专题07直线与圆（3大考向真题解读）-原卷版_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年08月试卷_08202025版《真题题源解密-专题分类》数学

专题 07 直线与圆 命题解读 考向 考查统计 1.高考对直线的考查，重点是直线的倾 2023·新高考Ⅰ卷，6 斜角与斜率、直线方程的求法、两条直 2022·新高考Ⅱ卷，15 线的位置关系、距离公式、对称问题等。 直线与圆的位置关系 2023·新高考Ⅱ卷，15 2.高考对圆的考查，重点是圆的标准方 2024·新高考Ⅱ卷，10（多 程与一般方程的求法，除了待定系数法 选题的一个选项中考查） 外，要特别要重视利用几何性质求解圆 圆与圆的位置关系 2022·新高考Ⅰ卷，14 的方程。同时，除了直线与圆、圆与圆 的位置关系的判断，还特别要重视直线 与圆相交所得弦长及相切所得切线的 直线的斜率 2022·新高考Ⅱ卷，3 问题。 3.其他就是直线、圆与其他知识点的交 汇。 命题分析 2024(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:4)(cid:5)Ⅰ(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:5)(cid:11)(cid:9)(cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:21)Ⅱ(cid:7)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:15)(cid:26)(cid:27)(cid:24)(cid:28)(cid:29)(cid:5)(cid:30)(cid:31)(cid:9)(cid:12)(cid:13)(cid:14) (cid:16)(cid:32)(cid:15)(cid:33)(cid:25)(cid:21)(cid:34)(cid:35)(cid:22)(cid:36)(cid:37)(cid:25)(cid:29)(cid:38)(cid:39)(cid:9)(cid:12)(cid:40)(cid:41)(cid:15)(cid:42)(cid:43)(cid:21)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:25)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:34)(cid:35)(cid:9)(cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:9)(cid:10)(cid:5)(cid:11)(cid:15)(cid:51)(cid:21)(cid:52)(cid:53) (cid:26)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:15)(cid:21)(cid:26)(cid:54)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:50)(cid:22)(cid:26)(cid:65)(cid:66)(cid:52)(cid:53)(cid:15)(cid:25)(cid:67)(cid:29)(cid:21)(cid:68)(cid:68)(cid:39)(cid:9)(cid:12)(cid:40)(cid:41)(cid:15)(cid:26)(cid:65)(cid:42)(cid:43)(cid:50)(cid:9)(cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:5) (cid:11)(cid:69)(cid:17)(cid:70)(cid:71)(cid:9)(cid:12)(cid:72)(cid:14)(cid:15)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:17)(cid:78)(cid:21)(cid:9)(cid:12)(cid:73)(cid:74)(cid:15)(cid:79)(cid:80)(cid:72)(cid:9)(cid:12)(cid:81)(cid:82)(cid:20)(cid:33)(cid:25)(cid:15)(cid:79)(cid:80)(cid:72)(cid:83)(cid:84)(cid:9)(cid:12)(cid:73)(cid:74)(cid:29)(cid:84)(cid:85) (cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:79)(cid:80)(cid:72)(cid:9)(cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:15)(cid:76)(cid:77)(cid:17)(cid:78)(cid:29)(cid:90)(cid:75)(cid:15)(cid:91)(cid:92)(cid:13)(cid:32)(cid:12)(cid:73)(cid:74)(cid:15)(cid:79)(cid:80)(cid:50)(cid:93)(cid:94)(cid:95)(cid:25)(cid:67)(cid:72)(cid:94)(cid:95)(cid:80)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:73)(cid:100)(cid:21) (cid:94)(cid:101)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:60)(cid:105)(cid:106)(cid:72)(cid:107)(cid:85)(cid:72)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:105)(cid:18)(cid:19)(cid:5)(cid:11)(cid:113)(cid:87)(cid:33)(cid:25)(cid:50)(cid:114)(cid:58)2025(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:115)(cid:55)(cid:98)(cid:99)(cid:5)(cid:11)(cid:9)(cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:15)(cid:76) (cid:77)(cid:17)(cid:78)(cid:50) 试题精讲 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:20)(cid:21) 1(cid:25)(cid:26)2024(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅱ(cid:30)·10(cid:31)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:10)y2 =4x(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:36)l(cid:37)P(cid:36)C(cid:38)(cid:34)(cid:39)(cid:40)(cid:37)(cid:41)P(cid:42)(cid:43)A:x2(y4)2 =1(cid:34) (cid:22)(cid:44)(cid:45)(cid:33)(cid:37)Q(cid:36)(cid:45)(cid:40)(cid:37)(cid:41)P(cid:42)l(cid:34)(cid:46)(cid:33)(cid:37)(cid:46)(cid:47)(cid:36)B(cid:37)(cid:48)(cid:26) (cid:31)A(cid:25)l(cid:49)eA(cid:50)(cid:45) B(cid:25)(cid:51)P(cid:37)A(cid:37)B(cid:52)(cid:40)(cid:53)(cid:33)(cid:54)(cid:37)|PQ|= 15 C(cid:25)(cid:51)|PB|=2(cid:54)(cid:37)PA^ AB D(cid:25)(cid:55)(cid:47)|PA|=|PB|(cid:34)(cid:40)P(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:56)2(cid:59) (cid:22)(cid:23)(cid:60)(cid:20)(cid:21) 1(cid:25)(cid:26)2023(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅰ(cid:30)·6(cid:31)(cid:41)(cid:40)0,2(cid:49)(cid:61)x2y24x1=0(cid:50)(cid:45)(cid:34)(cid:62)(cid:44)(cid:63)(cid:33)(cid:34)(cid:64)(cid:65)(cid:36)a(cid:37)(cid:48)sina=(cid:26) (cid:31) 15 10 6 A(cid:25)1 B(cid:25) C(cid:25) D(cid:25) 4 4 4 2(cid:25)(cid:26)2022(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅱ(cid:30)·3(cid:31)(cid:66)1(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:68)(cid:34)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:37)AA¢,BB¢,CC¢,DD¢(cid:67)(cid:78)(cid:37)(cid:50)(cid:79)(cid:78)(cid:34)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:83) (cid:84)(cid:36)(cid:85)(cid:37)(cid:46)(cid:63)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:36)(cid:74)(cid:37)(cid:66)2(cid:67)(cid:86)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:34)(cid:91)(cid:92)(cid:66)(cid:25)(cid:93)(cid:68)DD,CC,BB,AA (cid:67)(cid:74)(cid:37) 1 1 1 1 DD CC BB AA OD,DC,CB,BA (cid:67)(cid:50)(cid:94)(cid:34)(cid:85)(cid:37)(cid:50)(cid:79)(cid:78)(cid:34)(cid:74)(cid:85)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:36) 1 =0.5, 1 =k , 1 =k , 1 =k (cid:25)(cid:99)(cid:100)k ,k ,k 1 1 1 1 OD DC 1 CB 2 BA 3 1 2 3 1 1 1 1 (cid:101)(cid:7)(cid:102)(cid:36)0.1(cid:34)(cid:94)(cid:102)(cid:13)(cid:103)(cid:37)(cid:57)(cid:63)(cid:33)OA(cid:34)(cid:104)(cid:105)(cid:36)0.725(cid:37)(cid:48)k =(cid:26) (cid:31) 3 A(cid:25)0.75 B(cid:25)0.8 C(cid:25)0.85 D(cid:25)0.9 (cid:106)(cid:23)(cid:107)(cid:108)(cid:21) 3(cid:25)(cid:26)2022(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅰ(cid:30)·14(cid:31)(cid:109)(cid:110)(cid:49)(cid:61)x2y2 =1(cid:111)(x3)2(y4)2 =16(cid:112)(cid:50)(cid:45)(cid:34)(cid:22)(cid:44)(cid:63)(cid:33)(cid:34)(cid:113) (cid:114) (cid:25) 4(cid:25)(cid:26)2022(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅱ(cid:30)·15(cid:31)(cid:115)(cid:40)A(2,3),B(0,a)(cid:37)(cid:116)(cid:63)(cid:33)AB(cid:3)(cid:117)y=a(cid:118)(cid:84)(cid:34)(cid:63)(cid:33)(cid:49)(cid:61)(x3)2 (y2)2 =1 (cid:56)(cid:7)(cid:53)(cid:40)(cid:37)(cid:48)a(cid:34)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:67) (cid:25) 5(cid:25)(cid:26)2023(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅱ(cid:30)·15(cid:31)(cid:99)(cid:100)(cid:63)(cid:33)l:xmy1=0(cid:49)eC:x12y2 =4(cid:123)(cid:117)A(cid:37)B(cid:62)(cid:40)(cid:37)(cid:109)(cid:110)(cid:55)(cid:47)“VABC 8 (cid:90)(cid:124)(cid:36) ”(cid:34)m(cid:34)(cid:22)(cid:59)(cid:120) (cid:25) 5(cid:22)(cid:23)(cid:63)(cid:33)(cid:34)(cid:125)(cid:104)(cid:65)(cid:111)(cid:104)(cid:105) 1(cid:23)(cid:63)(cid:33)(cid:34)(cid:125)(cid:104)(cid:65) (cid:116)(cid:63)(cid:33)l(cid:49)x(cid:126)(cid:50)(cid:123)(cid:37)(cid:48)(cid:127)x(cid:126)(cid:128)(cid:113)(cid:129)(cid:36)(cid:130)(cid:131)(cid:37)(cid:132)(cid:123)(cid:40)(cid:133)(cid:54)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:63)(cid:137)(cid:49)l(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:101)(cid:34)(cid:65)(cid:84)(cid:36)(cid:63)(cid:33)l(cid:34)(cid:125)(cid:104)(cid:65)(cid:37) (cid:141)(cid:142)(cid:143)a(cid:37)b(cid:37)g(cid:37)L(cid:144)(cid:91) (cid:26)1(cid:31)(cid:116)(cid:63)(cid:33)(cid:49)x(cid:126)(cid:81)(cid:145)(cid:26)(cid:146)(cid:138)(cid:139)(cid:31)(cid:37)(cid:48)(cid:125)(cid:104)(cid:65)(cid:36)0 (cid:26)2(cid:31)(cid:125)(cid:104)(cid:65)(cid:34)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)aÎ[0(cid:37)p) 2(cid:23)(cid:63)(cid:33)(cid:34)(cid:104)(cid:105) (cid:115)(cid:63)(cid:33)(cid:34)(cid:125)(cid:104)(cid:65)(cid:36)a(cid:37)(cid:48)a(cid:34)(cid:128)(cid:45)(cid:120)(cid:84)(cid:36)(cid:63)(cid:33)(cid:34)(cid:104)(cid:105)(cid:37)(cid:147)(cid:36)k =tana p (cid:26)1(cid:31)(cid:51)a= (cid:54)(cid:37)(cid:104)(cid:105)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:140)(cid:127)(cid:152)(cid:63)(cid:33)(cid:67)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:104)(cid:105)(cid:34) 2 (cid:26)2(cid:31)(cid:125)(cid:104)(cid:65)a(cid:49)(cid:104)(cid:105)k(cid:34)(cid:3)(cid:153) (cid:51)k =0(cid:54)(cid:37)(cid:63)(cid:33)(cid:81)(cid:145)(cid:117)(cid:126)(cid:146)(cid:49)(cid:126)(cid:138)(cid:139)(cid:151) (cid:51)k >0(cid:54)(cid:37)(cid:63)(cid:33)(cid:34)(cid:125)(cid:104)(cid:65)(cid:36)(cid:154)(cid:65)(cid:37)(cid:125)(cid:104)(cid:65)(cid:155)k(cid:34)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:156)(cid:157)(cid:151) (cid:51)k <0(cid:54)(cid:37)(cid:63)(cid:33)(cid:34)(cid:125)(cid:104)(cid:65)(cid:36)(cid:159)(cid:65)(cid:37)(cid:125)(cid:104)(cid:65)(cid:155)k(cid:34)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:156)(cid:157)(cid:151) 3(cid:23)(cid:41)(cid:62)(cid:40)(cid:34)(cid:63)(cid:33)(cid:104)(cid:105)(cid:7)(cid:160) y  y (cid:99)(cid:100)(cid:63)(cid:33)(cid:38)(cid:161)(cid:92)(cid:62)(cid:40)(cid:37)A(x (cid:37)y )(cid:37)B(x (cid:37)y )(cid:48)k = 2 1 1 1 2 2 x x 2 1 (cid:26)1(cid:31)(cid:63)(cid:33)(cid:34)(cid:104)(cid:105)(cid:67)(cid:162)(cid:163)(cid:34)(cid:37)(cid:49)(cid:140)(cid:119)(cid:34)(cid:40)(cid:164)(cid:3)(cid:25) (cid:26)2(cid:31)(cid:116)x = x (cid:37)(cid:48)(cid:63)(cid:33) AB (cid:34)(cid:104)(cid:105)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:37)(cid:165)(cid:54)(cid:63)(cid:33)(cid:34)(cid:125)(cid:104)(cid:65)(cid:36)90° 1 2 4(cid:23)(cid:52)(cid:40)(cid:53)(cid:33) (cid:62)(cid:63)(cid:33)AB(cid:37)AC (cid:34)(cid:104)(cid:105)(cid:50)(cid:94)→A(cid:23)B(cid:23)C (cid:52)(cid:40)(cid:53)(cid:33)(cid:151)(cid:166)(cid:41)(cid:167)(cid:37) A(cid:23)B(cid:23)C (cid:52)(cid:40)(cid:53)(cid:33)(cid:37)(cid:48)(cid:63)(cid:33)AB(cid:37)AC (cid:34)(cid:104)(cid:105)(cid:50) (cid:94)(cid:26)(cid:104)(cid:105)(cid:149)(cid:150)(cid:54)(cid:31)(cid:146)(cid:104)(cid:105)(cid:112)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:25) (cid:106)(cid:23)(cid:63)(cid:33)(cid:34)(cid:113)(cid:114) 1(cid:23)(cid:63)(cid:33)(cid:113)(cid:114)(cid:34)(cid:168)(cid:169)(cid:170)(cid:160) (cid:171)(cid:84) (cid:113)(cid:114) (cid:172)(cid:143)(cid:121)(cid:122) (cid:40)(cid:104)(cid:160) y y =kxx  (cid:148)(cid:173)(cid:46)(cid:63)(cid:117)x(cid:126)(cid:34)(cid:63)(cid:33) 1 1(cid:104)(cid:89)(cid:160) y=kxb (cid:148)(cid:173)(cid:46)(cid:63)(cid:117)x(cid:126)(cid:34)(cid:63)(cid:33) y y xx (cid:62)(cid:40)(cid:160) 1 = 1 (cid:148)(cid:173)(cid:63)(cid:33)x=x (x ¹ x )(cid:111)(cid:63)(cid:33)y= y (y ¹ y ) y  y x x 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 x y (cid:89)(cid:82)(cid:160)  =1 (cid:148)(cid:173)(cid:46)(cid:63)(cid:117)(cid:212)(cid:213)(cid:126)(cid:111)(cid:41)(cid:221)(cid:40)(cid:34)(cid:63)(cid:33) a b AxByC =0 (cid:22)(cid:222)(cid:160) (cid:81)(cid:90)(cid:63)(cid:65)(cid:212)(cid:213)(cid:153)(cid:223)(cid:34)(cid:63)(cid:33)(cid:112)(cid:172)(cid:143) (A2 B2 ¹0) 2(cid:23)(cid:174)(cid:175)(cid:33)(cid:26)(cid:146)(cid:63)(cid:33)(cid:31)(cid:113)(cid:114)(cid:34)(cid:113)(cid:176) (cid:150)(cid:99)(cid:100)(cid:175)(cid:33)(cid:177)(cid:178)(cid:34)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:37)(cid:174)(cid:175)(cid:33)(cid:26)(cid:146)(cid:63)(cid:33)(cid:31)(cid:113)(cid:114)(cid:34)(cid:182)(cid:183)(cid:141)(cid:142)(cid:56)(cid:62)(cid:169)(cid:10) (cid:26)1(cid:31)(cid:63)(cid:184)(cid:176)(cid:10)(cid:185)(cid:186)(cid:187)(cid:163)(cid:175)(cid:33)(cid:113)(cid:114)(cid:34)(cid:188)(cid:189)(cid:37)(cid:190)(cid:191)(cid:63)(cid:184)(cid:109)(cid:110)(cid:113)(cid:114)(cid:37)(cid:192)(cid:193)(cid:150)(cid:63)(cid:33)(cid:68)(cid:37)(cid:116)(cid:143)(cid:63)(cid:184)(cid:176)(cid:48)(cid:194)(cid:186)(cid:195)(cid:62)(cid:59)(cid:40)(cid:37) (cid:146)(cid:196)(cid:22)(cid:40)(cid:22)(cid:104)(cid:105) (cid:26)2(cid:31)(cid:197)(cid:184)(cid:176)(cid:10)(cid:116)(cid:21)(cid:198)(cid:44)(cid:199)(cid:49)(cid:140)(cid:174)(cid:188)(cid:189)(cid:200)(cid:153)(cid:148)(cid:201)(cid:202)(cid:37)(cid:48)(cid:29)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:143)(cid:206)(cid:163)(cid:153)(cid:13)(cid:176)(cid:115)(cid:110)(cid:175)(cid:33)(cid:113)(cid:114)(cid:37)(cid:190)(cid:191)(cid:207)(cid:205)(cid:143)(cid:44) (cid:199)(cid:208)(cid:110)(cid:209)(cid:13)(cid:34)(cid:120)(cid:26)(cid:141)(cid:142)(cid:44)(cid:199)(cid:34)(cid:59)(cid:13)(cid:49)(cid:140)(cid:174)(cid:209)(cid:13)(cid:34)(cid:59)(cid:13)(cid:22)(cid:210)(cid:31) 3(cid:23)(cid:33)(cid:211)(cid:68)(cid:40)(cid:212)(cid:213)(cid:7)(cid:160) ì x x x= 1 2 ï (cid:116)(cid:40)P(cid:37)P (cid:34)(cid:212)(cid:213)(cid:97)(cid:98)(cid:36)(x (cid:37)y )(cid:37)(x (cid:37)y )(cid:57)(cid:33)(cid:211)PP (cid:34)(cid:68)(cid:40) M (cid:34)(cid:212)(cid:213)(cid:36)(x(cid:37)y)(cid:37)(cid:48) ï í 2 (cid:37)(cid:165)(cid:7)(cid:160) 1 2 1 1 2 2 1 2 ï y= y 1  y 2 ïî 2 (cid:36)(cid:33)(cid:211)PP (cid:34)(cid:68)(cid:40)(cid:212)(cid:213)(cid:7)(cid:160)(cid:25) 1 2 4(cid:23)(cid:62)(cid:63)(cid:33)(cid:34)(cid:64)(cid:65)(cid:7)(cid:160) k k (cid:116)(cid:63)(cid:33)y=k xb(cid:49)(cid:63)(cid:33)y=k xb (cid:34)(cid:64)(cid:65)(cid:36)a(cid:37)(cid:48)tana= 2 1 . 1 1 2 2 1kk 1 2 (cid:52)(cid:23)(cid:62)(cid:63)(cid:33)(cid:81)(cid:145)(cid:49)(cid:46)(cid:63)(cid:34)(cid:214)(cid:163) (cid:62)(cid:44)(cid:63)(cid:33)(cid:81)(cid:145)(cid:49)(cid:46)(cid:63)(cid:34)(cid:214)(cid:163)(cid:127)(cid:144)(cid:215)(cid:170)(cid:160)(cid:110)(cid:216)(cid:37)(cid:193)(cid:144)(cid:140)(cid:91)(cid:25) (cid:62)(cid:63)(cid:33)(cid:113)(cid:114) (cid:81)(cid:145) (cid:46)(cid:63) l :AxB yC =0 AB A B =0(cid:57) 1 1 1 1 1 2 2 1 AA BB =0 l :A xB yC =0 BC B C ¹0 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 l :y=k xb 1 1 1 (cid:26)(cid:104)(cid:105)(cid:149)(cid:150)(cid:31) l :y=k xb k =k ,b ¹b (cid:146) k gk =1(cid:146)k(cid:49)k (cid:68)(cid:56)(cid:22)(cid:59)(cid:36)0(cid:37)(cid:217) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 l :x=x x=x,x=x ,x ¹ x (cid:22)(cid:59)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:25) 1 1,(cid:26)(cid:104)(cid:105)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:31) 1 2 1 2 l :x=x 2 2 (cid:218)(cid:23)(cid:52)(cid:169)(cid:82)(cid:83) 1(cid:23)(cid:62)(cid:40)(cid:197)(cid:34)(cid:82)(cid:83) (cid:81)(cid:90)(cid:38)(cid:62)(cid:40)P(x,y ),P(x ,y )(cid:34)(cid:82)(cid:83)(cid:7)(cid:160)(cid:36)|PP |= (x x )2 (y  y )2 (cid:25) 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 (cid:219)(cid:98)(cid:220)(cid:37)(cid:221)(cid:40)O(cid:26)0(cid:37)0(cid:31)(cid:49)(cid:161)(cid:22)(cid:40)P(cid:26)x(cid:37)y(cid:31)(cid:34)(cid:82)(cid:83)|OP|= x2  y2.2(cid:23)(cid:40)(cid:195)(cid:63)(cid:33)(cid:34)(cid:82)(cid:83) |Ax By C| (cid:40)P(x ,y )(cid:195)(cid:63)(cid:33)l:AxByC =0(cid:34)(cid:82)(cid:83)d = 0 0 0 0 0 A2 B2 (cid:219)(cid:98)(cid:220)(cid:37)(cid:116)(cid:63)(cid:33)(cid:36)l(cid:10)x=m(cid:37)(cid:48)(cid:40)P(x ,y )(cid:195)l(cid:34)(cid:82)(cid:83)d =|mx |(cid:151)(cid:116)(cid:63)(cid:33)(cid:36)l(cid:10)y=n(cid:37)(cid:48)(cid:40)P(x ,y )(cid:195)l(cid:34) 0 0 0 0 0 0 0 (cid:82)(cid:83)d =|n y | 0 3(cid:23)(cid:62)(cid:44)(cid:81)(cid:145)(cid:33)(cid:197)(cid:34)(cid:82)(cid:83) (cid:99)(cid:100)l ,l (cid:67)(cid:62)(cid:44)(cid:81)(cid:145)(cid:33)(cid:37)(cid:174)l ,l (cid:197)(cid:82)(cid:83)(cid:34)(cid:113)(cid:176)(cid:10) 1 2 1 2 (cid:26)1(cid:31)(cid:136)(cid:16)(cid:36)(cid:93)(cid:68)(cid:22)(cid:44)(cid:63)(cid:33)(cid:38)(cid:34)(cid:219)(cid:224)(cid:40)(cid:195)(cid:217)(cid:22)(cid:44)(cid:63)(cid:33)(cid:34)(cid:82)(cid:83)(cid:25) |C C | (cid:26)2(cid:31)(cid:115)l :AxByC =0,l :AxByC =0(cid:37)(cid:48)l (cid:49)l (cid:95)(cid:197)(cid:34)(cid:82)(cid:83)d = 1 2 1 1 2 2 1 2 A2 B2 (cid:4)(cid:10)(cid:62)(cid:81)(cid:145)(cid:63)(cid:33)(cid:113)(cid:114)(cid:68)(cid:37)x(cid:37)y(cid:179)(cid:90)(cid:118)(cid:225)(cid:153)(cid:13)(cid:188)(cid:50)(cid:94)(cid:25) 4(cid:23)(cid:226)(cid:227)(cid:160) (cid:226)(cid:227)(cid:160) f(x)= ax2 bxc ± a x2 b xc (cid:178)(cid:228)(cid:13)(cid:174)(cid:208)(cid:37)(cid:229)(cid:204)(cid:230)(cid:195)(cid:62)(cid:40)(cid:197)(cid:34)(cid:82)(cid:83)(cid:37)(cid:146)(cid:196)(cid:205)(cid:143)(cid:60)(cid:231)(cid:232)(cid:174) 1 1 1 2 2 2 (cid:208)(cid:25) (cid:168)(cid:23)(cid:61) 1(cid:23)(cid:61)(cid:34)(cid:218)(cid:169)(cid:113)(cid:114) (cid:26)1(cid:31)(cid:61)(cid:34)(cid:213)(cid:35)(cid:113)(cid:114)(cid:10)(xa)2 (yb)2 =r2(cid:37)(cid:61)(cid:233)(cid:212)(cid:213)(cid:36)(cid:26)a(cid:37)b(cid:31)(cid:37)(cid:234)(cid:235)(cid:36)r(r >0) æ D Eö (cid:26)2(cid:31)(cid:61)(cid:34)(cid:22)(cid:222)(cid:113)(cid:114)(cid:10)x2  y2 DxEyF =0(D2 E2 4F >0)(cid:37)(cid:61)(cid:233)(cid:212)(cid:213)(cid:36) ç , ÷ (cid:37)(cid:234)(cid:235) è 2 2ø D2 E2 4F r = 2 (cid:26)3(cid:31)(cid:61)(cid:34)(cid:63)(cid:235)(cid:160)(cid:113)(cid:114)(cid:10)(cid:116)A(x,y ),B(x ,y )(cid:37)(cid:48)(cid:127)(cid:33)(cid:211)AB(cid:36)(cid:63)(cid:235)(cid:34)(cid:61)(cid:34)(cid:113)(cid:114)(cid:67) 1 1 2 2 (xx )(xx )(y y )(y y )=0 1 2 1 2 2(cid:23)(cid:40)(cid:49)(cid:61)(cid:34)(cid:236)(cid:237)(cid:3)(cid:153)(cid:214)(cid:238) (cid:26)1(cid:31)(cid:40)P(x ,y )(cid:49)(cid:61)(xa)2 (yb)2 =r2(cid:34)(cid:236)(cid:237)(cid:3)(cid:153)(cid:10) 0 0 (xa)2 (yb)2 >r2 Û(cid:40)P(cid:150)(cid:61)(cid:239)(cid:151) ①(xa)2 (yb)2 =r2 Û(cid:40)P(cid:150)(cid:61)(cid:38)(cid:151) ②(xa)2 (yb)2 0Û(cid:40)P(cid:150)(cid:61)(cid:239)(cid:151) 0 0 0 0 ①x2  y2 Dx Ey F =0Û(cid:40)P(cid:150)(cid:61)(cid:38)(cid:151) 0 0 0 0 ②x2  y2 Dx Ey F <0Û(cid:40)P(cid:150)(cid:61)(cid:223)(cid:25) 0 0 0 0 ③(cid:240)(cid:23)(cid:63)(cid:33)(cid:49)(cid:61)(cid:34)(cid:236)(cid:237)(cid:3)(cid:153) 1(cid:23)(cid:63)(cid:33)(cid:49)(cid:61)(cid:34)(cid:236)(cid:237)(cid:3)(cid:153)(cid:214)(cid:238) (cid:26)1(cid:31)(cid:241)(cid:242)(cid:176)(cid:26)(cid:61)(cid:233)(cid:195)(cid:63)(cid:33)(cid:34)(cid:82)(cid:83)(cid:111)(cid:234)(cid:235)(cid:3)(cid:153)(cid:31) (cid:61)(cid:233)(a,b)(cid:195)(cid:63)(cid:33)AxByC =0(cid:34)(cid:82)(cid:83)(cid:37)(cid:48) d = |AaBbC|(cid:10) A2 B2 drÛ(cid:63)(cid:33)(cid:49)(cid:61)(cid:50)(cid:83) (cid:26)2(cid:31)(cid:71)(cid:13)(cid:113)(cid:176)(cid:26)(cid:241)(cid:242)(cid:243)(cid:21)(cid:136)(cid:16)(cid:36)(cid:71)(cid:13)(cid:243)(cid:21)(cid:244)(cid:123)(cid:40)(cid:59)(cid:13)(cid:243)(cid:21)(cid:136)(cid:16)(cid:36)(cid:113)(cid:114)(cid:227)(cid:59)(cid:13)(cid:31) ì AxByC=0 (cid:245)í (cid:37) î(xa)2(yb)2 =r2 (cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:195)(cid:22)(cid:247)(cid:106)(cid:249)(cid:113)(cid:114) px2  qx  t = 0 (cid:37) px2  qx  t = 0 (cid:214)(cid:98)(cid:160)(cid:36)D (cid:37)(cid:48)(cid:10) D>0Û(cid:63)(cid:33)(cid:49)(cid:61)(cid:50)(cid:123)(cid:151) D=0Û(cid:63)(cid:33)(cid:49)(cid:61)(cid:50)(cid:45)(cid:151) D<0Û(cid:63)(cid:33)(cid:49)(cid:61)(cid:50)(cid:83)(cid:25) (cid:250)(cid:23)(cid:62)(cid:61)(cid:236)(cid:237)(cid:3)(cid:153)(cid:34)(cid:214)(cid:238) (cid:143)(cid:62)(cid:61)(cid:34)(cid:61)(cid:233)(cid:82)(cid:49)(cid:62)(cid:61)(cid:234)(cid:235)(cid:34)(cid:111)(cid:102)(cid:157)(cid:251)(cid:3)(cid:153)(cid:162)(cid:163)(cid:37)(cid:252)(cid:253)(cid:67)(cid:10) (cid:115)(cid:62)(cid:61) O ,O (cid:34)(cid:234)(cid:235)(cid:97)(cid:98)(cid:67)R,r (cid:37)(cid:26)(cid:148)(cid:254)(cid:115)R>r(cid:31)(cid:37)(cid:57)(cid:62)(cid:61)(cid:34)(cid:61)(cid:233)(cid:82)(cid:36)d(cid:37)(cid:48)(cid:10) 1 2 d r(cid:37)(cid:61)(cid:233)(cid:82)(cid:36)d(cid:37)(cid:48)(cid:62)(cid:61)(cid:34)(cid:236)(cid:237)(cid:3)(cid:153)(cid:256)(cid:143)(cid:181)(cid:144)(cid:167)(cid:144)(cid:91)(cid:10) (cid:236)(cid:237)(cid:3)(cid:153) (cid:50)(cid:83) (cid:239)(cid:45) (cid:50)(cid:123) (cid:223)(cid:45) (cid:223)(cid:173) (cid:241)(cid:242)(cid:219)(cid:257) d >Rr d =Rr Rr0)(cid:34)(cid:209)(cid:13)(cid:113)(cid:114)(cid:36)í (cid:26)q(cid:36)(cid:209)(cid:13)(cid:31)(cid:151) îy=rsinq ① ìx=arcosq (xa)2 (yb)2 =r2(r >0)(cid:34)(cid:209)(cid:13)(cid:113)(cid:114)(cid:36)í (cid:26)q(cid:36)(cid:209)(cid:13)(cid:31)(cid:25) îy=brsinq ② (cid:4)(cid:92)(cid:10)(cid:118)(cid:117)(cid:61)(cid:34)(cid:280)(cid:120)(cid:243)(cid:21)(cid:37)(cid:281)(cid:281)(cid:256)(cid:127)(cid:205)(cid:143)(cid:61)(cid:34)(cid:209)(cid:13)(cid:113)(cid:114)(cid:282)(cid:39)(cid:40)(cid:34)(cid:212)(cid:213)(cid:115)(cid:36)(arcosq,brsinq)(cid:26)q(cid:36)(cid:209)(cid:13)(cid:37) (cid:26)a,b(cid:31)(cid:36)(cid:61)(cid:233)(cid:37)r(cid:36)(cid:234)(cid:235)(cid:31)(cid:37)(cid:127)(cid:283)(cid:284)(cid:285)(cid:286)(cid:34)(cid:59)(cid:13)(cid:37)(cid:72)(cid:273)(cid:52)(cid:65)(cid:228)(cid:13)(cid:160)(cid:37)(cid:287)(cid:158)(cid:288)(cid:71)(cid:13)(cid:243)(cid:21)(cid:136)(cid:16)(cid:36)(cid:52)(cid:65)(cid:243)(cid:21)(cid:37)(cid:190)(cid:191) (cid:205)(cid:143)(cid:128)(cid:289)(cid:178)(cid:146)(cid:290)(cid:289)(cid:178)(cid:228)(cid:13)(cid:34)(cid:56)(cid:291)(cid:232)(cid:174)(cid:208)(cid:280)(cid:120)(cid:25) 2(cid:23)(cid:3)(cid:117)(cid:61)(cid:34)(cid:45)(cid:33)(cid:34)(cid:241)(cid:59)(cid:138)(cid:188)(cid:76)(cid:261) (cid:26)1(cid:31)(cid:41)(cid:61) x2  y2 =r2(cid:38)(cid:22)(cid:40) P(x ,y ) (cid:34)(cid:61)(cid:34)(cid:45)(cid:33)(cid:113)(cid:114)(cid:36) x x  y y = r2(cid:25) 0 0 0 0 (cid:26)2(cid:31)(cid:41)(cid:61) (x  a)2  (y b)2 = r2(cid:38)(cid:22)(cid:40) P(x ,y ) (cid:34)(cid:61)(cid:34)(cid:45)(cid:33)(cid:113)(cid:114)(cid:36) 0 0 (x a)(xa)(y b)(y b)= r2 0 0 (cid:26)3(cid:31)(cid:41)(cid:61) x2  y2  Dx  Ey  F = 0 (cid:38)(cid:22)(cid:40) P(x ,y ) (cid:34)(cid:61)(cid:34)(cid:45)(cid:33)(cid:113)(cid:114)(cid:36) 0 0 xx y y x x y yD× 0 E× 0 F =0 0 0 2 2 (cid:26)4(cid:31)(cid:174)(cid:41)(cid:61) x2  y2 =r2(cid:239)(cid:22)(cid:40) P(x ,y ) (cid:34)(cid:61)(cid:34)(cid:45)(cid:33)(cid:113)(cid:114)(cid:54)(cid:37)(cid:225)(cid:4)(cid:92)(cid:15)(cid:208)(cid:10) 0 0 (cid:140)(cid:174)(cid:45)(cid:33)(cid:22)(cid:163)(cid:56)(cid:62)(cid:44)(cid:151) ① (cid:115)(cid:63)(cid:33)(cid:113)(cid:114)(cid:95)(cid:179)(cid:37)(cid:225)(cid:118)(cid:140)(cid:174)(cid:63)(cid:33)(cid:34)(cid:104)(cid:105)(cid:67)(cid:292)(cid:149)(cid:150)(cid:293)(cid:127)(cid:294)(cid:261)(cid:25)(cid:115)(cid:45)(cid:33)(cid:113)(cid:114)(cid:36) y  y = k(x x ) (cid:37)(cid:205)(cid:143)(cid:61)(cid:233)(cid:195) 0 0 ②(cid:45)(cid:33)(cid:34)(cid:82)(cid:83)(cid:94)(cid:117)(cid:234)(cid:235)(cid:37)(cid:103)(cid:110)(cid:3)(cid:117)k(cid:34)(cid:113)(cid:114)(cid:37)(cid:174)(cid:110)k(cid:120)(cid:25)(cid:116)(cid:174)(cid:110)(cid:34)k(cid:120)(cid:56)(cid:62)(cid:59)(cid:37)(cid:48)(cid:295)(cid:296)(cid:104)(cid:105)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:34)(cid:297)(cid:170)(cid:148)(cid:298) (cid:139)(cid:21)(cid:92)(cid:151)(cid:116)(cid:174)(cid:110)(cid:34)k(cid:120)(cid:299)(cid:56)(cid:22)(cid:59)(cid:37)(cid:48)(cid:295)(cid:296)(cid:104)(cid:105)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:34)(cid:297)(cid:170)(cid:298)(cid:139)(cid:21)(cid:92)(cid:25) (cid:22)(cid:23)(cid:60)(cid:20)(cid:21) 1(cid:25)(cid:26)2024·(cid:300)(cid:301)(cid:27)(cid:290)·(cid:106)(cid:302)(cid:31)(cid:99)(cid:100)(cid:63)(cid:33)xay=0(cid:123)(cid:61)C(cid:10)x2y22 3x2y=0(cid:117)M(cid:37)N(cid:62)(cid:40)(cid:37)(cid:48)“(cid:303)MCN (cid:36)(cid:128)(cid:52)(cid:65)(cid:170)”(cid:67)“a=0”(cid:34)(cid:26) (cid:31) A(cid:25)(cid:304)(cid:97)(cid:148)(cid:305)(cid:188)(cid:44)(cid:199) B(cid:25)(cid:305)(cid:188)(cid:148)(cid:304)(cid:97)(cid:44)(cid:199)C(cid:25)(cid:304)(cid:188)(cid:44)(cid:199) D(cid:25)(cid:306)(cid:148)(cid:304)(cid:97)(cid:307)(cid:148)(cid:305)(cid:188)(cid:44)(cid:199) 2(cid:25)(cid:26)2024·(cid:308)(cid:301)(cid:301)(cid:309)·(cid:52)(cid:302)(cid:31)(cid:116)(cid:41)(cid:40)P0,1(cid:256)(cid:42)(cid:61)x2y22x4ya=0(cid:34)(cid:62)(cid:44)(cid:45)(cid:33)(cid:37)(cid:48)a(cid:34)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:67)(cid:26) (cid:31) A(cid:25)3,¥ B(cid:25)1,3 C(cid:25)3,5 D(cid:25)5,¥ 3(cid:25)(cid:26)2024·(cid:310)(cid:311)·(cid:52)(cid:302)(cid:31)(cid:99)(cid:100)A(1,0),B(1,0)(cid:37)(cid:116)(cid:40)P(cid:55)(cid:47)PA ^ PB(cid:37)(cid:48)(cid:40)P(cid:195)(cid:63)(cid:33)l:m(x 3)n(y1)=0 (cid:34)(cid:82)(cid:83)(cid:34)(cid:280)(cid:157)(cid:120)(cid:36)(cid:26) (cid:31) A(cid:25)1 B(cid:25)2 C(cid:25)3 D(cid:25)4 4(cid:25)(cid:26)2024·(cid:218)(cid:312)(cid:101)(cid:112)·(cid:52)(cid:302)(cid:31)(cid:99)(cid:100)(cid:63)(cid:33)l :xay1=0 (cid:49)eC:xa2y12 =1 (cid:50)(cid:123)(cid:117) A(cid:37)B (cid:62)(cid:40)(cid:37)(cid:116) 1 VABC (cid:67)(cid:63)(cid:65)(cid:52)(cid:65)(cid:170)(cid:37)(cid:48)(cid:258)(cid:13) a (cid:34)(cid:120)(cid:36)(cid:26) (cid:31) 1 1 A(cid:25)1 (cid:146) 1 B(cid:25) 3 (cid:146)  3 C(cid:25) (cid:146) 1 D(cid:25) (cid:146)  3 7 7 5(cid:25)(cid:26)2024·(cid:313)(cid:314)(cid:315)(cid:316)·(cid:52)(cid:302)(cid:31)(cid:99)(cid:100)(cid:63)(cid:33)l(cid:10)xy2=0(cid:49)(cid:61)O(cid:10)x2y2 =1(cid:37)(cid:41)(cid:63)(cid:33)l(cid:38)(cid:34)(cid:161)(cid:92)(cid:22)(cid:40)P(cid:42)(cid:61)O (cid:34)(cid:45)(cid:33)PA(cid:37)PB(cid:37)(cid:45)(cid:40)(cid:97)(cid:98)(cid:36)A(cid:37)B(cid:37)(cid:48)ÐAPB(cid:34)(cid:280)(cid:157)(cid:120)(cid:36)(cid:26) (cid:31) 3π 2π π π A(cid:25) B(cid:25) C(cid:25) D(cid:25) 4 3 2 6 6(cid:25)(cid:26)2024·(cid:138)(cid:317)·(cid:106)(cid:302)(cid:31)(cid:99)(cid:100)(cid:61)O:x2y2 =3,P(cid:67)(cid:61)O(cid:239)(cid:22)(cid:40)(cid:37)(cid:41)(cid:40)P(cid:42)(cid:61)O(cid:34)(cid:62)(cid:44)(cid:45)(cid:33)(cid:37)(cid:45)(cid:40)(cid:97)(cid:98)(cid:36)A,B(cid:37) uuur uuur 9 (cid:116)PA×PB= (cid:37)(cid:48)OP =(cid:26) (cid:31) 2 A(cid:25) 6 B(cid:25)3 C(cid:25)2 3 D(cid:25) 15 7(cid:25)(cid:26)2024·(cid:310)(cid:311)·(cid:52)(cid:302)(cid:31)(cid:99)(cid:100)(cid:61)C:  x 3 2 y12 =1(cid:111)(cid:62)(cid:40)At,0,Bt,0t>0(cid:37)(cid:116)(cid:61)C(cid:38)(cid:149)(cid:150)(cid:40)P(cid:37) uuur uuur (cid:318)(cid:248)PA×PB=0(cid:37)(cid:48)t(cid:34)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:36)(cid:26) (cid:31) A(cid:25)0,1  B(cid:25) 1,3  C(cid:25)2,3 D(cid:25) 3,4  8(cid:25)(cid:26)2024·(cid:319)(cid:320)(cid:321)(cid:322)·(cid:52)(cid:302)(cid:31)(cid:116)(cid:61)x2y2ax 3y2a3=0(cid:49)x(cid:126)(cid:323)(cid:56)(cid:123)(cid:40)(cid:37)(cid:48)(cid:258)(cid:13)a(cid:34)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:36)(cid:26) (cid:31) A(cid:25)2,6 B(cid:25)3,5 C(cid:25)2,3 U 5,6 D(cid:25)2,3 U 6,¥ 9(cid:25)(cid:26)2024·(cid:310)(cid:311)·(cid:52)(cid:302)(cid:31)(cid:99)(cid:100)(cid:63)(cid:33)l:axa1y2=0(cid:37)(cid:61)O:x2y2 =16(cid:37)(cid:181)(cid:103)(cid:295)(cid:176)(cid:324)(cid:325)(cid:34)(cid:67)(cid:26) (cid:31) A(cid:25)(cid:118)(cid:161)(cid:92)(cid:258)(cid:13)a(cid:37)(cid:63)(cid:33)l(cid:49)(cid:61)O(cid:56)(cid:62)(cid:59)(cid:148)(cid:255)(cid:34)(cid:7)(cid:53)(cid:40)(cid:151) 1 B(cid:25)(cid:51)(cid:57)(cid:58)(cid:51)a= (cid:54)(cid:37)(cid:63)(cid:33)l(cid:326)(cid:61)O(cid:140)(cid:89)(cid:289)(cid:327)(cid:36)4 2(cid:151) 2 C(cid:25)(cid:118)(cid:161)(cid:92)(cid:258)(cid:13)a(cid:37)(cid:61)O(cid:148)(cid:3)(cid:117)(cid:63)(cid:33)l(cid:118)(cid:84)(cid:151) D(cid:25)(cid:149)(cid:150)(cid:258)(cid:13)a(cid:37)(cid:318)(cid:248)(cid:63)(cid:33)l(cid:49)(cid:61)O(cid:50)(cid:45)(cid:25) 10(cid:25)(cid:26)2024·(cid:300)(cid:301)(cid:328)(cid:329)·(cid:52)(cid:302)(cid:31)(cid:99)(cid:100)mÎR(cid:37)(cid:63)(cid:33)l :mxy2m=0(cid:49)l :xmy4m=0(cid:34)(cid:123)(cid:40)P(cid:150)(cid:61)C(cid:10) 1 2 x32y42 =r2r>0(cid:38)(cid:37)(cid:48)r(cid:34)(cid:280)(cid:157)(cid:120)(cid:67)(cid:26) (cid:31)A(cid:25)4 2 B(cid:25) 3 2 C(cid:25)2 5 D(cid:25)3 5 (cid:106)(cid:23)(cid:24)(cid:20)(cid:21) 11(cid:25)(cid:26)2024·(cid:313)(cid:314)(cid:327)(cid:330)·(cid:52)(cid:302)(cid:31)(cid:99)(cid:100)(cid:61) C:x22y2 =4(cid:37)(cid:63)(cid:33) l:m1x2y1m=0mÎR (cid:37)(cid:48)(cid:26) (cid:31) A(cid:25)(cid:63)(cid:33) l (cid:331)(cid:41)(cid:163)(cid:40) 1,1 B(cid:25)(cid:51)m=0(cid:54)(cid:37)(cid:61)C(cid:38)(cid:332)(cid:56)(cid:52)(cid:59)(cid:40)(cid:195)(cid:63)(cid:33)l(cid:34)(cid:82)(cid:83)(cid:94)(cid:117) 1 C(cid:25)(cid:63)(cid:33)l(cid:49)(cid:61)C(cid:256)(cid:333)(cid:50)(cid:45) D(cid:25)(cid:116)(cid:61)C(cid:49)(cid:61) x2y22x8ya=0(cid:332)(cid:56)(cid:52)(cid:44)(cid:7)(cid:45)(cid:33)(cid:37)(cid:48)a= 8 12(cid:25)(cid:26)2024·(cid:319)(cid:301)(cid:334)(cid:335)·(cid:52)(cid:302)(cid:31)(cid:99)(cid:100)E,F(cid:67)(cid:127)C1,2(cid:36)(cid:61)(cid:233)(cid:37) 2(cid:36)(cid:234)(cid:235)(cid:34)(cid:61)(cid:38)(cid:161)(cid:92)(cid:62)(cid:40)(cid:37)(cid:57)(cid:55)(cid:47)CE ^CF(cid:37)P uuur uuur (cid:67)EF (cid:34)(cid:68)(cid:40)(cid:37)(cid:116)(cid:149)(cid:150)(cid:3)(cid:117)3,0(cid:118)(cid:84)(cid:34)A,B(cid:62)(cid:40)(cid:37)(cid:55)(cid:47)PA×PB=0(cid:37)(cid:48)(cid:33)(cid:211)AB(cid:327)(cid:336)(cid:34)(cid:256)(cid:333)(cid:120)(cid:36)(cid:26) (cid:31) A(cid:25)3 B(cid:25)4 C(cid:25)5 D(cid:25)6 13(cid:25)(cid:26)2024·(cid:337)(cid:314)(cid:338)(cid:339)·(cid:52)(cid:302)(cid:31)(cid:99)(cid:100)(cid:63)(cid:33)l:axby1=0(cid:26)a,b(cid:148)(cid:255)(cid:54)(cid:36)0(cid:31)(cid:37)(cid:61)C:x2y22x=0(cid:37)(cid:48)(cid:26) (cid:31) A(cid:25)(cid:51)b22a=1(cid:54)(cid:37)(cid:63)(cid:33)l(cid:49)(cid:61)C(cid:50)(cid:45) B(cid:25)(cid:51)ab=2(cid:54)(cid:37)(cid:63)(cid:33)l(cid:49)(cid:61)C(cid:148)(cid:256)(cid:333)(cid:50)(cid:123) C(cid:25)(cid:51)a=1,b=1(cid:54)(cid:37)(cid:49)(cid:61)C(cid:239)(cid:45)(cid:57)(cid:49)(cid:63)(cid:33)l(cid:50)(cid:45)(cid:34)(cid:39)(cid:61)(cid:61)(cid:233)(cid:34)(cid:340)(cid:341)(cid:67)(cid:22)(cid:44)(cid:32)(cid:14)(cid:33) uuur uuur D(cid:25)(cid:51)a=1,b=1(cid:54)(cid:37)(cid:63)(cid:33)l(cid:49)(cid:212)(cid:213)(cid:126)(cid:50)(cid:123)(cid:117)A,B(cid:62)(cid:40)(cid:37)(cid:48)(cid:61)C(cid:38)(cid:149)(cid:150)(cid:40)P(cid:55)(cid:47)PA×PB=0 14(cid:25)(cid:26)2024·(cid:319)(cid:320)(cid:342)(cid:343)·(cid:52)(cid:302)(cid:31)(cid:99)(cid:100)(cid:39)(cid:40)M(cid:37)N (cid:97)(cid:98)(cid:150)(cid:61)C :x12y22 =1 (cid:111) C :x32y42 =3 1 2 (cid:38)(cid:37)(cid:39)(cid:40)P (cid:150) x (cid:126)(cid:38)(cid:37)(cid:48)(cid:26) (cid:31) A(cid:25)(cid:61)C (cid:34)(cid:234)(cid:235)(cid:36)3 2 B(cid:25)(cid:61)C (cid:111)(cid:61)C (cid:50)(cid:83) 1 2 C(cid:25) PM  PN (cid:34)(cid:280)(cid:251)(cid:120)(cid:36)2 10 D(cid:25)(cid:41)(cid:40)P(cid:344)(cid:61)C (cid:34)(cid:45)(cid:33)(cid:37)(cid:48)(cid:45)(cid:33)(cid:327)(cid:280)(cid:345)(cid:36) 3 1 15(cid:25)(cid:26)2024·(cid:346)(cid:300)(cid:347)(cid:339)·(cid:106)(cid:302)(cid:31)(cid:99)(cid:100)(cid:61) C :x2y2 =6(cid:49)(cid:61) C :x2y22xa=0(cid:50)(cid:123)(cid:117) A,B(cid:62)(cid:40)(cid:25)(cid:116) 1 2 S =2S (cid:37)(cid:48)(cid:258)(cid:13)a(cid:34)(cid:120)(cid:256)(cid:127)(cid:67)(cid:26) (cid:31) △C1AB △C2AB 22 14 A(cid:25)10 B(cid:25)2 C(cid:25) D(cid:25) 3 3 16(cid:25)(cid:26)2024·(cid:346)(cid:300)(cid:348)(cid:349)·(cid:52)(cid:302)(cid:31)(cid:99)(cid:100)M (cid:37)N (cid:36)(cid:61)x2y2 =4(cid:38)(cid:34)(cid:62)(cid:59)(cid:39)(cid:40)(cid:37)(cid:40)P1,1(cid:37)(cid:57)PM ^PN (cid:37)(cid:48) (cid:26) (cid:31) A(cid:25) PM =2 2 max B(cid:25) MN =2 2 3 max 2 2 æ 1ö æ 1ö 3 C(cid:25)VPMN(cid:239)(cid:184)(cid:61)(cid:61)(cid:233)(cid:34)(cid:340)(cid:341)(cid:113)(cid:114)(cid:36) çx ÷ çy ÷ = è 2ø è 2ø 22 2 æ 5ö æ 5ö 1 D(cid:25)VPMN(cid:138)(cid:233)(cid:34)(cid:340)(cid:341)(cid:113)(cid:114)(cid:36) çx ÷ çy ÷ = è 6ø è 6ø 6 (cid:52)(cid:23)(cid:107)(cid:108)(cid:21) 17(cid:25)(cid:26)2024·(cid:350)(cid:320)(cid:351)(cid:352)·(cid:52)(cid:302)(cid:31)(cid:99)(cid:100)(cid:61)C(cid:353)(cid:41)A2,0(cid:37)B0,2(cid:37)C2,4(cid:52)(cid:40)(cid:37) (cid:26)i(cid:31)(cid:48)(cid:61)C(cid:34)(cid:213)(cid:35)(cid:113)(cid:114)(cid:36) (cid:151) (cid:26)ii(cid:31)(cid:116)(cid:63)(cid:33)AB(cid:3)(cid:117)y=a(cid:118)(cid:84)(cid:34)(cid:63)(cid:33)(cid:49)(cid:61)C(cid:56)(cid:7)(cid:53)(cid:40)(cid:37)(cid:48)a(cid:34)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:67) . 18(cid:25)(cid:26)2024·(cid:354)(cid:355)(cid:111)(cid:81)·(cid:52)(cid:302)(cid:31)(cid:99)(cid:100)(cid:61)C(cid:127)(cid:40)1,1(cid:36)(cid:61)(cid:233)(cid:37)(cid:57)(cid:49)(cid:63)(cid:33)mxy2m=0mÎR (cid:50)(cid:45)(cid:37)(cid:48)(cid:55)(cid:47)(cid:127)(cid:38) (cid:44)(cid:199)(cid:34)(cid:61)C(cid:34)(cid:234)(cid:235)(cid:280)(cid:157)(cid:54)(cid:37)(cid:61)C(cid:34)(cid:213)(cid:35)(cid:113)(cid:114)(cid:36) (cid:25) 19(cid:25)(cid:26)2024·(cid:223)(cid:356)(cid:70)(cid:357)(cid:111)(cid:358)(cid:219)·(cid:106)(cid:302)(cid:31)(cid:40)P1,a(cid:3)(cid:117)(cid:63)(cid:33)xy=0(cid:34)(cid:118)(cid:84)(cid:40)(cid:150)(cid:61)(x2)2(y4)2 =13(cid:223)(cid:37)(cid:48) (cid:258)(cid:13)a(cid:34)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:67) (cid:25) 20(cid:25)(cid:26)2024·(cid:313)(cid:314)·(cid:106)(cid:302)(cid:31)(cid:99)(cid:100)(cid:63)(cid:33)l(cid:67)(cid:61)O:x2y2 =1(cid:34)(cid:45)(cid:33)(cid:37)(cid:40)A2,1(cid:111)(cid:40)B0,3(cid:195)l(cid:34)(cid:82)(cid:83)(cid:50)(cid:94)(cid:37)(cid:48)(cid:63) (cid:33)l(cid:34)(cid:113)(cid:114)(cid:256)(cid:127)(cid:67) .(cid:26)(cid:109)(cid:110)(cid:22)(cid:59)(cid:55)(cid:47)(cid:44)(cid:199)(cid:34)(cid:244)(cid:256)(cid:31) 21(cid:25)(cid:26)2024·(cid:346)(cid:300)·(cid:52)(cid:302)(cid:31)(cid:99)(cid:100)(cid:61)C (cid:10)x2y2 =2(cid:111)(cid:61)C (cid:10)x32y42 =16(cid:37)(cid:41)(cid:61)C (cid:38)(cid:22)(cid:39)(cid:40)P(cid:42)(cid:61)C 1 2 2 2 (cid:34)(cid:45)(cid:33)(cid:37)(cid:123)(cid:61)C (cid:117)A(cid:37)B(cid:62)(cid:40)(cid:37)(cid:51)VAOB(cid:26)(cid:40)O(cid:36)(cid:212)(cid:213)(cid:221)(cid:40)(cid:31)(cid:90)(cid:124)(cid:280)(cid:157)(cid:54)(cid:37)(cid:55)(cid:47)(cid:44)(cid:199)(cid:34)(cid:45)(cid:33)(cid:113)(cid:114)(cid:36) . 1 (cid:26)(cid:109)(cid:110)(cid:22)(cid:44)(cid:244)(cid:256)(cid:31) 22(cid:25)(cid:26)2024·(cid:38)(cid:359)·(cid:52)(cid:302)(cid:31)(cid:99)(cid:100)(cid:61)C :(x1)2(y1)2 =1(cid:37)(cid:61)C :(x4)2(y5)2 =9(cid:37)(cid:40)M(cid:37)N(cid:97)(cid:98)(cid:67)(cid:61)C (cid:23) 1 2 1 (cid:61)C (cid:38)(cid:34)(cid:39)(cid:40)(cid:37)(cid:40)P(cid:36)y=x(cid:38)(cid:34)(cid:39)(cid:40)(cid:37)(cid:48)|PM ||PN|(cid:34)(cid:280)(cid:251)(cid:120)(cid:67) . 2