文档内容
绵阳南山中学实验学校高2023级高二（下）半期考试试题
数 学
完成时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
{ 2a ,a <3
a = n n
1．已知数列{a }的首项为1， n+1 a −3,a ≥3，则a = （ ）
n n n 4
A．1 B．2 C．4 D．8
f(x)=f' (0)x2 −sinx+1 f'(0)=
2．已知函数 ，则 （ ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
3．某城市的汽车牌照号码由 个英文字母后接 个数字组成，其中 个数字互不相同的牌照号码共有（
）个
A2 104 A2 A4 (C1 ) 2104 (C1 ) 2A4
A． 26 B． 26 10 C． 26 D． 26 10
y=f(x) f'(x)
4．函数 的导函数 的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数y=f(x)在x=4处取得极小值
y=f(x) x=3
B．函数 在 处取得极大值
y=f(x) (−∞,0)
C．函数 在 上单调递增
y=f(x) (3,5)
D．函数 的递减区间为
5．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法
共有（ ）
A．140种 B．120种 C．35种 D．34种
1
6．在等比数列
{a }
中，a ，a 是函数f(x)=
3
x3 +4x2 +9x−1的极值点，则a =（ ）
n 3 7 5±3
A．3 B． C． D．9
7．高二某班为了准备校园樱花文化节活动的展示牌，计划用5种不同颜色的笔书写图中A、B、C、D四
个区域的文字，规定每个区域只用一种颜色的笔书写文字，相邻区域书写的文字颜色不同,则不同的书写方
法数为（ ）
A．120 B．160
C．180 D．240
8．设数列 {a n } 的前 n 项之积为 T n，满足 a n +2T n =1(n∈N¿) ，则 T 2025 = （ ）
A． B． C． D．
二、多选题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．到了毕业季，我校科技创新兴趣小组内的5名同学要站在一排进行拍照留念，则下列说法正确的是（
）
A．所有不同的排法种数为120种
B．如果甲同学和乙同学必须相邻，则所有不同的排法种数为48种
C．如果甲同学不站在第一个位置，也不在最后一个位置，则所有不同的排法种数为48种
D．如果甲和丙不能相邻，则所有不同的排法种数为72种
{a } d S a >0 S =S
10．设数列 n 是以 为公差的等差数列， n是其前n项和， 1 ，且 6 9 ，则下列结论正确的是
（ ）
d<0 a
8
=0
A． B．
S S
C．使 >0成立的 的最大值为14 D． 7为 n的唯一最大值
lnx≤x−1 x∈(0,+∞) x=1
11．已知不等式 在 上恒成立（当且仅当 时等号成立），下列不等式正确的是（
）
1 3 3
A．
lnx≥1− (x>0)
B．
a
(2)若对任意的x ,x ∈(0,+∞)，且x ≠x ，都有 x −x ，求实数 的取值范围．
1 2 1 2 2 1 a
{a } a =2 a =3a +2
18.（17分）已知数列
n
，若
1
，且
n+1 n
．
{a +1} {a }
n n
(1)证明数列 是等比数列，并求出 的通项公式；
n(a +1) { 1 }
(2)若 b n = 3 n n ，且数列 b n b n+1 的前 n 项和为S n ，求S n ；
2(a +1)
(3)若 c n = a n a n n+1 ，且数列{c n }的前 n 项和为 T n ，求证： 3 8 ≤T n < 1 2.
f(x)=ae2x +(a−2)ex −x,a∈R.
19.（17分）已知函数f(x)
(1) 讨论 的单调性；
f(x)≥0 （0，+∞） a
(2) 若 在 上恒成立，求 的取值范围；
f(x) R
(3) 讨论 在 上的零点个数.绵阳南山中学实验学校高2023级高二（下）半期考试
数学试题答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．A 2．D 3.D 4．B 5．D
6．【详解】由题得 ，
因为 ， 是函数 的极值点，则 ， 是方程 的两根，
所以 从而可得 ，
又因为等比数列 ，可得 ，且 ，所以 .
故选：B.
7．C
8．【详解】当 时， ，所以 ，
当 时， ，可得 ，即 ，即 ，
即 ，所以 是首项为3，公差为2的等差数列，
所以 ，所以 ，所以 .
故选： .
二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．【答案】ABD
10．【详解】根据题意可得 ，即 ．因为 ， ，所以 ，所以数列 是递减数列，所以A，B正确；
2a =a +a =0,∴S =0,a >0,a +a =a +a >0∴S >0,
对于C，因为 ， ， 8 1 15 15 7 7 8 1 14 14 故C正
确；
对于D，因为 ，所以 ，又 为递减数列，所以 或 为 的最大值，故D不正确．
故选：ABC．
11．【详解】对于A，将 替换为 ，则 ，所以 ，所以A正确；
对于B，由A可得 ，故 ，又由题设得 ，
故 ，即 ，故B正确；
1 1 n+1
1- ≤lnx≤x−1 = −1>¿¿
对于C，D由已知和 A得 x ，令 得n n ，
2024
1
¿∑
即 n，所以C，D错误；
n=1
故选：AB.
三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 15 13. 150
(−∞,3]
14 【详解】设等差数列 {a } 的首项为a ，公差为 d.
n 1
由S =4S ，得：2a +d=4a ⇒d=2a .
2 1 1 1 1
由 ，得：
a =2a +1 a +(2n-1)d=2[a +(n-1)d]+1.
2n n 1 1
将d=2a 代入上式：化简得：a =1.
1 1
因此，公差 ，通项公式为：
d=2a =2 a =1+(n-1)⋅2=2n-1.
1 n
在2a n与2a n+1之间插入n个数，构成n+2项的等差数列，其公差为：2a n+1-2a
n
22(n+1)-1-22n-1 22n+1-22n-1 22n-1(22-1) 3⋅22n-1
d = = = = = .
n (n+2)-1 n+1 n+1 n+1 n+1
3⋅22n-1
数列{d }的单调性：设f (n)= ，则
n n+1
3⋅22n+1 3⋅22n-1 3⋅22n-1 ⋅(4(n+1)-(n+2)) 3⋅22n-1 ⋅(3n+2)
f (n+1)-f (n)= - = = >0,
n+2 n+1 (n+1)(n+2) (n+1)(n+2)
3⋅21
故{d }单调递增，最小值为d = =3.数列{a }的最小值：a =2k-1，当k=1时，a =1.
n 1 2 k k 1
p∈N¿ k∈N¿
对任意 ，存在 ，使得d ≥λa .由于d ≥3且a ≥1，只需保证3≥λ⋅1，即λ≤3.
p k p k
(−∞,3]
故答案为： .
四、解答题：(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.【详解】（1）由题 ，则切线的斜率为 ， （2分）
故曲线 在点 处的切线方程为 ，即为 ； （4分）
（2）∵ ，令 ，解得： 或 ，
令 ，解得： ，
∴ 在 单调递增，在 单调递减，在 单调递增； （6分）
∴ ， ， （8分）
又 ， ， ， ， （12分）
所以 在 上的最大值为 ，最小值为 . （13分）
16.【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，正项等比数列 的公比为 ；
由 ， ， 可得 ， （2分）解得 或 （舍），则 ； （4分）
所以 ， ； （6分）
可得数列 的通项公式为 ， 的通项公式为 ；（8分）
（2）易知 ，
则 ，
； （11分）
两式相减可得
；（14分）
所以数列 的前 项和为 . （15分）
1
17.【详解】(1)由函数f(x)＝ x2＋(a－2)x－2a ln x，x>0，
2
1 2a
h(x)=f(x)−(a−2)x= x2 −2alnx h' (x)=x−
2 x
，可得 ， （2分）
函数
h(x)在 （0，+∞） 上存在减区间⇔h' (x)<0
在
(0,+∞)
上有解. （4分）
2a 2a 1
⇔x− <0⇔x< ⇔a> x2
x x 2
在
(0,+∞)
上成立，解得
a>0
. （7分）
1
(2)由函数f(x)＝ x2＋(a－2)x－2a ln x，
2
f(x )−f(x )
2 1 >a
x −x
因为对任意的x，x∈(0，＋∞)，且x≠x，都有 2 1 ，
1 2 1 2
x a(x −x ) f(x )−ax >f(x )−ax
不妨设 1 2，则 2 1 1 2 等价于 2 2 1 1. （9分）
g(x)=f(x)−ax g(x)=f(x)−ax
设 ，等价于 在(0，＋∞)上是增函数， （10分）
2a x2 −2x−2a
g' (x)=x− −2=
x x
可得 ，依题意，对任意x>0有x2－2x－2a≥0恒成立， （12分）
1 1
a≤− a≤−
2a≤x2 −2x=(x−1) 2 −1 2 2
又由 ，可得 ，即实数a的取值范围为 . （15分）
18.【详解】（1）因为 ，所以 ，又 ，所以 ，
所以 是以 为首项、 为公比的等比数列，所以 ，则 . （5分）
（2）由（1）可得 ，
所以 ， （7分）
所以 . （10分）
2(a +1) 2.3n 1 1
c = n = = −
（3）由（1）可得 n a a (3n −1)(3n+1 −1) 3n −1 3n+1 −1 （12分）
n n+1
1 1 1 1 1 1 1 1
T = − + − +¿⋅¿+ − = −
n 31 −1 32 −1 32 −1 33 −1 3n −1 3n+1-1 2 3n+1 −1 （15分）
1 1
>0 T ≤T < ,
易知 {T n } 在N¿ 上单调递增，且3n+1 −1 恒成立，所以 1 n 2
3 1
≤T <
故8 n 2得证. （17分）
f(x) f' (x)=2ae2x +(a−2)ex −1=(aex −1)(2ex +1)
19.【详解】（1） 的定义域为R,
a≤0 f' (x)<0 f(x)
①当 时， ， 在R上单调递减. （2分）
a>0 f' (x)=0 x=−lna x∈(−∞,−lna) f' (x)<0 x∈(−lna，+∞)
②当 时，令 ，解得 ，当 时， ，当 时，
f' (x)>0 f(x) (−∞,−lna) (−lna，+∞)
，所以 在 上单调递减，在 上单调递增.（4分）
a≤0 f(x) a>0 f(x) (−∞,−lna)
综上：若 ， 在R上单调递减；若 ， 在 上单调递减，(−lna，+∞)
在 上单调递增. （ 5分）
a≤0 f(x) （0，+∞） f(x)0 f(x) (−∞,−lna) (−lna，+∞)
②当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
−lna≤0 a≥1 f(x) （0，+∞） f(x)>f(0)=2a−2≥0 f(x)≥0
1）若 ，即 ， 在 上单调递增，那么 ，满足 在
（0，+∞）
上恒成立. （9分）
−lna>0 00 f(x) (−∞,−lna) (−lna，+∞)
②当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
1
f(x) =f(−lna)=1− +lna
min a （13分）
1 a+1
g(a)=1− +lna(a>0)，g' (a)= >0
令 a a2 所以g(a)在（0，+∞）上单调递增，又g(1)=0
1
f(x) =f(−lna)=1− +lna=0
所以当a=1时， min a ，函数f(x)有一个零点.
1
f(x) =f(−lna)=1− +lna>0
当a>1时， min a ，函数f(x)无零点.1
当 时，f(x) =f(−lna)=1− +lna<0，
01 f(x)
当 时，函数 无零点. （17分）
