专题17抛物线（2大考向真题解读）-原卷版_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年08月试卷_08202025版《真题题源解密-专题分类》数学

专题 17 抛物线 命题解读 考向 考查统计 1.高考对抛物线的考查，重点是 抛物线的定义、标准方程、几何性质 2024·新高考Ⅱ卷，10 （1）抛物线的定义、几何图形、标准 方程。 2022·新高考Ⅰ卷，11 （2）抛物线的简单几何性质（范围、 抛物线的定义、直线与抛物线的综合 2022·新高考Ⅱ卷，10 对称性、顶点、离心率）。 运用 2023·新高考Ⅱ卷，10 （3）直线和抛物线的位置关系及综合 应用。 命题分析 2024年高考新高考Ⅰ卷未考查抛物线，Ⅱ卷考查了抛物线与直线、圆知识点的综合，涉及到抛物线的知 识点主要有准线和定义，难度适中。抛物线是高考考查的热点，其中抛物线的定义、方程、焦点、准线及 其几何性质的应用是考查的重点。而且抛物线在多选题中考查的比较频繁，考生可以多多加强练习。预计 2025年高考还是主要考查抛物线的定义和直线与抛物线的综合运用。 试题精讲 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:20)(cid:21) 1(cid:25)(cid:26)2024(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅱ(cid:30)·10(cid:31)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:10)y2 =4x(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:36)l(cid:37)P(cid:36)C(cid:38)(cid:34)(cid:39)(cid:40)(cid:37)(cid:41)P(cid:42)(cid:43)A:x2(y4)2 =1(cid:34) (cid:22)(cid:44)(cid:45)(cid:33)(cid:37)Q(cid:36)(cid:45)(cid:40)(cid:37)(cid:41)P(cid:42)l(cid:34)(cid:46)(cid:33)(cid:37)(cid:46)(cid:47)(cid:36)B(cid:37)(cid:48)(cid:26) (cid:31) A(cid:25)l(cid:49)eA(cid:50)(cid:45) B(cid:25)(cid:51)P(cid:37)A(cid:37)B(cid:52)(cid:40)(cid:53)(cid:33)(cid:54)(cid:37)|PQ|= 15 C(cid:25)(cid:51)|PB|=2(cid:54)(cid:37)PA^ AB D(cid:25)(cid:55)(cid:47)|PA|=|PB|(cid:34)(cid:40)P(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:56)2(cid:59) (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:20)(cid:21)1(cid:25)(cid:26)2022(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅰ(cid:30)·11(cid:31)(cid:60)(cid:61)O(cid:36)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:40)(cid:37)(cid:40)A(1,1)(cid:65)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C:x2 =2py(p>0)(cid:38)(cid:37)(cid:41)(cid:40)B(0,1)(cid:34)(cid:66) (cid:33)(cid:67)C(cid:68)P(cid:37)Q(cid:69)(cid:40)(cid:37)(cid:48)(cid:26) (cid:31) A(cid:25)C(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:36)y=1 B(cid:25)(cid:66)(cid:33)AB(cid:49)C(cid:50)(cid:45) C(cid:25)OP ×OQ >|OA 2 D(cid:25)|BP|×|BQ|>|BA|2 2(cid:25)(cid:26)2022(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅱ(cid:30)·10(cid:31)(cid:60)(cid:61)O(cid:36)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:40)(cid:37)(cid:41)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C:y2 =2px(p>0)(cid:70)(cid:40)F(cid:34)(cid:66)(cid:33)(cid:49)C(cid:67)(cid:68)A(cid:37)B (cid:69)(cid:40)(cid:37)(cid:71)(cid:72)A(cid:65)(cid:73)(cid:22)(cid:74)(cid:75)(cid:37)(cid:40)M(p,0)(cid:37)(cid:76)|AF|=|AM |(cid:37)(cid:48)(cid:26) (cid:31) A(cid:25)(cid:66)(cid:33)AB(cid:34)(cid:77)(cid:78)(cid:36)2 6 B(cid:25)|OB|=|OF | C(cid:25)|AB|>4|OF | D(cid:25)ÐOAM ÐOBM <180° 3(cid:25)(cid:26)2023(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅱ(cid:30)·10(cid:31)(cid:79)O(cid:36)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:40)(cid:37)(cid:66)(cid:33)y= 3x1(cid:41)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C:y2 =2pxp>0(cid:34)(cid:70)(cid:40)(cid:37)(cid:57)(cid:49) C(cid:67)(cid:68)M(cid:37)N(cid:69)(cid:40)(cid:37)l(cid:36)C(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:37)(cid:48)(cid:26) (cid:31)(cid:25) 8 A(cid:25)p=2 B(cid:25) MN = 3 C(cid:25)(cid:80)MN(cid:36)(cid:66)(cid:81)(cid:34)(cid:82)(cid:49)l(cid:50)(cid:45) D(cid:25)VOMN (cid:36)(cid:83)(cid:84)(cid:52)(cid:85)(cid:86) (cid:22)(cid:23)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:87)(cid:88) (cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:49)(cid:22)(cid:59)(cid:87)(cid:40)F (cid:92)(cid:22)(cid:44)(cid:87)(cid:66)(cid:33)l(FÏl)(cid:34)(cid:93)(cid:94)(cid:50)(cid:83)(cid:34)(cid:40)(cid:34)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:37)(cid:87)(cid:40)F (cid:97)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:70)(cid:40)(cid:37)(cid:87) (cid:66)(cid:33)l(cid:97)(cid:98)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:25) (cid:4)(cid:10)(cid:76)(cid:65)(cid:87)(cid:88)(cid:72)(cid:56)FÎl(cid:37)(cid:48)(cid:39)(cid:40)(cid:34)(cid:95)(cid:96)(cid:36)l(cid:34)(cid:46)(cid:33)(cid:37)(cid:46)(cid:47)(cid:36)(cid:40)F (cid:25) (cid:99)(cid:23)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:100)(cid:101)(cid:23)(cid:102)(cid:86)(cid:103)(cid:104)(cid:105) (cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:63)(cid:35)(cid:100)(cid:101)(cid:56)4(cid:106)(cid:86)(cid:107)(cid:10)y2 =2px(cid:37)y2 =2px(cid:37)x2 =2py(cid:37)x2 =2py(p>0)(cid:37)(cid:71)(cid:72)(cid:22)(cid:108)(cid:109)(cid:49)(cid:110)(cid:111)(cid:112) (cid:22)(cid:113)(cid:37)(cid:22)(cid:108)(cid:109)(cid:114)(cid:13)(cid:34)(cid:115)(cid:9)(cid:116)(cid:87)(cid:117)(cid:118)(cid:100)(cid:119) (cid:102)(cid:86) (cid:63)(cid:35) y2 =2px(p>0) y2 =2px(p>0) x2 =2py(p>0) x2 =2py(p>0) (cid:100)(cid:101) (cid:120)(cid:40) O(0(cid:37)0) (cid:121)(cid:122) x³0(cid:37)yÎR x£0(cid:37)yÎR y³0(cid:37)xÎR y£0(cid:37)xÎR (cid:110)(cid:111)(cid:112) x(cid:112) y(cid:112)p p p p (cid:70)(cid:40) F( (cid:37)0) F( (cid:37)0) F(0(cid:37) ) F(0(cid:37) ) 2 2 2 2 (cid:94)(cid:123)(cid:78) e=1 p p p p (cid:35)(cid:33)(cid:100)(cid:101) x= x= y= y= 2 2 2 2 (cid:70)(cid:124)(cid:81) p p p p AF =x  AF =x  AF = y  AF =y  A(x(cid:37)y ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 (cid:125)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130) 1(cid:23)(cid:40)P(x ,y )(cid:49)(cid:32)(cid:14)(cid:33)y2 =2px(p>0)(cid:34)(cid:3)(cid:114) 0 0 (cid:26)1(cid:31)P(cid:65)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:91)(cid:26)(cid:131)(cid:70)(cid:40)(cid:31)Û y2 <2px (cid:25) 0 0 (cid:26)2(cid:31)P(cid:65)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:38)Û y2 =2px (cid:25) 0 0 (cid:26)3(cid:31)P(cid:65)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:132)Û y2 >2px (cid:25) 0 0 2(cid:23)(cid:70)(cid:124)(cid:81) p (cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:38)(cid:34)(cid:40)P(x ,y )(cid:49)(cid:70)(cid:40)F (cid:34)(cid:93)(cid:94)(cid:111)(cid:36)(cid:70)(cid:124)(cid:81)(cid:37)(cid:76)y2 =2px(p>0)(cid:37)(cid:48)(cid:70)(cid:124)(cid:81) PF =x  (cid:37) 0 0 0 2 p PF = (cid:25) min 2 3(cid:23) p(p>0)(cid:34)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:88) p(cid:36)(cid:70)(cid:40)F (cid:136)(cid:35)(cid:33)l(cid:34)(cid:93)(cid:94)(cid:37)(cid:137)(cid:70)(cid:35)(cid:93)(cid:37)p(cid:138)(cid:139)(cid:37)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:117)(cid:118)(cid:138)(cid:139)(cid:25) 4(cid:23)(cid:70)(cid:40)(cid:140) (cid:76)AB(cid:36)(cid:32)(cid:14)(cid:33)y2 =2px(p>0)(cid:34)(cid:70)(cid:40)(cid:140)(cid:37)A(x,y )(cid:37)B(x ,y )(cid:37)(cid:48)(cid:56)(cid:80)(cid:141)(cid:128)(cid:129)(cid:10) 1 1 2 2 p2 (cid:26)1(cid:31)xx = (cid:25) 1 2 4 (cid:26)2(cid:31)y y =p2(cid:25) 1 2 (cid:26)3(cid:31)(cid:70)(cid:40)(cid:140)(cid:142)(cid:7)(cid:107)1(cid:10) AB =x x  p(cid:37)x x ³2 xx = p(cid:37)(cid:51)x = x (cid:54)(cid:37)(cid:70)(cid:40)(cid:140)(cid:143)(cid:144)(cid:145)(cid:146)2p(cid:37)(cid:137)(cid:147)(cid:56) 1 2 1 2 1 2 1 2 (cid:70)(cid:40)(cid:140)(cid:72)(cid:148)(cid:81)(cid:144)(cid:149)(cid:37)(cid:71)(cid:142)(cid:150)(cid:36)2p(cid:25) 2p (cid:70)(cid:40)(cid:140)(cid:142)(cid:7)(cid:107)2(cid:10) AB = (cid:26)a(cid:36)(cid:66)(cid:33)AB(cid:49)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:34)(cid:151)(cid:85)(cid:31)(cid:25) sin2a p2 (cid:26)4(cid:31)DAOB(cid:34)(cid:90)(cid:152)(cid:7)(cid:107)(cid:10)S = (cid:26)a(cid:36)(cid:66)(cid:33)AB(cid:49)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:34)(cid:151)(cid:85)(cid:31)(cid:25) DAOB 2sina 5(cid:23)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:140) (cid:76)AB(cid:36)(cid:32)(cid:14)(cid:33)y2 =2px(p>0)(cid:34)(cid:153)(cid:135)(cid:22)(cid:44)(cid:140)(cid:37)A(x,y ),B(x ,y )(cid:37)(cid:140)(cid:34)(cid:72)(cid:40)(cid:36)M(x ,y )(y ¹0)(cid:37)(cid:48) 1 1 2 2 0 0 01 (cid:26)1(cid:31)(cid:140)(cid:142)(cid:7)(cid:107)(cid:10) AB = 1k2 x x = 1 y  y (k =k ¹0) 1 2 k2 1 2 AB p (cid:26)2(cid:31)k = AB y 0 p (cid:26)3(cid:31)(cid:66)(cid:33)AB(cid:34)(cid:100)(cid:101)(cid:36)y y = (xx ) 0 y 0 0 y (cid:26)4(cid:31)(cid:33)(cid:154)AB(cid:34)(cid:46)(cid:66)(cid:89)(cid:155)(cid:33)(cid:100)(cid:101)(cid:36)y y = 0 (xx ) 0 p 0 A 6(cid:23)(cid:156)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:63)(cid:35)(cid:100)(cid:101)(cid:34)(cid:70)(cid:40)(cid:92)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:157)(cid:158)(cid:100)(cid:159)(cid:26) (cid:159)(cid:31) 4 A A (cid:26)1(cid:31)y2 = Ax(A¹0)(cid:70)(cid:40)(cid:36)( ,0)(cid:37)(cid:35)(cid:33)(cid:36)x= 4 4 A A (cid:26)2(cid:31)x2 = Ay(A¹0)(cid:70)(cid:40)(cid:36)(0, )(cid:37)(cid:35)(cid:33)(cid:36)y= 4 4 y 1 1 (cid:160)y=4x2(cid:37)(cid:137)x2 = (cid:37)(cid:70)(cid:40)(cid:36)(0, )(cid:37)(cid:35)(cid:33)(cid:100)(cid:101)(cid:36)y= 4 16 16 7(cid:23)(cid:161)(cid:13)(cid:100)(cid:101) ìx=2pt2 y2 =2px(p>0)(cid:34)(cid:161)(cid:13)(cid:100)(cid:101)(cid:36)í (cid:26)(cid:161)(cid:13)tÎR(cid:31) îy=2pt 8(cid:23)(cid:45)(cid:33)(cid:100)(cid:101)(cid:92)(cid:45)(cid:40)(cid:140)(cid:100)(cid:101) (cid:32)(cid:14)(cid:33)y2 =2px(p>0)(cid:34)(cid:45)(cid:33)(cid:100)(cid:101)(cid:36)y y= p(xx )(cid:37)(x ,y )(cid:36)(cid:45)(cid:40) 0 0 0 0 (cid:45)(cid:40)(cid:140)(cid:100)(cid:101)(cid:36)y y= p(xx )(cid:37)(cid:40)(x ,y )(cid:65)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:132) 0 0 0 0 (cid:49)(cid:72)(cid:40)(cid:140)(cid:89)(cid:162)(cid:34)(cid:66)(cid:33)(cid:36)y y= p(xx )(cid:37)(cid:163)(cid:66)(cid:33)(cid:49)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:50)(cid:94)(cid:37)(cid:40)(x ,y )(cid:26)(cid:131)(cid:70)(cid:40)(cid:31)(cid:164)(cid:140)AB(cid:34)(cid:72)(cid:40)(cid:37)(cid:72)(cid:40) 0 0 0 0 (cid:140)AB(cid:34)(cid:77)(cid:78)(cid:49)(cid:165)(cid:44)(cid:66)(cid:33)(cid:34)(cid:77)(cid:78)(cid:50)(cid:83)(cid:37)(cid:127)(cid:40)(cid:166)(cid:159)(cid:167)(cid:168)(cid:80)(cid:169)(cid:136)(cid:170)(cid:171)(cid:34)(cid:128)(cid:172)(cid:25) 9(cid:23)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:148)(cid:81) (cid:41)(cid:70)(cid:40)(cid:57)(cid:46)(cid:66)(cid:68)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:34)(cid:140)(cid:97)(cid:98)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:148)(cid:81)(cid:25) p p (cid:110)(cid:68)(cid:32)(cid:14)(cid:33)y2 =2px(p>0)(cid:37)(cid:173)A( (cid:37)p)(cid:37)B( (cid:37) p)(cid:37)(cid:168)(cid:169)|AB|=2p(cid:37)(cid:174)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:148)(cid:81)(cid:142)(cid:36)2p(cid:25) 2 2 p 10(cid:23)(cid:140)(cid:34)(cid:72)(cid:40)(cid:62)(cid:63)(cid:49)(cid:140)(cid:147)(cid:65)(cid:66)(cid:33)(cid:34)(cid:77)(cid:78)(cid:34)(cid:3)(cid:114)(cid:10)y = 0 k 11(cid:23)(cid:70)(cid:40)(cid:140)(cid:34)(cid:126)(cid:29)(cid:104)(cid:105) (cid:60)(cid:61)A(x(cid:37)y )(cid:23)B(x (cid:37)y )(cid:164)(cid:41)(cid:32)(cid:14)(cid:33)y2 =2px(p>0)(cid:70)(cid:40)F (cid:34)(cid:140)(cid:37)M (cid:164)AB(cid:34)(cid:72)(cid:40)(cid:37)l(cid:164)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:37) 1 1 2 2 MN ^l(cid:37)N(cid:36)(cid:46)(cid:47)(cid:25)y C A N M O F x D B (cid:26)1(cid:31)(cid:80)AB(cid:36)(cid:66)(cid:81)(cid:34)(cid:82)(cid:175)(cid:49)(cid:35)(cid:33)l(cid:50)(cid:45)(cid:37)(cid:80)AF(cid:26)(cid:176)BF(cid:31)(cid:36)(cid:66)(cid:81)(cid:34)(cid:82)(cid:49)y(cid:112)(cid:50)(cid:45)(cid:177) (cid:26)2(cid:31)FN ^ AB(cid:37)FC ^FD p2 (cid:26)3(cid:31)xx = (cid:177)y y =p2 1 2 4 1 2 (cid:26)4(cid:31)(cid:79)BD^l(cid:37)D(cid:36)(cid:46)(cid:47)(cid:37)(cid:48)A(cid:23)O(cid:23)D(cid:52)(cid:40)(cid:65)(cid:22)(cid:44)(cid:66)(cid:33)(cid:38) (cid:22)(cid:23)(cid:178)(cid:20)(cid:21) 1(cid:25)(cid:26)2024·(cid:179)(cid:180)·(cid:52)(cid:181)(cid:31)(cid:60)(cid:61)(cid:32)(cid:14)(cid:33)y2 =4x(cid:34)(cid:70)(cid:40)(cid:36)F (cid:37)(cid:41)(cid:40)F (cid:34)(cid:66)(cid:33)l(cid:67)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:68)A(cid:37)B(cid:69)(cid:40)(cid:37)(cid:40)A(cid:65)(cid:73) (cid:22)(cid:74)(cid:75)(cid:37)(cid:40)O(cid:36)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:40)(cid:37)(cid:57)S =2S (cid:37)(cid:48)(cid:66)(cid:33)l(cid:34)(cid:77)(cid:78)(cid:36)(cid:26) (cid:31) VAOF VBOF A(cid:25)2 2 B(cid:25) 3 C(cid:25)1 D(cid:25)-1 2(cid:25)(cid:26)2024·(cid:182)(cid:183)·(cid:52)(cid:181)(cid:31)(cid:60)(cid:61)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C:y2 =2pxp>0(cid:34)(cid:70)(cid:40)(cid:36)F (cid:37)(cid:40)P  m,2 2  (cid:65)C(cid:38)(cid:25)(cid:76)(cid:80)P(cid:36)(cid:82)(cid:123)(cid:37) PF (cid:36)(cid:124)(cid:81)(cid:34)(cid:82)(cid:184)y(cid:112)(cid:185)(cid:169)(cid:34)(cid:140)(cid:142)(cid:36)2 5(cid:37)(cid:48)(cid:186)(cid:82)(cid:34)(cid:90)(cid:152)(cid:36)(cid:26) (cid:31) A(cid:25)4π B(cid:25)6π C(cid:25)9π D(cid:25)10π 3(cid:25)(cid:26)2024·(cid:187)(cid:188)(cid:189)(cid:183)·(cid:99)(cid:181)(cid:31)(cid:60)(cid:61)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C: y2 =6x(cid:34)(cid:70)(cid:40)(cid:36)F (cid:37)(cid:35)(cid:33)(cid:36)l,P(cid:164)l(cid:38)(cid:22)(cid:40)(cid:37)Q(cid:164)(cid:66)(cid:33)PF(cid:49)C(cid:34) uuur uuur uuur (cid:22)(cid:59)(cid:67)(cid:40)(cid:37)(cid:76)FP=3FQ(cid:37)(cid:48)QF =(cid:26) (cid:31) 7 5 A(cid:25) B(cid:25)3 C(cid:25) D(cid:25)2 2 2 4(cid:25)(cid:26)2024·(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:88)·(cid:52)(cid:181)(cid:31)(cid:79)M(cid:164)(cid:32)(cid:14)(cid:33)y2 =4x(cid:38)(cid:34)(cid:22)(cid:40)(cid:37)F(cid:164)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:70)(cid:40)(cid:37)O(cid:47)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:40)(cid:37)(cid:76)ÐOFM =120°(cid:37) (cid:48) FM =(cid:26) (cid:31) A(cid:25)5 B(cid:25)4 C(cid:25)3 D(cid:25)2 5(cid:25)(cid:26)2024·(cid:193)(cid:194)(cid:195)(cid:196)(cid:197)·(cid:52)(cid:181)(cid:31)(cid:41)(cid:32)(cid:14)(cid:33)y2 =2x(cid:38)(cid:34)(cid:22)(cid:40)P(cid:42)(cid:82)C(cid:10)x42y2 =1(cid:34)(cid:45)(cid:33)(cid:37)(cid:45)(cid:40)(cid:36)A(cid:37)B(cid:37) (cid:48) AB × PC (cid:168)(cid:198)(cid:34)(cid:143)(cid:146)(cid:164)(cid:26) (cid:31) A(cid:25)1 B(cid:25)4 C(cid:25) 6 D(cid:25)5 6(cid:25)(cid:26)2024·(cid:182)(cid:190)(cid:199)(cid:200)(cid:118)·(cid:52)(cid:181)(cid:31)(cid:60)(cid:61)(cid:32)(cid:14)(cid:33)x2 =2y(cid:34)(cid:70)(cid:40)(cid:36)F(cid:37)O(cid:36)(cid:64)(cid:40)(cid:37)(cid:66)(cid:33)y=2xt(cid:49)(cid:186)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:67)(cid:68) M(cid:37)N(cid:69)(cid:40)(cid:37)(cid:57)OM ^ON(cid:37)(cid:48)|MF||NF|=(cid:26) (cid:31)A(cid:25)12 B(cid:25)13 C(cid:25)14 D(cid:25)15 7(cid:25)(cid:26)2024·(cid:27)(cid:201)·(cid:52)(cid:181)(cid:31)(cid:60)(cid:61)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:10)y2=x(cid:34)(cid:70)(cid:40)(cid:36)F(cid:37)(cid:65)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:38)(cid:202)(cid:65)(cid:203)(cid:59)(cid:40)P(cid:37)M(cid:37)Q(cid:37)N(cid:37)(cid:76)(cid:140)PQ 1 1 (cid:49)(cid:140)MN(cid:34)(cid:67)(cid:40)(cid:204)(cid:205)(cid:36)F(cid:37)(cid:57)PQ^MN(cid:37)(cid:48)  =(cid:26) (cid:31) PQ MN 2 A(cid:25) B(cid:25)1 C(cid:25) 2 D(cid:25)2 2 8(cid:25)(cid:26)2024·(cid:187)(cid:194)(cid:206)(cid:207)·(cid:52)(cid:181)(cid:31)(cid:60)(cid:61)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C:y2 =4x(cid:34)(cid:70)(cid:40)(cid:36)F (cid:37)(cid:39)(cid:40)M (cid:65)C(cid:38)(cid:37)(cid:40)B(cid:49)(cid:40)A1,2(cid:3)(cid:68)(cid:66)(cid:33) MF l: y= x1(cid:110)(cid:111)(cid:37)(cid:48) (cid:34)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:36)(cid:26) (cid:31) MB 2 1 3 1 A(cid:25) B(cid:25) C(cid:25) D(cid:25) 2 2 3 3 (cid:99)(cid:23)(cid:24)(cid:20)(cid:21) 9(cid:25)(cid:26)2024·(cid:208)(cid:188)(cid:209)(cid:210)·(cid:52)(cid:181)(cid:31)(cid:60)(cid:61)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:10)y2 =2pxp>0(cid:34)(cid:70)(cid:40)(cid:36)F (cid:37)O(cid:36)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:40)(cid:37)(cid:39)(cid:40)P(cid:65)C(cid:38)(cid:37)   (cid:76)(cid:87)(cid:40)M 2, 3 (cid:55)(cid:47) MF =2OF (cid:37)(cid:48)(cid:26) (cid:31) A(cid:25)C(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:100)(cid:101)(cid:36)x=2 B(cid:25)(cid:211)PMF(cid:212)(cid:142)(cid:34)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:36)5 uuuur uuur C(cid:25)(cid:203)(cid:213)(cid:86)OPMF(cid:168)(cid:198)(cid:164)(cid:89)(cid:162)(cid:203)(cid:213)(cid:86) D(cid:25)FM×OP(cid:34)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:36)3 10(cid:25)(cid:26)2024·(cid:214)(cid:215)(cid:193)·(cid:99)(cid:181)(cid:31)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C:y2 =2pxp>0(cid:34)(cid:70)(cid:40)F (cid:136)(cid:35)(cid:33)(cid:34)(cid:93)(cid:94)(cid:36)4(cid:37)(cid:41)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:70)(cid:40)(cid:42)(cid:69)(cid:44)(cid:216) (cid:50)(cid:46)(cid:66)(cid:34)(cid:66)(cid:33)(cid:37)(cid:49)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:155)(cid:217)(cid:67)(cid:68)(cid:40)A(cid:37)B(cid:92)(cid:40)M (cid:37)N (cid:37)(cid:48)(cid:26) (cid:31) A(cid:25)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:100)(cid:101)(cid:164)x=4 B(cid:25)(cid:41)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:34)(cid:70)(cid:40)(cid:34)(cid:144)(cid:149)(cid:140)(cid:142)(cid:36)8 C(cid:25)(cid:76)(cid:140)MN(cid:34)(cid:72)(cid:40)(cid:36) m,2 (cid:37)(cid:48)(cid:66)(cid:33)MN(cid:34)(cid:100)(cid:101)(cid:36)y=2x4 D(cid:25)(cid:203)(cid:213)(cid:86)AMBN (cid:90)(cid:152)(cid:34)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:36)128 11(cid:25)(cid:26)2024·(cid:218)(cid:219)(cid:139)(cid:220)·(cid:22)(cid:181)(cid:31)(cid:60)(cid:61)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C:x2 =4y(cid:34)(cid:70)(cid:40)(cid:36)F (cid:37)(cid:35)(cid:33)l(cid:49)y(cid:112)(cid:34)(cid:67)(cid:40)(cid:36)D(cid:37)(cid:41)(cid:40)F (cid:34)(cid:66)(cid:33)m (cid:49)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:67)(cid:68)A(cid:37)B(cid:69)(cid:40)(cid:37)(cid:40)O(cid:36)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:40)(cid:37)(cid:141)(cid:221)(cid:128)(cid:129)(cid:222)(cid:223)(cid:34)(cid:164)(cid:26) (cid:31) π A(cid:25)(cid:202)(cid:65)(cid:40)A(cid:23)B(cid:37)(cid:224)ÐAOB£ 2 B(cid:25)(cid:76)(cid:40)M (cid:164)(cid:140)AB(cid:34)(cid:72)(cid:40)(cid:37)(cid:48)(cid:40)M(cid:136)(cid:66)(cid:33)l(cid:34)(cid:93)(cid:94)(cid:34)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:36)2 C(cid:25)DF(cid:89)(cid:155)ÐADB D(cid:25)(cid:80)AF(cid:36)(cid:66)(cid:81)(cid:34)(cid:82)(cid:49)x(cid:112)(cid:50)(cid:45) 12(cid:25)(cid:26)2024·(cid:182)(cid:190)·(cid:99)(cid:181)(cid:31)(cid:60)(cid:61)O(cid:36)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:40)(cid:37)(cid:70)(cid:40)(cid:36)F (cid:34)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C:x2 =2pyp>0(cid:41)(cid:40)M2,1(cid:37)(cid:41)M (cid:57)(cid:49) OM (cid:46)(cid:66)(cid:34)(cid:66)(cid:33)l(cid:49)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:34)(cid:225)(cid:22)(cid:67)(cid:40)(cid:36)N (cid:37)(cid:48)(cid:26) (cid:31) A(cid:25)p=2 B(cid:25) MF =3C(cid:25) MN =12 5 D(cid:25)(cid:66)(cid:33)l(cid:49)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:50)(cid:67)(cid:68)(cid:40)3,1 13(cid:25)(cid:26)2024·(cid:182)(cid:183)·(cid:99)(cid:181)(cid:31)(cid:60)(cid:61)O(cid:164)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:40)(cid:37)(cid:41)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C:y2 =4x(cid:34)(cid:70)(cid:40)F (cid:34)(cid:66)(cid:33)l(cid:49)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:67)(cid:68)A,B(cid:69) (cid:40)(cid:37)(cid:71)(cid:72)A(cid:65)(cid:73)(cid:22)(cid:74)(cid:75)(cid:37)(cid:76) AF =3 BF (cid:37)(cid:40)M1,m(cid:65)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:38)(cid:37)(cid:48)(cid:26) (cid:31) 8 A(cid:25)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:100)(cid:101)(cid:36)x=1 B(cid:25) AB = 3 π C(cid:25)(cid:66)(cid:33)l(cid:34)(cid:226)(cid:77)(cid:85)(cid:36) D(cid:25) MF = OF 3 14(cid:25)(cid:26)2024·(cid:182)(cid:190)(cid:227)(cid:228)·(cid:99)(cid:181)(cid:31)(cid:60)(cid:61)F (cid:36)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C:y2 =2px(p>0)(cid:34)(cid:70)(cid:40)(cid:37)(cid:66)(cid:33)l(cid:41)F (cid:57)(cid:49)C(cid:67)(cid:68)A,B(cid:69)(cid:40)(cid:37) O(cid:36)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:40)(cid:37)P2,y (cid:36)C(cid:38)(cid:22)(cid:40)(cid:37)(cid:57) PF =3(cid:37)(cid:48)(cid:26) (cid:31) 0 A(cid:25)(cid:41)(cid:40)M2,3(cid:57)(cid:49)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:58)(cid:56)(cid:22)(cid:59)(cid:7)(cid:53)(cid:40)(cid:34)(cid:66)(cid:33)(cid:56)3(cid:44) 9 B(cid:25)(cid:51)VAOB(cid:34)(cid:90)(cid:152)(cid:36)2 2(cid:54)(cid:37) AF × BF = 4 C(cid:25)VAOB(cid:36)(cid:229)(cid:85)(cid:52)(cid:85)(cid:86) D(cid:25)2 AF  BF (cid:34)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:36)32 2 15(cid:25)(cid:26)2024·(cid:230)(cid:190)(cid:231)(cid:232)·(cid:99)(cid:181)(cid:31)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C:x2 =2py(cid:34)(cid:70)(cid:40)(cid:36)F (cid:37)P(cid:36)(cid:71)(cid:38)(cid:22)(cid:39)(cid:40)(cid:37)(cid:51)P(cid:206)(cid:39)(cid:136)(t,1)(cid:54)(cid:37) |PF|=2(cid:37)(cid:66)(cid:33)l(cid:49)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:50)(cid:67)(cid:68)A(cid:23)B(cid:69)(cid:40)(cid:37)(cid:141)(cid:221)(cid:128)(cid:129)(cid:222)(cid:223)(cid:34)(cid:164)(cid:26) (cid:31) A(cid:25)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:100)(cid:101)(cid:36)(cid:10)x2 =8y B(cid:25)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:100)(cid:101)(cid:36)(cid:10)y=1 C(cid:25)(cid:51)(cid:66)(cid:33)l(cid:41)(cid:70)(cid:40)F (cid:54)(cid:37)(cid:80)AF(cid:36)(cid:66)(cid:81)(cid:34)(cid:82)(cid:49)x(cid:112)(cid:50)(cid:45) D(cid:25) AF  BF ³4 16(cid:25)(cid:26)2024·(cid:182)(cid:190)·(cid:52)(cid:181)(cid:31)(cid:60)(cid:61)F(cid:36)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C:x2 =4y(cid:34)(cid:70)(cid:40)(cid:37)Mx,y (cid:37)Nx ,y (cid:36)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:38)(cid:233)(cid:170)(cid:34)(cid:69)(cid:39)(cid:40)(cid:37) 1 1 2 2 (cid:155)(cid:217)(cid:41)M(cid:37)N(cid:42)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:34)(cid:45)(cid:33)(cid:37)(cid:69)(cid:45)(cid:33)(cid:67)(cid:68)(cid:40)P(cid:37)(cid:48)(cid:26) (cid:31) 5 A(cid:25)(cid:76)x x =4 3(cid:37)(cid:48)(cid:66)(cid:33)MN(cid:34)(cid:226)(cid:77)(cid:85)(cid:36) π 1 2 6 B(cid:25)(cid:66)(cid:33)PM(cid:34)(cid:100)(cid:101)(cid:36)xx2y2y =0 1 1 C(cid:25)(cid:76)(cid:33)(cid:154)MN(cid:34)(cid:72)(cid:40)(cid:36)Q(cid:37)(cid:48)(cid:66)(cid:33)PQ(cid:89)(cid:162)(cid:68)y(cid:112) D(cid:25)(cid:76)(cid:40)P(cid:65)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:38)(cid:37)(cid:48)PF ^MN 17(cid:25)(cid:26)2024·(cid:214)(cid:215)(cid:193)(cid:234)(cid:235)(cid:236)·(cid:52)(cid:181)(cid:31)(cid:41)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:10)y2 =2px(cid:38)(cid:34)(cid:22)(cid:40)M2,4(cid:42)(cid:69)(cid:44)(cid:66)(cid:33)l (cid:37)l (cid:37)(cid:155)(cid:217)(cid:67)(cid:32)(cid:14)(cid:33) 1 2 C(cid:68)A(cid:37)B(cid:69)(cid:40)(cid:37)F(cid:36)(cid:70)(cid:40)(cid:26) (cid:31) A(cid:25)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:33)(cid:100)(cid:101)(cid:36)x=2 B(cid:25)(cid:41)(cid:40)M2,4(cid:49)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:56)(cid:57)(cid:237)(cid:56)(cid:22)(cid:59)(cid:7)(cid:53)(cid:40)(cid:34)(cid:66)(cid:33)(cid:56)1(cid:44) uuuur uuur uuur r C(cid:25)(cid:76)FM FAFB=0(cid:37)(cid:48) FM  FA  FB =9 D(cid:25)(cid:76)k k =0(cid:37)(cid:48)k =1 AM BM AB18(cid:25)(cid:26)2024·(cid:238)(cid:239)·(cid:52)(cid:181)(cid:31)(cid:60)(cid:61)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C :y2 = px(p>0)(cid:92)C :y2 =2px(cid:34)(cid:70)(cid:40)(cid:155)(cid:217)(cid:36)F,F (cid:37)(cid:39)(cid:66)(cid:33)l(cid:49)C (cid:67)(cid:68) 1 2 1 2 1 Mx,y ,Nx ,y (cid:69)(cid:40)(cid:37)(cid:49)C (cid:67)(cid:68)Px ,y ,Qx ,y (cid:69)(cid:40)(cid:37)(cid:71)(cid:72)y ,y >0,y ,y <0(cid:37)(cid:57)(cid:51)l(cid:41)(cid:40)F (cid:54)(cid:37) 1 1 2 2 2 3 3 4 4 1 3 2 4 2 y y =4(cid:37)(cid:48)(cid:141)(cid:221)(cid:240)(cid:159)(cid:72)(cid:222)(cid:223)(cid:34)(cid:164)(cid:26) (cid:31) 3 4 A(cid:25)C (cid:34)(cid:100)(cid:101)(cid:36)y2 =2x 1 æ 3ö B(cid:25)(cid:60)(cid:61)(cid:40)Aç2, ÷(cid:37)(cid:48) MA  MF (cid:34)(cid:144)(cid:145)(cid:146)(cid:36)3 è 2ø 1 1 1 1 1 C(cid:25)  =  y y y y 1 2 3 4 |MP| D(cid:25)(cid:76) =2(cid:37)(cid:48)(cid:211)MFF (cid:49)VQFF(cid:34)(cid:90)(cid:152)(cid:50)(cid:83) |NQ| 1 2 1 2 (cid:52)(cid:23)(cid:241)(cid:242)(cid:21) 19(cid:25)(cid:26)2024·(cid:190)(cid:191)·(cid:52)(cid:181)(cid:31)(cid:60)(cid:61)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C:y2 =4x(cid:34)(cid:70)(cid:40)(cid:36)F (cid:37)(cid:48)F (cid:34)(cid:62)(cid:63)(cid:36) (cid:177)(cid:41)(cid:40)F (cid:34)(cid:66)(cid:33)(cid:67)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C (cid:68)A,B(cid:69)(cid:40)(cid:37)(cid:76) AF =4(cid:37)(cid:48)(cid:211)OAF(cid:34)(cid:90)(cid:152)(cid:36) (cid:25) 20(cid:25)(cid:26)2024·(cid:190)(cid:191)·(cid:52)(cid:181)(cid:31)(cid:60)(cid:61)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C:y2 =4x(cid:34)(cid:70)(cid:40)(cid:36)F(cid:37)(cid:35)(cid:33)(cid:49)x(cid:112)(cid:34)(cid:67)(cid:40)(cid:36)A(cid:37)(cid:40)B(cid:65)C(cid:38).(cid:76) |FB|=2(cid:37)(cid:48)(cid:66)(cid:33)AB(cid:34)(cid:100)(cid:101)(cid:36) . 21(cid:25)(cid:26)2024·(cid:238)(cid:239)·(cid:99)(cid:181)(cid:31)(cid:60)(cid:61)(cid:32)(cid:14)(cid:33)y=ax2(cid:34)(cid:70)(cid:40)F (cid:37)(cid:66)(cid:33)l(cid:41)F (cid:49)(cid:32)(cid:14)(cid:33)(cid:67)(cid:68)A(cid:37)B(cid:69)(cid:40)(cid:37)(cid:76)A4,4(cid:37)(cid:48) (cid:66)(cid:33)l(cid:34)(cid:100)(cid:101)(cid:36) (cid:37)VOAB(cid:34)(cid:90)(cid:152)(cid:36) (cid:26)O(cid:36)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:40)(cid:31)(cid:25) 22(cid:25)(cid:26)2024·(cid:243)(cid:194)(cid:244)(cid:245)·(cid:52)(cid:181)(cid:31)(cid:76)(cid:66)(cid:33)l:y=x3(cid:49)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C :x2 =12y(cid:92)(cid:82)C :x2(y3)2 =1(cid:246)(cid:247)(cid:136)(cid:248)(cid:249)(cid:108)(cid:67) 1 2 (cid:68)(cid:40)A､B､C､D(cid:37)(cid:48) AB  CD = . 23(cid:25)(cid:26)2024·(cid:203)(cid:250)(cid:251)(cid:252)·(cid:52)(cid:181)(cid:31)(cid:60)(cid:61)(cid:82)C(cid:34)(cid:82)(cid:123)(cid:164)(cid:32)(cid:14)(cid:33)x2 =8y(cid:34)(cid:70)(cid:40)(cid:37)(cid:66)(cid:33)2xy3=0(cid:49)(cid:82)C(cid:50)(cid:67)(cid:68)A(cid:37) B(cid:69)(cid:40)(cid:37)|AB|=2(cid:37)(cid:48)(cid:82)C(cid:34)(cid:124)(cid:81)(cid:36) (cid:25) 24(cid:25)(cid:26)2024·(cid:182)(cid:190)(cid:253)(cid:200)(cid:254)·(cid:99)(cid:181)(cid:31)(cid:79)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C:y2 =2px(p>0)(cid:34)(cid:70)(cid:40)(cid:36)F (cid:37)(cid:35)(cid:33)(cid:36)l.(cid:77)(cid:78)(cid:36) 3 (cid:34)(cid:66)(cid:33)(cid:255)(cid:41)(cid:70) (cid:40)F (cid:37)(cid:67)C(cid:68)(cid:40)A(cid:37)(cid:67)(cid:35)(cid:33)l(cid:68)(cid:40)B(cid:26)A(cid:37)B(cid:65)x(cid:112)(cid:34)(cid:69)(cid:256)(cid:31)(cid:37)(cid:76)|AB|=16(cid:37)(cid:48)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:34)(cid:100)(cid:101)(cid:36) . 25(cid:25)(cid:26)2024·(cid:230)(cid:190)(cid:257)(cid:258)·(cid:52)(cid:181)(cid:31)(cid:60)(cid:61)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C:y2=x(cid:34)(cid:70)(cid:40)(cid:36)F ,A(cid:37)B(cid:164)(cid:32)(cid:14)(cid:33)C(cid:38)(cid:3)(cid:68)(cid:71)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:110)(cid:111)(cid:34)(cid:69)(cid:40)(cid:37) (cid:76)AF(cid:259)OB(cid:37)O(cid:36)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:40)(cid:37)(cid:48)(cid:40)A(cid:34)(cid:260)(cid:62)(cid:63)(cid:36) .