94)a
- a
(cid:58)(cid:138)(cid:149)(cid:143)(cid:290)(cid:16)(cid:42)(cid:173)(cid:285)Ⅲ(cid:27)(cid:159)(cid:284)(cid:161)(cid:32)(cid:296)(cid:96)(cid:73)(cid:94)
a .
n+1 n n
(cid:27)(cid:156)(cid:32)(cid:256)(cid:46) a = pa + f(n) (p¹1)(cid:285)(cid:58)(cid:233)(cid:218)(cid:49)(cid:10)
n+1 n
(cid:27)1(cid:32)(cid:107) f(n)(cid:42)(cid:22)(cid:51)(cid:231)(cid:13)(cid:173)(cid:285)(cid:27)(cid:95)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:32)(cid:108)(cid:10)
(cid:168) a + An+ B = pa + A(n-1)+ B(cid:38)(cid:138)(cid:54)(cid:293)(cid:97)(cid:157)(cid:13)(cid:161)(cid:297)(cid:97)A(cid:23)B (cid:58)(cid:228)(cid:38)(cid:290)(cid:16)(cid:164)(cid:116) a + A+B (cid:42)(cid:216)(cid:149)(cid:38)(cid:116)
n n-1 1
Am =
n(cid:298)
(cid:42)(cid:7)(cid:79)(cid:58)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)a + An+ B(cid:38)(cid:143)(cid:151)(cid:152)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:58)(cid:138)(cid:149)(cid:7)(cid:49)(cid:73)(cid:94)a + An+ B(cid:58)(cid:138)(cid:149)(cid:167)(cid:15)(cid:96)
n n-m! n n
(cid:112)
a .
n
(cid:261)(cid:22)(cid:23)(cid:13)(cid:77)(cid:73)(cid:127)
1(cid:23)(cid:7)(cid:49)(cid:161)n(a +a ) n(n+1)
(cid:27)1(cid:32)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)a (cid:58)(cid:148)n(cid:149)(cid:127)S = 1 n =na + d
n n 2 1 2
ìna (cid:38)q=1
1
ï
(cid:27)2(cid:32)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)a (cid:58)(cid:148)n(cid:149)(cid:127)S =ía (1-qn)
n n
ï
1 (cid:38)q¹1
î 1-q
(cid:27)3(cid:32)(cid:22)(cid:299)(cid:43)(cid:84)(cid:58)(cid:13)(cid:77)(cid:58)(cid:148)n(cid:149)(cid:127)(cid:10)
å n k =1+2+3+L+n= 1 n(n+1)(cid:74)å n 2k =2+4+6+L+2n=n(n+1)
2
k=1 k=1
①
n
å(2k-1)=1+3+5+L+(2n-1)=n2(cid:74)
k=1
②
å n k2 =12 +22 +32 +L+n2 = 1 n(n+1)(2n+1)(cid:74)
6
k=1
③
å
n
k3 =13 +23 +33 +L+n3 =[
n(n+1)
]2
2
k=1
④
2(cid:23)(cid:300)(cid:273)(cid:13)(cid:77)(cid:73)(cid:127)(cid:58)(cid:43)(cid:152)(cid:48)(cid:161)
(cid:27)1(cid:32)(cid:86)(cid:153)(cid:73)(cid:127)(cid:161)(cid:10)(cid:22)(cid:185)(cid:13)(cid:77)(cid:58)(cid:138)(cid:149)(cid:7)(cid:49)(cid:78)(cid:103)(cid:72)(cid:264)(cid:185)(cid:80)(cid:147)(cid:114)(cid:80)(cid:79)(cid:114)(cid:96)(cid:73)(cid:127)(cid:58)(cid:13)(cid:77)(cid:153)(cid:164)(cid:58)(cid:38)(cid:150)(cid:73)(cid:127)(cid:108)(cid:96)(cid:152)(cid:86)(cid:153)
(cid:73)(cid:127)(cid:161)(cid:38)(cid:86)(cid:169)(cid:73)(cid:127)(cid:281)(cid:133)(cid:284)(cid:235)(cid:26)
(cid:27)2(cid:32)(cid:194)(cid:149)(cid:73)(cid:127)(cid:161)(cid:10)(cid:22)(cid:185)(cid:13)(cid:77)(cid:58)(cid:148)n(cid:149)(cid:127)(cid:91)(cid:38)(cid:96)(cid:271)(cid:271)(cid:100)(cid:182)(cid:73)(cid:24)(cid:38)(cid:150)(cid:68)(cid:239)(cid:42)(cid:194)(cid:149)(cid:73)(cid:127)(cid:26)
(cid:27)3(cid:32)(cid:165)(cid:149)(cid:133)(cid:301)(cid:161)(cid:10)(cid:302)(cid:13)(cid:77)(cid:58)(cid:138)(cid:149)(cid:303)(cid:164)(cid:271)(cid:149)(cid:239)(cid:147)(cid:38)(cid:40)(cid:73)(cid:127)(cid:108)(cid:91)(cid:244)(cid:58)(cid:22)(cid:299)(cid:149)(cid:96)(cid:116)(cid:133)(cid:304)(cid:305)(cid:301)(cid:38)(cid:122)(cid:123)(cid:73)(cid:112)(cid:148)n(cid:149)
(cid:127)(cid:26)
(cid:27)4(cid:32)(cid:306)(cid:307)(cid:133)(cid:235)(cid:161)(cid:10)(cid:46)(cid:203)(cid:22)(cid:185)(cid:13)(cid:77)(cid:58)(cid:308)(cid:149)(cid:78)(cid:103)(cid:22)(cid:185)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:127)(cid:22)(cid:185)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:58)(cid:67)(cid:134)(cid:149)(cid:239)(cid:309)(cid:52)(cid:164)(cid:58)(cid:38)(cid:208)(cid:209)(cid:73)(cid:141)
(cid:185)(cid:13)(cid:77)(cid:58)(cid:148)n(cid:149)(cid:127)(cid:95)(cid:96)(cid:152)(cid:306)(cid:307)(cid:133)(cid:235)(cid:161)(cid:73)(cid:24)(cid:26)
(cid:27)5(cid:32)(cid:310)(cid:311)(cid:133)(cid:284)(cid:161)(cid:10)(cid:46)(cid:203)(cid:22)(cid:185)(cid:13)(cid:77)a (cid:60)(cid:216)(cid:312)(cid:271)(cid:313)(cid:80)“(cid:245)(cid:314)”(cid:58)(cid:271)(cid:149)(cid:58)(cid:127)(cid:133)(cid:80)(cid:114)(cid:80)(cid:64)(cid:119)(cid:22)(cid:185)(cid:43)(cid:13)(cid:38)(cid:208)(cid:209)(cid:73)(cid:141)(cid:185)
n
(cid:13)(cid:77)(cid:58)(cid:148)n(cid:149)(cid:127)(cid:95)(cid:96)(cid:152)(cid:310)(cid:311)(cid:133)(cid:284)(cid:161)(cid:73)(cid:24)(cid:26)
(cid:81)(cid:13)(cid:77)(cid:43)(cid:152)(cid:100)(cid:101)(cid:83)
1(cid:23)(cid:13)(cid:77)(cid:58)(cid:233)(cid:218)(cid:7)(cid:49)
ìïS (cid:38)n=1
(cid:27)1(cid:32)(cid:72)(cid:13)(cid:77){a }(cid:58)(cid:148)n(cid:149)(cid:127)(cid:42)S (cid:38)(cid:138)(cid:149)(cid:7)(cid:49)(cid:42)a (cid:38)(cid:150)a =í 1
n n n n ïîS -S (cid:38)n³2 (cid:38)nÎN*
n n-1
(cid:4)(cid:135)(cid:10)(cid:88)(cid:89)S (cid:73)a (cid:108)(cid:38)(cid:118)(cid:272)(cid:315)(cid:316)(cid:67)n=1(cid:58)(cid:99)(cid:75)(cid:26)
n n
ìa ³a ìa £a
(cid:27)2(cid:32)(cid:40)(cid:13)(cid:77){a }(cid:91)(cid:38)(cid:72)a (cid:226)(cid:227)(cid:38)(cid:150)í n n-1 (cid:38)(cid:72)a (cid:226)(cid:229)(cid:38)(cid:150)í n n-1 .
n n îa ³a n îa £a
n n+1 n n+1
2(cid:23)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)
(cid:27)1(cid:32)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77){a }(cid:91)(cid:38)(cid:72)a =m,a =n(m¹n,m,nÎN*)(cid:38)(cid:150)a =0(cid:26)
n n m m+n
(cid:27)2(cid:32)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77){a }(cid:91)(cid:38)(cid:72)S =m,S =n(m¹n,m,nÎN*)(cid:38)(cid:150)S =-(m+n)(cid:26)
n n m m+n(cid:27)3(cid:32)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77){a }(cid:91)(cid:38)(cid:72)S =S (m¹n,m,nÎN*)(cid:38)(cid:150)S =0(cid:26)
n n m m+n
a S
(cid:27)4(cid:32)(cid:72){a }(cid:60){b }(cid:42)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:38)(cid:109)(cid:148)n(cid:149)(cid:127)(cid:42)S (cid:60)T (cid:38)(cid:150) m = 2m-1 (cid:26)
n n n n b T
m 2m-1
3(cid:23)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)
(cid:27)1(cid:32)(cid:72) m + n = p + q = 2k(m (cid:38)n (cid:38)p (cid:38)q (cid:38)kÎ N*) (cid:38)(cid:150)a m ×a n (cid:223)a p ×a q (cid:223)a k 2(cid:26)
(cid:27)2(cid:32)(cid:72) {a } (cid:38) {b } (cid:27)(cid:149)(cid:13)(cid:133)(cid:119)(cid:32)(cid:78)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:38)(cid:150) {la }(l¹ 0) (cid:38) { 1 } (cid:38) {a 2} (cid:38) {a ×b } (cid:38) { a n} (cid:222)(cid:78)(cid:80)(cid:79)(cid:13)
n n n a n n n b
n n
(cid:77)(cid:26)
(cid:27)3(cid:32)(cid:40)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77) {a } (cid:91)(cid:38)(cid:80)(cid:245)(cid:314)(cid:225)(cid:94)(cid:72)(cid:264)(cid:149)(cid:163)(cid:52)(cid:164)(cid:22)(cid:185)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:38)(cid:95) a (cid:38)a (cid:38)a (cid:38)a ¼(cid:42)
n n n(cid:221)k n(cid:221)2k n(cid:221)3k
(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:38)(cid:7)(cid:79)(cid:42) qk (cid:26)
(cid:27)4(cid:32)(cid:7)(cid:79)(cid:118)(cid:42)(cid:214)1(cid:58)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77) {a } (cid:58)(cid:148) n (cid:149)(cid:127)(cid:42) S (cid:38)(cid:150) S (cid:38) S -S (cid:38) S -S (cid:222)(cid:164)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:38)(cid:217)(cid:7)(cid:79)(cid:42)
n n n 2n n 3n 2n
qn (cid:26)
(cid:27)5(cid:32) {a } (cid:42)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:38)(cid:72) a ×a ¼a(cid:223)T (cid:38)(cid:150) T (cid:38) T 2n (cid:38) T 3n (cid:38)L (cid:164)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:26)
n 1 2 n n n T T
n 2n
a
(cid:27)6(cid:32)(cid:107)q¹0(cid:38)q¹1(cid:108)(cid:38) S = k(cid:214)k·qn(k ¹ 0) (cid:78) {a } (cid:164)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:58)(cid:317)(cid:272)(cid:318)(cid:319)(cid:38)(cid:198)(cid:108)k = 1 (cid:26)
n n 1- q
(cid:27)7(cid:32)(cid:104)(cid:320)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:91)(cid:38)(cid:60)(cid:216)(cid:312)(cid:271)(cid:149)(cid:80)(cid:245)(cid:314)(cid:58)(cid:271)(cid:149)(cid:58)(cid:309)(cid:133)(cid:80)(cid:26)(cid:220)(cid:169)(cid:202)(cid:38)(cid:72)(cid:149)(cid:13)(cid:42)(cid:191)(cid:13)(cid:108)(cid:38)(cid:321)(cid:80)(cid:64)(cid:91)(cid:244)
(cid:149)(cid:58)(cid:251)(cid:48)(cid:26)
(cid:27)8(cid:32)(cid:72) {a } (cid:42)(cid:236)(cid:149)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:38)(cid:150) {log a }(c > 0,c ¹1) (cid:42)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:26)
n c n
(cid:27)9(cid:32)(cid:72) {a } (cid:42)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:38)(cid:150) {can}(c> 0,c ¹1) (cid:42)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:26)
n
(cid:27)10(cid:32)(cid:72)
{a }
(cid:322)(cid:78)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:166)(cid:78)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)Û
{a )
(cid:78)(cid:237)(cid:254)(cid:43)(cid:13)(cid:77)(cid:26)
n n
4(cid:23)(cid:13)(cid:77)(cid:73)(cid:127)
(cid:27)1(cid:32)(cid:165)(cid:149)(cid:323)(cid:324)
(cid:80)(cid:147)(cid:285)
①(cid:27)1(cid:32) 1
=
1
-
1
n(n+1) n n+1
1 1 1 1
(cid:27)2(cid:32) = ( - )
n(n+k) k n n+k
1 1 1 1
(cid:27)3(cid:32) = ( - )
4n2 -1 2 2n-1 2n+1
(cid:88)(cid:49)(cid:285)
(cid:27)② 1(cid:32) 1 = n+1- n
n+1+ n
1 1
(cid:27)2(cid:32) = ( n+k - n)
n+k + n k1 1
(cid:27)3(cid:32) = ( 2n+1- 2n-1)
2n-1+ 2n+1 2
(cid:291)(cid:13)(cid:285)
③ 2n (2n+1-1)-(2n -1) 1 1
(cid:27)1(cid:32) = = -
(2n+1-1)(2n -1) (2n+1-1)(2n -1) 2n -1 2n+1-1
(cid:22)(cid:23)(cid:258)(cid:20)(cid:21)
a
1(cid:26)(cid:27)2024·(cid:325)(cid:326)(cid:257)(cid:325)·(cid:215)(cid:327)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)a (cid:58)(cid:7)(cid:147)(cid:42)dd ¹0(cid:38)a (cid:78)a (cid:60)a (cid:58)(cid:80)(cid:79)(cid:91)(cid:149)(cid:38)(cid:150) 1 =(cid:27) (cid:32)
n 5 4 8 d
5 2 5 2
A(cid:26)- B(cid:26)- C(cid:26) D(cid:26)
2 5 2 5
2(cid:26)(cid:27)2024·(cid:328)(cid:329)(cid:330)(cid:331)(cid:28)·(cid:215)(cid:327)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:13)(cid:77)a (cid:42)(cid:308)(cid:149)(cid:118)(cid:42)(cid:254)(cid:58)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:38)S (cid:42)(cid:13)(cid:77)a (cid:58)(cid:148)n(cid:149)(cid:127)(cid:38)
n n n
4S =a ×a (cid:38)(cid:150)a (cid:58)(cid:228)(cid:42)(cid:27) (cid:32)
n n n+1 8
A(cid:26)4 B(cid:26)8 C(cid:26)12 D(cid:26)16
3(cid:26)(cid:27)2024·(cid:328)(cid:329)(cid:332)(cid:333)·(cid:215)(cid:327)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:40)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)a (cid:91)(cid:38)a a =12a (cid:38)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)b (cid:58)(cid:148)n(cid:149)(cid:127)(cid:42)S (cid:38)(cid:109)
n 4 8 6 n n
2b =a (cid:38)(cid:150)S =(cid:27) (cid:32)
4 6 7
A(cid:26)60 B(cid:26)54 C(cid:26)42 D(cid:26)36
4(cid:26)(cid:27)2024·(cid:28)(cid:334)(cid:335)(cid:336)·(cid:215)(cid:327)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)a (cid:189)(cid:190)a +a +a =15(cid:38)(cid:69)a (cid:58)(cid:148)n(cid:149)(cid:127)(cid:42)S (cid:38)(cid:150)S =(cid:27) (cid:32)
n 2 5 8 n n 9
A(cid:26)18 B(cid:26)24 C(cid:26)27 D(cid:26)45
5(cid:26)(cid:27)2024·(cid:337)(cid:326)(cid:326)(cid:338)·(cid:215)(cid:327)(cid:32)(cid:33)(cid:34)S (cid:78)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)a (cid:58)(cid:148)n(cid:149)(cid:127)(cid:38)a +a +a =2(cid:38)a +a +a =4(cid:38)(cid:150)S =
n n 1 4 7 2 5 8 9
(cid:27) (cid:32)
A(cid:26)12 B(cid:26)14 C(cid:26)16 D(cid:26)18
6(cid:26)(cid:27)2024·(cid:219)(cid:339)(cid:340)(cid:341)·(cid:215)(cid:327)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)a (cid:58)(cid:148)n(cid:149)(cid:127)(cid:42)S (cid:38)a =3(cid:38)a =2a +1(cid:38)(cid:72)S +a =100(cid:38)
n n 2 2n n n n+1
(cid:150)n=(cid:27) (cid:32)
A(cid:26)8 B(cid:26)9 C(cid:26)10 D(cid:26)11
7(cid:26)(cid:27)2024·(cid:342)(cid:325)·(cid:215)(cid:327)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)a (cid:58)(cid:148)n(cid:149)(cid:127)(cid:42)S (cid:38)“a =0”(cid:78)“S =S  n<4047,nÎN* ”(cid:58)
n n 2024 n 4047-n
(cid:27) (cid:32)
A(cid:26)(cid:317)(cid:86)(cid:118)(cid:129)(cid:272)(cid:318)(cid:319) B(cid:26)(cid:129)(cid:272)(cid:118)(cid:317)(cid:86)(cid:318)(cid:319)
C(cid:26)(cid:317)(cid:272)(cid:318)(cid:319) D(cid:26)(cid:322)(cid:118)(cid:317)(cid:86)(cid:163)(cid:118)(cid:129)(cid:272)(cid:318)(cid:319)
8(cid:26)(cid:27)2023·(cid:328)(cid:329)(cid:127)(cid:251)·(cid:215)(cid:327)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:13)(cid:77)a (cid:189)(cid:190)a =1(cid:38)a =2a +1  nÎN* (cid:38)S (cid:78)(cid:13)(cid:77)a (cid:58)(cid:148)n(cid:149)(cid:127)(cid:38)(cid:150)
n 1 n+1 n n n
S =(cid:27) (cid:32)
9A(cid:26)29-10 B(cid:26)29-11 C(cid:26)210-10 D(cid:26)210-11
9(cid:26)(cid:27)2024·(cid:337)(cid:326)(cid:326)(cid:338)·(cid:215)(cid:327)(cid:32)(cid:46)(cid:343)(cid:38)(cid:152)(cid:133)(cid:119)(cid:58)(cid:344)(cid:345)(cid:164)(cid:72)(cid:264)(cid:345)“(cid:236)(cid:215)(cid:346)(cid:347)”(cid:256)(cid:58)(cid:348)(cid:349)(cid:350)(cid:38)(cid:217)(cid:91)(cid:204)1(cid:345)(cid:351)(cid:104)1(cid:352)(cid:38)
(cid:109)(cid:351)(cid:104)1(cid:185)(cid:344)(cid:74)(cid:204)2(cid:345)(cid:104)2(cid:352)4(cid:185)(cid:344)(cid:38)(cid:217)(cid:91)(cid:204)1(cid:352)(cid:104)1(cid:185)(cid:344)(cid:38)(cid:204)2(cid:352)(cid:104)3(cid:185)(cid:344)(cid:74)…(cid:74)(cid:204)n(cid:345)(cid:104)n(cid:352)(cid:128)S (cid:185)
n
20
(cid:344)(cid:38)(cid:204)1(cid:352)(cid:104)1(cid:185)(cid:344)(cid:38)(cid:204)2(cid:352)(cid:104)3(cid:185)(cid:344)(cid:38)(cid:204)3(cid:352)(cid:104)6(cid:185)(cid:344)(cid:38)…(cid:26)(cid:33)(cid:34)S =1540(cid:38)(cid:150)ån2 =(cid:27) (cid:32)
20
n=1
A(cid:26)2290 B(cid:26)2540 C(cid:26)2650 D(cid:26)2870
ìa +1,n(cid:42)(cid:191)(cid:13)
10(cid:26)(cid:27)2024·(cid:353)(cid:332)(cid:354)(cid:355)(cid:356)·(cid:215)(cid:327)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:13)(cid:77)a (cid:58)(cid:148)n(cid:149)(cid:127)(cid:42)S (cid:38)(cid:109)(cid:189)(cid:190)a =1,a =í n (cid:38)(cid:150)S =
n n 1 n+1 î2a ,n(cid:42)(cid:192)(cid:13) 100
n
(cid:27) (cid:32)
A(cid:26)3´251-156 B(cid:26)3´251-103 C(cid:26)3´250-156 D(cid:26)3´250-103
11(cid:26)(cid:27)2024·(cid:342)(cid:325)(cid:357)(cid:358)·(cid:215)(cid:327)(cid:32)(cid:168)0£a <a <L<a <a £1(cid:38)(cid:33)(cid:34)a ³3a 1£n£99(cid:38)(cid:72)maxa -a ³m
1 2 99 100 n+1 n n+1 n
(cid:359)(cid:164)(cid:111)(cid:38)(cid:150)m(cid:58)(cid:225)(cid:228)(cid:360)(cid:361)(cid:42)(cid:27) (cid:32)
1 1
A(cid:26)m£ B(cid:26)m£
9 3
2 4
C(cid:26)m£ D(cid:26)m£
3 9
(cid:156)(cid:23)(cid:362)(cid:20)(cid:21)
12(cid:26)(cid:27)2024·(cid:325)(cid:326)·(cid:215)(cid:327)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:13)(cid:77)a (cid:189)(cid:190)a =1,a =2a +1(cid:38)(cid:150)(cid:27) (cid:32)
n 1 n+1 n
A(cid:26)(cid:13)(cid:77)a (cid:78)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77) B(cid:26)(cid:13)(cid:77)  log a +1 (cid:78)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)
n 2 n
C(cid:26)(cid:13)(cid:77)a (cid:58)(cid:148)n(cid:149)(cid:127)(cid:42)2n+1-n-2 D(cid:26)a (cid:274)(cid:363)3(cid:167)(cid:364)
n 20
13(cid:26)(cid:27)2024·(cid:365)(cid:366)(cid:367)(cid:368)·(cid:215)(cid:327)(cid:32)(cid:33)(cid:34)a (cid:78)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:38)S (cid:78)(cid:217)(cid:148)n(cid:149)(cid:127)(cid:38)(cid:189)(cid:190)a =2a +a (cid:38)(cid:150)(cid:47)(cid:77)(cid:369)(cid:161)(cid:236)(cid:297)
n n 3 1 2
(cid:58)(cid:104)(cid:27) (cid:32)
A(cid:26)(cid:72)a (cid:78)(cid:236)(cid:149)(cid:13)(cid:77)(cid:38)(cid:150)a (cid:78)(cid:258)(cid:259)(cid:233)(cid:234)(cid:13)(cid:77)
n n
B(cid:26)S ,S -S ,S -S (cid:22)(cid:97)(cid:78)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)
n 2n n 3n 2n
C(cid:26)(cid:72)(cid:370)(cid:40)M >0(cid:38)(cid:224) a £M (cid:67)"nÎN+(cid:371)(cid:164)(cid:111)(cid:38)(cid:150)|a |(cid:78)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)
n n
1
D(cid:26)(cid:72)a >0(cid:38)(cid:109)a = (cid:38)T =a ×a La (cid:38)(cid:150)n=7(cid:108)T (cid:225)(cid:226)(cid:229)(cid:228)
n 1 100 n 1 2 n n
14(cid:26)(cid:27)2024·(cid:372)(cid:339)(cid:373)(cid:374)·(cid:215)(cid:327)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:13)(cid:77)a (cid:58)(cid:148)n(cid:149)(cid:127)(cid:42)S (cid:38)(cid:109)(cid:189)(cid:190)2S =3n+1-3(cid:38)(cid:13)(cid:77)b (cid:58)(cid:148)n(cid:149)(cid:127)(cid:42)
n n n nT 1
T (cid:38)(cid:109)(cid:189)(cid:190) n = b +1(cid:38)(cid:150)(cid:47)(cid:77)(cid:369)(cid:161)(cid:91)(cid:236)(cid:297)(cid:58)(cid:78)(cid:27) (cid:32)
n n 2 n
A(cid:26)a =3b B(cid:26)(cid:13)(cid:77)a (cid:78)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)
1 1 n
10 1 9
C(cid:26)(cid:13)(cid:77)b (cid:78)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77) D(cid:26)(cid:72)b =3(cid:38)(cid:150)å =
n 2 b log an 10
n=1 n 3
15(cid:26)(cid:27)2024·(cid:372)(cid:326)(cid:375)(cid:376)·(cid:215)(cid:327)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)a (cid:58)(cid:216)(cid:149)(cid:42)a (cid:38)(cid:7)(cid:147)(cid:42)d(cid:38)(cid:148)n(cid:149)(cid:127)(cid:42)S (cid:38)(cid:72)S <S <S (cid:38)(cid:150)
n 1 n 10 8 9
(cid:47)(cid:77)(cid:369)(cid:161)(cid:236)(cid:297)(cid:58)(cid:78)(cid:27) (cid:32)
A(cid:26)(cid:107)n=8,S (cid:226)(cid:227)
n
B(cid:26)(cid:224)(cid:112)S <0(cid:164)(cid:111)(cid:58)(cid:226)(cid:229)(cid:377)(cid:121)(cid:13)n=18
n
C(cid:26) a +a > a +a
8 5 10 11
ìS ü S
D(cid:26)í ný(cid:91)(cid:226)(cid:229)(cid:149)(cid:42) 10
îa n þ a 10
(cid:215)(cid:23)(cid:145)(cid:146)(cid:21)
1 1 y-x
16(cid:26)(cid:27)2024·(cid:365)(cid:332)(cid:378)(cid:379)·(cid:215)(cid:327)(cid:32)(cid:72)(cid:380)(cid:13)0,x,y,6(cid:164)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:38)- ,a,b,c,- (cid:164)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:38)(cid:150) = .
2 8 b
1
17(cid:26)(cid:27)2024·(cid:372)(cid:339)(cid:381)(cid:382)·(cid:215)(cid:327)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)a (cid:58)(cid:7)(cid:147)d ¹0(cid:38)(cid:216)(cid:149) a = (cid:38)a (cid:78)a (cid:60)a (cid:58)(cid:80)(cid:79)(cid:91)(cid:149)(cid:38)(cid:69) S
n 1 2 4 2 8 n
(cid:42)(cid:13)(cid:77)a (cid:58)(cid:148)n(cid:149)(cid:127)(cid:38)(cid:150)S =
n 20
18(cid:26)(cid:27)2024·(cid:365)(cid:366)(cid:383)(cid:368)·(cid:215)(cid:327)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:13)(cid:77)a (cid:60) ì í a n 2ü ý(cid:252)(cid:42)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)  nÎN* (cid:38)(cid:109)a =1(cid:38)(cid:150)a = .
n î n þ 2 2024
19(cid:26)(cid:27)2024·(cid:374)(cid:384)(cid:385)(cid:386)·(cid:215)(cid:327)(cid:32)(cid:168)(cid:42)S (cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)a (cid:58)(cid:148)n(cid:149)(cid:127)(cid:38)(cid:33)(cid:34)S (cid:23)S (cid:23)S (cid:164)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:38)S =2a +2(cid:38)
n n 1 2 4 2 1
(cid:107)6a -S (cid:225)(cid:112)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:108)(cid:38)n= .
n n
8
20(cid:26)(cid:27)2024·(cid:41)(cid:331)(cid:387)(cid:339)(cid:28)·(cid:215)(cid:327)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:13)(cid:77)a (cid:42)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:38)a =8(cid:38)a =1(cid:38)(cid:150)åa = .
n 5 8 i
i=1
S
21(cid:26)(cid:27)2024·(cid:41)(cid:331)(cid:388)(cid:279)·(cid:215)(cid:327)(cid:32)(cid:168)S (cid:78)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)a (cid:58)(cid:148)n(cid:149)(cid:127)(cid:38)(cid:72)S =4(cid:38)a +a +a =8(cid:38)(cid:150) 12 = .
n n 3 4 5 6 S
6
1
22(cid:26)(cid:27)2024·(cid:230)(cid:386)·(cid:215)(cid:327)(cid:32)(cid:40)(cid:13)(cid:77)a (cid:91)(cid:38)(cid:33)(cid:34)a = (cid:38)n+2a =na (cid:38)(cid:150)(cid:13)(cid:77)a (cid:58)(cid:148)2024(cid:149)(cid:127)
n 1 2 n+1 n n
S = (cid:26)
2024
a
23(cid:26)(cid:27)2024·(cid:342)(cid:325)(cid:357)(cid:358)·(cid:215)(cid:327)(cid:32)(cid:69)T (cid:42)(cid:236)(cid:149)(cid:13)(cid:77)a (cid:58)(cid:148)n(cid:149)(cid:309)(cid:38)(cid:33)(cid:34)T = n (cid:38)(cid:150)a = (cid:74)T = (cid:26)
n n n a -1 1 2024
n
(cid:230)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:21)
24(cid:26)(cid:27)2024·(cid:28)(cid:334)(cid:335)(cid:336)·(cid:215)(cid:327)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:13)(cid:77)a (cid:58)(cid:216)(cid:149)a =3(cid:38)(cid:109)(cid:189)(cid:190)a =2a -1(cid:27)nÎN*(cid:32)(cid:26)
n 1 n+1 n(1)(cid:73)(cid:75)(cid:10)(cid:13)(cid:77)a -1(cid:42)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:74)
n
ì 1 ü 1
(2)(cid:69)b =log a -1(cid:38)(cid:73)(cid:13)(cid:77)í ý(cid:58)(cid:148)n(cid:149)(cid:127)S (cid:38)(cid:194)(cid:75)(cid:76) £S <1(cid:26)
n 2 n îbb þ n 2 n
n n+1
1
25(cid:26)(cid:27)2024·(cid:230)(cid:386)(cid:377)(cid:389)·(cid:215)(cid:327)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:13)(cid:77)a (cid:58)(cid:148)(cid:149)(cid:127)(cid:42)S (cid:38)(cid:109)S -na = n(n-1)(cid:26)
n n n n 2
(1)(cid:75)(cid:76)(cid:10)(cid:13)(cid:77)a (cid:42)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:74)
n
(2)(cid:72)a (cid:38)a (cid:38)a (cid:164)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:38)(cid:73)S (cid:58)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:26)
5 9 11 n
n S
26(cid:26)(cid:27)2024·(cid:342)(cid:325)(cid:357)(cid:358)·(cid:215)(cid:327)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:13)(cid:77)a (cid:58)(cid:148)n(cid:149)(cid:127)(cid:42)S (cid:38)(cid:109)a =2(cid:38)S = a (cid:38)(cid:168)b = n (cid:26)
n n 1 n n+2 n+1 n n
(1)(cid:73)(cid:75)(cid:10)(cid:13)(cid:77)b (cid:42)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:74)
n
(2)(cid:73)(cid:13)(cid:77)S (cid:58)(cid:148)n(cid:149)(cid:127)T (cid:26)
n n
27(cid:26)(cid:27)2024·(cid:28)(cid:334)·(cid:215)(cid:327)(cid:32)(cid:72)(cid:22)(cid:185)(cid:13)(cid:77)(cid:122)(cid:204)(cid:156)(cid:149)(cid:205)(cid:38)(cid:206)(cid:22)(cid:149)(cid:127)(cid:148)(cid:22)(cid:149)(cid:58)(cid:79)(cid:228)(cid:153)(cid:164)(cid:58)(cid:28)(cid:13)(cid:77)(cid:78)(cid:22)(cid:185)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:38)(cid:150)
(cid:68)(cid:141)(cid:185)(cid:13)(cid:77)(cid:78)(cid:22)(cid:185)“(cid:156)(cid:390)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)”(cid:38)(cid:46)(cid:10)1(cid:38)3(cid:38)27(cid:38)729(cid:38)…….(cid:33)(cid:34)(cid:13)(cid:77)a (cid:78)(cid:22)(cid:185)(cid:156)(cid:390)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:38)a =1(cid:38)
n 1
a =4(cid:38)a =64.
2 3
(1)(cid:73)a (cid:58)(cid:138)(cid:149)(cid:7)(cid:49)(cid:74)
n
n+2
(2)(cid:168) b n = 1 (cid:38)(cid:73)(cid:13)(cid:77)b (cid:58)(cid:148)n(cid:149)(cid:127)S .
a  n×log a n n
n 2 n+1
28(cid:26)(cid:27)2024·(cid:391)(cid:392)(cid:257)(cid:393)(cid:394)·(cid:215)(cid:327)(cid:32)(cid:33)(cid:34)S (cid:78)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)a (cid:58)(cid:148)n(cid:149)(cid:127)(cid:38)S =a =20(cid:38)(cid:13)(cid:77)b (cid:78)(cid:7)(cid:79)(cid:227)(cid:64)1
n n 5 11 n
(cid:58)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:38)(cid:109)b2 =b (cid:38)b -b =12.
3 6 4 2
(1)(cid:73)(cid:13)(cid:77)a (cid:127)b (cid:58)(cid:138)(cid:149)(cid:7)(cid:49)(cid:74)
n n
S
(2)(cid:168)c = n (cid:38)(cid:73)(cid:224)c (cid:225)(cid:112)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:108)n(cid:58)(cid:228).
n b n
n
29(cid:26)(cid:27)2024·(cid:365)(cid:366)(cid:247)(cid:395)·(cid:215)(cid:327)(cid:32)(cid:72)(cid:308)(cid:149)(cid:252)(cid:42)(cid:236)(cid:13)(cid:58)(cid:13)(cid:77)c (cid:189)(cid:190)c c -c2 =kc c (cid:27)nÎN*,k(cid:42)(cid:43)(cid:13)(cid:32)(cid:38)(cid:150)(cid:68)
n n n+2 n+1 n n+1
5 15
c (cid:42)“(cid:79)(cid:147)(cid:80)(cid:13)(cid:77)”.(cid:33)(cid:34)a (cid:42)“(cid:79)(cid:147)(cid:80)(cid:13)(cid:77)”(cid:38)(cid:109)a = ,a = ,3a =2a .
n n 1 8 2 16 4 5
(1)(cid:73)a (cid:58)(cid:138)(cid:149)(cid:7)(cid:49)(cid:74)
n
ìa ,n(cid:42)(cid:191)(cid:13)
(2)(cid:168)b =í n (cid:38)(cid:73)(cid:13)(cid:77)b (cid:58)(cid:148)n(cid:149)(cid:127)S .
n îb +1,n(cid:42)(cid:192)(cid:13) n n
n-130(cid:26)(cid:27)2024·(cid:337)(cid:326)·(cid:215)(cid:327)(cid:32)(cid:13)(cid:77)a (cid:58)(cid:148)n(cid:149)(cid:58)(cid:226)(cid:227)(cid:228)(cid:69)(cid:42)M (cid:38)(cid:95)M =maxa,a ,×××,a (cid:74)(cid:148)n(cid:149)(cid:58)(cid:226)(cid:229)(cid:228)(cid:69)
n n n 1 2 n
(cid:42)m (cid:38)(cid:95)m =mina,a ,×××,a (cid:38)(cid:65)p =M -m (cid:38)(cid:194)(cid:286)(cid:13)(cid:77)p (cid:68)(cid:42)a (cid:58)“(cid:243)(cid:164)(cid:13)(cid:77)”(cid:26)
n n 1 2 n n n n n n
(1)(cid:168)(cid:13)(cid:77)p (cid:58)“(cid:243)(cid:164)(cid:13)(cid:77)”(cid:42)q (cid:38)(cid:73)(cid:75)(cid:10)p =q (cid:74)
n n n n
(2)(cid:72)a =2n-3n(cid:38)(cid:73)(cid:217)(cid:243)(cid:164)(cid:13)(cid:77)p (cid:58)(cid:148)n(cid:149)(cid:127)(cid:26)
n n
31(cid:26)(cid:27)2024·(cid:325)(cid:396)(cid:397)(cid:398)·(cid:215)(cid:327)(cid:32)(cid:40)(cid:13)(cid:77)a (cid:91)(cid:38)a =2,a +a =3×2n(nÎN*)(cid:26)
n 1 n n+1
(1)(cid:73)(cid:13)(cid:77)a (cid:58)(cid:138)(cid:149)(cid:7)(cid:49)(cid:74)
n
(2)(cid:33)(cid:34)(cid:13)(cid:77)b (cid:189)(cid:190)4b1-14b2-1L4bn-1=abn(cid:74)
n n
(cid:73)(cid:75)(cid:10)(cid:13)(cid:77)b (cid:78)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:74)
n
① bb
(cid:72)b =3(cid:38)(cid:168)(cid:13)(cid:77)c = n n+1 (cid:58)(cid:148)n(cid:149)(cid:127)(cid:42)T (cid:38)(cid:73)(cid:75)(cid:10)T <14(cid:26)
2 n a n n
n
②
32(cid:26)(cid:27)2024·(cid:328)(cid:329)(cid:330)(cid:331)(cid:28)·(cid:215)(cid:327)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)a (cid:58)(cid:148)n(cid:149)(cid:127)(cid:42)S (cid:38)a =5(cid:38)S =63(cid:38)(cid:13)(cid:77)b (cid:78)(cid:7)(cid:79)(cid:227)(cid:64)1
n n 3 9 n
(cid:58)(cid:80)(cid:79)(cid:13)(cid:77)(cid:38)(cid:109)b +b +b =14(cid:38)bbb =64(cid:26)
1 2 3 1 2 3
(1)(cid:73)a (cid:38)b (cid:58)(cid:138)(cid:149)(cid:7)(cid:49)(cid:74)
n n
(2)(cid:13)(cid:77)a (cid:38)b (cid:58)(cid:115)(cid:104)(cid:149)(cid:44)(cid:45)“(cid:107)n(cid:42)(cid:191)(cid:13)(cid:108)(cid:38)b (cid:399)(cid:40)a (cid:58)(cid:148)(cid:400)(cid:74)(cid:107)n(cid:42)(cid:192)(cid:13)(cid:108)(cid:38)a (cid:399)(cid:40)b (cid:58)(cid:148)(cid:400)”(cid:58)(cid:272)
n n n n n n
(cid:73)(cid:158)(cid:279)“(cid:63)(cid:401)(cid:402)(cid:77)”(cid:38)(cid:112)(cid:113)(cid:22)(cid:185)(cid:28)(cid:13)(cid:77)c (cid:10)b (cid:38)a (cid:38)a (cid:38)b (cid:38)b (cid:38)a (cid:38)a (cid:38)…(cid:38)(cid:73)(cid:13)(cid:77)c (cid:58)(cid:148)7(cid:149)(cid:127)T
n 1 1 2 2 3 3 4 n 7
(cid:193)(cid:148)4n+3(cid:149)(cid:127)T (cid:74)
4n+3
n
(3)(cid:78)(cid:282)(cid:370)(cid:40)(cid:13)(cid:77)d (cid:38)(cid:189)(cid:190)(cid:80)(cid:49)åa -2d =2n+1-n-2(cid:164)(cid:111)(cid:38)(cid:72)(cid:370)(cid:40)(cid:38)(cid:73)(cid:94)(cid:13)(cid:77)d (cid:58)(cid:138)(cid:149)(cid:7)(cid:49)(cid:38)(cid:72)
n i n+1-i n
i=1
(cid:118)(cid:370)(cid:40)(cid:38)(cid:403)(cid:369)(cid:76)(cid:15)(cid:103)(cid:26)
33(cid:26)(cid:27)2024·(cid:404)(cid:393)(cid:325)·(cid:215)(cid:327)(cid:32)(cid:46)(cid:203)n(cid:149)(cid:104)(cid:320)(cid:13)(cid:77)a (cid:189)(cid:190)a =a (cid:38)a =a (cid:38)…(cid:38)a =a (cid:38)(cid:95)
n 1 n 2 n-1 n 1
a =a i=1,2,L,n(cid:38)(cid:150)(cid:68)(cid:104)(cid:320)(cid:13)(cid:77)a (cid:42)“(cid:67)(cid:68)(cid:13)(cid:77)”.
i n-i+1 n
(1)(cid:168)(cid:13)(cid:77)b (cid:78)(cid:149)(cid:13)(cid:42)7(cid:58)“(cid:67)(cid:68)(cid:13)(cid:77)”(cid:38)(cid:217)(cid:91)b,b ,b ,b (cid:164)(cid:80)(cid:147)(cid:13)(cid:77)(cid:38)(cid:109)b =3,b =5(cid:38)(cid:50)(cid:51)(cid:270)(cid:94)(cid:13)(cid:77)b (cid:58)
n 1 2 3 4 2 5 n
(cid:206)(cid:22)(cid:149)(cid:74)
(2)(cid:168)(cid:13)(cid:77)c
n
(cid:78)(cid:149)(cid:13)(cid:42)2k-1(kÎN*(cid:109)k ³2)(cid:58)“(cid:67)(cid:68)(cid:13)(cid:77)”(cid:38)(cid:109)(cid:189)(cid:190) c
n+1
-c
n
=2(cid:38)(cid:69)S
n
(cid:42)(cid:13)(cid:77)c
n
(cid:58)(cid:148)n(cid:149)
(cid:127).
(cid:72)c (cid:38)c (cid:38)…(cid:38)c (cid:52)(cid:164)(cid:258)(cid:259)(cid:233)(cid:234)(cid:13)(cid:77)(cid:38)(cid:109)c =2023.(cid:107)k(cid:42)(cid:405)(cid:228)(cid:108)(cid:38)S (cid:225)(cid:112)(cid:226)(cid:227)(cid:228)?
1 2 k k 2k-1
①(cid:72)c =2024(cid:38)(cid:109)S =2024(cid:38)(cid:73)k(cid:58)(cid:226)(cid:229)(cid:228).
1 2k-1
②