专题15隔板法模型_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年08月试卷_0816新高考数学题型全归纳之排列组合（20个专题）

专题 15 隔板法模型 例1．2020年高考强基计划中，北京大学给了我校10个推荐名额，现准备将这10个推荐名额分配给高三 理科的6个班级，这6个班级每班至少要给一个名额，则关于分配方案的种数为（ ） A．462 B．126 C．210 D．132 例2．不定方程x yz 12的非负整数解的个数为（ ） A．55 B．60 C．91 D．540 例3．有30个完全相同的苹果，分给4个不同的小朋友，每个小朋友至少分得4个苹果，问有多少种不同 的分配方案？( ) A．680 B．816 C．1360 D．1456 例4．从A、B、C、D4个班级中选10人组成卫生检查小组，每班至少选一人，每班人数的不同情况有 多少种（ ） A．42 B．56 C．84 D．168 例5．把9个完全相同的口罩分给6名同学，每人至少一个，不同的分法有（ ）种 A．41 B．56 C．156 D．252 例6．方程x x x x 12的正整数解共有（ ）组 1 2 3 4 A．165 B．120 C．38 D．35 例7．把16个相同的小球放到三个编号为1，2，3的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数， 则共有多少种放法（ ） A．18 B．28 C．36 D．42 例8．把座位号为1、2、3、4、5、6的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，且 分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为（ ） A．96 B．240 C．280 D．480 例9．（1）把6个不同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ （2）把6个不同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ （3）把6个相同的小球放入4 个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ （4）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ 1例10．（1）求方程x x x x 5的非负整数解的个数； 1 2 3 4 （2）某火车站共设有4个“安检”入口，每个入口每次只能进1个旅客求—个小组4人进站的不同方案种数， 要求写出计算过程. 例11．现有5本书和3位同学，将书全部分给这三位同学. （1）若5本书完全相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？ （2）若5本书都不相同，共有多少种分法？ （3）若5本书都不相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？ 例12．（1）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有几种？ （2）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有几 种？ （3）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，共有多少种放法？ （注：最后结果需用数字作答） 例13．将6个相同的小球放入4个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有_________种放法.（用数字作答） 例14．方程x yz 10的正整数解的个数__________. 例15．现有15个省三好学生名额分给1、2、3、4共四个班级，其中1班至少2个名额，2班、4班每班至 少3个名额，3班最多2个名额，则共有_________种不同分配方案. 例16．小红同学去超市买糖果，现有四种不同口味的糖果可供选择（可以有糖果不被选择），单价均为一元 一颗，小红只有7元钱且要求全部花完，则不同的选购方法共有______种. 例17．10个相同的小球放在三个编号为1，2，3的盒中，每盒至少1个，有_________种方分法. 例18．将3个1，11个0排成一列，使得每两个1之间至少隔着两个0，则共有__________种不同的排法. 例19．24个志愿者名额分给3个学校，则每个学校至少有1个名额且学校名额互不相同的分法有________ 种． 例20．在5月6日返校体检中，学号为i（i 1,2,3,4,5）的五位同学的体重增加量 f(i)是集合 {1kg,1.5kg,2kg,2.5kg,3kg,3.5kg}中的元素，并满足 f(1) f(2) f(3) f(4) f(5)，则这五位同学的体 重增加量所有可能的情况有________种 2专题 15 隔板法模型 例1．2020年高考强基计划中，北京大学给了我校10个推荐名额，现准备将这10个推荐名额分配给高三 理科的6个班级，这6个班级每班至少要给一个名额，则关于分配方案的种数为（ ） A．462 B．126 C．210 D．132 【解析】 将10个名额分为6份，即从9个分段中选择5个段分开，且不分顺序， 共有N C5 126种方案. 9 故选：B. 例2．不定方程x yz 12的非负整数解的个数为（ ） A．55 B．60 C．91 D．540 【解析】 不定方程x yz 12的非负整数解的个数 将12个相同小球放入三个盒子，允许有空盒的放法种数. 现在在每个盒子里各加一个相同的小球，问题等价于将15个相同小球放入三个盒子，没有空盒的放法种数， 则只需在15个小球中形成的空位（不包含两端）中插入两块板即可， 因此，不定方程x yz 12的非负整数解的个数为C2 91. 14 故选：C. 例3．有30个完全相同的苹果，分给4个不同的小朋友，每个小朋友至少分得4个苹果，问有多少种不同 的分配方案？( ) A．680 B．816 C．1360 D．1456 【解析】 先给每个小朋友分三个苹果，剩余18个苹果利用“隔板法”， 18个苹果有17个空，插入三个 “板”，共有C3 680种方法. 17 故选：A. 例4．从A、B、C、D4个班级中选10人组成卫生检查小组，每班至少选一人，每班人数的不同情况有 多少种（ ） A．42 B．56 C．84 D．168 1【解析】 将10个人排成一排，然后从中间形成的9个空中选3个，分别放入一个隔板，即可将10个人分为4个部 987 分，且每部分至少1个人，由此可得每班人数的不同情况有C3  84种． 9 321 故选C． 例5．把9个完全相同的口罩分给6名同学，每人至少一个，不同的分法有（ ）种 A．41 B．56 C．156 D．252 【解析】 问题可转化为将9个完全相同的口罩排成一列，再分成6堆，每堆至少一个，求其方法数． 事实上，只需在上述9个完全相同的口罩所产生的8个“空档”中选出5个“空档”插入档板， 即产生符合要求的方法数．故有C5 56种． 8 故选：B 例6．方程x x x x 12的正整数解共有（ ）组 1 2 3 4 A．165 B．120 C．38 D．35 【解析】 如图，将12个完全相同的球排成一列， 在它们之间形成的11个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得球的数目依次是x 、 1 x 、x 、x ，显然满足x x x x 12，故  x ,x ,x ,x  是方程x x x x 12的一组解， 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 反之，方程x x x x 12的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式， 1 2 3 4 11109 故方程x x x x 12的正整数解的数目为：C3  165， 1 2 3 4 11 321 故选：A. 例7．把16个相同的小球放到三个编号为1，2，3的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数， 则共有多少种放法（ ） A．18 B．28 C．36 D．42 【解析】 2根据题意，16个相同的小球放到三个编号为1，2，3的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数， 先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3个球， 则原问题可以转化为将剩下的10个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题， 89 将剩下的10个球排成一排，有9个空位，在9个空位中任选2个，插入挡板，有C2  36种不同的 9 2 放法， 即有36个不同的符合题意的放法； 故选：C． 例8．把座位号为1、2、3、4、5、6的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张， 且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为（ ） A．96 B．240 C．280 D．480 【解析】 因为每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号， 又分给甲、乙、丙、丁四个人， 则在座位号1、2、3、4、5、6的五个空位插3个板子，有C 310种， 5 然后再分给甲、乙、丙、丁四个人，有A424种， 4 所以不同的分法种数为1024240, 故选：B 例9．（1）把6个不同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ （2）把6个不同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ （3）把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ （4）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ 【解析】 （1）6个不同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少一个小球，先把6个小球分组，有两种分法：2、 C2C2C1C1  2、1、1；3、1、1、1；再放入4个不同的箱子，故不同的方法共有 6 4 2 1 C3A4 1560（种）  A2A2 6  4 2 2 （2）6个不同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少一个小球，先把6个小球分组，有两种分法：2、 C2C2C1C1 2、1、1；3、1、1、1；再放入4个相同的箱子，故不同的方法共有 6 4 2 1 C3 65（种） A2A2 6 2 2 3（3）6个相同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少一个小球，则采用插板法，在5个空中插入3块 板，则不同的方法共有C3 10（种） 5 （4）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子至少一个小球，故可以首先每个箱子放入1个小 球，还剩下2个小球，则这2个小球，只有两种结果，即两个在一个箱子中，或两个小球分别在一个箱子中， 故只有2种放法. 例10．（1）求方程x x x x 5的非负整数解的个数； 1 2 3 4 （2）某火车站共设有4个“安检”入口，每个入口每次只能进1个旅客求—个小组4人进站的不同方案种 数，要求写出计算过程. 【解析】 （1）若定义 f :  x ,x ,x ,x  y ,y ,y ,y  ，其中 y  x 1  i 1,2,3,4  ， 1 2 3 4 1 2 3 4 i i 则 f 是从方程x x x x 5的非负整数解集到方程 y  y  y  y 9的正整数解集的映射，利用 1 2 3 4 1 2 3 4 隔板法得，方程y  y  y  y 9正整数解得个数是C3 56 1 2 3 4 8 从而方程x x x x 5的非负整数解得个数也是56； 1 2 3 4 （2）这4名旅客通过安检口有4种情况：从1个安检口通过，从2个安检口通过，从3个安检口通过，从 4个安检口通过。 从1个安检口通过共有：C1A4 96种方案； 4 4 从2个安检口通过，可能有1个安检口通过1人，另一个安检口通过3人有：C3A2A3  288种方案； 4 4 3 C2 从2个安检口通过，可能每一个安检口都通过2人有： 4 A2A2A2 144种方案； A2 4 2 2 2 从3个安检口通过，可能有2个安检口各通过1人，有1个安检口通过2人有：C2A3A2  288种方案； 4 4 2 从4个安检口通过共有：A4 24种方案， 4 所以这4个旅客进站的不同方案有：96+288+144+288+24=840种. 例11．现有5本书和3位同学，将书全部分给这三位同学. （1）若5本书完全相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？ （2）若5本书都不相同，共有多少种分法？ （3）若5本书都不相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？ 4【解析】 （1）根据题意，若5本书完全相同，将5本书排成一排，中间有4个空位可用， 在4个空位中任选2个，插入挡板，有C2 6种情况， 4 即有6种不同的分法； （2）根据题意，若5本书都不相同，每本书可以分给3人中任意1人，都有3种分法， 则5本不同的书有3333335 243种； （3）根据题意，分2步进行分析： ①将5本书分成3组， C3C1 若分成1、1、3的三组，有 5 2 10种分组方法， A2 2 C1C2C2 若分成1、2、2的三组，有 5 4 2 15种分组方法， A2 2 则有101525种分组方法； ②将分好的三组全排列，对应3名学生，有A3 6种情况， 3 则有256150种分法. 例12．（1）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有几种？ （2）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有几 种？ （3）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，共有多少种放法？ （注：最后结果需用数字作答） 【解析】 （1）按照最左端排谁分两类： ①排甲：其余5个人作全排列，有A3 120种， 3 ②排乙：最右端不排甲有A1种，其余四人作全排列有A4种，故共有A1A4 96种， 4 4 4 4 由分类计数原理共有12096216种； （2）分步完成： ①将A，B捆在一起当作一个元素与除C的3个元素一起作全排列，有A2A4种， 2 4 5②将C插入到已经排好的排列中，让A，C不相邻，有A1种， 4 由分步计数原理可得共有A2A4A1 192种； 2 4 4 （3）四个不同的小球编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球， 从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，有C2A3 144种不同的放法. 4 4 例13．将6个相同的小球放入4个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有_________种放法.（用数字作答） 【解析】 根据题意，将6个小球排成一排，排好后有5个可用的空位， 在5个空位中任选3个，插入挡板，共有C3 10种情况， 5 可以将6个小球分成4组，依次放入4个不同的盒子中即可， 所以共有10中不同的放法． 例14．方程x yz 10的正整数解的个数__________. 【解析】 问题中的x､y､z看作是三个盒子，问题则转化为把10个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法． 将10个球排一排后，中间插入两块隔板将它们分成三堆球，使每一堆至少一个球． 隔板不能相邻，也不能放在两端，只能放在中间的9个空内． 共有C2 36种． 9 故答案为：36 例15．现有15个省三好学生名额分给1、2、3、4共四个班级，其中1班至少2个名额，2班、4班每班至 少3个名额，3班最多2个名额，则共有_________种不同分配方案. 【解析】 由3班最多2个名额，3班有2、或1个，或0个名额三种情况. （1）、当3班有2个名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的8个名额分给1班、 2班和4班，每个班至少一个名额. 相当于将8个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别得到一组，有C2 21 7 种分法. （2）、当3班有1个名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的9个名额分给1班、 2班和4班，每个班至少一个名额. 6相当于将9个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别得到一组，有C2 28 8 种分法. （3）、当3班没有分得名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的10个名额分给1 班、2班和4班，每个班至少一个名额. 相当于将10个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别得到一组，有 C2 36种分法. 9 所以一共有21+28+36 85种不同的分配方案. 故答案为：85. 例16．小红同学去超市买糖果，现有四种不同口味的糖果可供选择（可以有糖果不被选择），单价均为一元 一颗，小红只有7元钱且要求全部花完，则不同的选购方法共有______种. 【解析】 把7元看作7个相同的小球，四种糖果看作是四个盒子，问题变为把7个小球放到4个盒子中，允许有空 盒，因此补充4个小球，共11个小球，分到四个盒子中，用插隔板方法， 共有方法数为C3 120． 11 故答案为：120． 例17．10个相同的小球放在三个编号为1，2，3的盒中，每盒至少1个，有_________种方分法. 【解析】 依据题意，10个相同的小球放在3个盒中，每盒至少1个，可转化为将10个相同小球分成三组，每组至少 1个； 可将10个小球排成一列，进而在排除两端的9个空位中，选取2个，插入隔板即可， 由组合公式可得共有C2 36种分法. 9 故答案为：36. 例18．将3个1，11个0排成一列，使得每两个1之间至少隔着两个0，则共有__________种不同的排法. 【解析】 解：符合条件的排列中，3个1将11个0分成四段， 设每一段分别有x ,x ,x ,x 个0， 1 2 3 4 则x 0，x 2，x 2，x 0且x x x x 11， 1 2 3 4 1 2 3 4 7令x  x 2，x  x 2， 2 2 3 3 则x x xx  7． 1 2 3 4 因此原问题等价于求方程x x xx  7的自然数解的组数， 1 2 3 4 将7个1与3块隔板进行排列，其排列数即对应方程自然数解的组数， 所以方程共有C3 120组自然数解，故共有120种不同的排法． 10 故答案为：120 例19．24个志愿者名额分给3个学校，则每个学校至少有1个名额且学校名额互不相同的分法有________ 种． 【解析】 设分配给3个学校的名额数分别为x ，x ，x ， 1 2 3 则每校至少有一个名额的分法数为不定方程x ＋x ＋x ＝24的正整数解的组数， 1 2 3 用隔板原理知有C3-1 =C2 ＝253种． 241 23 又在“每校至少有一个名额的分法”中要排除“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法： 只有两校人数相同，设为(i，i，24－2i)， 由题意有i＝1，2，3，4，5，6，7，9，10，11共3×10种情况； 三校人数都相同的只有(8，8，8)这1种． 综上可知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种． 故答案为：222 例20．在5月6日返校体检中，学号为i（i 1,2,3,4,5）的五位同学的体重增加量 f (i)是集合 {1kg,1.5kg,2kg,2.5kg,3kg,3.5kg}中的元素，并满足 f(1) f(2) f(3) f(4) f(5)，则这五位同学的体 重增加量所有可能的情况有________种 【解析】 当五位同学的体重增加量是1个数字时，有C1 6种情况； 6 当五位同学的体重增加量是2个不同数字时，有C1C2 60种情况（类似隔板法，把五个同学按照1,2,3,4,5 4 6 的顺序排好，他们之间有4个空，从4个空里选1个空放隔板把他们分隔成两个部分，有C1种方法，再从 4 86个体重增加量的集合里选两个数给他们，有C2种方法，即此时有C1C2 60种方法，下面操作方法都相 6 4 6 同.）； 当五位同学的体重增加量是3个不同数字时，有C2C3 120种情况； 4 6 当五位同学的体重增加量是4个不同数字时，有C3C2 60种情况； 4 6 当五位同学的体重增加量是5个不同数字时，有C5 6种情况. 6 所以共有6+60+120+60+6=252种不同的方法. 故答案为：252 9