专题15椭圆（4大考向真题解读）-原卷版_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年08月试卷_08202025版《真题题源解密-专题分类》数学

专题 15 椭圆 命题解读 考向 考查统计 1.高考对椭圆的考查，重点是 椭圆的定义和弦长 2022·新高考Ⅰ卷，16 （1）椭圆的定义、几何图形、标准方 椭圆的离心率 2023·新高考Ⅰ卷，5 程。 2022·新高考Ⅱ卷，16 直线与椭圆的应用 （2）椭圆的简单几何性质（范围、对 2023·新高考Ⅱ卷，5 称性、顶点、离心率）。 （3）直线和椭圆的位置关系及综合应 椭圆的轨迹方程 2024·新高考Ⅱ卷，5 用。 命题分析 2024年高考新高考Ⅰ卷椭圆的考查体现在大题中，后续专题会解读。Ⅱ卷考查了椭圆的轨迹方程求法， 难度较易。椭圆是圆雉曲线的重要内容，高考主要考查椭圆定义的运用、椭圆方程的求法以及椭圆的简单 几何性质，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点问题，因方法多，试题灵活，在各种题型中均有体现。 预计2025年高考还是主要考查椭圆的定义和离心率。 试题精讲 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:20)(cid:21) 1(cid:25)(cid:26)2024(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅱ(cid:30)·5(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)C(cid:10)x2+y2 =16(cid:26)y>0(cid:31)(cid:36)(cid:37)C(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:22)(cid:41)P(cid:42)x(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:35)(cid:46)PP¢(cid:36)P¢ (cid:47)(cid:45)(cid:48)(cid:36)(cid:49)(cid:35)(cid:46)PP¢(cid:50)(cid:51)(cid:41)M(cid:50)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:47)(cid:26) (cid:31) x2 y2 x2 y2 A(cid:25) + =1(cid:26)y>0(cid:31) B(cid:25) + =1(cid:26)y>0(cid:31) 16 4 16 8 y2 x2 y2 x2 C(cid:25) + =1(cid:26)y>0(cid:31) D(cid:25) + =1(cid:26)y>0(cid:31) 16 4 16 8 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:20)(cid:21) x2 x2 1(cid:25)(cid:26)2023(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅰ(cid:30)·5(cid:31)(cid:56)(cid:57)(cid:58)C : + y2 =1(a>1),C : + y2 =1(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:47)e,e (cid:25)(cid:64)e = 3e (cid:36)(cid:49)a= 1 a2 2 4 1 2 2 1(cid:26) (cid:31) 2 3 A(cid:25) B(cid:25) 2 C(cid:25) 3 D(cid:25) 6 3 x2 2(cid:25)(cid:26)2023(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅱ(cid:30)·5(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:57)(cid:58)C: +y2 =1(cid:50)(cid:65)(cid:23)(cid:66)(cid:67)(cid:41)(cid:62)(cid:63)(cid:47)F(cid:36)F (cid:36)(cid:68)(cid:35)y=x+m(cid:69)C(cid:70)(cid:71)A(cid:36) 1 2 3 B(cid:72)(cid:41)(cid:36)(cid:64)(cid:73)FAB (cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:73)F AB (cid:74)(cid:75)(cid:50)2(cid:77)(cid:36)(cid:49)m=(cid:26) (cid:31)(cid:25) 1 2 2 2 2 2 A(cid:25) B(cid:25) C(cid:25)- D(cid:25)- 3 3 3 3 (cid:78)(cid:23)(cid:79)(cid:80)(cid:21) x2 y2 3(cid:25)(cid:26)2022(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅰ(cid:30)·16(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:57)(cid:58)C: + =1(a>b>0)(cid:36)C(cid:50)(cid:38)(cid:81)(cid:41)(cid:47)A(cid:36)(cid:72)(cid:82)(cid:67)(cid:41)(cid:47)F(cid:36)F (cid:36)(cid:59)(cid:60)(cid:61) a2 b2 1 2 (cid:47) 1 (cid:25)(cid:83)F(cid:84)(cid:45)(cid:68)(cid:71)AF (cid:50)(cid:68)(cid:35)(cid:69)C(cid:70)(cid:71)D(cid:36)E(cid:72)(cid:41)(cid:36)|DE|=6(cid:36)(cid:49)VADE(cid:50)(cid:85)(cid:86)(cid:76) (cid:25) 2 1 2 x2 y2 4(cid:25)(cid:26)2022(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅱ(cid:30)·16(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:68)(cid:35)l(cid:69)(cid:57)(cid:58) + =1(cid:87)(cid:88)(cid:22)(cid:89)(cid:90)(cid:70)(cid:71)A(cid:36)B(cid:72)(cid:41)(cid:36)l(cid:69)x(cid:43)(cid:36)y(cid:43)(cid:62)(cid:63)(cid:70)(cid:71) 6 3 M(cid:36)N(cid:72)(cid:41)(cid:36)(cid:84)|MA|=|NB|,|MN|=2 3(cid:36)(cid:49)l(cid:50)(cid:54)(cid:55)(cid:47) (cid:25) (cid:22)(cid:23)(cid:57)(cid:58)(cid:50)(cid:91)(cid:92) (cid:93)(cid:74)(cid:94)(cid:69)(cid:72)(cid:82)(cid:91)(cid:41)F,F (cid:50)(cid:95)(cid:59)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:71)(cid:99)(cid:13)2a(cid:26)2a>|FF |(cid:31)(cid:50)(cid:41)(cid:50)(cid:52)(cid:53)(cid:100)(cid:101)(cid:57)(cid:58)(cid:36)(cid:102)(cid:72)(cid:82)(cid:91)(cid:41)(cid:100)(cid:101)(cid:57)(cid:58) 1 2 1 2 (cid:50)(cid:67)(cid:41)(cid:36)(cid:72)(cid:67)(cid:41)(cid:50)(cid:95)(cid:59)(cid:100)(cid:101)(cid:57)(cid:58)(cid:50)(cid:67)(cid:95)(cid:36)(cid:103)(cid:44)2c(cid:36)(cid:91)(cid:92)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:47)(cid:10) P||PF |+|PF |=2a(2a>|FF |=2c>0) 1 2 1 2 (cid:4)(cid:40)(cid:10)(cid:111)2a=2c(cid:112)(cid:36)(cid:41)(cid:50)(cid:52)(cid:53)(cid:76)(cid:35)(cid:46)(cid:113) (cid:111)2a<2c(cid:112)(cid:36)(cid:41)(cid:50)(cid:52)(cid:53)(cid:114)(cid:115)(cid:87)(cid:25) (cid:78)(cid:23)(cid:57)(cid:58)(cid:50)(cid:54)(cid:55)(cid:23)(cid:116)(cid:117)(cid:69)(cid:118)(cid:119) (cid:67)(cid:41)(cid:50)(cid:120) (cid:67)(cid:41)(cid:87)x(cid:43)(cid:38) (cid:67)(cid:41)(cid:87)y(cid:43)(cid:38) (cid:121) (cid:116)(cid:117)x2 y2 y2 x2 (cid:122)(cid:123)(cid:54)(cid:55) + =1a>b>0 + =1a>b>0 a2 b2 a2 b2 (cid:124)(cid:22)(cid:54)(cid:55) mx2 +ny2 =1(m>0,n>0,m¹n) ìx=acosq ìx=acosq (cid:125)(cid:13)(cid:54)(cid:55) í ,q(cid:47)(cid:125)(cid:13)(cid:26)qÎ[0,2p](cid:31) í ,q(cid:47)(cid:125)(cid:13)(cid:26)qÎ[0,2p](cid:31) îy=bsinq îy=bsinq (cid:88)(cid:22)(cid:91)(cid:92) (cid:126)(cid:72)(cid:91)(cid:41)F(cid:23)F (cid:50)(cid:95)(cid:59)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:71)(cid:99)(cid:13)2a(cid:36)(cid:127)|MF |+|MF |=2a(cid:26)2a>|FF |(cid:31) 1 2 1 2 1 2 (cid:128)(cid:129) -a£x£a(cid:84)-b£ y£b -b£x£b(cid:84)-a£ y£a A -a,0(cid:23)A a,0 A 0,-a(cid:23)A 0,a 1 2 1 2 (cid:81)(cid:41) B 0,-b(cid:23)B 0,b B -b,0(cid:23)B b,0 1 2 1 2 (cid:43)(cid:86) (cid:86)(cid:43)(cid:86)=2a(cid:36)(cid:130)(cid:43)(cid:86)=2b (cid:86)(cid:43)(cid:86)=2a(cid:36)(cid:130)(cid:43)(cid:86)=2b (cid:131)(cid:132)(cid:118) (cid:3)(cid:71)x(cid:43)(cid:23)y(cid:43)(cid:131)(cid:132)(cid:36)(cid:3)(cid:71)(cid:133)(cid:41)(cid:51)(cid:60)(cid:131)(cid:132) (cid:67)(cid:41) F -c,0(cid:23)F c,0 F 0,-c(cid:23)F 0,c 1 2 1 2 (cid:67)(cid:95) FF =2c (c2 =a2 -b2) 1 2 c c2 a2 -b2 b2 (cid:59)(cid:60)(cid:61) e= = = = 1- (01 ì(cid:135) ì>1 ì(cid:135) (cid:41)(cid:97)(cid:57)(cid:58) x2 y2 ï ï y2 x2 ï ï 0 + 0 í=1Û(cid:41)(x ,y )(cid:87)(cid:57)(cid:58)í(cid:38) 0 + 0 í=1Û(cid:41)(x ,y )(cid:87)(cid:57)(cid:58)í(cid:38) (cid:50)(cid:3)(cid:134) a2 b2 ï 0 0 ï a2 b2 ï 0 0 ï î<1 î (cid:94) î<1 î (cid:94) x x y y y y x x 0 + 0 =1(cid:26)(x ,y )(cid:47)(cid:136)(cid:41)(cid:31) 0 + 0 =1(cid:26)(x ,y )(cid:47)(cid:136)(cid:41)(cid:31) a2 b2 0 0 a2 b2 0 0 (cid:136)(cid:35)(cid:54)(cid:55) (cid:131)(cid:71)(cid:83)(cid:57)(cid:58)(cid:38)(cid:22)(cid:41)(x ,y )(cid:50)(cid:136)(cid:35)(cid:54)(cid:55)(cid:36)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:57)(cid:58)(cid:54)(cid:55)(cid:51)x2(cid:140)(cid:47)x x(cid:36)y2(cid:140)(cid:47) 0 0 0 y y(cid:141)(cid:142) 0 (cid:136)(cid:41)(cid:143)(cid:144) x x y y y y x x (cid:87)(cid:50)(cid:68)(cid:35) 0 + 0 =1((cid:41)(x ,y )(cid:87)(cid:57)(cid:58)(cid:135)(cid:31) 0 + 0 =1((cid:41)(x ,y )(cid:87)(cid:57)(cid:58)(cid:135)(cid:31) a2 b2 0 0 a2 b2 0 0 (cid:54)(cid:55) 2b2 cosq= -1,q =ÐFBF (cid:36)(cid:26)B(cid:47)(cid:130)(cid:43)(cid:50)(cid:147)(cid:41)(cid:31) (cid:67)(cid:41)(cid:145)(cid:146) rr max 1 2 1 2 ① (cid:117)(cid:74)(cid:75) 1 q ìïc| y |,(cid:67)(cid:41)(cid:87)x(cid:43)(cid:38) S = rr sinq=b2tan =í 0 (q=ÐFPF ) DPF1F2 2 1 2 2 ïîc|x |,(cid:67)(cid:41)(cid:87)y(cid:43)(cid:38) 1 2 0 ②ìï(cid:111)P(cid:41)(cid:87)(cid:86)(cid:43)(cid:147)(cid:41)(cid:112),(cid:26)rr(cid:31)min=b2 1 2 í ïî (cid:111)P(cid:41)(cid:87)(cid:130)(cid:43)(cid:147)(cid:41)(cid:112),(cid:26)rr(cid:31)max=a2 1 2 ③ (cid:67)(cid:41)(cid:145)(cid:146)(cid:117)(cid:51)(cid:22)(cid:148)(cid:149)(cid:104)(cid:126)(cid:50)(cid:3)(cid:134)(cid:76) ì|MF |+|MF |=2(cid:26)a 2a>2c(cid:31) 1 2 ï ï 1 íS = |PF ||PF |sinÐFPF ) ï DPF1F2 2 1 2 1 2 î ï|FF |2=|PF |2 +|PF |2 -2|PF ||PF |cosÐFPF 1 2 1 2 1 2 1 2 (cid:38)(cid:67)(cid:150)(cid:151)(cid:10) MF =a-ey (cid:65)(cid:67)(cid:150)(cid:151)(cid:10) MF =a+ex 1 0 1 0 (cid:153)(cid:67)(cid:150)(cid:151)(cid:10) MF =a+ey (cid:67)(cid:150)(cid:151) (cid:152)(cid:67)(cid:150)(cid:151)(cid:10) MF =a-ex 1 0 1 0 (cid:67)(cid:150)(cid:151)(cid:154)(cid:155)(cid:156)a+c(cid:36)(cid:154)(cid:157)(cid:156)a-c b2 (cid:158)(cid:151) (cid:83)(cid:67)(cid:41)(cid:84)(cid:45)(cid:68)(cid:71)(cid:86)(cid:43)(cid:50)(cid:143)(cid:100)(cid:158)(cid:151)(cid:10)(cid:158)(cid:151)(cid:86)=2 (cid:26)(cid:154)(cid:130)(cid:50)(cid:83)(cid:67)(cid:41)(cid:50)(cid:143)(cid:31) a (cid:56)(cid:68)(cid:35)(cid:69)(cid:57)(cid:58)(cid:50)(cid:72)(cid:82)(cid:70)(cid:41)(cid:47)A(x,y )(cid:36)B(x ,y )(cid:36)k =k(cid:36) 1 1 2 2 AB (cid:49)(cid:143)(cid:86) AB = 1+k2 x -x = 1+k2 (x +x )2 -4xx 1 2 1 2 1 2 (cid:143)(cid:86)(cid:7)(cid:159) 1 D = 1+ (y + y )2 -4y y = 1+k2 k2 1 2 1 2 |a| (cid:26)(cid:160)(cid:51)a(cid:76)(cid:161)y(cid:162)(cid:3)(cid:71)x(cid:50)(cid:22)(cid:163)(cid:78)(cid:164)(cid:54)(cid:55)(cid:50)x2(cid:50)(cid:134)(cid:13)(cid:36)D(cid:76)(cid:165)(cid:63)(cid:159)(cid:31) (cid:166)(cid:57)(cid:58)(cid:99)(cid:104)(cid:167)(cid:168)(cid:169) 2b2 1(cid:23)(cid:83)(cid:57)(cid:58)(cid:50)(cid:67)(cid:41)(cid:69)(cid:57)(cid:58)(cid:50)(cid:86)(cid:43)(cid:45)(cid:68)(cid:50)(cid:68)(cid:35)(cid:170)(cid:57)(cid:58)(cid:144)(cid:171)(cid:142)(cid:50)(cid:35)(cid:46)(cid:132)(cid:47)(cid:57)(cid:58)(cid:50)(cid:158)(cid:151)(cid:36)(cid:160)(cid:86)(cid:47) (cid:25) a (cid:57)(cid:58)(cid:38)(cid:126)(cid:51)(cid:60)(cid:95)(cid:59)(cid:154)(cid:157)(cid:50)(cid:41)(cid:76)(cid:130)(cid:43)(cid:50)(cid:72)(cid:82)(cid:147)(cid:41)(cid:36)(cid:126)(cid:51)(cid:60)(cid:95)(cid:59)(cid:154)(cid:155)(cid:50)(cid:41)(cid:76)(cid:86)(cid:43)(cid:50)(cid:72)(cid:82)(cid:147)(cid:41)(cid:25) (cid:57)(cid:58)(cid:38)(cid:126)(cid:67)(cid:41)(cid:95)(cid:59)(cid:154)(cid:155)(cid:97)(cid:154)(cid:157)(cid:50)(cid:41)(cid:76)(cid:86)(cid:43)(cid:50)(cid:72)(cid:82)(cid:147)(cid:41)(cid:25) ① ② (cid:95)(cid:59)(cid:50)(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:47)a+c(cid:36)(cid:95)(cid:59)(cid:50)(cid:154)(cid:157)(cid:156)(cid:47)a-c(cid:25) 2(cid:23)(cid:57)(cid:58)(cid:50)(cid:136)(cid:35) x2 y2 x x y y (cid:57)(cid:58) + =1 (a>b>0)(cid:38)(cid:22)(cid:41)P(x (cid:36)y )(cid:172)(cid:50)(cid:136)(cid:35)(cid:54)(cid:55)(cid:76) 0 + 0 =1(cid:113) a2 b2 0 0 a2 b2 ① x2 y2 x x y y (cid:83)(cid:57)(cid:58) + =1 (a>b>0)(cid:135)(cid:22)(cid:41)P(x (cid:36)y )(cid:36)(cid:144)(cid:173)(cid:72)(cid:174)(cid:136)(cid:35)(cid:50)(cid:136)(cid:41)(cid:143)(cid:54)(cid:55)(cid:76) 0 + 0 =1(cid:113) a2 b2 0 0 a2 b2 ②x2 y2 (cid:57)(cid:58) + =1 (a>b>0)(cid:69)(cid:68)(cid:35)Ax+By+C =0 (cid:175)(cid:136)(cid:50)(cid:174)(cid:176)(cid:76)A2a2 +B2b2 =c2(cid:25) a2 b2 ③ (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:20)(cid:21) 1(cid:25)(cid:26)2024·(cid:177)(cid:178)(cid:179)(cid:180)·(cid:145)(cid:181)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:57)(cid:58)C(cid:10) x2 + y2 =1(cid:50)(cid:22)(cid:82)(cid:67)(cid:41)(cid:47)0,2(cid:36)(cid:49)k(cid:50)(cid:156)(cid:47)(cid:26) (cid:31) 8 k A(cid:25)4 B(cid:25)8 C(cid:25)10 D(cid:25)12 x2 y2 y2 2(cid:25)(cid:26)2024·(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:185)·(cid:145)(cid:181)(cid:31)(cid:64)(cid:57)(cid:58) + =1(cid:69)(cid:57)(cid:58)x2+ =1(cid:26)b>1(cid:31)(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:175)(cid:186)(cid:36)(cid:49)(cid:187)(cid:13)b(cid:50)(cid:156)(cid:47) 4 3 b2 (cid:26) (cid:31) A(cid:25) 2 3 B(cid:25) 4 C(cid:25) 5 D(cid:25) 5 3 3 2 4 x2 y2 π 3(cid:25)(cid:26)2024·(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:188)·(cid:145)(cid:181)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:57)(cid:58)C: + =1(a>b>0)(cid:50)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:41)(cid:62)(cid:63)(cid:47)F,F ,(cid:83)F(cid:84)(cid:191)(cid:192)(cid:146)(cid:47) (cid:50) a2 b2 1 2 1 6 (cid:68)(cid:35)(cid:70)C(cid:71)(cid:88)(cid:22)(cid:89)(cid:90)(cid:94)(cid:22)(cid:41)A.(cid:64)(cid:35)(cid:46)AF (cid:50)(cid:51)(cid:41)(cid:87)y(cid:43)(cid:38),(cid:73)AFF (cid:50)(cid:74)(cid:75)(cid:47)2 3,(cid:49)C(cid:50)(cid:54)(cid:55)(cid:47)(cid:26) (cid:31) 1 1 2 x2 x2 y2 A(cid:25) +y2 =1 B(cid:25) + =1 3 3 2 x2 y2 x2 y2 C(cid:25) + =1 D(cid:25) + =1 9 3 9 6 x2 y2 4(cid:25)(cid:26)2024·(cid:193)(cid:194)·(cid:145)(cid:181)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:57)(cid:58)C: + =1(a>b>0)(cid:50)(cid:66)(cid:67)(cid:41)(cid:47)F (cid:36)(cid:130)(cid:43)(cid:86)(cid:47)2 3(cid:36)(cid:41)M (cid:87)(cid:57)(cid:58)(cid:38)(cid:36)(cid:64) a2 b2 |MF|(cid:50)(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:76)(cid:154)(cid:157)(cid:156)(cid:50)3(cid:77)(cid:36)(cid:49)(cid:57)(cid:58)(cid:50)(cid:67)(cid:95)(cid:47)(cid:26) (cid:31) A(cid:25)3 B(cid:25)4 C(cid:25)1 D(cid:25)2 5(cid:25)(cid:26)2024·(cid:195)(cid:188)(cid:196)(cid:197)·(cid:145)(cid:181)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:68)(cid:35)y=kxk ¹0(cid:69)(cid:57)(cid:58)C(cid:10) x2 + y2 =1a>b>0(cid:70)(cid:71)A(cid:36)B(cid:72)(cid:41)(cid:36)(cid:198)(cid:35) a2 b2 (cid:46)AB(cid:47)(cid:68)(cid:151)(cid:50)(cid:58)(cid:83)(cid:57)(cid:58)(cid:50)(cid:65)(cid:67)(cid:41)F(cid:36)(cid:64) FA =2 FB (cid:36)(cid:49)(cid:57)(cid:58)C(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:76)(cid:26) (cid:31) 1 1 1 A(cid:25) 5 B(cid:25) 5 C(cid:25) 5 D(cid:25) 5 2 4 3 9 x2 y2 6(cid:25)(cid:26)2024·(cid:188)(cid:189)(cid:199)(cid:200)·(cid:145)(cid:181)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:57)(cid:58)C: + =1a>b>0(cid:50)(cid:65)(cid:23)(cid:66)(cid:67)(cid:41)(cid:62)(cid:63)(cid:47)F,F (cid:36)(cid:191)(cid:192)(cid:146)(cid:47)45°(cid:84)(cid:83) a2 b2 1 2 (cid:133)(cid:41)(cid:50)(cid:68)(cid:35)l(cid:70)(cid:57)(cid:58)(cid:71)M,N(cid:72)(cid:41).(cid:64) MN = FF (cid:36)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:47)e(cid:36)(cid:49)e2 =(cid:26) (cid:31) 1 2 A(cid:25) 2-1 B(cid:25)2- 2 C(cid:25) 3-1 D(cid:25)3- 3 7(cid:25)(cid:26)2024·(cid:201)(cid:202)(cid:193)(cid:189)·(cid:145)(cid:181)(cid:31)(cid:32)(cid:33)F(cid:36)F (cid:76)(cid:57)(cid:58)(cid:97)(cid:203)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:7)(cid:204)(cid:67)(cid:41)(cid:36)P(cid:76)(cid:205)(cid:206)(cid:50)(cid:22)(cid:82)(cid:7)(cid:204)(cid:41)(cid:36)(cid:84) 1 2π ÐFPF = (cid:36)(cid:64)(cid:57)(cid:58)(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:47)e (cid:36)(cid:203)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:47)e (cid:36)(cid:49)e2+e2(cid:50)(cid:154)(cid:157)(cid:156)(cid:47)(cid:26) (cid:31) 1 2 3 1 2 1 2 5+ 3 2+ 3 A(cid:25)3+ 3 B(cid:25) C(cid:25) D(cid:25)4 2 2 x2 y2 8(cid:25)(cid:26)2024·(cid:207)(cid:208)·(cid:145)(cid:181)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:57)(cid:58) C: + =1(b>0) (cid:50)(cid:65)(cid:23)(cid:66)(cid:67)(cid:41)(cid:62)(cid:63)(cid:47)F,F (cid:36)(cid:41)P(cid:76)(cid:57)(cid:58)(cid:38)(cid:22)(cid:41)(cid:36)(cid:64)(cid:73)PFF 4 b2 1 2 1 2 (cid:50)(cid:94)(cid:60)(cid:47)M (cid:36)(cid:209)(cid:210)PM (cid:211)(cid:212)(cid:86)(cid:70)x(cid:43)(cid:71)(cid:41)Q(cid:36)(cid:84) PM = 3 QM (cid:36)(cid:49)(cid:57)(cid:58)(cid:50)(cid:130)(cid:43)(cid:86)(cid:47)(cid:26) (cid:31) 4 6 A(cid:25)2 B(cid:25)2 2 C(cid:25)2 3 D(cid:25) 3 x2 y2 9(cid:25)(cid:26)2024·(cid:213)(cid:183)(cid:214)(cid:215)·(cid:145)(cid:181)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:57)(cid:58)C(cid:10) + =1(cid:50)(cid:72)(cid:82)(cid:67)(cid:41)(cid:62)(cid:63)(cid:47)F(cid:36)F (cid:36)P(cid:76)C(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:22)(cid:41)(cid:36)(cid:49)(cid:153) 1 2 16 12 (cid:216)(cid:114)(cid:217)(cid:218)(cid:50)(cid:76)(cid:26) (cid:31) 1 A(cid:25)C(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:47) B(cid:25) PF (cid:50)(cid:154)(cid:157)(cid:156)(cid:47)2 2 1 C(cid:25) PF × PF (cid:50)(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:47)16 D(cid:25)(cid:141)(cid:219)(cid:115)(cid:87)(cid:41)P(cid:36)(cid:220)(cid:142)ÐFPF =65° 1 2 1 2 x2 y2 10(cid:25)(cid:26)2024·(cid:193)(cid:178)(cid:221)(cid:222)·(cid:181)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:57)(cid:58)C: + =1(a>b>0)(cid:50)(cid:65)､(cid:66)(cid:67)(cid:41)(cid:62)(cid:63)(cid:47)F,F (cid:36)(cid:83)F (cid:42)(cid:58) a2 b2 1 2 2 1 x2+y2 = b2(cid:173)(cid:136)(cid:35)(cid:70)(cid:57)(cid:58)(cid:71)(cid:41)P,O(cid:47)(cid:226)(cid:122)(cid:133)(cid:41)(cid:36)(cid:64)OP = OF (cid:36)(cid:49)(cid:57)(cid:58)(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:47)(cid:26) (cid:31) 4 2 1 3 5 2 A(cid:25) B(cid:25) C(cid:25) D(cid:25) 2 2 3 3 x2 y2 11(cid:25)(cid:26)2024·(cid:195)(cid:188)·(cid:145)(cid:181)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:57)(cid:58)G: + =1a>b>0(cid:50)(cid:65)(cid:23)(cid:66)(cid:67)(cid:41)(cid:62)(cid:63)(cid:47)F(cid:36)F (cid:36)(cid:83)F (cid:50)(cid:68)(cid:35)l(cid:69)(cid:57) a2 b2 1 2 2 (cid:58)G(cid:175)(cid:70)(cid:71)A(cid:23)B(cid:72)(cid:41)(cid:36)(cid:69)y(cid:43)(cid:175)(cid:70)(cid:71)(cid:41)C(cid:25)(cid:209)(cid:210)FC(cid:36)FA(cid:25)(cid:64)O(cid:47)(cid:226)(cid:122)(cid:133)(cid:41)(cid:36)FC ^FA(cid:36) 1 1 1 1 S =2S (cid:36)(cid:49)(cid:57)(cid:58)G(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:47)(cid:26) (cid:31) △COF2 △AF1F2 10 5 10 5 A(cid:25) B(cid:25) C(cid:25) D(cid:25) 5 5 10 10 (cid:78)(cid:23)(cid:227)(cid:20)(cid:21) x2 y2 12(cid:25)(cid:26)2024·(cid:193)(cid:194)(cid:228)(cid:229)·(cid:145)(cid:181)(cid:31)(cid:57)(cid:58)C: + =1m>0(cid:50)(cid:67)(cid:41)(cid:47)F(cid:36)F (cid:36)(cid:38)(cid:81)(cid:41)(cid:47)A(cid:36)(cid:68)(cid:35)AF (cid:69)C(cid:50) m2+1 m2 1 2 1 π (cid:230)(cid:22)(cid:82)(cid:70)(cid:41)(cid:47)B(cid:36)(cid:64)ÐFAF = (cid:36)(cid:49)(cid:26) (cid:31) 1 2 3 A(cid:25)C(cid:50)(cid:67)(cid:95)(cid:47)2 B(cid:25)C(cid:50)(cid:130)(cid:43)(cid:86)(cid:47)2 3 3 C(cid:25)C(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:47) D(cid:25)(cid:73)ABF (cid:50)(cid:85)(cid:86)(cid:47)8 2 2 13(cid:25)(cid:26)2024·(cid:231)(cid:232)·(cid:181)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:86)(cid:43)(cid:86)(cid:23)(cid:130)(cid:43)(cid:86)(cid:97)(cid:67)(cid:95)(cid:62)(cid:63)(cid:47)2a(cid:23)2b(cid:97)2c(cid:50)(cid:57)(cid:58)Ω(cid:36)(cid:41)A(cid:76)(cid:57)(cid:58)Ω(cid:69)(cid:160)(cid:86)(cid:43)(cid:50)(cid:22)(cid:82)(cid:70)(cid:41)(cid:36)(cid:41)B(cid:76)(cid:57)(cid:58)Ω(cid:69)(cid:160)(cid:130)(cid:43)(cid:50)(cid:22)(cid:82)(cid:70)(cid:41)(cid:36)(cid:41)F (cid:97)F (cid:47)(cid:160)(cid:67)(cid:41)(cid:36)AB^BF(cid:25)(cid:41)P(cid:87)(cid:57)(cid:58)Ω(cid:38)(cid:36) 1 2 1 π (cid:64)ÐF PF = (cid:36)(cid:49)(cid:26) (cid:31) 2 1 3 A(cid:25)a(cid:36)b(cid:36)c(cid:233)(cid:98)(cid:234)(cid:13)(cid:216) B(cid:25)a(cid:36)b(cid:36)c(cid:233)(cid:98)(cid:235)(cid:13)(cid:216) C(cid:25)(cid:57)(cid:58)Ω(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:61)e= 5+1 D(cid:25)VABF(cid:50)(cid:74)(cid:75)(cid:114)(cid:157)(cid:71)VPFF (cid:50)(cid:74)(cid:75) 1 1 2 x2 y2 2 14(cid:25)(cid:26)2024·(cid:193)(cid:194)·(cid:145)(cid:181)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:57)(cid:58)C: + =1(a>b>0)(cid:236)(cid:83)(cid:41)P( 2,1)(cid:36)(cid:84)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:47) (cid:25)(cid:103)C(cid:87)P(cid:172)(cid:50) a2 b2 2 (cid:136)(cid:35)(cid:47)l(cid:36)(cid:93)(cid:237)(cid:71)OP(cid:50)(cid:68)(cid:35)l¢(cid:69)C(cid:70)(cid:71)A(cid:36)B(cid:72)(cid:41)(cid:36)(cid:49)(cid:26) (cid:31) x2 y2 A(cid:25)C(cid:50)(cid:54)(cid:55) + =1 4 2 B(cid:25)(cid:68)(cid:35)OP(cid:69)l(cid:50)(cid:192)(cid:61)(cid:96)(cid:75)(cid:47)-1 C(cid:25)(cid:68)(cid:35)OP(cid:36)l(cid:69)(cid:226)(cid:122)(cid:43)(cid:129)(cid:233)(cid:50)(cid:145)(cid:146)(cid:117)(cid:76)(cid:98)(cid:238)(cid:145)(cid:146)(cid:117) D(cid:25)(cid:68)(cid:35)PA(cid:36)PB(cid:69)(cid:226)(cid:122)(cid:43)(cid:129)(cid:233)(cid:50)(cid:145)(cid:146)(cid:117)(cid:76)(cid:98)(cid:238)(cid:145)(cid:146)(cid:117) y2 x2 15(cid:25)(cid:26)2024·(cid:231)(cid:232)·(cid:78)(cid:181)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:58)O(cid:10)x2+y2 =3(cid:236)(cid:83)(cid:57)(cid:58)C(cid:10) + =1(cid:26)a> b> 0(cid:31)(cid:50)(cid:72)(cid:82)(cid:67)(cid:41)F(cid:36)F (cid:36) a2 b2 1 2 (cid:84)P(cid:47)(cid:58)O(cid:69)(cid:57)(cid:58)C(cid:87)(cid:88)(cid:22)(cid:89)(cid:90)(cid:94)(cid:50)(cid:7)(cid:204)(cid:41)(cid:36)(cid:84)(cid:73)PFF (cid:50)(cid:74)(cid:75)(cid:47)1(cid:36)(cid:49)(cid:153)(cid:216)(cid:167)(cid:168)(cid:217)(cid:218)(cid:50)(cid:76)(cid:26) (cid:31) 1 2 A(cid:25)(cid:57)(cid:58)C(cid:50)(cid:86)(cid:43)(cid:86)(cid:47)2 B(cid:25)(cid:57)(cid:58)C(cid:50)(cid:130)(cid:43)(cid:86)(cid:47)2 1 æ 3 2 6ö C(cid:25)(cid:57)(cid:58)C(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:47) D(cid:25)(cid:41)P(cid:50)(cid:226)(cid:122)(cid:47)ç , ÷ ç ÷ 2 è 3 3 ø x2 y2 æ πö 16(cid:25)(cid:26)2024·(cid:188)(cid:189)(cid:194)(cid:239)·(cid:145)(cid:181)(cid:31)(cid:139)(cid:57)(cid:58)C : + =1(a>b>0)(cid:38)(cid:144)(cid:240)(cid:50)(cid:41)(cid:241)(cid:133)(cid:41)(cid:242)(cid:243)qç0b>0)(cid:50)(cid:65)(cid:23)(cid:66)(cid:67)(cid:41)(cid:62)(cid:63)(cid:47)F(cid:23)F (cid:36)(cid:41)M,N(cid:87)C a2 b2 1 2 uuuur uuuur uuuur uuuur (cid:38)(cid:36)(cid:84)FF =3MN,FM ^F N (cid:36)(cid:49)(cid:57)(cid:58)C(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:47) (cid:25) 1 2 1 2 x2 y2 20(cid:25)(cid:26)2024·(cid:182)(cid:189)·(cid:145)(cid:181)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:57)(cid:58)C: + =1a>b>0(cid:50)(cid:65)(cid:23)(cid:66)(cid:67)(cid:41)(cid:62)(cid:63)(cid:47)F,F (cid:36)(cid:64)C(cid:38)(cid:115)(cid:87)(cid:22)(cid:41)P(cid:36) a2 b2 1 2 (cid:220)(cid:35)(cid:46)PF(cid:50)(cid:51)(cid:45)(cid:35)(cid:83)(cid:41)F (cid:36)(cid:49)C(cid:50)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:50)(cid:154)(cid:157)(cid:156)(cid:76) (cid:25) 1 2 x2 y2 21(cid:25)(cid:26)2024·(cid:253)(cid:189)(cid:254)(cid:255)·(cid:145)(cid:181)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:57)(cid:58)C: + =1(cid:50)(cid:65)(cid:23)(cid:66)(cid:67)(cid:41)(cid:62)(cid:63)(cid:47)F(cid:23)F (cid:36)M (cid:47)(cid:57)(cid:58)C(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:22)(cid:41)(cid:36) 1 2 5 4 P(cid:47)(cid:34)(cid:35)E:x2+y2-6x-4y+12=0(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:22)(cid:41)(cid:36)(cid:49) MP + MF (cid:50)(cid:154)(cid:157)(cid:156)(cid:47) . 2 y2 22(cid:25)(cid:26)2024·(cid:177)(cid:194)(cid:86)(cid:256)·(cid:145)(cid:181)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:57)(cid:58) +x2 =1(cid:36)P(cid:47)(cid:57)(cid:58)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:22)(cid:41)(cid:36)(cid:83)(cid:41)P(cid:62)(cid:63)(cid:44)(cid:69)(cid:68)(cid:35)l :y=3x(cid:97) 1 9 l :y=-3x(cid:93)(cid:237)(cid:50)(cid:68)(cid:35)(cid:36)(cid:62)(cid:63)(cid:70)l (cid:36)l (cid:70)(cid:71)M(cid:36)N(cid:72)(cid:41)(cid:36)(cid:49) MN (cid:50)(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:47) . 2 2 1 x2 y2 23(cid:25)(cid:26)2024·(cid:257)(cid:258)·(cid:145)(cid:181)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:57)(cid:58) + =1(a>b>0)(cid:50)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:41)(cid:47)F,F (cid:36)(cid:64)(cid:57)(cid:58)(cid:38)(cid:115)(cid:87)(cid:114)(cid:87)x(cid:43)(cid:38)(cid:50)(cid:72) a2 b2 1 2 uuur uuur uuuur (cid:41)A(cid:36)B(cid:259)(cid:48)FA+FB=FF (cid:36)(cid:84)sinÐFAB=2sinÐF AB(cid:36)(cid:49)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:60)(cid:61)e(cid:50)(cid:260)(cid:156)(cid:128)(cid:129)(cid:47) . 1 1 1 2 1 2