专题15椭圆（4大考向真题解读）-解析版_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年08月试卷_08202025版《真题题源解密-专题分类》数学

专题 15 椭圆 命题解读 考向 考查统计 1.高考对椭圆的考查，重点是 椭圆的定义和弦长 2022·新高考Ⅰ卷，16 （1）椭圆的定义、几何图形、标准方 椭圆的离心率 2023·新高考Ⅰ卷，5 程。 2022·新高考Ⅱ卷，16 直线与椭圆的应用 （2）椭圆的简单几何性质（范围、对 2023·新高考Ⅱ卷，5 称性、顶点、离心率）。 （3）直线和椭圆的位置关系及综合应 椭圆的轨迹方程 2024·新高考Ⅱ卷，5 用。 命题分析 2024年高考新高考Ⅰ卷椭圆的考查体现在大题中，后续专题会解读。Ⅱ卷考查了椭圆的轨迹方程求法， 难度较易。椭圆是圆雉曲线的重要内容，高考主要考查椭圆定义的运用、椭圆方程的求法以及椭圆的简单 几何性质，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点问题，因方法多，试题灵活，在各种题型中均有体现。 预计2025年高考还是主要考查椭圆的定义和离心率。 试题精讲 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:20)(cid:21) 1(cid:25)(cid:26)2024(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅱ(cid:30)·5(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)C(cid:10)x2+y2 =16(cid:26)y>0(cid:31)(cid:36)(cid:37)C(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:22)(cid:41)P(cid:42)x(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:35)(cid:46)PP¢(cid:36)P¢ (cid:47)(cid:45)(cid:48)(cid:36)(cid:49)(cid:35)(cid:46)PP¢(cid:50)(cid:51)(cid:41)M(cid:50)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:47)(cid:26) (cid:31) x2 y2 x2 y2 A(cid:25) + =1(cid:26)y>0(cid:31) B(cid:25) + =1(cid:26)y>0(cid:31) 16 4 16 8 y2 x2 y2 x2 C(cid:25) + =1(cid:26)y>0(cid:31) D(cid:25) + =1(cid:26)y>0(cid:31) 16 4 16 8 (cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)A (cid:56)(cid:60)(cid:61)(cid:59)(cid:62)(cid:41)M(x,y)(cid:36)(cid:63)(cid:21)(cid:40)(cid:36)(cid:64)(cid:65)(cid:51)(cid:41)(cid:50)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)P(x,2y)(cid:36)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:50)(cid:54)(cid:55)(cid:75)(cid:70)(cid:76)(cid:77). (cid:56)(cid:78)(cid:77)(cid:59)(cid:62)(cid:41)M(x,y)(cid:36)(cid:49)P(x,y ),P¢(x,0)(cid:36) 0 (cid:79)(cid:47)M (cid:47)PP¢(cid:50)(cid:51)(cid:41)(cid:36)(cid:80)(cid:81)y =2y(cid:36)(cid:75)P(x,2y)(cid:36) 0 (cid:82)P(cid:83)(cid:74)x2+y2 =16(y>0)(cid:38)(cid:36)x2 y2 (cid:80)(cid:81)x2+4y2 =16(y>0)(cid:36)(cid:75) + =1(y>0)(cid:36) 16 4 x2 y2 (cid:75)(cid:41)M (cid:50)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:47) + =1(y>0). 16 4 (cid:84)(cid:20)(cid:10)A (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:20)(cid:21) x2 x2 1(cid:25)(cid:26)2023(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅰ(cid:30)·5(cid:31)(cid:62)(cid:85)(cid:74)C : + y2 =1(a>1),C : + y2 =1(cid:50)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:60)(cid:89)(cid:47)e,e (cid:25)(cid:90)e = 3e (cid:36)(cid:49)a= 1 a2 2 4 1 2 2 1 (cid:26) (cid:31) 2 3 A(cid:25) B(cid:25) 2 C(cid:25) 3 D(cid:25) 6 3 (cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)A (cid:56)(cid:60)(cid:61)(cid:59)(cid:64)(cid:65)(cid:91)(cid:92)(cid:50)(cid:85)(cid:74)(cid:54)(cid:55)(cid:36)(cid:93)(cid:94)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:50)(cid:40)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)(cid:44)(cid:57). 4-1 a2-1 2 3 (cid:56)(cid:78)(cid:77)(cid:59)(cid:63)e = 3e (cid:36)(cid:71)e2 =3e2(cid:36)(cid:79)(cid:100) =3´ (cid:36)(cid:101)a >1(cid:36)(cid:80)(cid:81)a= . 2 1 2 1 4 a2 3 (cid:84)(cid:20)(cid:10)A x2 2(cid:25)(cid:26)2023(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅱ(cid:30)·5(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:85)(cid:74)C: +y2 =1(cid:50)(cid:102)(cid:23)(cid:103)(cid:104)(cid:41)(cid:60)(cid:89)(cid:47)F(cid:36)F (cid:36)(cid:105)(cid:35)y=x+m(cid:106)C(cid:107)(cid:108)A(cid:36) 1 2 3 B(cid:109)(cid:41)(cid:36)(cid:90)(cid:110)FAB (cid:111)(cid:112)(cid:113)(cid:110)F AB (cid:111)(cid:112)(cid:50)2(cid:114)(cid:36)(cid:49)m=(cid:26) (cid:31)(cid:25) 1 2 2 2 2 2 A(cid:25) B(cid:25) C(cid:25)- D(cid:25)- 3 3 3 3 (cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)C (cid:56)(cid:60)(cid:61)(cid:59)(cid:115)(cid:116)(cid:117)(cid:118)(cid:105)(cid:35)(cid:54)(cid:55)(cid:106)(cid:85)(cid:74)(cid:54)(cid:55)(cid:36)(cid:119)(cid:120)D>0(cid:36)(cid:76)(cid:121)m(cid:122)(cid:123)(cid:36)(cid:124)(cid:64)(cid:65)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:111)(cid:112)(cid:128)(cid:71)(cid:129)(cid:3)(cid:108)m(cid:50)(cid:54)(cid:55)(cid:36) (cid:77)(cid:121)(cid:75)(cid:70). ìy=x+m ï (cid:56)(cid:78)(cid:77)(cid:59)(cid:130)(cid:105)(cid:35)y=x+m(cid:106)(cid:85)(cid:74)(cid:117)(cid:118)íx2 (cid:36)(cid:131)(cid:132)y(cid:70)(cid:71)4x2+6mx+3m2-3=0(cid:36) ï +y2 =1 î 3 (cid:79)(cid:47)(cid:105)(cid:35)(cid:106)(cid:85)(cid:74)(cid:133)(cid:107)(cid:108)A,B(cid:41)(cid:36)(cid:49)D=36m2-4´4  3m2-3  >0(cid:36)(cid:77)(cid:71)-2b>0)(cid:36)C(cid:50)(cid:38)(cid:141)(cid:41)(cid:47)A(cid:36)(cid:109)(cid:142)(cid:104)(cid:41)(cid:47)F(cid:36)F (cid:36)(cid:86)(cid:87)(cid:88) a2 b2 1 2 (cid:47) 1 (cid:25)(cid:143)F(cid:144)(cid:45)(cid:105)(cid:108)AF (cid:50)(cid:105)(cid:35)(cid:106)C(cid:107)(cid:108)D(cid:36)E(cid:109)(cid:41)(cid:36)|DE|=6(cid:36)(cid:49)VADE(cid:50)(cid:145)(cid:146)(cid:113) (cid:25) 2 1 2 (cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)13 x2 y2 (cid:56)(cid:60)(cid:61)(cid:59)(cid:119)(cid:120)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:71)(cid:129)(cid:85)(cid:74)(cid:50)(cid:54)(cid:55)(cid:47) + =1(cid:36)(cid:75)3x2+4y2-12c2 =0(cid:36)(cid:64)(cid:65)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:71)(cid:129)(cid:105)(cid:35)AF (cid:50)(cid:147) 4c2 3c2 2 (cid:88)(cid:36)(cid:148)(cid:101)(cid:119)(cid:120)(cid:105)(cid:35)(cid:50)(cid:45)(cid:105)(cid:3)(cid:149)(cid:71)(cid:129)(cid:105)(cid:35)DE(cid:50)(cid:147)(cid:88)(cid:36)(cid:150)(cid:121)(cid:105)(cid:35)DE(cid:50)(cid:54)(cid:55)(cid:10)x= 3y-c(cid:36)(cid:72)(cid:73)(cid:85)(cid:74)(cid:54)(cid:55) 13 13 3x2+4y2-12c2=0(cid:36)(cid:151)(cid:15)(cid:16)(cid:152)(cid:71)(cid:129)(cid:10)13y2-6 3cy-9c2 =0(cid:36)(cid:119)(cid:120)(cid:153)(cid:146)(cid:7)(cid:97)(cid:76)(cid:71)c= (cid:36)(cid:71)a=2c= (cid:36)(cid:64)(cid:65)(cid:154) 8 4 (cid:155)(cid:156)(cid:130)VADE(cid:50)(cid:145)(cid:146)(cid:157)(cid:16)(cid:47)(cid:110)F DE(cid:50)(cid:145)(cid:146)(cid:36)(cid:119)(cid:120)(cid:85)(cid:74)(cid:50)(cid:92)(cid:95)(cid:71)(cid:129)(cid:145)(cid:146)(cid:47)4a=13. 2 c 1 (cid:56)(cid:78)(cid:77)(cid:59) (cid:85)(cid:74)(cid:50)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:47)e= = (cid:36) a=2c(cid:36) b2 =a2-c2 =3c2(cid:36) (cid:85)(cid:74)(cid:50)(cid:54)(cid:55)(cid:47) a 2 ∵ ∴ ∴ ∴ x2 y2 + =1(cid:36)(cid:75)3x2+4y2-12c2 =0(cid:36)(cid:158)(cid:159)(cid:62)(cid:102)(cid:104)(cid:41)(cid:47)F(cid:36)(cid:103)(cid:104)(cid:41)(cid:47)F (cid:36)(cid:160)(cid:161)(cid:80)(cid:69)(cid:36) AF =a(cid:36)OF =c(cid:36)a=2c(cid:36) 4c2 3c2 1 2 2 2 ∵ p ÐAFO= (cid:36) (cid:110)AFF (cid:47)(cid:162)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:36) (cid:143)F(cid:144)(cid:45)(cid:105)(cid:108)AF (cid:50)(cid:105)(cid:35)(cid:106)C(cid:107)(cid:108)D(cid:36)E(cid:109)(cid:41)(cid:36)DE(cid:47)(cid:35)(cid:46)AF (cid:50)(cid:45) 2 3 1 2 1 2 2 ∴ ∴ ∵ 3 (cid:105)(cid:163)(cid:60)(cid:35)(cid:36) (cid:105)(cid:35)DE(cid:50)(cid:147)(cid:88)(cid:47) (cid:36)(cid:147)(cid:88)(cid:164)(cid:13)(cid:47) 3 (cid:36) (cid:105)(cid:35)DE(cid:50)(cid:54)(cid:55)(cid:10)x= 3y-c(cid:36)(cid:72)(cid:73)(cid:85)(cid:74)(cid:54)(cid:55) 3 ∴ 3x2+4y2-12c2=0(cid:36)(cid:151)(cid:15)(cid:16)(cid:152)(cid:71)(cid:129)(cid:10)13y2-6 3cy-9c2 =0(cid:36)  2 (cid:165)(cid:89)(cid:97)D= 6 3c +4´13´9c2 =62´16´c2(cid:36)  2 Δ c DE = 1+ 3 y -y =2´ =2´6´4´ =6(cid:36) 1 2 13 13 ∴ 13 13 c= (cid:36) (cid:71)a=2c= (cid:36) 8 4 ∴ DE(cid:47)(cid:35)(cid:46)AF (cid:50)(cid:45)(cid:105)(cid:163)(cid:60)(cid:35)(cid:36)(cid:64)(cid:65)(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:36)AD=DF(cid:36)AE=EF (cid:36) VADE(cid:50)(cid:145)(cid:146)(cid:166)(cid:108)(cid:110)F DE(cid:50)(cid:145)(cid:146)(cid:36) 2 2 2 2 ∵(cid:119)(cid:120)(cid:85)(cid:74)(cid:50)(cid:92)(cid:95)(cid:71)(cid:129)(cid:110)F DE(cid:145)(cid:146)(cid:47) ∴ 2 DF + EF + DE = DF + EF + DF + EF = DF + DF + EF + EF =2a+2a=4a=13. 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 (cid:84)(cid:57)(cid:58)(cid:47)(cid:10)13.x2 y2 4(cid:25)(cid:26)2022(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅱ(cid:30)·16(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:105)(cid:35)l(cid:106)(cid:85)(cid:74) + =1(cid:83)(cid:167)(cid:22)(cid:168)(cid:169)(cid:107)(cid:108)A(cid:36)B(cid:109)(cid:41)(cid:36)l(cid:106)x(cid:43)(cid:36)y(cid:43)(cid:60)(cid:89)(cid:107)(cid:108) 6 3 M(cid:36)N(cid:109)(cid:41)(cid:36)(cid:144)|MA|=|NB|,|MN|=2 3(cid:36)(cid:49)l(cid:50)(cid:54)(cid:55)(cid:47) (cid:25) (cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)x+ 2y-2 2 =0 1 (cid:56)(cid:60)(cid:61)(cid:59)(cid:170)AB(cid:50)(cid:51)(cid:41)(cid:47)E(cid:36)(cid:62)Ax,y (cid:36)Bx ,y (cid:36)(cid:119)(cid:120)(cid:41)(cid:171)(cid:172)(cid:71)(cid:129)k ×k =- (cid:36)(cid:62)(cid:105)(cid:35)AB:y=kx+m(cid:36) 1 1 2 2 OE AB 2 k <0(cid:36)m>0(cid:36)(cid:76)(cid:121)M (cid:23)N (cid:50)(cid:66)(cid:67)(cid:36)(cid:124)(cid:64)(cid:65) MN (cid:76)(cid:121)k(cid:23)m(cid:36)(cid:75)(cid:70)(cid:71)(cid:77)(cid:173) (cid:56)(cid:78)(cid:77)(cid:59)[(cid:54)(cid:172)(cid:22)](cid:10)(cid:153)(cid:51)(cid:41)(cid:174)(cid:21)(cid:10)(cid:41)(cid:171)(cid:172) 1 (cid:170)AB(cid:50)(cid:51)(cid:41)(cid:47)E(cid:36)(cid:62)Ax,y (cid:36)Bx ,y (cid:36)(cid:119)(cid:120)(cid:41)(cid:171)(cid:172)(cid:71)(cid:129)k ×k =- (cid:36) 1 1 2 2 OE AB 2 (cid:62)(cid:105)(cid:35)AB:y=kx+m(cid:36)k <0(cid:36)m>0(cid:36)(cid:76)(cid:121)M (cid:23)N (cid:50)(cid:66)(cid:67)(cid:36) (cid:124)(cid:64)(cid:65) MN (cid:76)(cid:121)k(cid:23)m(cid:36)(cid:75)(cid:70)(cid:71)(cid:77)(cid:173) (cid:77)(cid:10)(cid:170)AB(cid:50)(cid:51)(cid:41)(cid:47)E(cid:36)(cid:79)(cid:47) MA = NB (cid:36)(cid:80)(cid:81) ME = NE (cid:36) (cid:62)Ax,y (cid:36)Bx ,y (cid:36)(cid:49) x 1 2 + y 1 2 =1(cid:36) x 2 2 + y 2 2 =1(cid:36) 1 1 2 2 6 3 6 3 x2 x 2 y2 y 2 x -x x +x  y +y y -y  (cid:80)(cid:81) 1 - 2 + 1 - 2 =0(cid:36)(cid:75) 1 2 1 2 + 1 2 1 2 =0 6 6 3 3 6 3 y +y y -y  1 1 (cid:80)(cid:81) 1 2 1 2 =- (cid:36)(cid:75)k ×k =- (cid:36)(cid:62)(cid:105)(cid:35)AB:y=kx+m(cid:36)k <0(cid:36)m>0(cid:36) x -x x +x  2 OE AB 2 1 2 1 2 m æ m ö (cid:170)x=0(cid:71)y=m(cid:36)(cid:170)y=0(cid:71)x=- (cid:36)(cid:75)Mç- ,0÷(cid:36)N0,m(cid:36) k è k ø æ m mö (cid:80)(cid:81)Eç- , ÷(cid:36) è 2k 2 øm 2 1 2 2 (cid:75)k´ =- (cid:36)(cid:77)(cid:71)k=- (cid:136)k = (cid:26)(cid:137)(cid:132)(cid:31)(cid:36) - m 2 2 2 2k  2 (cid:82) MN =2 3(cid:36)(cid:75) MN = m2+ 2m =2 3(cid:36)(cid:77)(cid:71)m=2(cid:136)m=-2(cid:26)(cid:137)(cid:132)(cid:31)(cid:36) 2 (cid:80)(cid:81)(cid:105)(cid:35)AB:y=- x+2(cid:36)(cid:75)x+ 2y-2 2 =0(cid:173) 2 (cid:84)(cid:57)(cid:58)(cid:47)(cid:10)x+ 2y-2 2 =0 [(cid:54)(cid:172)(cid:138)](cid:10)(cid:105)(cid:35)(cid:106)(cid:74)(cid:175)(cid:34)(cid:35)(cid:133)(cid:107)(cid:50)(cid:176)(cid:177)(cid:54)(cid:172) (cid:77)(cid:10)(cid:63)(cid:21)(cid:40)(cid:33)(cid:36)(cid:41)E(cid:178)(cid:47)(cid:35)(cid:46)AB(cid:50)(cid:51)(cid:41)(cid:82)(cid:113)(cid:35)(cid:46)MN(cid:50)(cid:51)(cid:41)(cid:36) (cid:62)Ax,y (cid:36)Bx ,y (cid:36)(cid:62)(cid:105)(cid:35)AB:y=kx+m(cid:36)k <0(cid:36)m>0(cid:36) 1 1 2 2 æ m ö æ m mö (cid:49)Mç- ,0÷(cid:36)N0,m(cid:36)Eç- , ÷(cid:36)(cid:79)(cid:47) MN =2 3(cid:36)(cid:80)(cid:81) OE = 3 è k ø è 2k 2 ø ìy=kx+m ï (cid:117)(cid:118)(cid:105)(cid:35)AB(cid:106)(cid:85)(cid:74)(cid:54)(cid:55)(cid:71)íx2 y2 (cid:131)(cid:179)y(cid:71)(1+2k2)x2+4mkx+2m2-6=0 ï + =1 î 6 3 4mk (cid:180)(cid:51)D=(cid:26)4mk(cid:31)2-4(1+2k2(cid:26)) 2m2-6(cid:31)>0,x +x =- (cid:36) 1 2 1+2k2 2mk æ m mö 2mk m AB(cid:51)(cid:41)E(cid:50)(cid:181)(cid:66)(cid:67)x =- ,(cid:82)Eç- , ÷(cid:36) x =- =- E 1+2k2 è 2k 2 ø E 1+2k2 2k ∴ ∴ 2 m m k <0(cid:36)m>0(cid:36) k=- ,(cid:82) OE = (cid:26)- (cid:31)2+(cid:26) (cid:31)2= 3(cid:36)(cid:77)(cid:71)m=2 2 2k 2 ∵ ∴ 2 (cid:80)(cid:81)(cid:105)(cid:35)AB:y=- x+2(cid:36)(cid:75)x+ 2y-2 2 =0 2(cid:22)(cid:23)(cid:85)(cid:74)(cid:50)(cid:92)(cid:95) (cid:163)(cid:111)(cid:182)(cid:106)(cid:109)(cid:142)(cid:92)(cid:41)F,F (cid:50)(cid:134)(cid:86)(cid:183)(cid:184)(cid:166)(cid:108)(cid:176)(cid:13)2a(cid:26)2a>|FF |(cid:31)(cid:50)(cid:41)(cid:50)(cid:52)(cid:53)(cid:185)(cid:186)(cid:85)(cid:74)(cid:36)(cid:187)(cid:109)(cid:142)(cid:92)(cid:41)(cid:185)(cid:186)(cid:85)(cid:74) 1 2 1 2 (cid:50)(cid:104)(cid:41)(cid:36)(cid:109)(cid:104)(cid:41)(cid:50)(cid:134)(cid:86)(cid:185)(cid:186)(cid:85)(cid:74)(cid:50)(cid:104)(cid:134)(cid:36)(cid:188)(cid:44)2c(cid:36)(cid:92)(cid:95)(cid:120)(cid:189)(cid:94)(cid:190)(cid:191)(cid:68)(cid:69)(cid:47)(cid:10) P||PF |+|PF |=2a(2a>|FF |=2c>0) 1 2 1 2 (cid:4)(cid:40)(cid:10)(cid:192)2a=2c(cid:193)(cid:36)(cid:41)(cid:50)(cid:52)(cid:53)(cid:113)(cid:35)(cid:46)(cid:173) (cid:192)2a<2c(cid:193)(cid:36)(cid:41)(cid:50)(cid:52)(cid:53)(cid:158)(cid:194)(cid:83)(cid:25) (cid:138)(cid:23)(cid:85)(cid:74)(cid:50)(cid:54)(cid:55)(cid:23)(cid:161)(cid:127)(cid:106)(cid:156)(cid:195) (cid:104)(cid:41)(cid:50)(cid:196) (cid:104)(cid:41)(cid:83)x(cid:43)(cid:38) (cid:104)(cid:41)(cid:83)y(cid:43)(cid:38) (cid:197) (cid:161)(cid:127) x2 y2 y2 x2 (cid:67)(cid:198)(cid:54)(cid:55) + =1a>b>0 + =1a>b>0 a2 b2 a2 b2 (cid:199)(cid:22)(cid:54)(cid:55) mx2 +ny2 =1(m>0,n>0,m¹n) ìx=acosq ìx=acosq (cid:200)(cid:13)(cid:54)(cid:55) í ,q(cid:47)(cid:200)(cid:13)(cid:26)qÎ[0,2p](cid:31) í ,q(cid:47)(cid:200)(cid:13)(cid:26)qÎ[0,2p](cid:31) îy=bsinq îy=bsinq (cid:167)(cid:22)(cid:92)(cid:95) (cid:129)(cid:109)(cid:92)(cid:41)F(cid:23)F (cid:50)(cid:134)(cid:86)(cid:183)(cid:184)(cid:166)(cid:108)(cid:176)(cid:13)2a(cid:36)(cid:75)|MF |+|MF |=2a(cid:26)2a>|FF |(cid:31) 1 2 1 2 1 2 (cid:122)(cid:123) -a£x£a(cid:144)-b£ y£b -b£x£b(cid:144)-a£ y£a (cid:141)(cid:41) A -a,0(cid:23)A a,0 A 0,-a(cid:23)A 0,a 1 2 1 2B 0,-b(cid:23)B 0,b B -b,0(cid:23)B b,0 1 2 1 2 (cid:43)(cid:146) (cid:146)(cid:43)(cid:146)=2a(cid:36)(cid:201)(cid:43)(cid:146)=2b (cid:146)(cid:43)(cid:146)=2a(cid:36)(cid:201)(cid:43)(cid:146)=2b (cid:154)(cid:155)(cid:156) (cid:3)(cid:108)x(cid:43)(cid:23)y(cid:43)(cid:154)(cid:155)(cid:36)(cid:3)(cid:108)(cid:202)(cid:41)(cid:51)(cid:87)(cid:154)(cid:155) (cid:104)(cid:41) F -c,0(cid:23)F c,0 F 0,-c(cid:23)F 0,c 1 2 1 2 (cid:104)(cid:134) FF =2c (c2 =a2 -b2) 1 2 c c2 a2 -b2 b2 (cid:86)(cid:87)(cid:88) e= = = = 1- (01 ì(cid:203) ì>1 ì(cid:203) (cid:41)(cid:184)(cid:85)(cid:74) x2 y2 ï ï y2 x2 ï ï 0 + 0 í=1Û(cid:41)(x ,y )(cid:83)(cid:85)(cid:74)í(cid:38) 0 + 0 í=1Û(cid:41)(x ,y )(cid:83)(cid:85)(cid:74)í(cid:38) (cid:50)(cid:3)(cid:149) a2 b2 ï 0 0 ï a2 b2 ï 0 0 ï î<1 î (cid:182) î<1 î (cid:182) x x y y y y x x 0 + 0 =1(cid:26)(x ,y )(cid:47)(cid:204)(cid:41)(cid:31) 0 + 0 =1(cid:26)(x ,y )(cid:47)(cid:204)(cid:41)(cid:31) a2 b2 0 0 a2 b2 0 0 (cid:204)(cid:35)(cid:54)(cid:55) (cid:154)(cid:108)(cid:143)(cid:85)(cid:74)(cid:38)(cid:22)(cid:41)(x ,y )(cid:50)(cid:204)(cid:35)(cid:54)(cid:55)(cid:36)(cid:205)(cid:206)(cid:130)(cid:85)(cid:74)(cid:54)(cid:55)(cid:51)x2(cid:207)(cid:47)x x(cid:36)y2(cid:207)(cid:47) 0 0 0 y y(cid:70)(cid:71) 0 (cid:204)(cid:41)(cid:153)(cid:80) x x y y y y x x (cid:83)(cid:50)(cid:105)(cid:35) 0 + 0 =1((cid:41)(x ,y )(cid:83)(cid:85)(cid:74)(cid:203)(cid:31) 0 + 0 =1((cid:41)(x ,y )(cid:83)(cid:85)(cid:74)(cid:203)(cid:31) a2 b2 0 0 a2 b2 0 0 (cid:54)(cid:55) 2b2 cosq= -1,q =ÐFBF (cid:36)(cid:26)B(cid:47)(cid:201)(cid:43)(cid:50)(cid:208)(cid:41)(cid:31) rr max 1 2 1 2 ① 1 q ìïc| y |,(cid:104)(cid:41)(cid:83)x(cid:43)(cid:38) S = rr sinq=b2tan =í 0 (q=ÐFPF ) DPF1F2 2 1 2 2 ïîc|x |,(cid:104)(cid:41)(cid:83)y(cid:43)(cid:38) 1 2 0 ② (cid:104)(cid:41)(cid:125)(cid:126) (cid:127)(cid:111)(cid:112) ìï(cid:192)P(cid:41)(cid:83)(cid:146)(cid:43)(cid:208)(cid:41)(cid:193),(cid:26)rr(cid:31)min=b2 1 2 í ïî (cid:192)P(cid:41)(cid:83)(cid:201)(cid:43)(cid:208)(cid:41)(cid:193),(cid:26)rr(cid:31)max=a2 1 2 ③ (cid:104)(cid:41)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:51)(cid:22)(cid:209)(cid:210)(cid:120)(cid:129)(cid:50)(cid:3)(cid:149)(cid:113) ì|MF |+|MF |=2(cid:26)a 2a>2c(cid:31) 1 2 ï ï 1 íS = |PF ||PF |sinÐFPF ) ï DPF1F2 2 1 2 1 2 î ï|FF |2=|PF |2 +|PF |2 -2|PF ||PF |cosÐFPF 1 2 1 2 1 2 1 2(cid:38)(cid:104)(cid:211)(cid:212)(cid:10) MF =a-ey (cid:102)(cid:104)(cid:211)(cid:212)(cid:10) MF =a+ex 1 0 1 0 (cid:213)(cid:104)(cid:211)(cid:212)(cid:10) MF =a+ey (cid:104)(cid:211)(cid:212) (cid:82)(cid:104)(cid:211)(cid:212)(cid:10) MF =a-ex 1 0 1 0 (cid:104)(cid:211)(cid:212)(cid:214)(cid:215)(cid:216)a+c(cid:36)(cid:214)(cid:217)(cid:216)a-c b2 (cid:218)(cid:212) (cid:143)(cid:104)(cid:41)(cid:144)(cid:45)(cid:105)(cid:108)(cid:146)(cid:43)(cid:50)(cid:153)(cid:185)(cid:218)(cid:212)(cid:10)(cid:218)(cid:212)(cid:146)=2 (cid:26)(cid:214)(cid:201)(cid:50)(cid:143)(cid:104)(cid:41)(cid:50)(cid:153)(cid:31) a (cid:62)(cid:105)(cid:35)(cid:106)(cid:85)(cid:74)(cid:50)(cid:109)(cid:142)(cid:107)(cid:41)(cid:47)A(x,y )(cid:36)B(x ,y )(cid:36)k =k(cid:36) 1 1 2 2 AB (cid:49)(cid:153)(cid:146) AB = 1+k2 x -x = 1+k2 (x +x )2 -4xx 1 2 1 2 1 2 (cid:153)(cid:146)(cid:7)(cid:97) 1 D = 1+ (y + y )2 -4y y = 1+k2 k2 1 2 1 2 |a| (cid:26)(cid:180)(cid:51)a(cid:113)(cid:131)y(cid:219)(cid:3)(cid:108)x(cid:50)(cid:22)(cid:220)(cid:138)(cid:221)(cid:54)(cid:55)(cid:50)x2(cid:50)(cid:149)(cid:13)(cid:36)D(cid:113)(cid:165)(cid:89)(cid:97)(cid:31) (cid:56)(cid:85)(cid:74)(cid:176)(cid:120)(cid:93)(cid:222)(cid:59) 2b2 1(cid:23)(cid:143)(cid:85)(cid:74)(cid:50)(cid:104)(cid:41)(cid:106)(cid:85)(cid:74)(cid:50)(cid:146)(cid:43)(cid:45)(cid:105)(cid:50)(cid:105)(cid:35)(cid:223)(cid:85)(cid:74)(cid:80)(cid:224)(cid:71)(cid:50)(cid:35)(cid:46)(cid:155)(cid:47)(cid:85)(cid:74)(cid:50)(cid:218)(cid:212)(cid:36)(cid:180)(cid:146)(cid:47) (cid:25) a (cid:85)(cid:74)(cid:38)(cid:129)(cid:51)(cid:87)(cid:134)(cid:86)(cid:214)(cid:217)(cid:50)(cid:41)(cid:113)(cid:201)(cid:43)(cid:50)(cid:109)(cid:142)(cid:208)(cid:41)(cid:36)(cid:129)(cid:51)(cid:87)(cid:134)(cid:86)(cid:214)(cid:215)(cid:50)(cid:41)(cid:113)(cid:146)(cid:43)(cid:50)(cid:109)(cid:142)(cid:208)(cid:41)(cid:25) (cid:85)(cid:74)(cid:38)(cid:129)(cid:104)(cid:41)(cid:134)(cid:86)(cid:214)(cid:215)(cid:184)(cid:214)(cid:217)(cid:50)(cid:41)(cid:113)(cid:146)(cid:43)(cid:50)(cid:109)(cid:142)(cid:208)(cid:41)(cid:25) ① ② (cid:134)(cid:86)(cid:50)(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:47)a+c(cid:36)(cid:134)(cid:86)(cid:50)(cid:214)(cid:217)(cid:216)(cid:47)a-c(cid:25) 2(cid:23)(cid:85)(cid:74)(cid:50)(cid:204)(cid:35) x2 y2 x x y y (cid:85)(cid:74) + =1 (a>b>0)(cid:38)(cid:22)(cid:41)P(x (cid:36)y )(cid:225)(cid:50)(cid:204)(cid:35)(cid:54)(cid:55)(cid:113) 0 + 0 =1(cid:173) a2 b2 0 0 a2 b2 ① x2 y2 x x y y (cid:143)(cid:85)(cid:74) + =1 (a>b>0)(cid:203)(cid:22)(cid:41)P(x (cid:36)y )(cid:36)(cid:80)(cid:226)(cid:109)(cid:227)(cid:204)(cid:35)(cid:50)(cid:204)(cid:41)(cid:153)(cid:54)(cid:55)(cid:113) 0 + 0 =1(cid:173) a2 b2 0 0 a2 b2 ② x2 y2 (cid:85)(cid:74) + =1 (a>b>0)(cid:106)(cid:105)(cid:35)Ax+By+C =0 (cid:133)(cid:204)(cid:50)(cid:227)(cid:228)(cid:113)A2a2 +B2b2 =c2(cid:25) a2 b2 ③ (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:20)(cid:21) 1(cid:25)(cid:26)2024·(cid:229)(cid:230)(cid:231)(cid:232)·(cid:125)(cid:233)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:85)(cid:74)C(cid:10) x2 + y2 =1(cid:50)(cid:22)(cid:142)(cid:104)(cid:41)(cid:47)0,2(cid:36)(cid:49)k(cid:50)(cid:216)(cid:47)(cid:26) (cid:31) 8 k A(cid:25)4 B(cid:25)8 C(cid:25)10 D(cid:25)12 (cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)D (cid:56)(cid:60)(cid:61)(cid:59)(cid:119)(cid:120)(cid:85)(cid:74)(cid:50)(cid:67)(cid:198)(cid:54)(cid:55)(cid:106)(cid:104)(cid:41)(cid:196)(cid:197)(cid:75)(cid:70)(cid:71)(cid:77). (cid:56)(cid:78)(cid:77)(cid:59)(cid:63)(cid:21)(cid:40)(cid:71)(cid:36)c2 =4(cid:36)a2 =k(cid:36)b2 =8(cid:36)(cid:80)(cid:81)k =4+8=12(cid:25)(cid:84)(cid:20)(cid:10)D(cid:25) x2 y2 y2 2(cid:25)(cid:26)2024·(cid:234)(cid:235)(cid:236)(cid:237)·(cid:125)(cid:233)(cid:31)(cid:90)(cid:85)(cid:74) + =1(cid:106)(cid:85)(cid:74)x2+ =1(cid:26)b>1(cid:31)(cid:50)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:133)(cid:238)(cid:36)(cid:49)(cid:239)(cid:13)b(cid:50)(cid:216)(cid:47) 4 3 b2 (cid:26) (cid:31) A(cid:25) 2 3 B(cid:25) 4 C(cid:25) 5 D(cid:25) 5 3 3 2 4 (cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)A (cid:56)(cid:60)(cid:61)(cid:59)(cid:63)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:133)(cid:166)(cid:96)(cid:121)(cid:3)(cid:108)b(cid:50)(cid:54)(cid:55)(cid:76)(cid:77)(cid:75)(cid:70). x2 y2 y2 (cid:56)(cid:78)(cid:77)(cid:59)(cid:90)(cid:85)(cid:74) + =1(cid:106)(cid:85)(cid:74)x2+ =1(cid:26)b>1(cid:31)(cid:50)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:133)(cid:238)(cid:36) 4 3 b2 4-3 b2-1 2 3 (cid:49) = (cid:36)(cid:77)(cid:71)b= >1(cid:240)(cid:48)(cid:21)(cid:40). 4 b2 3 (cid:84)(cid:20)(cid:10)A. x2 y2 π 3(cid:25)(cid:26)2024·(cid:241)(cid:242)(cid:243)(cid:241)·(cid:125)(cid:233)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:85)(cid:74)C: + =1(a>b>0)(cid:50)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:41)(cid:60)(cid:89)(cid:47)F,F ,(cid:143)F(cid:144)(cid:244)(cid:147)(cid:126)(cid:47) (cid:50) a2 b2 1 2 1 6 (cid:105)(cid:35)(cid:107)C(cid:108)(cid:167)(cid:22)(cid:168)(cid:169)(cid:182)(cid:22)(cid:41)A.(cid:90)(cid:35)(cid:46)AF (cid:50)(cid:51)(cid:41)(cid:83)y(cid:43)(cid:38),(cid:110)AFF (cid:50)(cid:111)(cid:112)(cid:47)2 3,(cid:49)C(cid:50)(cid:54)(cid:55)(cid:47)(cid:26) (cid:31) 1 1 2 x2 x2 y2 A(cid:25) +y2 =1 B(cid:25) + =1 3 3 2 x2 y2 x2 y2 C(cid:25) + =1 D(cid:25) + =1 9 3 9 6 (cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)D (cid:56)(cid:60)(cid:61)(cid:59)(cid:64)(cid:65)(cid:21)(cid:40)(cid:71)(cid:129)RtVAFF (cid:36)ÐAFF = π, ,(cid:62) AF =t(cid:36)(cid:180)(cid:245)(cid:246)(cid:247)(cid:248)(cid:120)t(cid:68)(cid:69),(cid:249)(cid:120)(cid:111)(cid:112)(cid:47)2 3(cid:250)(cid:251) 1 2 1 2 2 6 (cid:54)(cid:55)(cid:76)(cid:121)t.(cid:124)(cid:120)(cid:85)(cid:74)(cid:92)(cid:95)(cid:76)(cid:121)a,(cid:148)(cid:101)(cid:76)(cid:121)c,b(cid:75)(cid:70). (cid:56)(cid:78)(cid:77)(cid:59)(cid:160)(cid:161),QO(cid:47)(cid:35)(cid:46)FF (cid:50)(cid:51)(cid:41),B(cid:47)(cid:35)(cid:46)AF (cid:50)(cid:51)(cid:41),\OBP AF ,(cid:82)OB^x(cid:43), \AF ^x(cid:43). 1 2 1 2 2 (cid:83)RtVAFF (cid:51), ÐAFF = π,(cid:62) AF =t,(cid:49) AF =2t, FF = 3t.QVAFF (cid:50)(cid:111)(cid:112)(cid:47)2 3, 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 6 1 \ ´ 3t´t=2 3,t =2.\2a= AF + AF =3t =6,a=3, 2 1 2 x2 y2 2c= FF = 3t =2 3,c= 3,b2 =a2-c2 =6,(cid:49)C(cid:50)(cid:54)(cid:55)(cid:47) + =1. 1 2 9 6 (cid:84)(cid:20)(cid:10)D.x2 y2 4(cid:25)(cid:26)2024·(cid:252)(cid:253)·(cid:125)(cid:233)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:85)(cid:74)C: + =1(a>b>0)(cid:50)(cid:103)(cid:104)(cid:41)(cid:47)F (cid:36)(cid:201)(cid:43)(cid:146)(cid:47)2 3(cid:36)(cid:41)M (cid:83)(cid:85)(cid:74)(cid:38)(cid:36)(cid:90) a2 b2 |MF|(cid:50)(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:113)(cid:214)(cid:217)(cid:216)(cid:50)3(cid:114)(cid:36)(cid:49)(cid:85)(cid:74)(cid:50)(cid:104)(cid:134)(cid:47)(cid:26) (cid:31) A(cid:25)3 B(cid:25)4 C(cid:25)1 D(cid:25)2 (cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)D (cid:56)(cid:60)(cid:61)(cid:59)(cid:119)(cid:120)(cid:85)(cid:74)(cid:50)(cid:254)(cid:255)(cid:156)(cid:195)(cid:71)(cid:129)(cid:3)(cid:108)a,c(cid:50)(cid:54)(cid:55)(cid:256)(cid:36)(cid:77)(cid:183)(cid:75)(cid:70)(cid:71)(cid:77). (cid:56)(cid:78)(cid:77)(cid:59)(cid:257)(cid:21)(cid:40)(cid:36)(cid:85)(cid:74)(cid:201)(cid:43)(cid:146)(cid:47)2 3(cid:36)(cid:71)b= 3(cid:36)(cid:49)a2-c2 =b2 =3(cid:36) (cid:82)|MF|(cid:50)(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:113)(cid:214)(cid:217)(cid:216)(cid:50)3(cid:114)(cid:36)(cid:75)a+c=3(a-c)(cid:36) (cid:80)(cid:81)a=2c(cid:36)(cid:80)(cid:81)a=2,c=1(cid:36)(cid:49)(cid:180)(cid:104)(cid:134)(cid:47)2c=2. (cid:84)(cid:20)(cid:10)D 5(cid:25)(cid:26)2024·(cid:258)(cid:241)(cid:259)(cid:260)·(cid:125)(cid:233)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:105)(cid:35)y=kxk ¹0(cid:106)(cid:85)(cid:74)C(cid:10) x2 + y2 =1a>b>0(cid:107)(cid:108)A(cid:36)B(cid:109)(cid:41)(cid:36)(cid:81)(cid:35) a2 b2 (cid:46)AB(cid:47)(cid:105)(cid:212)(cid:50)(cid:74)(cid:143)(cid:85)(cid:74)(cid:50)(cid:102)(cid:104)(cid:41)F(cid:36)(cid:90) FA =2 FB (cid:36)(cid:49)(cid:85)(cid:74)C(cid:50)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:113)(cid:26) (cid:31) 1 1 1 A(cid:25) 5 B(cid:25) 5 C(cid:25) 5 D(cid:25) 5 2 4 3 9 (cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)C (cid:56)(cid:60)(cid:61)(cid:59)(cid:63)(cid:21)(cid:40)(cid:70)(cid:71)(cid:261)(cid:246)(cid:127)AFBF (cid:47)(cid:262)(cid:127)(cid:36)(cid:93)(cid:94)(cid:85)(cid:74)(cid:92)(cid:95)(cid:106)(cid:263)(cid:264)(cid:92)(cid:15)(cid:70)(cid:130) FA + FB (cid:60)(cid:89)(cid:120)a(cid:184)c(cid:68)(cid:69)(cid:36)(cid:75) 1 2 1 1 (cid:70)(cid:71)(cid:86)(cid:87)(cid:88). (cid:56)(cid:78)(cid:77)(cid:59)(cid:265)(cid:103)(cid:104)(cid:41)F (cid:36)(cid:266)(cid:267)AF (cid:23)BF (cid:36)(cid:63)F(cid:83)(cid:81)(cid:35)(cid:46)AB(cid:47)(cid:105)(cid:212)(cid:50)(cid:74)(cid:38)(cid:36) 2 2 2 1 (cid:84)AF ^ BF (cid:36)(cid:93)(cid:94)(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:70)(cid:33)(cid:261)(cid:246)(cid:127)AFBF (cid:47)(cid:262)(cid:127)(cid:36)(cid:268) AF = BF (cid:36) 1 1 1 2 2 1 (cid:268)OA=OB=OF =c(cid:36)(cid:82) FA =2 FB (cid:36) 1 1 1 (cid:63) FA 2+ FB 2 =2c2(cid:36)(cid:49) FA = 4 5 c(cid:36) FB = 2 5 c(cid:36) 1 1 1 5 1 5 (cid:63)(cid:85)(cid:74)(cid:92)(cid:95)(cid:70)(cid:71) FA + AF =2a(cid:36) 1 2 4 5 2 5 6 5 (cid:84) FA + FB = c+ c= c=2a(cid:36) 1 1 5 5 5 c 2 5 e= = = (cid:49) a 6 5 3 . 5(cid:84)(cid:20)(cid:10)C. x2 y2 6(cid:25)(cid:26)2024·(cid:241)(cid:242)(cid:269)(cid:270)·(cid:125)(cid:233)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:85)(cid:74)C: + =1a>b>0(cid:50)(cid:102)(cid:23)(cid:103)(cid:104)(cid:41)(cid:60)(cid:89)(cid:47)F,F (cid:36)(cid:244)(cid:147)(cid:126)(cid:47)45°(cid:144)(cid:143) a2 b2 1 2 (cid:202)(cid:41)(cid:50)(cid:105)(cid:35)l(cid:107)(cid:85)(cid:74)(cid:108)M,N(cid:109)(cid:41).(cid:90) MN = FF (cid:36)(cid:62)(cid:85)(cid:74)(cid:50)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:47)e(cid:36)(cid:49)e2 =(cid:26) (cid:31) 1 2 A(cid:25) 2-1 B(cid:25)2- 2 C(cid:25) 3-1 D(cid:25)3- 3 (cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)B (cid:56)(cid:60)(cid:61)(cid:59)(cid:64)(cid:65)(cid:21)(cid:40) MN = FF =2c(cid:36)(cid:71)(cid:129)(cid:261)(cid:246)(cid:127)NFMF (cid:47)(cid:262)(cid:127)(cid:36)(cid:63)(cid:105)(cid:35)l(cid:143)(cid:202)(cid:41)(cid:144)(cid:244)(cid:147)(cid:126)(cid:47)45°(cid:36)(cid:83)VMOF 1 2 1 2 2 (cid:184)(cid:110)MOF (cid:51)(cid:36)(cid:119)(cid:120)(cid:271)(cid:153)(cid:92)(cid:15)(cid:98)(cid:99)(cid:71) MF , MF (cid:36)(cid:93)(cid:94)(cid:85)(cid:74)(cid:50)(cid:92)(cid:95)2a= MF + MF ,(cid:76)(cid:71)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:36)(cid:148)(cid:101)(cid:98)(cid:99) 1 1 2 1 2 (cid:121)e2. (cid:56)(cid:78)(cid:77)(cid:59)(cid:160)(cid:161)(cid:80)(cid:69)(cid:36) (cid:79)(cid:47) MN = FF =2c(cid:36)(cid:144)O(cid:60)(cid:89)(cid:47)MN(cid:184)FF (cid:50)(cid:51)(cid:41)(cid:36) OM = OF = ON = OF =c(cid:36)(cid:80)(cid:81)(cid:261)(cid:246)(cid:127)NFMF 1 2 1 2 2 1 1 2 (cid:47)(cid:262)(cid:127)(cid:36) (cid:82)(cid:105)(cid:35)l(cid:143)(cid:202)(cid:41)(cid:144)(cid:244)(cid:147)(cid:126)(cid:47)45°(cid:36)(cid:75)ÐMOF =45°(cid:36)ÐMOF =135°(cid:36)(cid:144)VMOF (cid:47)(cid:166)(cid:272)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:36) 2 1 2 (cid:80)(cid:81)(cid:36)(cid:83)VMOF (cid:51)(cid:36)(cid:64)(cid:65)(cid:271)(cid:153)(cid:92)(cid:15)(cid:70)(cid:71) MF 2 =c2+c2-2´c´c´cos45° =(2- 2)c2(cid:36)(cid:75) MF = 2- 2c(cid:36) 2 2 2 (cid:238)(cid:193)(cid:36)(cid:83)(cid:110)MOF (cid:51)(cid:36)(cid:64)(cid:65)(cid:271)(cid:153)(cid:92)(cid:15)(cid:70)(cid:71) MF 2 =c2+c2-2´c´c´cos135° =(2+ 2)c2(cid:36)(cid:75) MF = 2+ 2c(cid:36) 1 1 1 c 2 (cid:80)(cid:81)2a= MF + MF = 2- 2c+ 2+ 2c(cid:36)(cid:70)(cid:71)e= = (cid:36) 1 2 a 2- 2 + 2+ 22 æ ö 2 4 2 e2 =ç ÷ = = =2- 2. ç è 2- 2 + 2+ 2 ÷ ø 2- 2+2 2+2+ 2 2+ 2 (cid:84)(cid:20)(cid:10)B. 7(cid:25)(cid:26)2024·(cid:273)(cid:274)(cid:252)(cid:242)·(cid:125)(cid:233)(cid:31)(cid:32)(cid:33)F(cid:36)F (cid:113)(cid:85)(cid:74)(cid:184)(cid:275)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:7)(cid:276)(cid:104)(cid:41)(cid:36)P(cid:113)(cid:245)(cid:277)(cid:50)(cid:22)(cid:142)(cid:7)(cid:276)(cid:41)(cid:36)(cid:144) 1 2 π ÐFPF = (cid:36)(cid:90)(cid:85)(cid:74)(cid:50)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:47)e (cid:36)(cid:275)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:47)e (cid:36)(cid:49)e2+e2(cid:50)(cid:214)(cid:217)(cid:216)(cid:47)(cid:26) (cid:31) 1 2 3 1 2 1 2 5+ 3 2+ 3 A(cid:25)3+ 3 B(cid:25) C(cid:25) D(cid:25)4 2 2 (cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)C x2 y2 x2 y2 (cid:56)(cid:60)(cid:61)(cid:59)(cid:62)(cid:85)(cid:74)(cid:184)(cid:275)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:54)(cid:55)(cid:60)(cid:89)(cid:47)(cid:10) + =1(cid:36) - =1(cid:36)(cid:135)(cid:71)a2-b2 =a2+b2 =c2(cid:36)(cid:62) a2 b2 a2 b2 1 1 2 2 1 1 2 2 PF =m, PF =n(cid:36)(cid:119)(cid:120)(cid:85)(cid:74)(cid:184)(cid:275)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:92)(cid:95)(cid:71)(cid:129)m=a -a ,n=a +a (cid:36)(cid:278)(cid:219)(cid:83)(cid:110)PFF (cid:51)(cid:36)(cid:119)(cid:120)(cid:271)(cid:153)(cid:92)(cid:15) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 (cid:71)(cid:129) + =4(cid:36)(cid:278)(cid:219)(cid:119)(cid:120)(cid:279)(cid:280)(cid:158)(cid:166)(cid:97)(cid:76)(cid:77). e2 e2 1 2 (cid:56)(cid:78)(cid:77)(cid:59)(cid:77)(cid:10)(cid:160)(cid:161)(cid:80)(cid:69)(cid:10) x2 y2 x2 y2 (cid:62)(cid:85)(cid:74)(cid:184)(cid:275)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:54)(cid:55)(cid:60)(cid:89)(cid:47)(cid:10) + =1(cid:36) - =1(cid:36) a2 b2 a2 b2 1 1 2 2 (cid:63)(cid:21)(cid:40)(cid:71)a2-b2 =a2+b2 =c2(cid:36) 1 1 2 2 (cid:62) PF =m, PF =n(cid:36)(cid:49)m+n=2a,n-m=2a (cid:36) 1 2 1 2 (cid:77)(cid:71)m=a -a ,n=a +a (cid:36) 1 2 1 2 (cid:83)(cid:110)PFF (cid:51)(cid:36)(cid:63)(cid:271)(cid:153)(cid:92)(cid:15)(cid:71)(cid:10) FF 2 = PF 2+ PF 2-2 PF × PF ×cosÐFPF (cid:36) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (cid:75)2c2 =a -a 2+a +a 2-a -a a +a (cid:36)(cid:16)(cid:152)(cid:71)4c2 =a2+3a2(cid:36) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 (cid:49) + =4(cid:36) e2 e2 1 2 (cid:80)(cid:81)e2+e2 = 1 e2+e2 æ ç 1 + 3 ö ÷= 1æ ç e 2 2 + 3e 1 2 +4 ö ÷(cid:36) 1 2 4 1 2 èe2 e2 ø 4èe2 e2 ø 1 2 1 2 1 æ e2 3e2 ö 2+ 3 ³ ç2 2 × 1 +4÷= (cid:36) 4ç e2 e2 ÷ 2 è 1 2 øe2 3e2 (cid:192)(cid:144)(cid:281)(cid:192) 2 = 1 (cid:36)(cid:75)e2 = 3e2(cid:193)(cid:36)(cid:166)(cid:9)(cid:282)(cid:118)(cid:173) e2 e2 2 1 1 2 (cid:84)(cid:20)(cid:10)C x2 y2 8(cid:25)(cid:26)2024·(cid:261)(cid:283)·(cid:125)(cid:233)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:85)(cid:74) C: + =1(b>0) (cid:50)(cid:102)(cid:23)(cid:103)(cid:104)(cid:41)(cid:60)(cid:89)(cid:47)F,F (cid:36)(cid:41)P(cid:113)(cid:85)(cid:74)(cid:38)(cid:22)(cid:41)(cid:36)(cid:90)(cid:110)PFF 4 b2 1 2 1 2 (cid:50)(cid:182)(cid:87)(cid:47)M (cid:36)(cid:266)(cid:267)PM (cid:284)(cid:285)(cid:146)(cid:107)x(cid:43)(cid:108)(cid:41)Q(cid:36)(cid:144) PM = 3 QM (cid:36)(cid:49)(cid:85)(cid:74)(cid:50)(cid:201)(cid:43)(cid:146)(cid:47)(cid:26) (cid:31) 4 6 A(cid:25)2 B(cid:25)2 2 C(cid:25)2 3 D(cid:25) 3 (cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)D PF 2a (cid:56)(cid:60)(cid:61)(cid:59)(cid:94)(cid:15)(cid:250)(cid:286)(cid:161)(cid:127)(cid:36)(cid:119)(cid:120)(cid:126)(cid:163)(cid:60)(cid:35)(cid:92)(cid:15)(cid:184)(cid:166)(cid:128)(cid:92)(cid:15)(cid:71)(cid:129) 2 = (cid:36)(cid:124)(cid:76)(cid:201)(cid:43)(cid:146)(cid:287)(cid:75)(cid:70). QF 2c 2 (cid:56)(cid:78)(cid:77)(cid:59) (cid:160)(cid:161)(cid:36)(cid:266)(cid:267)MF,MF ,(cid:83)(cid:110)PFQ(cid:184)(cid:110)PFQ(cid:51)(cid:36) 1 2 1 2 PM PF PF (cid:119)(cid:120)(cid:126)(cid:163)(cid:60)(cid:35)(cid:92)(cid:15)(cid:70)(cid:71) = 1 = 2 = 3, QM QF QF 1 2 PF PF +PF 2a 2 3 2 6 (cid:63)(cid:166)(cid:128)(cid:92)(cid:15)(cid:70)(cid:71) 2 = 1 2 = ,(cid:37)(cid:101)c= ,b= . QF QF +QF 2c 3 3 2 1 2 4 6 (cid:84)(cid:85)(cid:74)(cid:50)(cid:201)(cid:43)(cid:146)(cid:47)2b= (cid:36)(cid:84)B(cid:162)(cid:288). 3 (cid:84)(cid:20)(cid:10)B (cid:56)(cid:41)(cid:289)(cid:59)(cid:3)(cid:290)(cid:41)(cid:41)(cid:289)(cid:10)(cid:280)(cid:21)(cid:29)(cid:291)(cid:77)(cid:61)(cid:254)(cid:255)(cid:36)(cid:77)(cid:21)(cid:3)(cid:290)(cid:113)(cid:94)(cid:15)(cid:250)(cid:286)(cid:161)(cid:127)(cid:36)(cid:278)(cid:219)(cid:119)(cid:120)(cid:126)(cid:163)(cid:60)(cid:35)(cid:92)(cid:15)(cid:184)(cid:166)(cid:128)(cid:92)(cid:15) PF 2a (cid:71)(cid:129) 2 = (cid:36)(cid:124)(cid:76)(cid:77)(cid:201)(cid:43)(cid:146)(cid:287)(cid:75)(cid:70)(cid:25) QF 2c 2 x2 y2 9(cid:25)(cid:26)2024·(cid:292)(cid:235)(cid:293)(cid:294)·(cid:125)(cid:233)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:85)(cid:74)C(cid:10) + =1(cid:50)(cid:109)(cid:142)(cid:104)(cid:41)(cid:60)(cid:89)(cid:47)F(cid:36)F (cid:36)P(cid:113)C(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:22)(cid:41)(cid:36)(cid:49)(cid:213) 1 2 16 12 (cid:96)(cid:158)(cid:162)(cid:288)(cid:50)(cid:113)(cid:26) (cid:31) 1 A(cid:25)C(cid:50)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:47) B(cid:25) PF (cid:50)(cid:214)(cid:217)(cid:216)(cid:47)2 2 1 C(cid:25) PF × PF (cid:50)(cid:214)(cid:215)(cid:216)(cid:47)16 D(cid:25)(cid:70)(cid:295)(cid:194)(cid:83)(cid:41)P(cid:36)(cid:296)(cid:71)ÐFPF =65° 1 2 1 2 (cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)D(cid:56)(cid:60)(cid:61)(cid:59)(cid:76)(cid:121)(cid:85)(cid:74)C(cid:50)(cid:146)(cid:201)(cid:211)(cid:43)(cid:146)(cid:297)(cid:211)(cid:104)(cid:134)(cid:36)(cid:124)(cid:93)(cid:94)(cid:85)(cid:74)(cid:50)(cid:156)(cid:195)(cid:298)(cid:299)(cid:60)(cid:61)(cid:98)(cid:99)(cid:75)(cid:70). x2 y2 (cid:56)(cid:78)(cid:77)(cid:59)(cid:85)(cid:74)C(cid:10) + =1(cid:50)(cid:146)(cid:211)(cid:43)(cid:146)a=4(cid:36)(cid:201)(cid:211)(cid:43)(cid:146)b=2 3(cid:36)(cid:211)(cid:104)(cid:134) c= a2-b2 =2 (cid:36) 16 12 c 1 (cid:154)(cid:108)A(cid:36)C(cid:50)(cid:86)(cid:87)(cid:88)e= = (cid:36)A(cid:162)(cid:288)(cid:173) a 2 ìPF + PF =2a ï 1 2 (cid:154)(cid:108)B(cid:36)(cid:63)í (cid:36)(cid:71)a-c£|PF |£a+c(cid:36)(cid:79)(cid:100)|PF | =a-c=2(cid:36)B(cid:162)(cid:288)(cid:173) 1 1 min ï PF - PF £2c î 1 2 |PF |+|PF | (cid:154)(cid:108)C(cid:36)|PF |×|PF |£( 1 2 )2 =a2 =16(cid:36)(cid:192)(cid:144)(cid:281)(cid:192)|PF |=|PF |=4(cid:193)(cid:265)(cid:166)(cid:9)(cid:36)C(cid:162)(cid:288)(cid:173) 1 2 2 1 2 |PF |2 +|PF |2 -|FF |2 (2a)2-(2c)2 (cid:154)(cid:108)D(cid:36)(cid:192)P(cid:158)(cid:83)x(cid:43)(cid:38)(cid:193)(cid:36)cosÐFPF = 1 2 1 2 = -1(cid:36) 1 2 2|PF ||PF | 2|PF ||PF | 1 2 1 2 24 24 1 = -1³ -1= (cid:36)(cid:192)(cid:144)(cid:281)(cid:192)|PF |=|PF |=4(cid:265)(cid:166)(cid:9)(cid:36) |PF ||PF | 16 2 1 2 1 2 (cid:192)P(cid:83)x(cid:43)(cid:38)(cid:193)(cid:36)cosÐFPF =1(cid:36)(cid:38)(cid:300)(cid:158)(cid:166)(cid:97)(cid:282)(cid:118)(cid:36)(cid:79)(cid:100)ÐFPF (cid:214)(cid:215)(cid:47)60°(cid:36)D(cid:301)(cid:302). 1 2 1 2 (cid:84)(cid:20)(cid:10)D x2 y2 10(cid:25)(cid:26)2024·(cid:252)(cid:230)(cid:303)(cid:304)·(cid:233)(cid:305)(cid:306)(cid:307)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:85)(cid:74)C: + =1(a>b>0)(cid:50)(cid:102)､(cid:103)(cid:104)(cid:41)(cid:60)(cid:89)(cid:47)F,F (cid:36)(cid:143)F (cid:42)(cid:74) a2 b2 1 2 2 1 x2+y2 = b2(cid:226)(cid:204)(cid:35)(cid:107)(cid:85)(cid:74)(cid:108)(cid:41)P,O(cid:47)(cid:66)(cid:67)(cid:202)(cid:41)(cid:36)(cid:90)OP = OF (cid:36)(cid:49)(cid:85)(cid:74)(cid:50)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:47)(cid:26) (cid:31) 4 2 1 3 5 2 A(cid:25) B(cid:25) C(cid:25) D(cid:25) 2 2 3 3 (cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)C (cid:56)(cid:60)(cid:61)(cid:59)(cid:116)(cid:308)(cid:121)(cid:161)(cid:127)(cid:36)(cid:63) OP = OF = OF (cid:71)PF ^PF (cid:36)(cid:148)(cid:101)(cid:71)OM//PF(cid:36) PF =2OM =b(cid:36)(cid:278)(cid:219)(cid:63)(cid:85)(cid:74) 2 1 1 2 1 1 b 2 (cid:50)(cid:92)(cid:95)(cid:70)(cid:71) PF =2a-b(cid:36)(cid:63)(cid:263)(cid:264)(cid:92)(cid:15) = (cid:36)(cid:37)(cid:101)(cid:75)(cid:70)(cid:71)(cid:129)(cid:86)(cid:87)(cid:88). 2 a 3 (cid:56)(cid:78)(cid:77)(cid:59)(cid:63)(cid:21)(cid:40)(cid:308)(cid:121)(cid:161)(cid:127)(cid:36)(cid:160)(cid:213)(cid:161)(cid:10) (cid:62)(cid:204)(cid:41)(cid:47)M(cid:36)(cid:266)(cid:267)PF(cid:36)(cid:63)(cid:32)(cid:33) OP = OF = OF (cid:36) PF ^PF (cid:36) 1 2 1 1 2 OM ^PF (cid:36) OM//PF(cid:36)(cid:82)O(cid:113)FF (cid:50)(cid:51)(cid:41)(cid:36) ∴ 2 1 1 2 ∵ ∴1 1 (cid:74)x2+y2 = b2(cid:50)(cid:211)(cid:212)(cid:47) b(cid:36) 4 2 PF =2OM =b(cid:36) PF =2a-b(cid:36) 1 2 b2+2a-b2 =4c2 =4  a2-b2 (cid:36)(cid:75)2a=3b(cid:36)(cid:71) b = 2 (cid:36) a 3 ∴ c a2-b2 æbö 2 5 e= = = 1-ç ÷ = . a a2 èaø 3 (cid:84)(cid:20)(cid:10)C. x2 y2 11(cid:25)(cid:26)2024·(cid:258)(cid:241)·(cid:125)(cid:233)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:85)(cid:74)G: + =1a>b>0(cid:50)(cid:102)(cid:23)(cid:103)(cid:104)(cid:41)(cid:60)(cid:89)(cid:47)F(cid:36)F (cid:36)(cid:143)F (cid:50)(cid:105)(cid:35)l(cid:106)(cid:85) a2 b2 1 2 2 (cid:74)G(cid:133)(cid:107)(cid:108)A(cid:23)B(cid:109)(cid:41)(cid:36)(cid:106)y(cid:43)(cid:133)(cid:107)(cid:108)(cid:41)C(cid:25)(cid:266)(cid:267)FC(cid:36)FA(cid:25)(cid:90)O(cid:47)(cid:66)(cid:67)(cid:202)(cid:41)(cid:36)FC ^FA(cid:36) 1 1 1 1 S =2S (cid:36)(cid:49)(cid:85)(cid:74)G(cid:50)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:47)(cid:26) (cid:31) △COF2 △AF1F2 10 5 10 5 A(cid:25) B(cid:25) C(cid:25) D(cid:25) 5 5 10 10 (cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)A (cid:56)(cid:60)(cid:61)(cid:59)(cid:63)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:111)(cid:112)(cid:3)(cid:149)(cid:71)(cid:121) FC =4t = FC (cid:36)(cid:124)(cid:63)(cid:263)(cid:264)(cid:92)(cid:15)(cid:297)(cid:85)(cid:74)(cid:92)(cid:95)(cid:76)(cid:121)t(cid:36)(cid:119)(cid:120)(cid:271)(cid:153)(cid:92)(cid:15)(cid:297) 2 1 cosÐAFF +cosÐCFO=0(cid:76)(cid:77)(cid:75)(cid:70). 2 1 2 (cid:56)(cid:78)(cid:77)(cid:59)(cid:62) F A =t(cid:36)(cid:63)S =2S 2 △COF2 △AF1F2 (cid:70)(cid:71)S =2S =4S (cid:36)(cid:63)(cid:108)VFCF (cid:106)(cid:110)AFF (cid:166)(cid:28)(cid:36) (cid:110)F1CF2 △COF2 △AF1F2 1 2 1 2 (cid:80)(cid:81) FC =4t = FC (cid:36) 2 1 (cid:82)FC ^FA(cid:36) AC =5t(cid:36) FA =3t(cid:36) 1 1 1 ∴ a (cid:82) AF + AF =2a=4t(cid:36) t = (cid:36) 1 2 2 ∴ c (cid:83)△CFO(cid:51)(cid:36)cosÐCFO= (cid:36) 2 2 2a cosÐAFF +cosÐCFO=0(cid:36) 2 1 2 ∵ c \cosÐAF F =- 2 1 2aAF 2+ FF 2- AF 2 2c2-a2 c (cid:83)△AFF(cid:51)(cid:36)cosÐAF F = 2 1 2 1 = =- (cid:36) 2 1 2 1 2 F A× FF ac 2a 2 1 2 c2 10 (cid:16)(cid:152)(cid:70)(cid:71)2a2 =5c2(cid:36)(cid:77)(cid:71)e= = (cid:36) a2 5 (cid:84)(cid:20)(cid:10)A(cid:25) (cid:56)(cid:41)(cid:289)(cid:59)(cid:3)(cid:290)(cid:41)(cid:41)(cid:289)(cid:10)(cid:280)(cid:21)(cid:3)(cid:290)(cid:41)(cid:183)(cid:22)(cid:64)(cid:65)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:111)(cid:112)(cid:3)(cid:149)(cid:71)(cid:121) FC = FC =4t(cid:36)(cid:180)(cid:221)(cid:206)(cid:210)(cid:64)(cid:65) 2 1 cosÐAFF +cosÐCFO=0(cid:286)(cid:118)a,c(cid:3)(cid:149). 2 1 2 (cid:138)(cid:23)(cid:309)(cid:20)(cid:21) x2 y2 12(cid:25)(cid:26)2024·(cid:252)(cid:253)(cid:310)(cid:311)·(cid:125)(cid:233)(cid:31)(cid:85)(cid:74)C: + =1m>0(cid:50)(cid:104)(cid:41)(cid:47)F(cid:36)F (cid:36)(cid:38)(cid:141)(cid:41)(cid:47)A(cid:36)(cid:105)(cid:35)AF (cid:106)C(cid:50) m2+1 m2 1 2 1 π (cid:312)(cid:22)(cid:142)(cid:107)(cid:41)(cid:47)B(cid:36)(cid:90)ÐFAF = (cid:36)(cid:49)(cid:26) (cid:31) 1 2 3 A(cid:25)C(cid:50)(cid:104)(cid:134)(cid:47)2 B(cid:25)C(cid:50)(cid:201)(cid:43)(cid:146)(cid:47)2 3 3 C(cid:25)C(cid:50)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:47) D(cid:25)(cid:110)ABF (cid:50)(cid:145)(cid:146)(cid:47)8 2 2 (cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)ABD 2 π b2 æ 3ö m2 (cid:56)(cid:60)(cid:61)(cid:59)(cid:64)(cid:65)ÐFAF = (cid:81)(cid:297)(cid:85)(cid:74)(cid:50)(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:70)(cid:71) =ç ÷ = (cid:36)(cid:148)(cid:101)(cid:70)(cid:76)(cid:77)a=2,b= 3,c=1(cid:36)(cid:75)(cid:70) 1 2 3 a2 ç è 2 ÷ ø m2+1 (cid:64)(cid:65)(cid:20)(cid:299)(cid:298)(cid:22)(cid:76)(cid:77). π π (cid:56)(cid:78)(cid:77)(cid:59)(cid:63)(cid:108)ÐFAF = (cid:36)(cid:80)(cid:81)ÐFAO=ÐOAF = , 1 2 3 1 2 6 π AO b b 3 (cid:84)cosÐFAO=cos = = = = (cid:36) 1 6 AF c2+b2 a 2 1 2 b2 æ 3ö m2 (cid:79)(cid:100) =ç ÷ = (cid:36)(cid:84)m2 =3(cid:36) a2 è ç 2 ø ÷ m2+1 x2 y2 (cid:80)(cid:81)(cid:85)(cid:74)C: + =1(cid:36)a=2,b= 3,c=1 4 3 (cid:154)(cid:108)A(cid:36)(cid:104)(cid:134)(cid:47)2c=2(cid:36)(cid:84)A(cid:162)(cid:288)(cid:36) (cid:154)(cid:108)B(cid:36)(cid:201)(cid:43)(cid:146)(cid:47)2b=2 3(cid:36)B(cid:162)(cid:288)(cid:36) c 1 (cid:154)(cid:108)C(cid:36)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:47)e= = (cid:36)C(cid:301)(cid:302)(cid:36) a 2 (cid:154)(cid:108)D(cid:36)(cid:110)ABF (cid:50)(cid:145)(cid:146)(cid:47)4a=8(cid:36)D(cid:162)(cid:288)(cid:36) 2 (cid:84)(cid:20)(cid:10)ABD13(cid:25)(cid:26)2024·(cid:247)(cid:313)·(cid:233)(cid:305)(cid:306)(cid:307)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:146)(cid:43)(cid:146)(cid:23)(cid:201)(cid:43)(cid:146)(cid:184)(cid:104)(cid:134)(cid:60)(cid:89)(cid:47)2a(cid:23)2b(cid:184)2c(cid:50)(cid:85)(cid:74)Ω(cid:36)(cid:41)A(cid:113)(cid:85)(cid:74)Ω(cid:106)(cid:180) (cid:146)(cid:43)(cid:50)(cid:22)(cid:142)(cid:107)(cid:41)(cid:36)(cid:41)B(cid:113)(cid:85)(cid:74)Ω(cid:106)(cid:180)(cid:201)(cid:43)(cid:50)(cid:22)(cid:142)(cid:107)(cid:41)(cid:36)(cid:41)F (cid:184)F (cid:47)(cid:180)(cid:104)(cid:41)(cid:36)AB^BF(cid:25)(cid:41)P(cid:83)(cid:85)(cid:74)Ω(cid:38)(cid:36) 1 2 1 π (cid:90)ÐF PF = (cid:36)(cid:49)(cid:26) (cid:31) 2 1 3 A(cid:25)a(cid:36)b(cid:36)c(cid:282)(cid:166)(cid:171)(cid:13)(cid:96) B(cid:25)a(cid:36)b(cid:36)c(cid:282)(cid:166)(cid:128)(cid:13)(cid:96) C(cid:25)(cid:85)(cid:74)Ω(cid:50)(cid:86)(cid:87)(cid:88)e= 5+1 D(cid:25)VABF(cid:50)(cid:111)(cid:112)(cid:158)(cid:217)(cid:108)VPFF (cid:50)(cid:111)(cid:112) 1 1 2 (cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)BD (cid:56)(cid:60)(cid:61)(cid:59) AB(cid:20)(cid:299)(cid:36)(cid:64)(cid:65)(cid:45)(cid:105)(cid:3)(cid:149)(cid:71)(cid:129)k k =-1(cid:36)(cid:76)(cid:121)b2 =ac(cid:36)(cid:71)(cid:129)A(cid:301)(cid:302)(cid:36)B(cid:162)(cid:288)(cid:173)C(cid:20)(cid:299)(cid:36)(cid:64)(cid:65)b2 =ac(cid:71)(cid:129) BF1 AB c2+ac-a2 =0(cid:36)(cid:148)(cid:101)(cid:76)(cid:121)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:173)D(cid:20)(cid:299)(cid:36)(cid:98)(cid:99)(cid:121)VABF (cid:184)(cid:110)PFF (cid:50)(cid:111)(cid:112)(cid:36)(cid:44)(cid:171)(cid:172)(cid:93)(cid:94)(cid:279)(cid:280)(cid:158)(cid:166)(cid:97)(cid:76)(cid:121)(cid:57) 1 1 2 (cid:58). (cid:56)(cid:78)(cid:77)(cid:59)AB(cid:20)(cid:299)(cid:36)(cid:85)(cid:74)(cid:54)(cid:55)(cid:47) x2 + y2 =1(cid:36)(cid:158)(cid:159)(cid:62)Aa,0(cid:36)B0,b(cid:36) a2 b2 (cid:84)F-c,0(cid:36) 1 (cid:79)(cid:47)AB^BF (cid:36)(cid:144)(cid:105)(cid:35)AB,BF(cid:50)(cid:147)(cid:88)(cid:194)(cid:83)(cid:36)(cid:80)(cid:81)k k =-1(cid:36) 1 1 BF1 AB b æ bö (cid:75) ×ç- ÷=-1(cid:36)(cid:84)b2 =ac(cid:36)a,b,c(cid:282)(cid:166)(cid:128)(cid:13)(cid:96)(cid:36)A(cid:301)(cid:302)(cid:36)B(cid:162)(cid:288)(cid:173) c è aø C(cid:20)(cid:299)(cid:36)(cid:79)(cid:47)b2 =a2-c2(cid:36)b2 =ac(cid:36)(cid:80)(cid:81)c2+ac-a2 =0(cid:36) -1± 5 (cid:54)(cid:55)(cid:109)(cid:246)(cid:238)(cid:314)(cid:81)a2(cid:71)(cid:36)e2+e-1=0(cid:36)(cid:77)(cid:71)e= (cid:36)(cid:315)(cid:216)(cid:137)(cid:132)(cid:36) 25-1 (cid:84)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:47)e= (cid:36)C(cid:301)(cid:302)(cid:173) 2 D(cid:20)(cid:299)(cid:36)(cid:63)(cid:85)(cid:74)(cid:92)(cid:95)(cid:71) PF + PF =2a(cid:36)FF = 2c(cid:36) 1 2 1 2 π (cid:79)(cid:47)F PF = (cid:36)(cid:80)(cid:81) PF 2+ PF 2- PF PF =4c2(cid:36) 2 1 3 1 2 1 2 PF + PF =2a(cid:109)(cid:246)(cid:163)(cid:54)(cid:71) PF 2+ PF 2+2 PF × PF =4a2(cid:36) 1 2 1 2 1 2 1 3 3b2 (cid:84)3 PF × PF =4b2(cid:36)S = PF × PF × = (cid:36) 1 2 VPF1F2 2 1 2 2 3 1 1 ab+bc S = AF ×OB = a+c×b= (cid:36) VABF1 2 1 2 2 (cid:82)b2 =ac(cid:36)(cid:144)a>c(cid:36)(cid:63)(cid:279)(cid:280)(cid:158)(cid:166)(cid:97)(cid:71) ab+bc -b2 = b a+c-2b= b a+c-2 ac  >0(cid:36) 2 2 2 ab+bc (cid:80)(cid:81)S = >b2 >S (cid:75)VABF (cid:50)(cid:111)(cid:112)(cid:158)(cid:217)(cid:108)(cid:110)PFF (cid:50)(cid:111)(cid:112)(cid:36)D(cid:162)(cid:288). VABF1 2 VPF1F2 1 1 2 (cid:84)(cid:20)(cid:10)BD x2 y2 2 14(cid:25)(cid:26)2024·(cid:252)(cid:253)·(cid:125)(cid:233)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:85)(cid:74)C: + =1(a>b>0)(cid:316)(cid:143)(cid:41)P( 2,1)(cid:36)(cid:144)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:47) (cid:25)(cid:188)C(cid:83)P(cid:225)(cid:50) a2 b2 2 (cid:204)(cid:35)(cid:47)l(cid:36)(cid:163)(cid:317)(cid:108)OP(cid:50)(cid:105)(cid:35)l¢(cid:106)C(cid:107)(cid:108)A(cid:36)B(cid:109)(cid:41)(cid:36)(cid:49)(cid:26) (cid:31) x2 y2 A(cid:25)C(cid:50)(cid:54)(cid:55) + =1 4 2 B(cid:25)(cid:105)(cid:35)OP(cid:106)l(cid:50)(cid:147)(cid:88)(cid:183)(cid:112)(cid:47)-1 C(cid:25)(cid:105)(cid:35)OP(cid:36)l(cid:106)(cid:66)(cid:67)(cid:43)(cid:123)(cid:282)(cid:50)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:113)(cid:166)(cid:272)(cid:125)(cid:126)(cid:127) D(cid:25)(cid:105)(cid:35)PA(cid:36)PB(cid:106)(cid:66)(cid:67)(cid:43)(cid:123)(cid:282)(cid:50)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:113)(cid:166)(cid:272)(cid:125)(cid:126)(cid:127) (cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)ACD (cid:56)(cid:60)(cid:61)(cid:59)(cid:64)(cid:65)(cid:21)(cid:318)(cid:96)(cid:121)(cid:54)(cid:55)(cid:256)(cid:36)(cid:77)(cid:54)(cid:55)(cid:256)(cid:70)(cid:165)(cid:319)A(cid:173)(cid:64)(cid:65)(cid:105)(cid:35)(cid:106)(cid:85)(cid:74)(cid:133)(cid:204)(cid:50)(cid:70)(cid:76)(cid:121)(cid:105)(cid:35)l(cid:50)(cid:54)(cid:55)(cid:75)(cid:70)(cid:165)(cid:319) B(cid:36)C(cid:173)(cid:218)(cid:143)(cid:98)(cid:99)k +k =0(cid:70)(cid:165)(cid:319)D. PA PB ì c 2 ï = ï a 2 ì a=2 ï 2 1 ï x2 y2 (cid:56)(cid:78)(cid:77)(cid:59)í + =1 , \íb= 2\(cid:85)(cid:74)(cid:54)(cid:55)(cid:47)(cid:10) + =1(cid:36)(cid:84)A(cid:162)(cid:288)(cid:173) ï a2 b2 ï 4 2 ïab2 =b2+c2 îc= 2 ï î x2 (cid:160)(cid:161)(cid:36)(cid:79)(cid:47)(cid:41)P(cid:83)(cid:167)(cid:22)(cid:168)(cid:169)(cid:36)(cid:265)(cid:85)(cid:74)(cid:54)(cid:55)(cid:50)(cid:103)(cid:211)(cid:248)(cid:60)(cid:71)(cid:10)y= 2- (cid:36)(cid:49) 2 1 - ¢ y¢= 1æ ç2- x2 ö ÷ 2 · æ ç2- x2 ö ÷ = -x (cid:36) 2è 2 ø è 2 ø 8-2x22 b2 1 (cid:80)(cid:81)k = y¢ =- (cid:36)(cid:80)(cid:81)k ×k =- =- (cid:36)(cid:84)B(cid:301)(cid:302)(cid:173) PM x= 2 2 OP PM a2 2 k +k =0(cid:36)(cid:49)VPOM (cid:47)(cid:166)(cid:272)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:36)(cid:84)C(cid:162)(cid:288)(cid:173) PM OP ì 2 ïy= x+m 2 ï 2 AB:y= x+m,í (cid:36)(cid:131)y(cid:70)(cid:71)x2+ 2mx+m2-2=0(cid:36) 2 ï x2 y2 + =1 ïî 4 2 y -1 y -1 x +x =- 2m, xx =m2-2, k +k = 1 + 2 1 2 1 2 PA PB x - 2 x - 2 1 2 2 2 = 2 x 1 +m-1 + 2 x 2 +m-1 = 2x 1 x 2 +(m-2)x 1 +x 2 -2 2m+2 2 =0    x - 2 x - 2 x - 2 x - 2 1 2 1 2 PA,PB(cid:106)(cid:66)(cid:67)(cid:43)(cid:123)(cid:282)(cid:50)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:113)(cid:166)(cid:272)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:36)(cid:84)D(cid:162)(cid:288). (cid:84)(cid:20)(cid:10)ACD y2 x2 15(cid:25)(cid:26)2024·(cid:247)(cid:313)·(cid:138)(cid:233)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:74)O(cid:10)x2+y2 =3(cid:316)(cid:143)(cid:85)(cid:74)C(cid:10) + =1(cid:26)a> b> 0(cid:31)(cid:50)(cid:109)(cid:142)(cid:104)(cid:41)F(cid:36)F (cid:36) a2 b2 1 2 (cid:144)P(cid:47)(cid:74)O(cid:106)(cid:85)(cid:74)C(cid:83)(cid:167)(cid:22)(cid:168)(cid:169)(cid:182)(cid:50)(cid:7)(cid:276)(cid:41)(cid:36)(cid:144)(cid:110)PFF (cid:50)(cid:111)(cid:112)(cid:47)1(cid:36)(cid:49)(cid:213)(cid:96)(cid:93)(cid:222)(cid:162)(cid:288)(cid:50)(cid:113)(cid:26) (cid:31) 1 2 A(cid:25)(cid:85)(cid:74)C(cid:50)(cid:146)(cid:43)(cid:146)(cid:47)2 B(cid:25)(cid:85)(cid:74)C(cid:50)(cid:201)(cid:43)(cid:146)(cid:47)2 1 æ 3 2 6ö C(cid:25)(cid:85)(cid:74)C(cid:50)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:47) D(cid:25)(cid:41)P(cid:50)(cid:66)(cid:67)(cid:47)ç , ÷ ç ÷ 2 è 3 3 ø (cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)BD (cid:56)(cid:60)(cid:61)(cid:59)(cid:64)(cid:65)(cid:74)(cid:50)(cid:54)(cid:55)(cid:288)(cid:92)c(cid:50)(cid:216)(cid:36)(cid:124)(cid:63)(cid:110)PFF (cid:50)(cid:111)(cid:112)(cid:70)(cid:71)(cid:41)P(cid:50)(cid:66)(cid:67)(cid:36)(cid:37)(cid:101)(cid:70)(cid:71)a,b(cid:50)(cid:216)(cid:36)(cid:124)(cid:298)(cid:299)(cid:165)(cid:319) 1 2 (cid:75)(cid:70)(cid:71)(cid:57)(cid:58). y2 x2 (cid:56)(cid:78)(cid:77)(cid:59)(cid:79)(cid:47)(cid:74)O(cid:10)x2+y2 =3(cid:316)(cid:143)(cid:85)(cid:74)C(cid:10) + =1(cid:26)a> b> 0(cid:31)(cid:50)(cid:109)(cid:142)(cid:104)(cid:41)F(cid:36)F (cid:36) a2 b2 1 2 (cid:80)(cid:81)c= 3(cid:36) (cid:82)P(cid:47)(cid:74)O(cid:106)(cid:85)(cid:74)C(cid:83)(cid:167)(cid:22)(cid:168)(cid:169)(cid:182)(cid:50)(cid:7)(cid:276)(cid:41)(cid:36) 1 1 3 2 6 (cid:49)S = FF ×x = ´2 3×x =1(cid:36)(cid:84)x = (cid:36)(cid:72)(cid:73)(cid:74)(cid:54)(cid:55)(cid:70)(cid:71)x2 +y2 =3(cid:36)(cid:80)(cid:81)y = (cid:36)(cid:84)(cid:41)P(cid:50) VPF1F2 2 1 2 P 2 P P 3 P P P 3 æ 3 2 6ö (cid:66)(cid:67)(cid:47)ç , ÷(cid:36)(cid:84)D(cid:162)(cid:288)(cid:173) ç ÷ è 3 3 øæ 3 2 6ö 8 1 (cid:130)(cid:41)P(cid:50)(cid:66)(cid:67)ç ç è 3 , 3 ÷ ÷ ø (cid:72)(cid:73)(cid:85)(cid:74)(cid:54)(cid:55)(cid:70)(cid:71) 3a2 + 3b2 =1(cid:36)(cid:82)a2 =b2+c2 =b2+3(cid:36)(cid:77)(cid:71)a=2,b=1(cid:36) (cid:84)(cid:85)(cid:74)C(cid:50)(cid:146)(cid:43)(cid:146)(cid:47)4(cid:36)(cid:201)(cid:43)(cid:146)(cid:47)2(cid:36)(cid:84)A(cid:158)(cid:162)(cid:288)(cid:36)B(cid:162)(cid:288)(cid:173) c 3 (cid:49)(cid:85)(cid:74)C(cid:50)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:47)e= = (cid:36)(cid:84)C(cid:158)(cid:162)(cid:288). a 2 (cid:84)(cid:20)(cid:10)BD. x2 y2 æ πö 16(cid:25)(cid:26)2024·(cid:241)(cid:242)(cid:253)(cid:320)·(cid:125)(cid:233)(cid:31)(cid:130)(cid:85)(cid:74)C : + =1(a>b>0)(cid:38)(cid:80)(cid:268)(cid:50)(cid:41)(cid:321)(cid:202)(cid:41)(cid:322)(cid:157)qç0b>0)(cid:38)(cid:80)(cid:268)(cid:50)(cid:41)(cid:321)(cid:202)(cid:41)(cid:322)(cid:157)qç00(cid:36)y >0(cid:31)(cid:36)|PF |=m(cid:36)|PF |=n(cid:36)ÐFPF =q(cid:36) 0 0 0 0 1 2 1 2 ìx2 y2 ï 0 + 0 =1 ìïx = 6 (cid:63)í 8 4 (cid:36)(cid:77)(cid:71)í 0 (cid:36)(cid:82)F(-2,0)(cid:36)F (2,0)(cid:36) ï ïîy =1 1 2 î x 0 2+y 0 2 = 7 0 (cid:80)(cid:81)m= ( 6+2)2+12 = 11+4 6 (cid:36)n= ( 6-2)2+12 = 11-4 6 (cid:36) (cid:80)(cid:81)mn= 11+4 6× 11-4 6 = 112-(4 6)2 =5(cid:25) (cid:63)(cid:85)(cid:74)(cid:50)(cid:92)(cid:95)(cid:71)m+n=2a=4 2(cid:36) (cid:83)(cid:110)FPF (cid:51)(cid:36)(cid:63)(cid:271)(cid:153)(cid:92)(cid:15)(cid:36)(cid:71)|FF |2=m2+n2-2mncosq(cid:36) 1 2 1 2 (cid:75)42 =(m+n)2-2mn-2mncosq=(4 2)2-2´5-2´5cosq(cid:36) 3 (cid:77)(cid:71)cosq= (cid:36)(cid:84)A(cid:162)(cid:288)(cid:173) 5 uuur uuuur 3 PF ×PF =mncosq=5´ =3(cid:36)(cid:84)B(cid:301)(cid:302)(cid:173) 1 2 5 1 1 3 (cid:110)FPF (cid:50)(cid:111)(cid:112)(cid:47)S = mnsinq= ´5´ 1-( )2 =2(cid:36)(cid:84)C(cid:162)(cid:288)(cid:173) 1 2 VF1PF2 2 2 51 (cid:62)(cid:110)FPF (cid:50)(cid:182)(cid:204)(cid:74)(cid:211)(cid:212)(cid:47)r(cid:36)(cid:63)(cid:110)FPF (cid:50)(cid:111)(cid:112)(cid:133)(cid:166)(cid:36)(cid:71)S = (m+n+|FF |)r(cid:36) 1 2 1 2 △F1PF2 2 1 2 1 (cid:75)2= (4 2+4)r(cid:36)(cid:77)(cid:71)r= 2-1(cid:36)(cid:84)D(cid:162)(cid:288)(cid:25) 2 (cid:84)(cid:20)(cid:10)ACD(cid:25) (cid:172)2(cid:10)(cid:62)|PF |=m(cid:36)|PF |=n(cid:36)ÐFPF =q(cid:25)(cid:135)(cid:33)a=2 2(cid:36)c= 8-4 =2(cid:36) 1 2 1 2 uuur uuuur (cid:63)(cid:339)(cid:16)(cid:340)(cid:166)(cid:97)(cid:36)(cid:71)PF ×PF =|OP|2 -|OF |2=7-4=3(cid:36)(cid:84)B(cid:301)(cid:302)(cid:173) 1 2 1 (cid:63)(cid:51)(cid:35)(cid:146)(cid:92)(cid:15)(cid:71)m2+n2 =2(|OP|2 +|OF |2)=22(cid:36)(cid:63)(cid:85)(cid:74)(cid:92)(cid:95)(cid:71)m+n=2a=4 2(cid:36) 1 (cid:80)(cid:81)(m+n)2 =m2+n2+2mn=22+2mn=32(cid:36)(cid:80)(cid:81)mn=5(cid:36) uuur uuuur PF ×PF 3 (cid:80)(cid:81)cosq= 1 2 = (cid:36)(cid:84)A(cid:162)(cid:288)(cid:173) mn 5 3 4 1 1 4 (cid:63)cosq= (cid:36)(cid:71)sinq= 1-cos2q= (cid:36)(cid:80)(cid:81)S = mnsinq= ´5´ =2(cid:36)(cid:84)C(cid:162)(cid:288)(cid:173) 5 5 VF1PF2 2 2 5 1 (cid:62)(cid:110)FPF (cid:50)(cid:182)(cid:204)(cid:74)(cid:211)(cid:212)(cid:47)r(cid:36)(cid:63)(cid:110)FPF (cid:50)(cid:111)(cid:112)(cid:133)(cid:166)(cid:36)(cid:71)S = (m+n+|FF |)r(cid:36) 1 2 1 2 △F1PF2 2 1 2 1 (cid:75)2= (4 2+4)r(cid:36)(cid:77)(cid:71)r= 2-1(cid:36)(cid:84)D(cid:162)(cid:288)(cid:25) 2 (cid:84)(cid:20)(cid:10)ACD(cid:25) (cid:125)(cid:23)(cid:139)(cid:140)(cid:21) 18(cid:25)(cid:26)2024·(cid:38)(cid:341)·(cid:125)(cid:233)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:85)(cid:74)C(cid:50)(cid:104)(cid:41)F(cid:23)F (cid:342)(cid:83)x(cid:43)(cid:38)(cid:36)P(cid:47)(cid:85)(cid:74)C(cid:38)(cid:22)(cid:41)(cid:36)(cid:110)PFF (cid:50)(cid:145)(cid:146)(cid:47)6(cid:36) 1 2 1 2 (cid:144) PF (cid:36) FF (cid:36) PF (cid:282)(cid:166)(cid:171)(cid:13)(cid:96)(cid:36)(cid:49)(cid:85)(cid:74)C(cid:50)(cid:67)(cid:198)(cid:54)(cid:55)(cid:47) (cid:25) 1 1 2 2 x2 y2 (cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59) + =1 4 3 (cid:56)(cid:60)(cid:61)(cid:59)(cid:64)(cid:65)(cid:91)(cid:92)(cid:227)(cid:228)(cid:36)(cid:93)(cid:94)(cid:166)(cid:171)(cid:51)(cid:299)(cid:50)(cid:40)(cid:95)(cid:297)(cid:85)(cid:74)(cid:50)(cid:92)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:76)(cid:121)a,c(cid:75)(cid:70)(cid:71)(cid:77). ì ïPF + PF + FF =6 (cid:56)(cid:78)(cid:77)(cid:59)(cid:170)(cid:85)(cid:74)(cid:146)(cid:211)(cid:43)(cid:146)(cid:47)a(cid:36)(cid:211)(cid:104)(cid:134)(cid:47)c(cid:36)(cid:257)(cid:21)(cid:40)(cid:36)í 1 2 1 2 (cid:36) ïî PF 1 + PF 2 =2 F 1 F 2 ì2a+2c=6 (cid:75)í (cid:36)(cid:77)(cid:71)a=2,c=1(cid:36)(cid:49)(cid:85)(cid:74)(cid:201)(cid:211)(cid:43)(cid:146) b= a2-c2 = 3 (cid:36) î2a=4c x2 y2 (cid:80)(cid:81)(cid:85)(cid:74)C(cid:50)(cid:67)(cid:198)(cid:54)(cid:55)(cid:47) + =1. 4 3 x2 y2 (cid:84)(cid:57)(cid:58)(cid:47)(cid:10) + =1 4 3 x2 y2 19(cid:25)(cid:26)2024·(cid:261)(cid:283)(cid:343)(cid:344)(cid:345)·(cid:125)(cid:233)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:85)(cid:74)C: + =1(a>b>0)(cid:50)(cid:102)(cid:23)(cid:103)(cid:104)(cid:41)(cid:60)(cid:89)(cid:47)F(cid:23)F (cid:36)(cid:41)M,N(cid:83)C a2 b2 1 2 uuuur uuuur uuuur uuuur (cid:38)(cid:36)(cid:144)FF =3MN,FM ^F N (cid:36)(cid:49)(cid:85)(cid:74)C(cid:50)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:47) (cid:25) 1 2 1 2(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59) 5- 2/- 2+ 5 æ c 2cö (cid:56)(cid:60)(cid:61)(cid:59)(cid:285)(cid:146)FM,F N (cid:107)(cid:108)(cid:41)B,(cid:63)(cid:21)(cid:40)(cid:70)(cid:76)(cid:121)Mç- , ÷(cid:36)(cid:79)(cid:47)(cid:41)M (cid:83)C(cid:38)(cid:36)(cid:72)(cid:73)(cid:85)(cid:74)(cid:50)(cid:54)(cid:55)(cid:36)(cid:16)(cid:152)(cid:75) 1 2 è 3 3 ø (cid:70)(cid:71)(cid:121)(cid:57)(cid:58). uuuur uuuur 2c (cid:56)(cid:78)(cid:77)(cid:59)(cid:285)(cid:146)FM,F N (cid:107)(cid:108)(cid:41)B(cid:36)(cid:79)(cid:47)FF =3MN (cid:36)(cid:80)(cid:81) NM = (cid:36) 1 2 1 2 3 uuuur uuuur (cid:80)(cid:81)(cid:41)B(cid:83)y(cid:43)(cid:38)(cid:36)(cid:79)(cid:47)FM ^F N (cid:36)(cid:80)(cid:81)(cid:110)BFF (cid:47)(cid:166)(cid:272)(cid:105)(cid:126)(cid:125)(cid:126)(cid:127)(cid:36) 1 2 1 2 π (cid:80)(cid:81)ÐMFP= (cid:36)(cid:143)(cid:41)M (cid:44)MP^FF (cid:107)FF (cid:108)(cid:41)P(cid:36) 1 4 1 2 1 2 2c æ c 2cö (cid:80)(cid:81) MP = FP = (cid:36)(cid:80)(cid:81)Mç- , ÷(cid:36)(cid:79)(cid:47)(cid:41)M (cid:83)C(cid:38)(cid:36) 1 3 è 3 3 ø c2 4c2 c2 4c2 (cid:80)(cid:81) + =1(cid:36)(cid:75) + =9(cid:36) 9a2 9b2 a2 a2-c2 (cid:49)c2 a2-c2 +4a2c2 =9a2 a2-c2 (cid:36) (cid:75)14a2c2-c4-9a4 =0(cid:36)(cid:75)e4-14e2+9=0(cid:36) 14±4 10 (cid:80)(cid:81)e2 = =7±2 10(cid:36)(cid:79)(cid:47)0b>0(cid:50)(cid:102)(cid:23)(cid:103)(cid:104)(cid:41)(cid:60)(cid:89)(cid:47)F,F (cid:36)(cid:90)C(cid:38)(cid:194)(cid:83)(cid:22)(cid:41)P(cid:36) a2 b2 1 2 (cid:296)(cid:35)(cid:46)PF(cid:50)(cid:51)(cid:45)(cid:35)(cid:143)(cid:41)F (cid:36)(cid:49)C(cid:50)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:50)(cid:214)(cid:217)(cid:216)(cid:113) (cid:25) 1 2 1 (cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59) 3 (cid:56)(cid:60)(cid:61)(cid:59)(cid:63)(cid:21)(cid:40)(cid:70)(cid:33)(cid:10) PF = FF =2c(cid:36)(cid:70)(cid:71)a-c£2c£a+c(cid:36)(cid:249)(cid:99)(cid:76)(cid:77)(cid:75)(cid:70). 2 1 2 (cid:56)(cid:78)(cid:77)(cid:59)(cid:62)(cid:85)(cid:74)C(cid:50)(cid:211)(cid:104)(cid:134)(cid:47)cÎ0,a(cid:36) (cid:63)(cid:21)(cid:40)(cid:70)(cid:33)(cid:10) PF = FF =2c(cid:36) 2 1 21 (cid:64)(cid:65)(cid:194)(cid:83)(cid:156)(cid:93)(cid:94)(cid:85)(cid:74)(cid:156)(cid:195)(cid:70)(cid:33)(cid:10)a-c£2c£a+c(cid:36)(cid:77)(cid:71) a£cb>0)(cid:50)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:41)(cid:47)F,F (cid:36)(cid:90)(cid:85)(cid:74)(cid:38)(cid:194)(cid:83)(cid:158)(cid:83)x(cid:43)(cid:38)(cid:50)(cid:109) a2 b2 1 2 uuur uuur uuuur (cid:41)A(cid:36)B(cid:240)(cid:48)FA+FB=FF (cid:36)(cid:144)sinÐFAB=2sinÐF AB(cid:36)(cid:49)(cid:85)(cid:74)(cid:86)(cid:87)(cid:88)e(cid:50)(cid:265)(cid:216)(cid:122)(cid:123)(cid:47) . 1 1 1 2 1 2 æ1 ö (cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:59)ç ,1÷ è3 ø uuur uuur uuuur uuur (cid:56)(cid:60)(cid:61)(cid:59)(cid:63)FA+FB=FF =2FO(cid:165)(cid:319)(cid:121)(cid:261)(cid:246)(cid:127)AFBF (cid:47)(cid:163)(cid:317)(cid:261)(cid:246)(cid:127)(cid:36)(cid:63)(cid:162)(cid:153)(cid:92)(cid:15) BF =2 AF (cid:36)(cid:119)(cid:120) 1 1 1 2 1 1 2 1 1 AF - AF < FF (cid:70)(cid:71)(cid:57)(cid:58). 2 1 1 2 uuur uuur uuuur uuur (cid:56)(cid:78)(cid:77)(cid:59)(cid:63)FA+FB=FF =2FO(cid:33)(cid:36)O(cid:47)AB(cid:51)(cid:41)(cid:36)(cid:261)(cid:246)(cid:127)AFBF (cid:47)(cid:163)(cid:317)(cid:261)(cid:246)(cid:127)(cid:36) 1 1 1 2 1 1 2(cid:63)ÐF AB=ÐFBA(cid:106)sinÐFAB=2sinÐF AB(cid:70)(cid:33)(cid:36) 2 1 1 2 (cid:83)VABF (cid:51)(cid:63)(cid:162)(cid:153)(cid:92)(cid:15)(cid:33)(cid:36) BF =2 AF (cid:36) 1 1 1 (cid:83)(cid:110)AFF (cid:51)(cid:36)(cid:268) AF = BF =2 AF (cid:36)(cid:82)(cid:79)(cid:47) AF + AF =2a(cid:36) 1 2 2 1 1 1 2 2 4 1 (cid:70)(cid:71) AF = a(cid:36) AF = a(cid:36)(cid:63) AF - AF < FF (cid:36)(cid:71)e> (cid:36) 1 3 2 3 2 1 1 2 3 æ1 ö (cid:84)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:50)(cid:265)(cid:216)(cid:122)(cid:123)(cid:47)ç ,1÷. è3 ø æ1 ö (cid:84)(cid:57)(cid:58)(cid:47)(cid:10)ç ,1÷. è3 ø (cid:56)(cid:41)(cid:289)(cid:59)(cid:54)(cid:172)(cid:41)(cid:289)(cid:10)(cid:74)(cid:175)(cid:34)(cid:35)(cid:51)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:50)(cid:98)(cid:99)(cid:36)(cid:3)(cid:290)(cid:113)(cid:64)(cid:65)(cid:21)(cid:51)(cid:227)(cid:228)(cid:36)(cid:93)(cid:94)(cid:34)(cid:35)(cid:156)(cid:195)(cid:36)(cid:355)(cid:129)(cid:22)(cid:256)(cid:166)(cid:338)(cid:3)(cid:149) (cid:26)(cid:358)(cid:221)(cid:97)(cid:31)(cid:36)(cid:148)(cid:101)(cid:76)(cid:77)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:136)(cid:122)(cid:123).