专题03平面向量-原卷版_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年08月试卷_08202025版《真题题源解密-专题分类》数学

专题 03 平面向量
命题解读 考向 考查统计
平面向量的线性运算 2022·新高考Ⅰ卷，3
高考对平面向量的考查，一般为平面向
2023·新高考Ⅰ卷，3
量基本定理、坐标运算、平面向量数量 平面向量垂直的坐标运算
2024·新高考Ⅰ卷，3
积的运算、化简、证明及数量积的应用
平面向量夹角的坐标运算 2022·新高考Ⅱ卷，4
问题，如平行、垂直、距离、夹角等问
2023·新高考Ⅱ卷，13
题的计算，难度一般不高。 平面向量数量积的综合运算
2024·新高考Ⅱ卷，3
命题分析
2024年高考新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷都考查到了平面向量的垂直运算，Ⅱ卷还结合了数量积的综合运算。总体上
来说，平面向量知识点的考查难度依旧是较易的，掌握基本的知识点和拥有基本的运算能力即可。平面向
量考查应关注：平面向量基本定理、向量的坐标运算、向量数量积、向量平行与垂直、向量模等知识点，
体会数形结合思想，强化运算求解能力与转化化归能力。预计2025年高考还是主要考查向量的数量积运算、
向量的夹角、向量的模。
试题精讲
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:20)(cid:21)
1(cid:25)(cid:26)2024(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅰ(cid:30)·3(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)a r =(0,1),b r =(2,x)(cid:36)(cid:37)b r ^(b r -4a r )(cid:36)(cid:38)x=(cid:26) (cid:31)
A(cid:25)-2 B(cid:25)-1 C(cid:25)1 D(cid:25)2
r r r r r  r r  r r
2(cid:25)(cid:26)2024(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅱ(cid:30)·3(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)a,b(cid:39)(cid:40) a =1, a+2b =2(cid:36)(cid:41) b-2a ^b(cid:36)(cid:38)b =(cid:26) (cid:31)
1 2 3
A(cid:25) B(cid:25) C(cid:25) D(cid:25)1
2 2 2
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:20)(cid:21)
1(cid:25)(cid:26)2022(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅰ(cid:30)·3(cid:31)(cid:42)VABC(cid:43)(cid:36)(cid:44)D(cid:42)(cid:45)AB(cid:46)(cid:36)BD=2DA(cid:25)(cid:47)C uu A ur =m r ，C uu D ur =n r (cid:36)(cid:38)C uu B ur =(cid:26) (cid:31)r r r r r r r r
A(cid:25)3m-2n B(cid:25)-2m+3n C(cid:25)3m+2n D(cid:25)2m+3n
r r  r r   r r 
2(cid:25)(cid:26)2023(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅰ(cid:30)·3(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)a=1,1,b=1,-1(cid:36)(cid:37) a+lb ^ a+mb (cid:36)(cid:38)(cid:26) (cid:31)
A(cid:25)l+m=1 B(cid:25)l+m=-1
C(cid:25)lm=1 D(cid:25)lm=-1
r r r r r r r r r
3(cid:25)(cid:26)2022(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅱ(cid:30)·4(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb(cid:36)(cid:37)<a,c>=<b,c>(cid:36)(cid:38)t =(cid:26) (cid:31)
A(cid:25)-6 B(cid:25)-5 C(cid:25)5 D(cid:25)6
(cid:48)(cid:23)(cid:49)(cid:50)(cid:21)
r r r r r r r r r
1(cid:25)(cid:26)2023(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅱ(cid:30)·13(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)a(cid:36)b (cid:39)(cid:40) a-b = 3(cid:36) a+b = 2a-b (cid:36)(cid:38)b = (cid:25)
(cid:22)(cid:23)(cid:34)(cid:35)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:34)(cid:35)(cid:57)(cid:52)(cid:58)(cid:15)
(cid:26)1(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)
(cid:54)(cid:55) (cid:58)(cid:59) (cid:60)(cid:38)(cid:26)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:59)(cid:31) (cid:54)(cid:55)(cid:65)
(cid:76)(cid:77)(cid:65)
a+b
(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:34)(cid:35)(cid:56)(cid:51) b b a+b ①a r +b r =b r +a r
(cid:66)(cid:60)
(cid:54)(cid:55) a a (cid:78)(cid:79)(cid:65)
r r r r r r
(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:60)(cid:38)(cid:73)(cid:74)(cid:75)(cid:45)(cid:72)(cid:60)(cid:38) ②(a+b)+c = a+(b+c)
r r
(cid:67)a(cid:81)b (cid:51)(cid:82)(cid:83)
a-b
b
r
(cid:34)(cid:35)-b (cid:51)(cid:56)(cid:51) r r r r
(cid:80)(cid:60) a-b =a+(-b)
r r a
(cid:54)(cid:55)(cid:84)(cid:85)a(cid:81)b
(cid:51)(cid:86)
(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:60)(cid:38)
r r
(cid:26)1(cid:31)|la|=|l||a|
r r
l(ma)=(lm)a
r r
(cid:67)(cid:88)(cid:13)l(cid:81)(cid:34)(cid:35) (cid:26)2(cid:31)(cid:90)l>0(cid:91)(cid:36)la(cid:81)a(cid:51)(cid:92)(cid:34)(cid:82)(cid:93)(cid:94)(cid:90)
r r r
(cid:13)(cid:87) (l+m)a=la+ma
r r r
a(cid:51)(cid:89)(cid:51)(cid:54)(cid:55) l<0(cid:91)(cid:36)la(cid:81)a(cid:51)(cid:92)(cid:34)(cid:82)(cid:93)(cid:94)
r r r r
l(a+b)=la+lb
r
(cid:90)l=0(cid:91)(cid:36)la=0
(cid:48)(cid:23)(cid:73)(cid:95)(cid:34)(cid:35)(cid:96)(cid:97)(cid:58)(cid:15)(cid:56)(cid:53)(cid:98)
1(cid:23)(cid:57)(cid:52)(cid:34)(cid:35)(cid:96)(cid:97)(cid:58)(cid:15)
r r r r r r r r r r
(cid:99)(cid:100)a=lb(lÎR)(cid:36)(cid:38)a//b (cid:94)(cid:83)(cid:101)(cid:36)(cid:99)(cid:100)a//b (cid:41)b ¹0(cid:36)(cid:38)(cid:22)(cid:58)(cid:102)(cid:42)(cid:103)(cid:22)(cid:51)(cid:88)(cid:13)l(cid:36)(cid:104)a=lb(cid:25)(cid:26)(cid:105)(cid:106)(cid:10)
(cid:13)(cid:87)(cid:107)(cid:108)(cid:73)(cid:74)(cid:36)(cid:73)(cid:74)(cid:109)(cid:110)(cid:13)(cid:87)(cid:31)(cid:25)
2(cid:23)(cid:73)(cid:95)(cid:34)(cid:35)(cid:96)(cid:97)(cid:58)(cid:15)ur uur r
(cid:99)(cid:100)e (cid:56)e (cid:111)(cid:93)(cid:22)(cid:69)(cid:73)(cid:95)(cid:112)(cid:51)(cid:68)(cid:69)(cid:113)(cid:57)(cid:52)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:114)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:73)(cid:95)(cid:112)(cid:51)(cid:119)(cid:22)(cid:34)(cid:35)a(cid:36)(cid:120)(cid:102)(cid:42)(cid:103)(cid:22)(cid:51)(cid:22)(cid:116)(cid:88)(cid:13)
1 2
r ur uur ur uur  ur uur 
l,l(cid:36)(cid:104)(cid:108)a=le +le (cid:36)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:113)(cid:57)(cid:52)(cid:34)(cid:35)e (cid:36)e (cid:84)(cid:85)(cid:124)(cid:125)(cid:126)(cid:22)(cid:73)(cid:95)(cid:112)(cid:127)(cid:110)(cid:34)(cid:35)(cid:51)(cid:22)(cid:128)(cid:96)(cid:129)(cid:36)(cid:47)(cid:130) e,e (cid:36)
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
ur uur r  ur uur 
le +le (cid:84)(cid:85)(cid:34)(cid:35)a(cid:3)(cid:117)(cid:96)(cid:129) e,e (cid:51)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:25)
1 1 2 2 1 2
3(cid:23)(cid:52)(cid:134)(cid:58)(cid:135)(cid:131)(cid:44)(cid:51)(cid:34)(cid:35)(cid:124)(cid:136)(cid:133)
uuur uuur
uuur uuur uuur AB+lAC
(cid:99)(cid:137)(cid:127)(cid:125)(cid:36)(cid:42)(cid:138)ABC(cid:43)(cid:36)(cid:37)(cid:44)D(cid:111)(cid:45)BC(cid:46)(cid:51)(cid:44)(cid:36)(cid:41)BD=lDC(cid:26)l¹-1(cid:31)(cid:36)(cid:38)(cid:34)(cid:35)AD= (cid:25)(cid:42)
1+l
(cid:34)(cid:35)(cid:52)(cid:53)(cid:124)(cid:125)(cid:26)(cid:54)(cid:55)(cid:31)(cid:110)(cid:3)(cid:51)(cid:139)(cid:21)(cid:43)(cid:36)(cid:37)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:145)(cid:78)(cid:146)(cid:36)(cid:147)(cid:147)(cid:140)(cid:110)“(cid:16)(cid:148)(cid:149)(cid:130)(cid:150)(cid:151)”(cid:101)(cid:152)(cid:153)(cid:36)(cid:154)(cid:155)(cid:141)(cid:142)(cid:156)
(cid:157)(cid:25)
A
B C
D
4(cid:23)(cid:70)(cid:44)(cid:57)(cid:52)(cid:58)(cid:15)
uuur uuur uuur
(cid:73)(cid:95)(cid:112)(cid:70)(cid:44)A(cid:36)B(cid:36)C(cid:57)(cid:52)(cid:51)(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:111)(cid:10)(cid:102)(cid:42)(cid:88)(cid:13)l,m(cid:36)(cid:104)OC =lOA+mOB(cid:36)(cid:162)(cid:43)l+m=1(cid:36)O(cid:130)(cid:73)(cid:95)
(cid:112)(cid:22)(cid:44)(cid:25)(cid:145)(cid:58)(cid:15)(cid:42)(cid:34)(cid:35)(cid:139)(cid:21)(cid:43)(cid:163)(cid:164)(cid:144)(cid:165)(cid:36)(cid:166)(cid:141)(cid:142)(cid:156)(cid:157)(cid:25)
A(cid:23)B(cid:23)C(cid:70)(cid:44)(cid:57)(cid:52)
uuur uuur
Û(cid:102)(cid:42)(cid:103)(cid:22)(cid:51)(cid:88)(cid:13)l(cid:36)(cid:104)(cid:108)AC =lAB(cid:94)
uuur uuur uuur
Û(cid:102)(cid:42)(cid:103)(cid:22)(cid:51)(cid:88)(cid:13)l(cid:36)(cid:104)(cid:108)OC =OA+lAB(cid:94)
uuur uuur uuur
Û(cid:102)(cid:42)(cid:103)(cid:22)(cid:51)(cid:88)(cid:13)l(cid:36)(cid:104)(cid:108)OC =(1-l)OA+lOB(cid:94)
uuur uuur uuur
Û(cid:102)(cid:42)l+m=1(cid:36)(cid:104)(cid:108)OC =lOA+mOB(cid:25)
5(cid:23)(cid:43)(cid:52)(cid:34)(cid:35)(cid:58)(cid:15)
uuur 1 uuur uuur
(cid:99)(cid:137)(cid:127)(cid:125)(cid:36)(cid:42)(cid:138)ABC(cid:43)(cid:36)(cid:37)(cid:44)D(cid:111)(cid:45)BC(cid:51)(cid:43)(cid:44)(cid:36)(cid:38)(cid:43)(cid:52)(cid:34)(cid:35)AD= (AB+ AC)(cid:36)(cid:83)(cid:101)(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:25)
2
A
B
C
D
(cid:70)(cid:23)(cid:73)(cid:95)(cid:34)(cid:35)(cid:51)(cid:170)(cid:171)(cid:124)(cid:125)(cid:172)(cid:170)(cid:171)(cid:54)(cid:55)
(cid:26)1(cid:31)(cid:73)(cid:95)(cid:34)(cid:35)(cid:51)(cid:170)(cid:171)(cid:124)(cid:125)(cid:25)
r r
(cid:42)(cid:73)(cid:95)(cid:173)(cid:71)(cid:170)(cid:171)(cid:43)(cid:36)(cid:131)(cid:174)(cid:175)(cid:81)x(cid:176)(cid:36)y(cid:176)(cid:168)(cid:177)(cid:176)(cid:92)(cid:34)(cid:82)(cid:93)(cid:51)(cid:68)(cid:69)(cid:24)(cid:178)(cid:34)(cid:35)i, j(cid:179)(cid:130)(cid:96)(cid:129)(cid:36)(cid:114)(cid:115)(cid:180)(cid:73)(cid:95)(cid:34)(cid:35)(cid:96)
r r r r
(cid:97)(cid:58)(cid:15)(cid:181)(cid:33)(cid:36)(cid:116)(cid:117)(cid:73)(cid:95)(cid:112)(cid:51)(cid:22)(cid:69)(cid:34)(cid:35)a(cid:36)(cid:110)(cid:41)(cid:182)(cid:110)(cid:22)(cid:116)(cid:88)(cid:13)x,y(cid:104)a=xi + yj(cid:36)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:110)(cid:183)(cid:88)(cid:13)(cid:116)(x,y)(cid:84)(cid:85)
r r
(cid:34)(cid:35)a(cid:51)(cid:170)(cid:171)(cid:36)(cid:47)(cid:179)a=(x,y)(cid:25)
(cid:26)2(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:51)(cid:170)(cid:171)(cid:124)(cid:125)(cid:56)(cid:184)(cid:170)(cid:171)(cid:185)(cid:44)(cid:130)(cid:186)(cid:44)(cid:51)(cid:34)(cid:35)(cid:111)(cid:22)(cid:22)(cid:116)(cid:166)(cid:51)(cid:36)(cid:107)(cid:110)uuur
(cid:34)(cid:35)(x,y) ‡ˆˆˆ (cid:22) ˆ (cid:22) ˆ (cid:116) ˆˆ (cid:166) ˆˆ†ˆ (cid:34)(cid:35)OA ‡ˆˆˆ (cid:22) ˆ (cid:22) ˆ (cid:116) ˆˆ (cid:166) ˆˆ†ˆ (cid:44)A(x,y)(cid:25)
r r r r r r
(cid:26)3(cid:31)(cid:187)a=(x,y )(cid:36)b=(x ,y )(cid:36)(cid:38)a+b=(x +x ,y + y )(cid:36)a-b=(x -x ,y - y )(cid:36)(cid:107)(cid:68)(cid:69)(cid:34)(cid:35)(cid:51)(cid:56)(cid:81)(cid:86)
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
(cid:51)(cid:170)(cid:171)(cid:131)(cid:174)(cid:188)(cid:117)(cid:126)(cid:68)(cid:69)(cid:34)(cid:35)(cid:82)(cid:166)(cid:170)(cid:171)(cid:51)(cid:56)(cid:81)(cid:86)(cid:25)
r r
(cid:37)a=(x,y)(cid:36)l(cid:130)(cid:88)(cid:13)(cid:36)(cid:38)la=(lx,ly)(cid:36)(cid:107)(cid:88)(cid:13)(cid:81)(cid:34)(cid:35)(cid:51)(cid:89)(cid:51)(cid:170)(cid:171)(cid:36)(cid:188)(cid:117)(cid:144)(cid:118)(cid:88)(cid:13)(cid:87)(cid:185)(cid:189)(cid:34)(cid:35)(cid:51)(cid:82)(cid:166)(cid:170)
(cid:171)(cid:25)
uuur uuur uuur
(cid:26)4(cid:31)(cid:187)A(x,y )(cid:36)B(x ,y )(cid:36)(cid:38)AB=OB-OA=(x -x , y - y )(cid:36)(cid:107)(cid:22)(cid:69)(cid:34)(cid:35)(cid:51)(cid:170)(cid:171)(cid:188)(cid:117)(cid:118)(cid:34)(cid:35)(cid:51)(cid:110)(cid:34)(cid:52)(cid:134)
1 1 2 2 1 2 1 2
(cid:51)(cid:190)(cid:44)(cid:51)(cid:170)(cid:171)(cid:80)(cid:191)(cid:192)(cid:44)(cid:170)(cid:171)(cid:25)
(cid:26)5(cid:31)(cid:73)(cid:95)(cid:34)(cid:35)(cid:51)(cid:173)(cid:71)(cid:170)(cid:171)(cid:54)(cid:55)
uuur uuur
(cid:32)(cid:33)(cid:44)A(x (cid:36)y )(cid:36)B(x (cid:36)y )(cid:36)(cid:38)AB=(x -x (cid:36)y - y )(cid:36)|AB|= (x -x )2 +(y - y )2
1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1
r r r r r
①(cid:32)(cid:33)a=(x,y )(cid:36)b =(x ,y )(cid:36)(cid:38)a±b =(x ±x (cid:36)y ± y )(cid:36)la=(lx,ly )(cid:36)
1 1 2 2 1 2 1 2 1 1
② a r ×b r = xx + y y (cid:36)|a r |= x2 + y2 (cid:25)
1 2 1 2 1 1
r r r r
a∥b Û x y -x y =0(cid:36)a^b Û xx + y y =0
1 2 2 1 1 2 1 2
uuur uuur uuur
(cid:26)5(cid:31)A(cid:23)P(cid:23)B(cid:70)(cid:44)(cid:57)(cid:52)Û OP=(1-t)OA+tOB (tÎR)(cid:36)(cid:126)(cid:111)(cid:173)(cid:52)(cid:51)(cid:34)(cid:35)(cid:133)(cid:92)(cid:193)(cid:25)
(cid:75)(cid:23)(cid:13)(cid:35)(cid:89)(cid:51)(cid:170)(cid:171)(cid:54)(cid:55)
(cid:32)(cid:33)(cid:194)(cid:195)(cid:34)(cid:35)a=(x (cid:36)y )(cid:36)b=(x (cid:36)y )(cid:36)q(cid:130)(cid:34)(cid:35)a(cid:23)b(cid:51)(cid:196)(cid:71)(cid:25)
1 1 2 2
(cid:78)(cid:146) (cid:62)(cid:63)(cid:124)(cid:125) (cid:170)(cid:171)(cid:124)(cid:125)
(cid:197) |a|= a×a |a|= x2 + y2
(cid:13)(cid:35)(cid:89) a×b=|a||b|cosq a×b=xx + y y
1 2 1 2
a×b xx + y y
(cid:196)(cid:71) cosq= cosq= 1 2 1 2
|a||b| x2 + y2 × x2 + y2
1 1 2 2
a^b(cid:51)(cid:158)(cid:159)
a×b=0 xx + y y =0
1 2 1 2
(cid:160)(cid:161)
a(cid:198)b(cid:51)(cid:158)(cid:159)
a=l(cid:26)b b¹0(cid:31) x y -x y =0
1 2 2 1
(cid:160)(cid:161)
|a×b|(cid:81)|a||b| |a×b|£|a||b|(cid:26)(cid:90)(cid:41)(cid:200)
|xx + y y |≤ x2 + y2 × x2 + y2
(cid:51)(cid:3)(cid:199) (cid:90)a∥b(cid:91)(cid:188)(cid:9)(cid:201)(cid:202)(cid:31) 1 2 1 2 1 1 2 2
(cid:203)(cid:73)(cid:95)(cid:34)(cid:35)(cid:164)(cid:144)(cid:78)(cid:146)(cid:204)
r r r r
(cid:26)1(cid:31)(cid:73)(cid:95)(cid:34)(cid:35)(cid:51)(cid:13)(cid:35)(cid:89)(cid:111)(cid:22)(cid:69)(cid:88)(cid:13)(cid:36)(cid:181)(cid:168)(cid:23)(cid:181)(cid:205)(cid:23)(cid:181)(cid:130)(cid:195)(cid:36)(cid:41)|a×b|£|a||b|(cid:25)
r r r r r r r r
(cid:26)2(cid:31)(cid:194)(cid:195)(cid:34)(cid:35)(cid:196)(cid:71)(cid:130)(cid:206)(cid:71)(cid:26)(cid:61)(cid:207)(cid:71)(cid:31)(cid:25)(cid:90)(cid:41)(cid:200)(cid:90)a×b >0(cid:41)a¹lb(l>0)(cid:26)(cid:61)a×b <0(cid:36)(cid:41)a¹lb(l<0))
r r
(cid:26)3(cid:31)b (cid:42)a(cid:46)(cid:51)(cid:208)(cid:209)(cid:111)(cid:22)(cid:69)(cid:13)(cid:35)(cid:36)(cid:210)(cid:181)(cid:184)(cid:130)(cid:168)(cid:36)(cid:181)(cid:184)(cid:130)(cid:205)(cid:36)(cid:211)(cid:181)(cid:184)(cid:188)(cid:117)0(cid:25)r r r r r r r r r r r r
(cid:26)4(cid:31)(cid:13)(cid:35)(cid:89)(cid:51)(cid:54)(cid:55)(cid:159)(cid:4)(cid:64)a=0(cid:91)(cid:36)a×b =0(cid:36)(cid:212)a×b =0(cid:91)(cid:113)(cid:140)(cid:108)(cid:165)a=0(cid:61)b =0(cid:36)(cid:213)(cid:130)a ^ b (cid:91)(cid:36)(cid:211)(cid:110)
r r
a×b =0(cid:25)
r r
r r r a×b r r r r
(cid:26)5(cid:31)(cid:214)(cid:215)(cid:73)(cid:95)(cid:34)(cid:35)(cid:13)(cid:35)(cid:89)(cid:51)(cid:53)(cid:98)(cid:10)|a|= a×a (cid:36)cosq= r r (cid:36)a^b Ûa×b =0(cid:188)(cid:36)(cid:127)(cid:184)(cid:73)(cid:95)(cid:34)(cid:35)(cid:13)(cid:35)(cid:89)
|a||b|
(cid:181)(cid:184)(cid:144)(cid:189)(cid:132)(cid:216)(cid:110)(cid:3)(cid:217)(cid:218)(cid:23)(cid:71)(cid:218)(cid:23)(cid:219)(cid:173)(cid:51)(cid:139)(cid:21)(cid:25)
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:20)(cid:21)
r r uuur r r uuur r r
1(cid:25)(cid:26)2024·(cid:220)(cid:221)(cid:222)(cid:223)·(cid:70)(cid:197)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)e (cid:36)e (cid:111)(cid:73)(cid:95)(cid:46)(cid:68)(cid:69)(cid:113)(cid:57)(cid:52)(cid:51)(cid:24)(cid:178)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:41)AB=e +2e (cid:36)BC =-3e +2e (cid:36)
1 2 1 2 1 2
uuur r r
DA=3e -6e (cid:36)(cid:38)(cid:26) (cid:31)
1 2
A(cid:25)A(cid:23)B(cid:23)C(cid:70)(cid:44)(cid:57)(cid:52) B(cid:25)A(cid:23)B(cid:23)D(cid:70)(cid:44)(cid:57)(cid:52)
C(cid:25)A(cid:23)C(cid:23)D(cid:70)(cid:44)(cid:57)(cid:52) D(cid:25)B(cid:23)C(cid:23)D(cid:70)(cid:44)(cid:57)(cid:52)
r r r r
2(cid:25)(cid:26)2024·(cid:220)(cid:224)·(cid:70)(cid:197)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)a=-1,3,a^b(cid:36)(cid:114)(cid:115)(cid:34)(cid:35)b (cid:181)(cid:184)(cid:111)(cid:26) (cid:31)
æ 1ö
A(cid:25)1,3 B(cid:25)ç-1, ÷ C(cid:25)3,-1 D(cid:25)3,1
è 3ø
r r r r r r
3(cid:25)(cid:26)2024·(cid:225)(cid:226)·(cid:70)(cid:197)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)a=m,1(cid:36)b=m,-1(cid:36)(cid:37)3a-b(cid:81)b(cid:219)(cid:173)(cid:36)(cid:38) a (cid:188)(cid:117)(cid:26) (cid:31)
A(cid:25) 2 B(cid:25) 3 C(cid:25)3 D(cid:25)6
r r r r r r
4(cid:25)(cid:26)2024·(cid:227)(cid:228)·(cid:70)(cid:197)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)a =(3,1),b =(-2,x)(cid:36)(cid:37)a^(a+b)(cid:36)(cid:38)|b|=(cid:26) (cid:31)
2 10
A(cid:25)2 B(cid:25)3 C(cid:25)2 5 D(cid:25)
3
r r r r r r r
5(cid:25)(cid:26)2024·(cid:229)(cid:230)·(cid:70)(cid:197)(cid:31)(cid:37)|a|=1,|b|=2 ,(a-b)^a(cid:36)(cid:38)(cid:34)(cid:35)a(cid:81)b (cid:51)(cid:196)(cid:71)(cid:130)(cid:26) (cid:31)
A(cid:25)30° B(cid:25)60° C(cid:25)120° D(cid:25)150°
r r r r
6(cid:25)(cid:26)2024·(cid:231)(cid:232)(cid:233)(cid:234)·(cid:70)(cid:197)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)a=(1,-2),b =(-1,-2)(cid:36)(cid:187)a(cid:81)b (cid:51)(cid:196)(cid:71)(cid:130)q(cid:36)(cid:38)sinq=(cid:26) (cid:31)
3 3 4 4
A(cid:25)- B(cid:25) C(cid:25)- D(cid:25)
5 5 5 5
ur uur ur uur 1 ur uur uur
7(cid:25)(cid:26)2024·(cid:235)(cid:229)(cid:236)(cid:237)·(cid:70)(cid:197)(cid:31)(cid:32)(cid:33)e,e (cid:111)(cid:24)(cid:178)(cid:34)(cid:35)(cid:36)e ×e =- (cid:36)(cid:38)e +2e (cid:81)e (cid:51)(cid:196)(cid:71)(cid:130)(cid:26) (cid:31)
1 2 1 2 2 1 2 2
π π π 2π
A(cid:25) B(cid:25) C(cid:25) D(cid:25)
6 4 3 3
r r r r r r r r r 
8(cid:25)(cid:26)2024·(cid:225)(cid:226)(cid:238)(cid:239)·(cid:70)(cid:197)(cid:31)(cid:32)(cid:33) a =4(cid:36)b =3(cid:36) a+b = a-b (cid:36)(cid:38)a× a-b =(cid:26) (cid:31)
A(cid:25)-16 B(cid:25)16 C(cid:25)-9 D(cid:25)9
9(cid:25)(cid:26)2024·(cid:240)(cid:224)(cid:241)(cid:242)·(cid:70)(cid:197)(cid:31)(cid:42)VABC(cid:43)(cid:36)E(cid:42)(cid:45)BC(cid:46)(cid:36)(cid:41)EC =3BE,D(cid:111)(cid:45)AB(cid:46)(cid:119)(cid:64)(cid:22)(cid:44)(cid:36)AE(cid:81)CD(cid:76)uuur uuur uuur
(cid:117)(cid:44)P(cid:36)(cid:37)CP=xCA+yCB(cid:36)(cid:38)3x+4y=(cid:26) (cid:31)
3 3
A(cid:25) B(cid:25)- C(cid:25)3 D(cid:25)-3
4 4
r r r r r r r r
10(cid:25)(cid:26)2024·(cid:226)(cid:243)(cid:243)(cid:234)·(cid:70)(cid:197)(cid:31)(cid:32)(cid:33)|a-b|=|2a-b|=2(cid:36)(cid:41)2a-b(cid:42)a(cid:92)(cid:34)(cid:46)(cid:51)(cid:208)(cid:209)(cid:34)(cid:35)(cid:130)(cid:24)(cid:178)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:38)|b|=
(cid:26) (cid:31)
A(cid:25)4 B(cid:25)2 3 C(cid:25)4 3 D(cid:25)6
uuur uuur uuur
11(cid:25)(cid:26)2024·(cid:244)(cid:224)(cid:245)(cid:246)·(cid:70)(cid:197)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:188)(cid:45)VABC(cid:51)(cid:45)(cid:217)(cid:130)1(cid:36)(cid:44)D,E(cid:131)(cid:174)(cid:130)AB,BC(cid:51)(cid:43)(cid:44)(cid:36)(cid:37)DF =3EF(cid:36)(cid:38) AF =
(cid:26) (cid:31)
1uuur 5uuur 1uuur 3uuur
A(cid:25) AB+ AC B(cid:25) AB+ AC
2 6 2 4
1uuur uuur 1r 3r
C(cid:25) AB+AC D(cid:25) AB+ AC
2 2 2
r r  r r   r r  r r
12(cid:25)(cid:26)2023·(cid:247)(cid:248)(cid:226)(cid:249)(cid:250)(cid:251)·(cid:70)(cid:197)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:194)(cid:195)(cid:34)(cid:35)a(cid:36)b (cid:39)(cid:40) 2a+b ^ 2a-b (cid:36)(cid:41)(cid:34)(cid:35)a(cid:42)(cid:34)(cid:35)b (cid:46)(cid:51)(cid:208)(cid:209)
3 r r r
(cid:34)(cid:35)(cid:111) b(cid:36)(cid:38)a(cid:81)b (cid:51)(cid:196)(cid:71)(cid:111)(cid:26) (cid:31)
4
π π π 5π
A(cid:25) B(cid:25) C(cid:25) D(cid:25)
6 3 2 6
13(cid:25)(cid:26)2024·(cid:75)(cid:252)(cid:253)(cid:244)·(cid:70)(cid:197)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)a r ,b r ,c r (cid:39)(cid:40) a r = b r =1,c r = 3(cid:36)(cid:41)ar +b r +cr =0(cid:36)(cid:38)cos a r -c r ,b r -c r =
(cid:26) (cid:31)
13 3 3 3 3 13
A(cid:25) B(cid:25) C(cid:25)- D(cid:25)-
14 14 14 14
(cid:48)(cid:23)(cid:254)(cid:20)(cid:21)
r r r
14(cid:25)(cid:26)2024·(cid:255)(cid:256)·(cid:70)(cid:197)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)a=(1,2),a-b=(3,1)(cid:36)(cid:38)(cid:26) (cid:31)
r r r
A(cid:25)b=(-2,1) B(cid:25)a(cid:198)b
r r r r r r
C(cid:25)a^b D(cid:25) a-b (cid:42)a(cid:46)(cid:51)(cid:208)(cid:209)(cid:34)(cid:35)(cid:130)a
15(cid:25)(cid:26)2024·(cid:257)(cid:154)(cid:258)(cid:259)·(cid:70)(cid:197)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:188)(cid:45)VABC(cid:51)(cid:45)(cid:217)(cid:130)4(cid:36)(cid:44)D(cid:36)E(cid:39)(cid:40) u B u D ur =2 u D uu A r (cid:36) u B u E ur = u E u C ur (cid:36)AE(cid:81)CD(cid:76)
(cid:117)(cid:44)O(cid:36)(cid:38)(cid:26) (cid:31)
uuur 2uuur 1uuur uuur uuur
A(cid:25)CD= CA+ CB B(cid:25)BO×BC=8
3 3
uuur uuur uuur uuur uuur
C(cid:25)CO=2OD D(cid:25)|OA+OB+OC|= 3
r r
16(cid:25)(cid:26)2024·(cid:235)(cid:260)·(cid:70)(cid:197)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:73)(cid:95)(cid:34)(cid:35)a=m,m+2,mÎR,b =3,4(cid:36)(cid:38)(cid:261)(cid:262)(cid:263)(cid:60)(cid:168)(cid:169)(cid:51)(cid:110)(cid:26) (cid:31)
r r
A(cid:25)a,b (cid:22)(cid:58)(cid:181)(cid:184)(cid:179)(cid:130)(cid:22)(cid:69)(cid:96)(cid:129)
r
B(cid:25) a (cid:22)(cid:58)(cid:110)(cid:264)(cid:265)(cid:266)r r r r
C(cid:25)(cid:22)(cid:58)(cid:102)(cid:42)(cid:22)(cid:69)(cid:88)(cid:13)m(cid:104)(cid:108) a+b = a-b
D(cid:25)a r ,b r (cid:51)(cid:196)(cid:71)(cid:51)(cid:175)(cid:266)(cid:267)(cid:268)(cid:111) 0,π 
17(cid:25)(cid:26)2024·(cid:244)(cid:224)·(cid:70)(cid:197)(cid:31)(cid:269)(cid:270)(cid:51)(cid:271)(cid:272)(cid:111)(cid:273)(cid:274)(cid:275)(cid:276)(cid:51)(cid:150)(cid:151)(cid:277)(cid:278)(cid:154)(cid:279)(cid:14)(cid:36)(cid:271)(cid:272)(cid:111)(cid:280)(cid:281)(cid:51)(cid:282)(cid:71)(cid:283)(cid:284)(cid:285)(cid:36)(cid:210)(cid:51)(cid:22)(cid:286)(cid:111)
(cid:73)(cid:287)(cid:51)(cid:282)(cid:71)(cid:72)(cid:288)(cid:105)(cid:36)(cid:289)(cid:22)(cid:286)(cid:111)(cid:290)(cid:291)(cid:51)(cid:282)(cid:71)(cid:292)(cid:72)(cid:51)(cid:129)(cid:26)(cid:180)(cid:70)(cid:69)(cid:82)(cid:93)(cid:51)(cid:292)(cid:72)(cid:128)(cid:201)(cid:31)(cid:271)(cid:43)(cid:293)(cid:290)(cid:294)(cid:51)(cid:111)(cid:295)(cid:278)(cid:201)(cid:141)(cid:51)
(cid:270)(cid:269)(cid:36)(cid:99)(cid:137)(cid:111)(cid:22)(cid:69)(cid:270)(cid:271)(cid:51)(cid:168)(cid:282)(cid:45)(cid:72)(cid:288)(cid:105)ABCDEF(cid:36)(cid:210)(cid:51)(cid:45)(cid:217)(cid:130)1(cid:36)(cid:44)P(cid:111) DEF(cid:112)(cid:296)(cid:26)(cid:297)(cid:298)(cid:45)(cid:299)(cid:31)(cid:51)(cid:300)(cid:44)(cid:36)
(cid:38)(cid:26) (cid:31)
△
uuur uuur 1uuur
A(cid:25)DE= AF- AD
2
uuur uuur 3
B(cid:25)AC×BD=
4
uuur uuur uuur
C(cid:25)(cid:37)P(cid:130)EF(cid:51)(cid:43)(cid:44)(cid:36)(cid:38)CP(cid:42)EC(cid:46)(cid:51)(cid:208)(cid:209)(cid:34)(cid:35)(cid:130)-
3EC
uuur uuur
D(cid:25) FE+FP (cid:51)(cid:264)(cid:301)(cid:266)(cid:130) 7
18(cid:25)(cid:26)2024·(cid:302)(cid:242)·(cid:48)(cid:197)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:73)(cid:95)(cid:34)(cid:35)a r (cid:36)b r (cid:36)c r (cid:36) a r =2 3(cid:36)b r =6(cid:36)a r ·b r =18(cid:36)(cid:41)áa r -c r ,b r -c r ñ=60o(cid:36)(cid:38)
(cid:26) (cid:31)
r r
A(cid:25)a(cid:81)b (cid:51)(cid:196)(cid:71)(cid:130)30o
B(cid:25)a r -c r ×  b r -c r (cid:51)(cid:264)(cid:301)(cid:266)(cid:130)5
r
C(cid:25) c (cid:51)(cid:264)(cid:265)(cid:266)(cid:130)2
r r r 1 é1 7ù
D(cid:25)(cid:37)c =xa+ybx,yÎR (cid:36)(cid:38) x+ y(cid:51)(cid:175)(cid:266)(cid:267)(cid:268)
ê
,
ú
2 ë3 6û
(cid:70)(cid:23)(cid:49)(cid:50)(cid:21)
r r
19(cid:25)(cid:26)2024·(cid:75)(cid:252)·(cid:70)(cid:197)(cid:31)(cid:37)(cid:34)(cid:35)a=x,4(cid:81)(cid:34)(cid:35)b=1,x(cid:111)(cid:57)(cid:52)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:38)(cid:88)(cid:13)x= (cid:25)
20(cid:25)(cid:26)2024·(cid:46)(cid:303)·(cid:70)(cid:197)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)a r (cid:23)b r (cid:39)(cid:40) a r =2(cid:36)b r =3(cid:36) a r +b r =4(cid:36)(cid:38)a r ×b r = (cid:25)
r r r  r r  r r r
21(cid:25)(cid:26)2024·(cid:304)(cid:305)(cid:306)(cid:307)·(cid:70)(cid:197)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)a,b (cid:39)(cid:40) a =2(cid:36) 4a+b ×b =4(cid:36)(cid:38) 2a+b = .
r r π r r
22(cid:25)(cid:26)2024·(cid:112)(cid:308)(cid:309)·(cid:70)(cid:197)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:178)(cid:34)(cid:35)a,b(cid:51)(cid:196)(cid:71)(cid:130) (cid:36) a-mb = 3(cid:36)(cid:38)m= .
3
uuur uuur
23(cid:25)(cid:26)2024·(cid:227)(cid:228)·(cid:70)(cid:197)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:178)(cid:168)(cid:92)(cid:72)ABCD(cid:36)(cid:44)E(cid:111)BC(cid:45)(cid:46)(cid:22)(cid:44)(cid:36)(cid:37)BE=2CE(cid:36)(cid:38)AE×CE= .r r r r r r r r r
24(cid:25)(cid:26)2024·(cid:235)(cid:229)(cid:310)(cid:311)(cid:105)·(cid:70)(cid:197)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)a=(2,1),b =(2,0),c=a+lb(cid:36)(cid:37)a^c(cid:36)(cid:38)c(cid:42)b (cid:46)(cid:51)(cid:208)(cid:209)(cid:34)(cid:35)
(cid:130) (cid:25)
25(cid:25)(cid:26)2024·(cid:257)(cid:154)(cid:312)(cid:234)·(cid:70)(cid:197)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)a r =1,1,b r =4(cid:36)(cid:41)b r (cid:42)a r (cid:46)(cid:51)(cid:208)(cid:209)(cid:34)(cid:35)(cid:51)(cid:170)(cid:171)(cid:130)-2,-2(cid:36)(cid:38)a r (cid:81)b r
(cid:51)(cid:196)(cid:71)(cid:130) .
r r r r r r r π r r π r r
26(cid:25)(cid:26)2024·(cid:313)(cid:260)(cid:217)(cid:314)·(cid:70)(cid:197)(cid:31)(cid:73)(cid:95)(cid:34)(cid:35) a,b,c (cid:39)(cid:40)(cid:10)a^c(cid:36) a,b = (cid:36) b,c = (cid:36)(cid:41) a = c =3(cid:36)
3 6
r r r r
b =2(cid:36)(cid:38) a+b+c = .