专题03平面向量-解析版_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年08月试卷_08202025版《真题题源解密-专题分类》数学

专题 03 平面向量
命题解读 考向 考查统计
平面向量的线性运算 2022·新高考Ⅰ卷，3
高考对平面向量的考查，一般为平面向
2023·新高考Ⅰ卷，3
量基本定理、坐标运算、平面向量数量 平面向量垂直的坐标运算
2024·新高考Ⅰ卷，3
积的运算、化简、证明及数量积的应用
平面向量夹角的坐标运算 2022·新高考Ⅱ卷，4
问题，如平行、垂直、距离、夹角等问
2023·新高考Ⅱ卷，13
题的计算，难度一般不高。 平面向量数量积的综合运算
2024·新高考Ⅱ卷，3
命题分析
2024年高考新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷都考查到了平面向量的垂直运算，Ⅱ卷还结合了数量积的综合运算。总体上
来说，平面向量知识点的考查难度依旧是较易的，掌握基本的知识点和拥有基本的运算能力即可。平面向
量考查应关注：平面向量基本定理、向量的坐标运算、向量数量积、向量平行与垂直、向量模等知识点，
体会数形结合思想，强化运算求解能力与转化化归能力。预计2025年高考还是主要考查向量的数量积运算、
向量的夹角、向量的模。
试题精讲
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:20)(cid:21)
1(cid:25)(cid:26)2024(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅰ(cid:30)·3(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)a r =(0,1),b r =(2,x)(cid:36)(cid:37)b r ^(b r -4a r )(cid:36)(cid:38)x=(cid:26) (cid:31)
A(cid:25)-2 B(cid:25)-1 C(cid:25)1 D(cid:25)2
(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)D
(cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:45)(cid:46)(cid:34)(cid:35)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)x(cid:49)(cid:56).
r r r r r r
   
(cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:42)(cid:59)(cid:60)b^ b-4a (cid:36)(cid:61)(cid:62)b× b-4a =0(cid:36)
r r r
(cid:61)(cid:62)
b
2
-4a×b=0
(cid:63)4+x2-4x=0(cid:36)(cid:64)x=2(cid:36)
(cid:64)(cid:20)(cid:10)D.
r r r r r  r r  r r
2(cid:25)(cid:26)2024(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅱ(cid:30)·3(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)a,b(cid:65)(cid:66) a =1, a+2b =2(cid:36)(cid:67) b-2a ^b(cid:36)(cid:38)b =(cid:26) (cid:31)1 2 3
A(cid:25) B(cid:25) C(cid:25) D(cid:25)1
2 2 2
(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)B
 r r  r r r r r r r r r r r
(cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:68) b-2a ^b(cid:69) b 2 =2a×b (cid:36)(cid:70)(cid:71) a =1, a+2b =2(cid:36)(cid:69) 1+4a×b+4b 2 =1+6b 2 =4 (cid:36)(cid:68)(cid:72)(cid:63)(cid:54)(cid:69)(cid:58).
r r r r r r
    r r r
(cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:42)(cid:59)(cid:60) b-2a ^b(cid:36)(cid:61)(cid:62) b-2a ×b=0(cid:36)(cid:63) b 2 =2a×b (cid:36)
r r r
(cid:73)(cid:59)(cid:60) a =1, a+2b =2(cid:36)
r r r r
(cid:61)(cid:62) 1+4a×b+4b 2 =1+6b 2 =4 (cid:36)
r 2
(cid:74)(cid:75) b = .
2
(cid:64)(cid:20)(cid:10)B.
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:20)(cid:21)
1(cid:25)(cid:26)2022(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅰ(cid:30)·3(cid:31)(cid:76)VABC(cid:77)(cid:36)(cid:78)D(cid:76)(cid:79)AB(cid:80)(cid:36)BD=2DA(cid:25)(cid:81)C uu A ur =m r ，C uu D ur =n r (cid:36)(cid:38)C uu B ur =(cid:26) (cid:31)
r r r r r r r r
A(cid:25)3m-2n B(cid:25)-2m+3n C(cid:25)3m+2n D(cid:25)2m+3n
(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)B
(cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:45)(cid:46)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:62)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:89)(cid:90)(cid:52)(cid:53)(cid:63)(cid:54)(cid:58)(cid:91)(cid:25)
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur  
(cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:42)(cid:59)(cid:60)(cid:78)D(cid:76)(cid:79)AB(cid:80)(cid:36)BD=2DA(cid:36)(cid:61)(cid:62) BD=2DA (cid:36)(cid:63)CD-CB=2 CA-CD (cid:36)
uuur uuur uuur r ur r r
(cid:61)(cid:62)CB=3CD-2CA=3n-2m=-2m+3n(cid:25)
(cid:64)(cid:20)(cid:10)B(cid:25)
r r  r r   r r 
2(cid:25)(cid:26)2023(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅰ(cid:30)·3(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)a=1,1,b=1,-1(cid:36)(cid:37) a+lb ^ a+mb (cid:36)(cid:38)(cid:26) (cid:31)
A(cid:25)l+m=1 B(cid:25)l+m=-1
C(cid:25)lm=1 D(cid:25)lm=-1
(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)D
r r r r
(cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:45)(cid:46)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:55)(cid:91)a+lb(cid:36)a+mb(cid:36)(cid:92)(cid:45)(cid:46)(cid:34)(cid:35)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:93)(cid:94)(cid:63)(cid:54)(cid:55)(cid:91)(cid:25)
r r r r r r
(cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:42)(cid:59)(cid:60)a=1,1,b=1,-1(cid:36)(cid:61)(cid:62)a+lb=1+l,1-l(cid:36)a+mb=1+m,1-m(cid:36)
r r r r r r r r
       
(cid:68) a+lb ^ a+mb (cid:54)(cid:69)(cid:36) a+lb × a+mb =0(cid:36)
(cid:63)1+l1+m+1-l1-m=0(cid:36)(cid:95)(cid:15)(cid:69)(cid:10)lm=-1(cid:25)
(cid:64)(cid:20)(cid:10)D(cid:25)
r r r r r r r r r
3(cid:25)(cid:26)2022(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅱ(cid:30)·4(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb(cid:36)(cid:37)<a,c>=<b,c>(cid:36)(cid:38)t =(cid:26) (cid:31)A(cid:25)-6 B(cid:25)-5 C(cid:25)5 D(cid:25)6
(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)C
(cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:96)(cid:97)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:52)(cid:53)(cid:98)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:99)(cid:100)(cid:49)(cid:101)(cid:102)(cid:7)(cid:103)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:104)(cid:103)(cid:16)(cid:105)(cid:63)(cid:54)(cid:55)(cid:69)
r r r r 9+3t+16 3+t
(cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:42)(cid:58)(cid:10)c =3+t,4,cos a,c =cos b,c ,(cid:63) r = r ,(cid:58)(cid:69)t=5,
5c c
(cid:64)(cid:20)(cid:10)C
(cid:106)(cid:23)(cid:107)(cid:108)(cid:21)
r r r r r r r r r
1(cid:25)(cid:26)2023(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅱ(cid:30)·13(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)a(cid:36)b (cid:65)(cid:66) a-b = 3(cid:36) a+b = 2a-b (cid:36)(cid:38)b = (cid:25)
(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)
3
r r r
(cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:109)(cid:22)(cid:10)(cid:45)(cid:46)(cid:21)(cid:110)(cid:70)(cid:71)(cid:34)(cid:35)(cid:13)(cid:35)(cid:111)(cid:49)(cid:52)(cid:53)(cid:112)(cid:52)(cid:53)(cid:55)(cid:58)(cid:113)(cid:109)(cid:106)(cid:10)(cid:114)(cid:115)(cid:116) c=a-b (cid:36)(cid:70)(cid:71)(cid:13)(cid:35)(cid:111)(cid:49)(cid:52)(cid:53)
(cid:112)(cid:52)(cid:53)(cid:55)(cid:58).
r r r r r r 2  r r 2
(cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:42)(cid:109)(cid:22)(cid:10)(cid:59)(cid:60) a+b = 2a-b (cid:36)(cid:63) a+b = 2a-b (cid:36)
r r r r r r r r r r r
(cid:38) a 2 +2a×b+b 2 =4a 2 -4a×b+b 2(cid:36)(cid:95)(cid:15)(cid:69) a 2 -2a×b=0 (cid:36)
r r r r 2
(cid:73)(cid:59)(cid:60) a-b = 3(cid:36)(cid:63) a-b =3(cid:36)
r r r r r r
(cid:38) a 2 -2a×b+b 2 =b 2 =3 (cid:36)(cid:61)(cid:62) b = 3.
r r r r r r r r r r r r
(cid:109)(cid:106)(cid:10)(cid:117) c=a-b (cid:36)(cid:38) c = 3,a+b=c+2b,2a-b=2c+b(cid:36)
 r r 2  r r 2 r r r r r r r r
(cid:68)(cid:21)(cid:110)(cid:54)(cid:69)(cid:10) c+2b = 2c+b (cid:36)(cid:38) c 2 +4c×b+4b 2 =4c 2 +4c×b+b 2(cid:36)
r r
r r
(cid:95)(cid:15)(cid:69)(cid:10) c 2 =b 2(cid:36)(cid:63) b = c = 3.
(cid:64)(cid:40)(cid:41)(cid:60)(cid:10) 3.
(cid:22)(cid:23)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:89)(cid:90)(cid:52)(cid:53)(cid:98)(cid:34)(cid:35)(cid:118)(cid:89)(cid:119)(cid:15)
(cid:26)1(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:89)(cid:90)(cid:52)(cid:53)
(cid:52)(cid:53) (cid:119)(cid:120) (cid:109)(cid:38)(cid:26)(cid:121)(cid:82)(cid:83)(cid:110)(cid:120)(cid:31) (cid:52)(cid:53)(cid:112)
(cid:128)(cid:114)(cid:112)
a+b
(cid:55)(cid:123)(cid:124)(cid:34)(cid:35)(cid:98)(cid:49) b b a+b ①a r +b r =b r +a r
(cid:122)(cid:109)
(cid:52)(cid:53) a a (cid:70)(cid:71)(cid:112)
r r r r r r
(cid:125)(cid:100)(cid:104)(cid:109)(cid:38)(cid:87)(cid:126)(cid:127)(cid:79)(cid:104)(cid:109)(cid:38) ②(a+b)+c = a+(b+c)r r
(cid:55)a(cid:130)b (cid:49)(cid:131)(cid:132)
a-b
b
r
(cid:34)(cid:35)-b (cid:49)(cid:98)(cid:49) r r r r
(cid:129)(cid:109) a-b =a+(-b)
r r a
(cid:52)(cid:53)(cid:133)(cid:134)a(cid:130)b
(cid:49)(cid:135)
(cid:125)(cid:100)(cid:104)(cid:109)(cid:38)
r r
(cid:26)1(cid:31)|la|=|l||a|
r r
l(ma)=(lm)a
r r
(cid:55)(cid:137)(cid:13)l(cid:130)(cid:34)(cid:35) (cid:26)2(cid:31)(cid:138)l>0(cid:139)(cid:36)la(cid:130)a(cid:49)(cid:140)(cid:34)(cid:131)(cid:141)(cid:113)(cid:138)
r r r
(cid:13)(cid:136) (l+m)a=la+ma
r r r
a(cid:49)(cid:111)(cid:49)(cid:52)(cid:53) l<0(cid:139)(cid:36)la(cid:130)a(cid:49)(cid:140)(cid:34)(cid:131)(cid:141)(cid:113)
r r r r
l(a+b)=la+lb
r
(cid:138)l=0(cid:139)(cid:36)la=0
(cid:106)(cid:23)(cid:87)(cid:88)(cid:34)(cid:35)(cid:142)(cid:143)(cid:119)(cid:15)(cid:98)(cid:90)(cid:144)
1(cid:23)(cid:118)(cid:89)(cid:34)(cid:35)(cid:142)(cid:143)(cid:119)(cid:15)
r r r r r r r r r r
(cid:145)(cid:146)a=lb(lÎR)(cid:36)(cid:38)a//b (cid:113)(cid:132)(cid:147)(cid:36)(cid:145)(cid:146)a//b (cid:67)b ¹0(cid:36)(cid:38)(cid:22)(cid:119)(cid:148)(cid:76)(cid:149)(cid:22)(cid:49)(cid:137)(cid:13)l(cid:36)(cid:150)a=lb(cid:25)(cid:26)(cid:151)(cid:152)(cid:10)
(cid:13)(cid:136)(cid:63)(cid:69)(cid:87)(cid:126)(cid:36)(cid:87)(cid:126)(cid:153)(cid:154)(cid:13)(cid:136)(cid:31)(cid:25)
2(cid:23)(cid:87)(cid:88)(cid:34)(cid:35)(cid:142)(cid:143)(cid:119)(cid:15)
ur uur r
(cid:145)(cid:146)e (cid:98)e (cid:155)(cid:141)(cid:22)(cid:124)(cid:87)(cid:88)(cid:156)(cid:49)(cid:123)(cid:124)(cid:157)(cid:118)(cid:89)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:87)(cid:88)(cid:156)(cid:49)(cid:163)(cid:22)(cid:34)(cid:35)a(cid:36)(cid:164)(cid:148)(cid:76)(cid:149)(cid:22)(cid:49)(cid:22)(cid:160)(cid:137)(cid:13)
1 2
r ur uur ur uur  ur uur 
l,l(cid:36)(cid:150)(cid:69)a=le +le (cid:36)(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:157)(cid:118)(cid:89)(cid:34)(cid:35)e (cid:36)e (cid:133)(cid:134)(cid:93)(cid:94)(cid:168)(cid:22)(cid:87)(cid:88)(cid:156)(cid:61)(cid:154)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:22)(cid:169)(cid:142)(cid:170)(cid:36)(cid:81)(cid:60) e,e (cid:36)
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
ur uur r  ur uur 
le +le (cid:133)(cid:134)(cid:34)(cid:35)a(cid:3)(cid:161)(cid:142)(cid:170) e,e (cid:49)(cid:43)(cid:58)(cid:103)(cid:25)
1 1 2 2 1 2
3(cid:23)(cid:89)(cid:171)(cid:119)(cid:172)(cid:43)(cid:78)(cid:49)(cid:34)(cid:35)(cid:93)(cid:173)(cid:103)
uuur uuur
uuur uuur uuur AB+lAC
(cid:145)(cid:174)(cid:61)(cid:94)(cid:36)(cid:76)(cid:175)ABC(cid:77)(cid:36)(cid:37)(cid:78)D(cid:155)(cid:79)BC(cid:80)(cid:49)(cid:78)(cid:36)(cid:67)BD=lDC(cid:26)l¹-1(cid:31)(cid:36)(cid:38)(cid:34)(cid:35)AD= (cid:25)(cid:76)
1+l
(cid:34)(cid:35)(cid:89)(cid:90)(cid:93)(cid:94)(cid:26)(cid:52)(cid:53)(cid:31)(cid:154)(cid:3)(cid:49)(cid:176)(cid:21)(cid:77)(cid:36)(cid:37)(cid:177)(cid:178)(cid:179)(cid:96)(cid:97)(cid:72)(cid:70)(cid:180)(cid:36)(cid:181)(cid:181)(cid:177)(cid:154)“(cid:16)(cid:182)(cid:183)(cid:60)(cid:184)(cid:185)”(cid:147)(cid:186)(cid:187)(cid:36)(cid:188)(cid:189)(cid:178)(cid:179)(cid:190)
(cid:191)(cid:25)
A
B C
D
4(cid:23)(cid:125)(cid:78)(cid:118)(cid:89)(cid:119)(cid:15)
uuur uuur uuur
(cid:87)(cid:88)(cid:156)(cid:125)(cid:78)A(cid:36)B(cid:36)C(cid:118)(cid:89)(cid:49)(cid:192)(cid:193)(cid:84)(cid:85)(cid:155)(cid:10)(cid:148)(cid:76)(cid:137)(cid:13)l,m(cid:36)(cid:150)OC =lOA+mOB(cid:36)(cid:194)(cid:77)l+m=1(cid:36)O(cid:60)(cid:87)(cid:88)
(cid:156)(cid:22)(cid:78)(cid:25)(cid:72)(cid:119)(cid:15)(cid:76)(cid:34)(cid:35)(cid:176)(cid:21)(cid:77)(cid:195)(cid:196)(cid:97)(cid:197)(cid:36)(cid:198)(cid:178)(cid:179)(cid:190)(cid:191)(cid:25)
A(cid:23)B(cid:23)C(cid:125)(cid:78)(cid:118)(cid:89)
uuur uuur
Û(cid:148)(cid:76)(cid:149)(cid:22)(cid:49)(cid:137)(cid:13)l(cid:36)(cid:150)(cid:69)AC =lAB(cid:113)
uuur uuur uuur
Û(cid:148)(cid:76)(cid:149)(cid:22)(cid:49)(cid:137)(cid:13)l(cid:36)(cid:150)(cid:69)OC =OA+lAB(cid:113)uuur uuur uuur
Û(cid:148)(cid:76)(cid:149)(cid:22)(cid:49)(cid:137)(cid:13)l(cid:36)(cid:150)(cid:69)OC =(1-l)OA+lOB(cid:113)
uuur uuur uuur
Û(cid:148)(cid:76)l+m=1(cid:36)(cid:150)(cid:69)OC =lOA+mOB(cid:25)
5(cid:23)(cid:77)(cid:89)(cid:34)(cid:35)(cid:119)(cid:15)
uuur 1 uuur uuur
(cid:145)(cid:174)(cid:61)(cid:94)(cid:36)(cid:76)(cid:175)ABC(cid:77)(cid:36)(cid:37)(cid:78)D(cid:155)(cid:79)BC(cid:49)(cid:77)(cid:78)(cid:36)(cid:38)(cid:77)(cid:89)(cid:34)(cid:35)AD= (AB+ AC)(cid:36)(cid:132)(cid:147)(cid:199)(cid:200)(cid:201)(cid:25)
2
A
B
C
D
(cid:125)(cid:23)(cid:87)(cid:88)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:93)(cid:94)(cid:86)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)
(cid:26)1(cid:31)(cid:87)(cid:88)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:93)(cid:94)(cid:25)
r r
(cid:76)(cid:87)(cid:88)(cid:48)(cid:100)(cid:50)(cid:51)(cid:77)(cid:36)(cid:43)(cid:202)(cid:203)(cid:130)x(cid:204)(cid:36)y(cid:204)(cid:200)(cid:205)(cid:204)(cid:140)(cid:34)(cid:131)(cid:141)(cid:49)(cid:123)(cid:124)(cid:24)(cid:206)(cid:34)(cid:35)i, j(cid:207)(cid:60)(cid:142)(cid:170)(cid:36)(cid:158)(cid:159)(cid:68)(cid:87)(cid:88)(cid:34)(cid:35)(cid:142)
r r r r
(cid:143)(cid:119)(cid:15)(cid:54)(cid:33)(cid:36)(cid:160)(cid:161)(cid:87)(cid:88)(cid:156)(cid:49)(cid:22)(cid:124)(cid:34)(cid:35)a(cid:36)(cid:154)(cid:67)(cid:208)(cid:154)(cid:22)(cid:160)(cid:137)(cid:13)x,y(cid:150)a=xi + yj(cid:36)(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:154)(cid:209)(cid:137)(cid:13)(cid:160)(x,y)(cid:133)(cid:134)
r r
(cid:34)(cid:35)a(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:36)(cid:81)(cid:207)a=(x,y)(cid:25)
(cid:26)2(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:93)(cid:94)(cid:98)(cid:62)(cid:50)(cid:51)(cid:210)(cid:78)(cid:60)(cid:211)(cid:78)(cid:49)(cid:34)(cid:35)(cid:155)(cid:22)(cid:22)(cid:160)(cid:198)(cid:49)(cid:36)(cid:63)(cid:154)
uuur
(cid:34)(cid:35)(x,y) ‡ˆˆˆ (cid:22) ˆ (cid:22) ˆ (cid:160) ˆˆ (cid:198) ˆˆ†ˆ (cid:34)(cid:35)OA ‡ˆˆˆ (cid:22) ˆ (cid:22) ˆ (cid:160) ˆˆ (cid:198) ˆˆ†ˆ (cid:78)A(x,y)(cid:25)
r r r r r r
(cid:26)3(cid:31)(cid:117)a=(x,y )(cid:36)b=(x ,y )(cid:36)(cid:38)a+b=(x +x ,y + y )(cid:36)a-b=(x -x ,y - y )(cid:36)(cid:63)(cid:123)(cid:124)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:98)(cid:130)(cid:135)
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:43)(cid:202)(cid:212)(cid:161)(cid:168)(cid:123)(cid:124)(cid:34)(cid:35)(cid:131)(cid:198)(cid:50)(cid:51)(cid:49)(cid:98)(cid:130)(cid:135)(cid:25)
r r
(cid:37)a=(x,y)(cid:36)l(cid:60)(cid:137)(cid:13)(cid:36)(cid:38)la=(lx,ly)(cid:36)(cid:63)(cid:137)(cid:13)(cid:130)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:111)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:36)(cid:212)(cid:161)(cid:97)(cid:162)(cid:137)(cid:13)(cid:136)(cid:210)(cid:213)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:131)(cid:198)(cid:50)
(cid:51)(cid:25)
uuur uuur uuur
(cid:26)4(cid:31)(cid:117)A(x,y )(cid:36)B(x ,y )(cid:36)(cid:38)AB=OB-OA=(x -x , y - y )(cid:36)(cid:63)(cid:22)(cid:124)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:212)(cid:161)(cid:162)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:154)(cid:34)(cid:89)(cid:171)
1 1 2 2 1 2 1 2
(cid:49)(cid:214)(cid:78)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:129)(cid:215)(cid:216)(cid:78)(cid:50)(cid:51)(cid:25)
(cid:26)5(cid:31)(cid:87)(cid:88)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:48)(cid:100)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)
uuur uuur
(cid:32)(cid:33)(cid:78)A(x (cid:36)y )(cid:36)B(x (cid:36)y )(cid:36)(cid:38)AB=(x -x (cid:36)y - y )(cid:36)|AB|= (x -x )2 +(y - y )2
1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1
r r r r r
①(cid:32)(cid:33)a=(x,y )(cid:36)b =(x ,y )(cid:36)(cid:38)a±b =(x ±x (cid:36)y ± y )(cid:36)la=(lx,ly )(cid:36)
1 1 2 2 1 2 1 2 1 1
② a r ×b r = xx + y y (cid:36)|a r |= x2 + y2 (cid:25)
1 2 1 2 1 1
r r r r
a∥b Û x y -x y =0(cid:36)a^b Û xx + y y =0
1 2 2 1 1 2 1 2
uuur uuur uuur
(cid:26)5(cid:31)A(cid:23)P(cid:23)B(cid:125)(cid:78)(cid:118)(cid:89)Û OP=(1-t)OA+tOB (tÎR)(cid:36)(cid:168)(cid:155)(cid:48)(cid:89)(cid:49)(cid:34)(cid:35)(cid:103)(cid:140)(cid:217)(cid:25)
(cid:127)(cid:23)(cid:13)(cid:35)(cid:111)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)
(cid:32)(cid:33)(cid:218)(cid:219)(cid:34)(cid:35)a=(x (cid:36)y )(cid:36)b=(x (cid:36)y )(cid:36)q(cid:60)(cid:34)(cid:35)a(cid:23)b(cid:49)(cid:99)(cid:100)(cid:25)
1 1 2 2
(cid:70)(cid:180) (cid:82)(cid:83)(cid:93)(cid:94) (cid:50)(cid:51)(cid:93)(cid:94)(cid:220) |a|= a×a |a|= x2 + y2
(cid:13)(cid:35)(cid:111) a×b=|a||b|cosq a×b=xx + y y
1 2 1 2
a×b xx + y y
(cid:99)(cid:100) cosq= cosq= 1 2 1 2
|a||b| x2 + y2 × x2 + y2
1 1 2 2
a^b(cid:49)(cid:192)(cid:193)
a×b=0 xx + y y =0
1 2 1 2
(cid:84)(cid:85)
a(cid:221)b(cid:49)(cid:192)(cid:193)
a=l(cid:26)b b¹0(cid:31) x y -x y =0
1 2 2 1
(cid:84)(cid:85)
|a×b|(cid:130)|a||b| |a×b|£|a||b|(cid:26)(cid:138)(cid:67)(cid:223)
|xx + y y |≤ x2 + y2 × x2 + y2
(cid:49)(cid:3)(cid:222) (cid:138)a∥b(cid:139)(cid:212)(cid:9)(cid:224)(cid:225)(cid:31) 1 2 1 2 1 1 2 2
(cid:39)(cid:87)(cid:88)(cid:34)(cid:35)(cid:196)(cid:97)(cid:70)(cid:180)(cid:42)
r r r r
(cid:26)1(cid:31)(cid:87)(cid:88)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:13)(cid:35)(cid:111)(cid:155)(cid:22)(cid:124)(cid:137)(cid:13)(cid:36)(cid:54)(cid:200)(cid:23)(cid:54)(cid:226)(cid:23)(cid:54)(cid:60)(cid:219)(cid:36)(cid:67)|a×b|£|a||b|(cid:25)
r r r r r r r r
(cid:26)2(cid:31)(cid:218)(cid:219)(cid:34)(cid:35)(cid:99)(cid:100)(cid:60)(cid:227)(cid:100)(cid:26)(cid:121)(cid:228)(cid:100)(cid:31)(cid:25)(cid:138)(cid:67)(cid:223)(cid:138)a×b >0(cid:67)a¹lb(l>0)(cid:26)(cid:121)a×b <0(cid:36)(cid:67)a¹lb(l<0))
r r
(cid:26)3(cid:31)b (cid:76)a(cid:80)(cid:49)(cid:229)(cid:230)(cid:155)(cid:22)(cid:124)(cid:13)(cid:35)(cid:36)(cid:231)(cid:54)(cid:62)(cid:60)(cid:200)(cid:36)(cid:54)(cid:62)(cid:60)(cid:226)(cid:36)(cid:232)(cid:54)(cid:62)(cid:212)(cid:161)0(cid:25)
r r r r r r r r r r r r
(cid:26)4(cid:31)(cid:13)(cid:35)(cid:111)(cid:49)(cid:52)(cid:53)(cid:193)(cid:4)(cid:110)a=0(cid:139)(cid:36)a×b =0(cid:36)(cid:233)a×b =0(cid:139)(cid:157)(cid:177)(cid:69)(cid:197)a=0(cid:121)b =0(cid:36)(cid:59)(cid:60)a ^ b (cid:139)(cid:36)(cid:232)(cid:154)
r r
a×b =0(cid:25)
r r
r r r a×b r r r r
(cid:26)5(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:87)(cid:88)(cid:34)(cid:35)(cid:13)(cid:35)(cid:111)(cid:49)(cid:90)(cid:144)(cid:10)|a|= a×a (cid:36)cosq= r r (cid:36)a^b Ûa×b =0(cid:212)(cid:36)(cid:61)(cid:62)(cid:87)(cid:88)(cid:34)(cid:35)(cid:13)(cid:35)(cid:111)
|a||b|
(cid:54)(cid:62)(cid:97)(cid:213)(cid:58)(cid:234)(cid:154)(cid:3)(cid:235)(cid:236)(cid:23)(cid:100)(cid:236)(cid:23)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:176)(cid:21)(cid:25)
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:20)(cid:21)
r r uuur r r uuur r r
1(cid:25)(cid:26)2024·(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:240)·(cid:125)(cid:220)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)e (cid:36)e (cid:155)(cid:87)(cid:88)(cid:80)(cid:123)(cid:124)(cid:157)(cid:118)(cid:89)(cid:49)(cid:24)(cid:206)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:67)AB=e +2e (cid:36)BC =-3e +2e (cid:36)
1 2 1 2 1 2
uuur r r
DA=3e -6e (cid:36)(cid:38)(cid:26) (cid:31)
1 2
A(cid:25)A(cid:23)B(cid:23)C(cid:125)(cid:78)(cid:118)(cid:89) B(cid:25)A(cid:23)B(cid:23)D(cid:125)(cid:78)(cid:118)(cid:89)
C(cid:25)A(cid:23)C(cid:23)D(cid:125)(cid:78)(cid:118)(cid:89) D(cid:25)B(cid:23)C(cid:23)D(cid:125)(cid:78)(cid:118)(cid:89)
(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)C
r r r r
(cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:45)(cid:46)(cid:34)(cid:35)a,b(cid:118)(cid:89)(cid:38)a=lblÎR(cid:241)(cid:242)(cid:63)(cid:54).
uuur r r uuur r r uuur uuur
(cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:42)(cid:160)A(cid:36)(cid:59)(cid:60)AB=e +2e (cid:36)BC =-3e +2e (cid:36)(cid:157)(cid:148)(cid:76)(cid:137)(cid:13)l(cid:150)(cid:69)AB=lBC(cid:36)(cid:64)A(cid:23)B(cid:23)C(cid:125)(cid:78)(cid:157)(cid:118)
1 2 1 2
(cid:89)(cid:36)(cid:64)A(cid:243)(cid:244)(cid:113)uuur r r uuur r r uuur uuur
(cid:160)B(cid:36)(cid:59)(cid:60)AB=e +2e (cid:36)DA=3e -6e (cid:36)(cid:157)(cid:148)(cid:76)(cid:137)(cid:13)l(cid:150)(cid:69)AB=lDA(cid:36)(cid:64)A(cid:23)B(cid:23)D(cid:125)(cid:78)(cid:157)(cid:118)(cid:89)(cid:36)(cid:64)B
1 2 1 2
(cid:243)(cid:244)(cid:113)
uuur uuur uuur r r uuur r r uuur 2uuur
(cid:160)C(cid:36)(cid:59)(cid:60)AC = AB+BC =-2e +4e (cid:36)DA=3e -6e (cid:36)(cid:38)AC =- DA(cid:36)(cid:64)A(cid:23)C(cid:23)D(cid:125)(cid:78)(cid:118)(cid:89)(cid:36)(cid:64)C(cid:200)
1 2 1 2 3
(cid:201)(cid:113)
uuur r r uuur uuur uuur uuur r r r r r r
(cid:160)D(cid:36)(cid:59)(cid:60)BC =-3e +2e (cid:36)BD=-DA-AB=DA=-3e +6e -e -2e =-4e +4e (cid:36)(cid:157)(cid:148)(cid:76)(cid:137)(cid:13)l(cid:150)(cid:69)
1 2 1 2 1 2 1 2
uuur uuur
BC =lBD(cid:36)(cid:64)B(cid:23)C(cid:23)D(cid:125)(cid:78)(cid:157)(cid:118)(cid:89)(cid:36)(cid:64)D(cid:243)(cid:244).
(cid:64)(cid:20)(cid:10)C
r r r r
2(cid:25)(cid:26)2024·(cid:237)(cid:245)·(cid:125)(cid:220)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)a=-1,3,a^b(cid:36)(cid:158)(cid:159)(cid:34)(cid:35)b (cid:54)(cid:62)(cid:155)(cid:26) (cid:31)
æ 1ö
A(cid:25)1,3 B(cid:25)ç-1, ÷ C(cid:25)3,-1 D(cid:25)3,1
è 3ø
(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)D
(cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:45)(cid:46)(cid:87)(cid:88)(cid:34)(cid:35)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:93)(cid:94)(cid:63)(cid:54)(cid:55)(cid:58).
(cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:42)(cid:160)(cid:161)A(cid:36)(cid:59)(cid:60)-1,3×1,3=-1+9=8¹0(cid:36)(cid:61)(cid:62)a r ,b r (cid:157)(cid:47)(cid:48)(cid:36)(cid:64)A(cid:243)(cid:244)(cid:113)
(cid:160)(cid:161)B(cid:36)(cid:59)(cid:60)-1,3× æ ç-1, 1ö ÷=1+1=2¹0(cid:36)(cid:61)(cid:62)a r ,b r (cid:157)(cid:47)(cid:48)(cid:36)(cid:64)B(cid:243)(cid:244)(cid:113)
è 3ø
(cid:160)(cid:161)C(cid:36)(cid:59)(cid:60)-1,3×3,-1=-3-3=-6¹0(cid:36)(cid:61)(cid:62)a r ,b r (cid:157)(cid:47)(cid:48)(cid:36)(cid:64)C(cid:243)(cid:244)(cid:113)
(cid:160)(cid:161)D(cid:36)(cid:59)(cid:60)-1,3×3,1=-3+3=0(cid:36)(cid:61)(cid:62)a r ^b r (cid:36)(cid:64)D(cid:200)(cid:201).
(cid:64)(cid:20)(cid:10)D
r r r r r r
3(cid:25)(cid:26)2024·(cid:246)(cid:247)·(cid:125)(cid:220)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)a=m,1(cid:36)b=m,-1(cid:36)(cid:37)3a-b(cid:130)b(cid:47)(cid:48)(cid:36)(cid:38) a (cid:212)(cid:161)(cid:26) (cid:31)
A(cid:25) 2 B(cid:25) 3 C(cid:25)3 D(cid:25)6
(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)B
r r r  r r  r
(cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:45)(cid:46)3a-b(cid:130)b(cid:47)(cid:48)(cid:36)(cid:54)(cid:69) 3a-b ×b=0(cid:36)(cid:63)(cid:54)(cid:55)(cid:91)m(cid:36)(cid:92)(cid:45)(cid:46)(cid:220)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:7)(cid:103)(cid:63)(cid:54)(cid:69)(cid:58).
r r
(cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:42)3a-b=2m,4(cid:36)
r r r
(cid:59)(cid:60)3a-b(cid:130)b(cid:47)(cid:48)(cid:36)
r r r
 
(cid:61)(cid:62) 3a-b ×b=2m2-4=0(cid:36)(cid:58)(cid:69)m2 =2(cid:36)
r
(cid:61)(cid:62) a = m2+1= 3.
(cid:64)(cid:20)(cid:10)B.
r r r r r r
4(cid:25)(cid:26)2024·(cid:248)(cid:249)·(cid:125)(cid:220)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)a =(3,1),b =(-2,x)(cid:36)(cid:37)a^(a+b)(cid:36)(cid:38)|b|=(cid:26) (cid:31)
2 10
A(cid:25)2 B(cid:25)3 C(cid:25)2 5 D(cid:25)
3
(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)Cr r
(cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:96)(cid:97)(cid:32)(cid:33)(cid:84)(cid:85)(cid:98)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:47)(cid:48)(cid:3)(cid:222)(cid:55)(cid:91)(cid:250)(cid:33)(cid:35)x(cid:63)(cid:54)(cid:55)(cid:69)b (cid:36)(cid:251)(cid:75)(cid:69)|b|.
r r
(cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:42)(cid:59)(cid:60)a+b =1,1+x(cid:36)
(cid:61)(cid:62)a r ×  a r +b r  =3+1+x=0(cid:36)Þ x=-4(cid:36)(cid:64)b r =(-2,-4)(cid:36)
r
(cid:61)(cid:62) b = (-2)2+(-4)2 =2 5.
(cid:64)(cid:20)(cid:10)C.
r r r r r r r
5(cid:25)(cid:26)2024·(cid:252)(cid:253)·(cid:125)(cid:220)(cid:31)(cid:37)|a|=1,|b|=2 ,(a-b)^a(cid:36)(cid:38)(cid:34)(cid:35)a(cid:130)b (cid:49)(cid:99)(cid:100)(cid:60)(cid:26) (cid:31)
A(cid:25)30° B(cid:25)60° C(cid:25)120° D(cid:25)150°
(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)B
r r r r r r r r
(cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:45)(cid:46)(a-b)^a(cid:36)(cid:69)(a-b)×a=0(cid:36)(cid:70)(cid:71)(cid:13)(cid:35)(cid:111)(cid:49)(cid:52)(cid:53)(cid:112)(cid:55)(cid:91)a×b(cid:36)(cid:92)(cid:45)(cid:46)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:99)(cid:100)(cid:7)(cid:103)(cid:63)(cid:54)(cid:69)(cid:58).
r r r r r r
(cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:42)(cid:59)(cid:60)(a-b)^a(cid:36)(cid:61)(cid:62)(a-b)×a=0(cid:36)
r r r r r r
(cid:63) a 2 -a×b=0 (cid:36)(cid:61)(cid:62) a×b=a 2 =1 (cid:36)
r r
r r a×b 1
(cid:61)(cid:62)cosa,b = r r = (cid:36)
a b 2
r r
(cid:73)0°£a,b £180°(cid:36)
r r
(cid:61)(cid:62)(cid:34)(cid:35)a(cid:130)b (cid:49)(cid:99)(cid:100)(cid:60)60°.
(cid:64)(cid:20)(cid:10)B.
r r r r
6(cid:25)(cid:26)2024·(cid:254)(cid:255)(cid:256)(cid:257)·(cid:125)(cid:220)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)a=(1,-2),b =(-1,-2)(cid:36)(cid:117)a(cid:130)b (cid:49)(cid:99)(cid:100)(cid:60)q(cid:36)(cid:38)sinq=(cid:26) (cid:31)
3 3 4 4
A(cid:25)- B(cid:25) C(cid:25)- D(cid:25)
5 5 5 5
(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)D
(cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:97)(cid:99)(cid:100)(cid:7)(cid:103)(cid:258)(cid:53)(cid:91)(cid:101)(cid:102)(cid:56)(cid:259)(cid:36)(cid:92)(cid:45)(cid:46)(cid:141)(cid:100)(cid:125)(cid:100)(cid:260)(cid:13)(cid:87)(cid:140)(cid:3)(cid:222)(cid:63)(cid:54)(cid:53)(cid:91)(cid:200)(cid:102)(cid:56).
r r
(cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:42)(cid:59)(cid:60)a=(1,-2),b =(-1,-2)(cid:36)
r r r r
(cid:61)(cid:62)a×b=-3(cid:36) a = 5,b = 5(cid:36)
r r
a×b 3
(cid:61)(cid:62)cosq= r r =- (cid:36)
a b 5
r r 4
(cid:59)(cid:60)q(cid:60)a(cid:130)b (cid:49)(cid:99)(cid:100)(cid:36)(cid:61)(cid:62)sinq= 1-cos2q= .
5
(cid:64)(cid:20)(cid:10)D
ur uur ur uur 1 ur uur uur
7(cid:25)(cid:26)2024·(cid:261)(cid:252)(cid:262)(cid:263)·(cid:125)(cid:220)(cid:31)(cid:32)(cid:33)e,e (cid:155)(cid:24)(cid:206)(cid:34)(cid:35)(cid:36)e ×e =- (cid:36)(cid:38)e +2e (cid:130)e (cid:49)(cid:99)(cid:100)(cid:60)(cid:26) (cid:31)
1 2 1 2 2 1 2 2
π π π 2π
A(cid:25) B(cid:25) C(cid:25) D(cid:25)
6 4 3 3(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)A
ur uur ur uur uur
(cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:264)(cid:258)(cid:53)(cid:34)(cid:35)e +2e (cid:49)(cid:220)(cid:36)(cid:92)(cid:258)(cid:53)e +2e (cid:130)e (cid:49)(cid:13)(cid:35)(cid:111)(cid:36)(cid:251)(cid:75)(cid:54)(cid:69)(cid:99)(cid:100)(cid:49)(cid:101)(cid:102)(cid:56)(cid:36)(cid:54)(cid:69)(cid:40)(cid:41).
1 2 1 2 2
ur uur ur ur uur uur ur uur
(cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:42)  e +2e 2 =e 2 +4e ×e +4e 2 =1-2+4=3(cid:36)(cid:64) e +2e = 3(cid:25)
1 2 1 1 2 2 1 2
 ur uur  uur ur uur uur 2 1 3 ur uur uur
e +2e ×e =e ×e +2e =- +2= (cid:36)(cid:117)e +2e (cid:130)e (cid:49)(cid:99)(cid:100)(cid:60)q(cid:36)
1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2
ur uur uur 3
 
(cid:38) cosq= u e r 1 +2 u e ur 2 × u e ur 2 = 2 = 3 (cid:36)(cid:73)qÎ 0,π (cid:36)(cid:64)q= π (cid:36)
e +2e ×e 3 2 6
1 2 2
(cid:64)(cid:20)(cid:10)A(cid:25)
r r r r r r r r r 
8(cid:25)(cid:26)2024·(cid:246)(cid:247)(cid:265)(cid:266)·(cid:125)(cid:220)(cid:31)(cid:32)(cid:33) a =4(cid:36)b =3(cid:36) a+b = a-b (cid:36)(cid:38)a× a-b =(cid:26) (cid:31)
A(cid:25)-16 B(cid:25)16 C(cid:25)-9 D(cid:25)9
(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)B
r r r r r r r r r r r  r r 
(cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:68)(cid:32)(cid:33)(cid:54)(cid:69) a 2 +2bga+b 2 =a 2 -2bga+b 2(cid:36)(cid:54)(cid:55)(cid:69)bga=0(cid:36)(cid:251)(cid:75)(cid:258)(cid:53)(cid:54)(cid:55)a× a-b .
r r r r
r r r r r r r r
(cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:42)(cid:68) a+b = a-b (cid:36)(cid:123)(cid:79)(cid:87)(cid:140)(cid:54)(cid:69) a 2 +2bga+b 2 =a 2 -2bga+b 2(cid:36)
(cid:61)(cid:62)b r ga r =0(cid:36)(cid:61)(cid:62)a r ×  a r -b r  =a r 2 -a r gb r =42-0=16.
(cid:64)(cid:20)(cid:10)B.
9(cid:25)(cid:26)2024·(cid:267)(cid:245)(cid:268)(cid:269)·(cid:125)(cid:220)(cid:31)(cid:76)VABC(cid:77)(cid:36)E(cid:76)(cid:79)BC(cid:80)(cid:36)(cid:67)EC =3BE,D(cid:155)(cid:79)AB(cid:80)(cid:163)(cid:110)(cid:22)(cid:78)(cid:36)AE(cid:130)CD(cid:128)
uuur uuur uuur
(cid:161)(cid:78)P(cid:36)(cid:37)CP=xCA+yCB(cid:36)(cid:38)3x+4y=(cid:26) (cid:31)
3 3
A(cid:25) B(cid:25)- C(cid:25)3 D(cid:25)-3
4 4
(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)C
uuur uuur uuur uuur æ3 3 öuuur
(cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:96)(cid:97)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:89)(cid:90)(cid:52)(cid:53)(cid:36)(cid:69)CP=CE+EP=tCA+ç - t÷CB(cid:36)(cid:92)(cid:96)(cid:97)(cid:87)(cid:88)(cid:34)(cid:35)(cid:142)(cid:143)(cid:119)(cid:15)(cid:36)(cid:54)(cid:69)
è4 4 ø
3 3
x=t,y= - t(cid:36)(cid:270)(cid:259)(cid:271)(cid:54)(cid:69)(cid:197)(cid:70)(cid:146).
4 4
uuur uuur
(cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:42)QA､P､E(cid:125)(cid:78)(cid:118)(cid:89)(cid:36)(cid:117)EP=tEA(0<t<1)(cid:36)
uuur uuur uuur 3uuur uuur 3uuur æuuur 3uuurö uuur æ3 3 öuuur
(cid:38)CP=CE+EP= CB+tEA= CB+tçCA- CB÷=tCA+ç - t÷CB(cid:36)
4 4 è 4 ø è4 4 ø
uuur uuur uuur 3 3
(cid:73)QCP=xCA+yCB(cid:36)(cid:61)(cid:62)x=t,y= - t(cid:36)(cid:63)3x+4y=3.
4 4
(cid:64)(cid:20)(cid:10)C.
r r r r r r r r
10(cid:25)(cid:26)2024·(cid:247)(cid:272)(cid:272)(cid:257)·(cid:125)(cid:220)(cid:31)(cid:32)(cid:33)|a-b|=|2a-b|=2(cid:36)(cid:67)2a-b(cid:76)a(cid:140)(cid:34)(cid:80)(cid:49)(cid:229)(cid:230)(cid:34)(cid:35)(cid:60)(cid:24)(cid:206)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:38)|b|=
(cid:26) (cid:31)A(cid:25)4 B(cid:25)2 3 C(cid:25)4 3 D(cid:25)6
(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)B
r r r r r 2 r r
(cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:45)(cid:46)(cid:21)(cid:110)(cid:36)(cid:43)(cid:202)(cid:273)|2a-b|=2(cid:130) a-b =2(cid:87)(cid:140)(cid:36)(cid:270)(cid:259)(cid:207)(cid:135)(cid:54)(cid:69)3a =2a×b(cid:36)(cid:92)(cid:68)(cid:84)(cid:85)(cid:54)(cid:69)
r r r r r r
  2
2a-b ×a 2 a -a×b r r r
r = r =1(cid:36)(cid:63)(cid:54)(cid:55)(cid:69) a (cid:36)(cid:74)(cid:75)(cid:69)(cid:197)a×b(cid:36)(cid:63)(cid:54)(cid:69)(cid:197)(cid:70)(cid:146).
a a
(cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:42)(cid:68)(cid:21)(cid:110)(cid:54)(cid:69)|2a r -b r |=2(cid:36)(cid:61)(cid:62)  2a r -b r 2 =4(cid:36)(cid:63) 4a r 2 -4a r ×b r +b r 2 =4 (cid:36)
r r r r
2 2
(cid:61)(cid:62)4 a -4a×b+ b =4 (cid:36)
r r  r ①r 2 r r r r
(cid:59)(cid:60) a-b =2(cid:36)(cid:61)(cid:62) a-b =4(cid:36)(cid:63) a 2 -2a×b+b 2 =4 (cid:36)
r r r r
2 2
(cid:61)(cid:62) a -2a×b+ b =4 (cid:36)
- (cid:54)(cid:69)3a r 2 =2a r ×b r② (cid:36)(cid:63)a r ×b r = 3 a r 2
2
① r②r r
(cid:73)2a-b(cid:76)a(cid:140)(cid:34)(cid:80)(cid:49)(cid:229)(cid:230)(cid:34)(cid:35)(cid:60)(cid:24)(cid:206)(cid:34)(cid:35)(cid:36)
 r r  r r 2 r r r 2 3 r 2
2a-b ×a 2 a -a×b 2 a - a r
(cid:38) r = r =1(cid:36)(cid:63) r 2 =1 (cid:36)(cid:58)(cid:69) a =2(cid:36)
a a a
r r 3 r 2 r 2 r
(cid:38)a×b= a =6(cid:36)(cid:274)(cid:275) (cid:77)(cid:54)(cid:69)4-2´6+ b =4(cid:36)(cid:58)(cid:69) b =2 3.
2
(cid:64)(cid:20)(cid:10)B ②
uuur uuur uuur
11(cid:25)(cid:26)2024·(cid:276)(cid:245)(cid:277)(cid:278)·(cid:125)(cid:220)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:212)(cid:79)VABC(cid:49)(cid:79)(cid:235)(cid:60)1(cid:36)(cid:78)D,E(cid:43)(cid:202)(cid:60)AB,BC(cid:49)(cid:77)(cid:78)(cid:36)(cid:37)DF =3EF(cid:36)(cid:38) AF =
(cid:26) (cid:31)
1uuur 5uuur 1uuur 3uuur
A(cid:25) AB+ AC B(cid:25) AB+ AC
2 6 2 4
1uuur uuur 1r 3r
C(cid:25) AB+AC D(cid:25) AB+ AC
2 2 2
(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)B
uuur uuur
 
(cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:203) AC,AB (cid:60)(cid:142)(cid:170)(cid:36)(cid:96)(cid:97)(cid:87)(cid:88)(cid:34)(cid:35)(cid:142)(cid:143)(cid:119)(cid:15)(cid:70)(cid:71)(cid:32)(cid:33)(cid:84)(cid:85)(cid:55)(cid:58)(cid:63)(cid:54).
uuur uuur
 
(cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:42)(cid:76)VABC(cid:77)(cid:36)(cid:203) AC,AB (cid:60)(cid:142)(cid:170)(cid:36)uuur uuur uuur uuur
(cid:38) AC = AB =2, AC,AB =60o(cid:36)
uuur uuur
(cid:59)(cid:60)(cid:78)D,E(cid:43)(cid:202)(cid:60)AB,BC(cid:49)(cid:77)(cid:78)(cid:36)DF =3EF,
uuur 1uuur 1uuur
(cid:61)(cid:62)EF = DE= AC(cid:36)
2 4
uuur uuur uuur 1 uuur uuur  1uuur 1uuur 3uuur
(cid:61)(cid:62)AF = AE+EF = AB+AC + AC = AB+ AC.
2 4 2 4
(cid:64)(cid:20)(cid:10)B.
r r  r r   r r  r r
12(cid:25)(cid:26)2023·(cid:279)(cid:280)(cid:247)(cid:281)(cid:282)(cid:283)·(cid:125)(cid:220)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:218)(cid:219)(cid:34)(cid:35)a(cid:36)b (cid:65)(cid:66) 2a+b ^ 2a-b (cid:36)(cid:67)(cid:34)(cid:35)a(cid:76)(cid:34)(cid:35)b (cid:80)(cid:49)(cid:229)(cid:230)
3 r r r
(cid:34)(cid:35)(cid:155) b(cid:36)(cid:38)a(cid:130)b (cid:49)(cid:99)(cid:100)(cid:155)(cid:26) (cid:31)
4
π π π 5π
A(cid:25) B(cid:25) C(cid:25) D(cid:25)
6 3 2 6
(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)A
 r r   r r   r r   r r  r r
(cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:45)(cid:46) 2a+b ^ 2a-b (cid:36)(cid:54)(cid:69) 2a+b × 2a-b =0(cid:36)(cid:70)(cid:71)(cid:13)(cid:35)(cid:111)(cid:49)(cid:52)(cid:53)(cid:112)(cid:54)(cid:69) a ,b (cid:49)(cid:3)(cid:222)(cid:36)(cid:92)(cid:45)
(cid:46)(cid:229)(cid:230)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:7)(cid:103)(cid:63)(cid:54)(cid:69)(cid:58).
 r r   r r 
(cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:42)(cid:59)(cid:60) 2a+b ^ 2a-b (cid:36)
 r r   r r  r 2 r 2
(cid:61)(cid:62) 2a+b × 2a-b =4a -b =0(cid:36)
r r
(cid:61)(cid:62) b =2 a (cid:36)
r r 3 r
(cid:59)(cid:60)(cid:34)(cid:35)a(cid:76)(cid:34)(cid:35)b (cid:80)(cid:49)(cid:229)(cid:230)(cid:34)(cid:35)(cid:155) b(cid:36)
4
r
r r r b 3r
(cid:61)(cid:62) a cos a,b × r = b(cid:36)
b 4
1 r r r 3r r r 3
(cid:63) cos a,b ×b= b(cid:36)(cid:61)(cid:62)cos a,b = (cid:36)
2 4 2
r r
(cid:73)(cid:59)(cid:60) a,b Î 0,π (cid:36)r r π
(cid:61)(cid:62)a(cid:130)b (cid:49)(cid:99)(cid:100)(cid:155) .
6
(cid:64)(cid:20)(cid:10)A.
13(cid:25)(cid:26)2024·(cid:127)(cid:284)(cid:285)(cid:276)·(cid:125)(cid:220)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)a r ,b r ,c r (cid:65)(cid:66) a r = b r =1,c r = 3(cid:36)(cid:67)ar +b r +cr =0(cid:36)(cid:38)cos a r -c r ,b r -c r =
(cid:26) (cid:31)
13 3 3 3 3 13
A(cid:25) B(cid:25) C(cid:25)- D(cid:25)-
14 14 14 14
(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)A
(cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:45)(cid:46)(cid:13)(cid:35)(cid:111)(cid:49)(cid:52)(cid:53)(cid:112)(cid:55)(cid:91)a r ×b r (cid:23)ar ×cr (cid:23)b r ×c r (cid:36)(cid:63)(cid:54)(cid:55)(cid:91)a r -c r ×  b r -c r (cid:23) a r -c r (cid:23) b r -c r (cid:36)(cid:92)(cid:45)(cid:46)(cid:99)
(cid:100)(cid:7)(cid:103)(cid:258)(cid:53)(cid:54)(cid:69).
r r r r r r r r r r 1
(cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:42)(cid:68)(cid:21)(cid:110)(cid:69)a+b=-c(cid:36)(cid:38)(a+b)2 =c2(cid:154)12+2a×b+12 =( 3)2(cid:36)(cid:58)(cid:69)a×b = (cid:36)
2
(cid:73)(cid:68)a r +c r =-b r (cid:36)(cid:38)(a r +c r )2 =b r 2(cid:154)12+2a r ×c r +( 3)2 =12(cid:36)(cid:58)(cid:69)a r ×c r =- 3 (cid:36)
2
r r 3
(cid:141)(cid:15)(cid:54)(cid:69)b×c =- (cid:36)
2
(cid:61)(cid:62)a r -c r ×  b r -c r =a r ×b r -a r ×c r -b r ×c r +c r 2 = 13 (cid:36)
2
r r r r r r
a-c = a2-2a×c+c2 = 7 (cid:36)
r r r r r r
b-c = b2-2b×c+c2 = 7(cid:36)
(cid:61)(cid:62) cos a r -c r ,b r -c r = a r r -c r r ×  r b r - r c r = 1 2 3 = 13 .
a-c ×b-c 7´ 7 14
(cid:64)(cid:20)(cid:10)A
(cid:106)(cid:23)(cid:286)(cid:20)(cid:21)
r r r
14(cid:25)(cid:26)2024·(cid:287)(cid:288)·(cid:125)(cid:220)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)a=(1,2),a-b=(3,1)(cid:36)(cid:38)(cid:26) (cid:31)
r r r
A(cid:25)b=(-2,1) B(cid:25)a(cid:221)b
r r r r r r
C(cid:25)a^b D(cid:25) a-b (cid:76)a(cid:80)(cid:49)(cid:229)(cid:230)(cid:34)(cid:35)(cid:60)a
(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)ACD
(cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:68)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:89)(cid:90)(cid:52)(cid:53)(cid:23)(cid:87)(cid:126)(cid:62)(cid:86)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:93)(cid:94)(cid:54)(cid:241)(cid:242)ABC(cid:36)(cid:68)(cid:229)(cid:230)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:119)(cid:120)(cid:54)(cid:241)(cid:242)D.
r r r r
(cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:42)(cid:160)(cid:161)A(cid:36)b=a-  a-b  =(1,2)-(3,1)=-2,1(cid:36)(cid:64)A(cid:200)(cid:201)(cid:113)
(cid:160)(cid:161)BC(cid:36)(cid:68)(cid:161)1´1-2´-2=5¹0(cid:36)1´-2+2´-1=0(cid:36)(cid:64)B(cid:243)(cid:244)(cid:36)C(cid:200)(cid:201)(cid:113)r r r r r r
(cid:160)(cid:161)D(cid:36) r a- r b (cid:76)a r (cid:80)(cid:49)(cid:229)(cid:230)(cid:34)(cid:35)(cid:60)ç ç è æ a- a r b  ×a ÷ ø ÷ ö × a a r r = ç è ç ç æ a- a r b 2  ×a ÷ ø ÷ ÷ ö ×a r = 5 5 ×a r =a r (cid:36)(cid:64)D(cid:200)(cid:201).
(cid:64)(cid:20)(cid:10)ACD.
15(cid:25)(cid:26)2024·(cid:289)(cid:188)(cid:290)(cid:291)·(cid:125)(cid:220)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:212)(cid:79)VABC(cid:49)(cid:79)(cid:235)(cid:60)4(cid:36)(cid:78)D(cid:36)E(cid:65)(cid:66) u B u D ur =2 u D uu A r (cid:36) u B u E ur = u E u C ur (cid:36)AE(cid:130)CD(cid:128)
(cid:161)(cid:78)O(cid:36)(cid:38)(cid:26) (cid:31)
uuur 2uuur 1uuur uuur uuur
A(cid:25)CD= CA+ CB B(cid:25)BO×BC=8
3 3
uuur uuur uuur uuur uuur
C(cid:25)CO=2OD D(cid:25)|OA+OB+OC|= 3
(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)ABD
(cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:45)(cid:46)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:89)(cid:90)(cid:52)(cid:53)(cid:36)(cid:34)(cid:35)(cid:118)(cid:292)(cid:119)(cid:15)(cid:49)(cid:293)(cid:180)(cid:36)(cid:69)(cid:91)O(cid:60)AE(cid:77)(cid:78)(cid:36)O(cid:60)CD(cid:80)(cid:294)(cid:295)(cid:78)D(cid:49)(cid:127)(cid:212)(cid:43)(cid:78)(cid:36)
(cid:160)(cid:20)(cid:296)(cid:251)(cid:126)(cid:241)(cid:242)(cid:36)(cid:69)(cid:91)(cid:40)(cid:41).
(cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:42)
uuur uuur uuur uuur 1uuur uuur 1 uuur uuur  2uuur 1uuur
(cid:160)(cid:161)A(cid:20)(cid:296)(cid:36)CD=CA+AD=CA+ AB=CA+ CB-CA = CA+ CB(cid:36)(cid:64)A(cid:200)(cid:201)(cid:113)
3 3 3 3
uuur uuur
(cid:160)(cid:161)B(cid:20)(cid:296)(cid:36)(cid:59)(cid:60)VABC(cid:60)(cid:212)(cid:79)(cid:125)(cid:100)(cid:104)(cid:36) BE=EC (cid:36)E(cid:60)(cid:77)(cid:78)(cid:36)(cid:61)(cid:62)AE^BC(cid:36)
uuur uuur uuur uuur  uuur uuur  uuur
(cid:61)(cid:62)AO^BC(cid:36)(cid:63)AO×BC =0(cid:36)(cid:61)(cid:62)BO×BC = BA+AO ×BC
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1
=BA×BC+AO×BC =BA×BC = BA BC cos60°=4´4´ =8(cid:36)(cid:64)B(cid:200)(cid:201)(cid:113)
2
uuur uuur
(cid:160)(cid:161)C(cid:20)(cid:296)(cid:36)(cid:117)CO=lCD(cid:36)
uuur 2uuur 1uuur 2uuur 2uuur uuur 2luuur 2luuur
(cid:68)(cid:26)1(cid:31)(cid:69)CD= CA+ CB= CA+ CE(cid:36)(cid:61)(cid:62)CO= CA+ CE(cid:36)
3 3 3 3 3 3
2l 2l 3
(cid:73)O,A,E(cid:125)(cid:78)(cid:118)(cid:89)(cid:36)(cid:61)(cid:62) + =1(cid:36)(cid:58)(cid:69)l= (cid:36)(cid:61)(cid:62)O(cid:60)CD(cid:80)(cid:294)(cid:295)(cid:78)D(cid:49)(cid:127)(cid:212)(cid:43)(cid:78)(cid:36)(cid:64)C(cid:243)(cid:244)(cid:113)
3 3 4
uuur 1uuur 1uuur 1uuur 3uuur uuur uuur uuur 1uuur 3uuur
(cid:160)(cid:161)D(cid:36)AE= AC+ AB= AC+ AD(cid:36)(cid:117)AE=tAO(cid:36)(cid:38)tAO= AC+ AD(cid:36)
2 2 2 2 2 2
uuur 1 uuur 3 uuur 1 3
(cid:61)(cid:62)AO= AC+ AD(cid:36)(cid:73)O,C,D(cid:125)(cid:78)(cid:118)(cid:89)(cid:36)(cid:61)(cid:62) + =1(cid:36)(cid:58)(cid:69)t=2(cid:36)
2t 2t 2t 2t
uuur uuur uuur uuur

uuur uuur

uuur uuur uuur 1uuur
(cid:61)(cid:62)O(cid:60)AE(cid:77)(cid:78)(cid:36)(cid:61)(cid:62)OA+OB+OC =OA+ OB+OC =OA+2OE=OE= AE(cid:36)(cid:64)D(cid:200)(cid:201)(cid:36)
2
(cid:64)(cid:20)(cid:10)ABD.
r r
16(cid:25)(cid:26)2024·(cid:261)(cid:297)·(cid:125)(cid:220)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:87)(cid:88)(cid:34)(cid:35)a=m,m+2,mÎR,b =3,4(cid:36)(cid:38)(cid:298)(cid:299)(cid:300)(cid:109)(cid:200)(cid:201)(cid:49)(cid:154)(cid:26) (cid:31)r r
A(cid:25)a,b (cid:22)(cid:119)(cid:54)(cid:62)(cid:207)(cid:60)(cid:22)(cid:124)(cid:142)(cid:170)
r
B(cid:25) a (cid:22)(cid:119)(cid:154)(cid:301)(cid:302)(cid:56)
r r r r
C(cid:25)(cid:22)(cid:119)(cid:148)(cid:76)(cid:22)(cid:124)(cid:137)(cid:13)m(cid:150)(cid:69) a+b = a-b
D(cid:25)a r ,b r (cid:49)(cid:99)(cid:100)(cid:49)(cid:203)(cid:56)(cid:303)(cid:304)(cid:155) 0,π 
(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)BC
(cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:160)A(cid:10)(cid:305)(cid:306)(cid:142)(cid:170)(cid:49)(cid:119)(cid:120)(cid:130)(cid:34)(cid:35)(cid:118)(cid:89)(cid:119)(cid:15)(cid:258)(cid:53)(cid:63)(cid:54)(cid:69)(cid:113)(cid:160)B(cid:10)(cid:305)(cid:306)(cid:220)(cid:235)(cid:119)(cid:120)(cid:258)(cid:53)(cid:63)(cid:54)(cid:69)(cid:113)(cid:160)C(cid:10)(cid:305)
(cid:306)(cid:220)(cid:235)(cid:130)(cid:13)(cid:35)(cid:111)(cid:49)(cid:3)(cid:222)(cid:258)(cid:53)(cid:63)(cid:54)(cid:69)(cid:113)(cid:160)D(cid:10)(cid:307)(cid:91)(cid:132)(cid:308)(cid:63)(cid:54)(cid:69).
(cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:42)(cid:160)A(cid:10)(cid:37)a r //b r (cid:36)(cid:63)4m-3m+2=0(cid:36)(cid:63)m=6(cid:36)(cid:72)(cid:139)a r ,b r (cid:157)(cid:177)(cid:207)(cid:142)(cid:170)(cid:36)(cid:64)A(cid:243)(cid:244)(cid:113)
(cid:160)B(cid:10) a r = m2+m+22 = 2m2+4m+4 = 2m+12+3³ 3(cid:36)
r
(cid:64) a (cid:154)(cid:301)(cid:302)(cid:56) 3 (cid:36)(cid:64)B(cid:200)(cid:201)(cid:113)
r r r r r r 2 r r 2
(cid:160)C(cid:10)(cid:37) a+b = a-b (cid:36)(cid:38)(cid:154) a+b = a-b
(cid:63) a r2+ b r 2 +2a r b r = a r2+ b r 2 -2a r b r (cid:36)(cid:63)a r b r =0(cid:36)(cid:63)3m+4m+2=0(cid:36)
8 8 r r r r
(cid:58)(cid:69)m=- (cid:36)(cid:63)(cid:138)m=- (cid:139)(cid:36) a+b = a-b (cid:36)(cid:64)C(cid:200)(cid:201)(cid:113)
7 7
r r r r
(cid:160)D(cid:10)(cid:68)A(cid:33)(cid:36)(cid:37)a//b(cid:36)(cid:38)m=6(cid:36)(cid:63)a,b (cid:208)(cid:177)(cid:141)(cid:34)(cid:157)(cid:177)(cid:132)(cid:34)(cid:36)
r r
(cid:64)a,b (cid:49)(cid:99)(cid:100)(cid:157)(cid:54)(cid:177)(cid:60)π(cid:36)(cid:64)D(cid:243)(cid:244).
(cid:64)(cid:20)(cid:10)BC.
17(cid:25)(cid:26)2024·(cid:276)(cid:245)·(cid:125)(cid:220)(cid:31)(cid:309)(cid:310)(cid:49)(cid:311)(cid:312)(cid:155)(cid:116)(cid:313)(cid:314)(cid:315)(cid:49)(cid:184)(cid:185)(cid:316)(cid:270)(cid:188)(cid:317)(cid:14)(cid:36)(cid:311)(cid:312)(cid:155)(cid:318)(cid:319)(cid:49)(cid:320)(cid:100)(cid:321)(cid:322)(cid:323)(cid:36)(cid:231)(cid:49)(cid:22)(cid:324)(cid:155)
(cid:87)(cid:95)(cid:49)(cid:320)(cid:100)(cid:104)(cid:325)(cid:151)(cid:36)(cid:326)(cid:22)(cid:324)(cid:155)(cid:327)(cid:328)(cid:49)(cid:320)(cid:100)(cid:329)(cid:104)(cid:49)(cid:170)(cid:26)(cid:68)(cid:125)(cid:124)(cid:131)(cid:141)(cid:49)(cid:329)(cid:104)(cid:169)(cid:224)(cid:31)(cid:311)(cid:77)(cid:330)(cid:327)(cid:331)(cid:49)(cid:155)(cid:332)(cid:270)(cid:224)(cid:178)(cid:49)
(cid:310)(cid:309)(cid:36)(cid:145)(cid:174)(cid:155)(cid:22)(cid:124)(cid:310)(cid:311)(cid:49)(cid:200)(cid:320)(cid:79)(cid:104)(cid:325)(cid:151)ABCDEF(cid:36)(cid:231)(cid:49)(cid:79)(cid:235)(cid:60)1(cid:36)(cid:78)P(cid:155) DEF(cid:156)(cid:333)(cid:26)(cid:334)(cid:335)(cid:79)(cid:336)(cid:31)(cid:49)(cid:337)(cid:78)(cid:36)
(cid:38)(cid:26) (cid:31)
△
uuur uuur 1uuur
A(cid:25)DE= AF- AD
2
uuur uuur 3
B(cid:25)AC×BD=
4
uuur uuur uuur
C(cid:25)(cid:37)P(cid:60)EF(cid:49)(cid:77)(cid:78)(cid:36)(cid:38)CP(cid:76)EC(cid:80)(cid:49)(cid:229)(cid:230)(cid:34)(cid:35)(cid:60)-
3ECuuur uuur
D(cid:25) FE+FP (cid:49)(cid:301)(cid:338)(cid:56)(cid:60) 7
(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)AD
(cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:160)(cid:161)A(cid:10)(cid:45)(cid:46)(cid:200)(cid:320)(cid:79)(cid:104)(cid:49)(cid:90)(cid:144)(cid:70)(cid:71)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:89)(cid:90)(cid:52)(cid:53)(cid:55)(cid:58)(cid:113)(cid:160)(cid:161)C(cid:10)(cid:45)(cid:46)CE^EF(cid:70)(cid:71)(cid:229)(cid:230)(cid:34)(cid:35)(cid:49)
(cid:119)(cid:120)(cid:43)(cid:44)(cid:241)(cid:242)(cid:113)(cid:160)(cid:161)BD(cid:10)(cid:188)(cid:222)(cid:36)(cid:45)(cid:46)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:55)(cid:58).
r r r r 1r
(cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:42)(cid:160)(cid:161)(cid:20)(cid:296)A(cid:10)(cid:59)(cid:60)DE=OE-OD= AF- AD(cid:36)(cid:64)A(cid:200)(cid:201)(cid:113)
2
(cid:160)(cid:161)(cid:20)(cid:296)C(cid:10)(cid:68)(cid:21)(cid:110)(cid:54)(cid:33)(cid:10)CE^EF(cid:36)
uuur uuur r
(cid:37)P(cid:60)EF(cid:49)(cid:77)(cid:78)(cid:36)(cid:61)(cid:62)CP(cid:76)EC(cid:80)(cid:49)(cid:229)(cid:230)(cid:34)(cid:35)(cid:60)-EC (cid:36)(cid:64)C(cid:243)(cid:244)(cid:113)
(cid:160)(cid:161)(cid:20)(cid:296)BD(cid:10)(cid:145)(cid:174)(cid:36)(cid:188)(cid:225)(cid:87)(cid:88)(cid:48)(cid:100)(cid:50)(cid:51)(cid:222)(cid:36)
æ 1 3ö æ1 3ö æ1 3ö æ1 3ö
(cid:38)Aç- ,- ÷,Bç ,- ÷,C1,0,Dç , ÷,Eç ,- ÷,F-1,0(cid:36)
ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è 2 2 ø è2 2 ø è2 2 ø è2 2 ø
uuur æ3 3ö uuur   r r 3
(cid:54)(cid:69)AC =ç , ÷,BD= 0, 3 (cid:36)(cid:61)(cid:62)AC×BD= (cid:36)(cid:64)B(cid:243)(cid:244)(cid:113)
ç ÷
è2 2 ø 2
(cid:117)Px,y(cid:36)(cid:54)(cid:33)-1£x£ 1 ,0£ y£ 3 (cid:36)
2 2
uuur æ1 3ö uuur uuur uuur æ 3 3ö
(cid:38)FE=ç , ÷,FP=x+1,y(cid:36)(cid:54)(cid:69)FE+FP=çx+ ,y+ ÷(cid:36)
ç ÷ ç ÷
è2 2 ø è 2 2 ø
uuur uuur æ 3ö 2 æ 3ö 2
(cid:38) FE+FP = çx+ ÷ +ç ç y+ ÷ ÷ (cid:36)
è 2ø è 2 ø
uuur uuur
1 3
(cid:54)(cid:33)(cid:138)x= ,y = (cid:36)(cid:63)(cid:78)P(cid:130)(cid:78)D(cid:248)(cid:71)(cid:139)(cid:36) FE+FP (cid:49)(cid:301)(cid:338)(cid:56)(cid:60) 7(cid:36)(cid:64)D(cid:200)(cid:201)(cid:113)
2 2
(cid:64)(cid:20)(cid:10)AD.
18(cid:25)(cid:26)2024·(cid:339)(cid:269)·(cid:106)(cid:220)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:87)(cid:88)(cid:34)(cid:35)a r (cid:36)b r (cid:36)c r (cid:36) a r =2 3(cid:36)b r =6(cid:36)a r ·b r =18(cid:36)(cid:67)áa r -c r ,b r -c r ñ=60o(cid:36)(cid:38)
(cid:26) (cid:31)
r r
A(cid:25)a(cid:130)b (cid:49)(cid:99)(cid:100)(cid:60)30o
B(cid:25)a r -c r ×  b r -c r (cid:49)(cid:301)(cid:338)(cid:56)(cid:60)5r
C(cid:25) c (cid:49)(cid:301)(cid:302)(cid:56)(cid:60)2
r r r 1 é1 7ù
D(cid:25)(cid:37)c =xa+ybx,yÎR (cid:36)(cid:38) x+ y(cid:49)(cid:203)(cid:56)(cid:303)(cid:304)
ê
,
ú
2 ë3 6û
(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)ACD
uuur r uuur r uuur r
(cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:96)(cid:97)(cid:87)(cid:88)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:13)(cid:35)(cid:111)(cid:7)(cid:103)(cid:55)(cid:58)(cid:20)(cid:296)A(cid:36)(cid:117) OA=a (cid:36)OB=b(cid:36) OC =c (cid:36)(cid:45)(cid:46)(cid:32)(cid:33)(cid:84)(cid:85)(cid:55)(cid:91)(cid:34)(cid:35)
O uu A ur (cid:36)O uu B ur (cid:36)(cid:188)(cid:225)(cid:48)(cid:100)(cid:50)(cid:51)(cid:222)(cid:36)(cid:273)a r -c r ×  b r -c r (cid:340)(cid:16)(cid:60)C uu A ur ×C uu B ur (cid:63)(cid:54)(cid:55)(cid:194)(cid:301)(cid:338)(cid:56)(cid:113)(cid:45)(cid:46)(cid:174)(cid:104)(cid:54)(cid:33)(cid:78)C(cid:49)(cid:341)(cid:342)(cid:36)
r
(cid:96)(cid:97)(cid:82)(cid:83)(cid:90)(cid:144)(cid:63)(cid:54)(cid:55)(cid:91) c (cid:49)(cid:301)(cid:302)(cid:56)(cid:113)(cid:117)(cid:91)(cid:78)C(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:36)(cid:45)(cid:46)(cid:32)(cid:33)(cid:84)(cid:85)(cid:36)(cid:340)(cid:16)(cid:60)(cid:125)(cid:100)(cid:260)(cid:13)(cid:55)(cid:301)(cid:56)(cid:49)(cid:176)(cid:21)(cid:55)
(cid:58).
(cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:42)(cid:160)(cid:161)A(cid:36)(cid:68)(cid:161) a r =2 3(cid:36) b r =6(cid:36)a r ×b r =18(cid:36)(cid:38)2 3´6´cosáa r ,b r ñ=18(cid:36)
r r 3
(cid:38)cosáa,bñ= (cid:36)(cid:68)(cid:161)(cid:34)(cid:35)(cid:99)(cid:100)(cid:303)(cid:304)(cid:60)(cid:338)(cid:161)(cid:212)(cid:161)0o(cid:302)(cid:161)(cid:212)(cid:161)180o(cid:36)
2
r r
(cid:64)a(cid:130)b (cid:49)(cid:99)(cid:100)(cid:60)30o(cid:36)(cid:38)A(cid:200)(cid:201)(cid:113)
uuur r uuur r uuur r uuur r r uuur r r
(cid:160)(cid:161)B(cid:36)(cid:117) OA=a (cid:36)OB=b(cid:36) OC =c (cid:36)(cid:38)CA=a-c(cid:36)CB=b-c(cid:36)
uuur
(cid:157)(cid:343)(cid:117)OA=(2 3,0)(cid:36)ÐAOB=30o,
r r r r
(cid:68)(cid:161)|a-b|= (a-b)2 = 12-2´18+36 =2 3(cid:36)(cid:63) AB=2 3 (cid:36)
(cid:64) OAB(cid:60)(cid:212)(cid:344)(cid:125)(cid:100)(cid:104)(cid:36)(cid:38)ÐBAx=60o(cid:36)(cid:64)B(3 3,3)(cid:36)
r r r r uuur uuur
(cid:59)△(cid:60)áa-c,b-cñ=60o(cid:36)(cid:61)(cid:62)áCA,CBñ=60o(cid:36)
(cid:38)(cid:78)C(cid:76)(cid:62)AB(cid:60)(cid:102)(cid:36)(cid:67)(cid:150)(cid:69)ÐACB = 60o(cid:49)(cid:123)(cid:124)(cid:345)(cid:346)(cid:80)(cid:36)(cid:145)(cid:174)(cid:94)(cid:10)
2 3
(cid:64)C(cid:78)(cid:61)(cid:76)(cid:345)(cid:346)(cid:61)(cid:76)(cid:49)(cid:347)(cid:49)(cid:48)(cid:348)(cid:60)2r= =4(cid:36)(cid:38)(cid:194)(cid:205)(cid:348)(cid:60)r=2(cid:36)
sin60o
(cid:117)(cid:162)(cid:347)(cid:49)(cid:140)(cid:217)(cid:60)(x-a)2+(y-b)2 =4(cid:36)(cid:273)A,B(cid:50)(cid:51)(cid:274)(cid:275)(cid:36)
ì 2
ï 2 3-a +b2 =4 ìïa=2 3 ìïa=3 3
(cid:69)í (cid:36)(cid:58)(cid:69)í (cid:121)í (cid:36)
ï  3 3-a 2 +3-b2 =4 ïîb=2 ïîb=1
î
(cid:38)(cid:123)(cid:345)(cid:346)(cid:61)(cid:76)(cid:347)(cid:49)(cid:347)(cid:349)(cid:60)O(2 3,2)(cid:36)O (3 3,1)(cid:36)(cid:67)(cid:123)(cid:124)(cid:347)(cid:349)(cid:3)(cid:161)(cid:48)(cid:89)AB(cid:160)(cid:350)(cid:36)
1 2
uuur uuur uuur uuur
(cid:117)AB(cid:49)(cid:77)(cid:78)(cid:60)M(cid:36)(cid:38)a r -c r ×  b r -c r =C uu A ur ×C uu B ur = (CA+CB)2-(CA-CB)2
4uuuur uuur
(2CM)2-(BA)2 uuuur 2
= = CM -3(cid:36)
4
AB
(cid:75)O (cid:197)(cid:102)AB(cid:49)(cid:351)(cid:352)(cid:60)d = r2-( )2 = 4-3=1(cid:36)
2
2
uuuur uuuur
(cid:64)|CM|(cid:49)(cid:301)(cid:338)(cid:56)(cid:60)r+1=3(cid:36)(cid:38) CM 2 -3 (cid:49)(cid:301)(cid:338)(cid:56)(cid:60)6(cid:36)
(cid:63)a r -c r ×  b r -c r (cid:49)(cid:301)(cid:338)(cid:56)(cid:60)6(cid:36)(cid:38)B(cid:243)(cid:244)(cid:113)
uuur
r
(cid:160)(cid:161)C(cid:36) c (cid:63)(cid:60) OC (cid:36)(cid:70)(cid:71)C(cid:78)(cid:341)(cid:342)(cid:54)(cid:33)(cid:138)C(cid:76)(cid:347)O (cid:80)(cid:49)(cid:158)(cid:84)(cid:345)(cid:346)(cid:80)(cid:52)(cid:337)(cid:139)(cid:36)
1
uuur
OC (cid:353)(cid:203)(cid:197)(cid:301)(cid:302)(cid:56)(cid:36)(cid:68)(cid:161)OO= (2 3)2+22 =4(cid:36)
1
uuur
r
(cid:64) OC (cid:49)(cid:301)(cid:302)(cid:56)(cid:60)4-r=4-2=2(cid:36)(cid:63) c (cid:49)(cid:301)(cid:302)(cid:56)(cid:60)2(cid:36)(cid:38)C(cid:200)(cid:201)(cid:113)
r r
(cid:160)(cid:161)D(cid:36)(cid:70)(cid:71)(cid:62)(cid:80)(cid:43)(cid:44)(cid:54)(cid:33)a=(2 3,0),b =(3 3,3)(cid:36)
(cid:138)C(cid:76)(cid:347)O (cid:80)(cid:49)(cid:158)(cid:84)(cid:345)(cid:346)(cid:80)(cid:139)(cid:36)(cid:347)(cid:49)(cid:140)(cid:217)(cid:60)(x-2 3)2+(y-2)2 =4(cid:36)
1
π 3π
(cid:117)C(2 3+2cosq,2+2sinq)(cid:36)(cid:194)(cid:77)qÎ[ , ](cid:36)
6 2
r r r
(cid:38)(cid:68)c =xa+ybx,yÎR(cid:54)(cid:69)(2 3+2cosq,2+2sinq)=x(2 3,0)+y(3 3,3)(cid:36)
ì 3
ïx= cosq-sinq
ï 3 1 1 æ πö 2
(cid:58)(cid:69)í (cid:36)(cid:63) x+y= sinçq+ ÷+ (cid:36)
ï 2 2 2 3 è 3ø 3
y= sinq+
ïî
3 3
1 1
(cid:61)(cid:62) £ x+y£1(cid:36)
3 2
(cid:138)C(cid:76)(cid:347)O (cid:80)(cid:49)(cid:158)(cid:84)(cid:345)(cid:346)(cid:80)(cid:139)(cid:36)(cid:347)(cid:49)(cid:140)(cid:217)(cid:60)(x-3 3)2+(y-1)2 =4(cid:36)
2
π 3π
(cid:117)C(3 3+2cosq,1+2sinq)(cid:36)(cid:194)(cid:77)qÎ[ , ](cid:36)
6 2
r r r
(cid:38)(cid:68)c =xa+ybx,yÎR(cid:54)(cid:69)(3 3+2cosq,1+2sinq)=x(2 3,0)+y(3 3,3)(cid:36)
ì 3
ïx= cosq-sinq+1
ï 3 1 1 æ πö 5
(cid:58)(cid:69)í (cid:36)(cid:63) x+y= sinçq+ ÷+ (cid:36)
ï 2 1 2 3 è 3ø 6
y= sinq+
ïî
3 3
1 1 7 1 é1 7ù
(cid:61)(cid:62) £ x+y£ (cid:36)(cid:354)(cid:80)(cid:61)(cid:355)(cid:36) x+ y(cid:49)(cid:203)(cid:56)(cid:303)(cid:304)
ê
,
ú
(cid:36)(cid:38)D(cid:200)(cid:201)(cid:113)
2 2 6 2 ë3 6û
(cid:64)(cid:20)(cid:10)ACD.
(cid:39)(cid:78)(cid:356)(cid:42)(cid:87)(cid:88)(cid:34)(cid:35)(cid:77)(cid:49)(cid:357)(cid:358)(cid:176)(cid:21)(cid:36)(cid:54)(cid:62)(cid:50)(cid:51)(cid:16)(cid:60)(cid:359)(cid:274)(cid:13)(cid:52)(cid:53)(cid:213)(cid:55)(cid:58).
(cid:125)(cid:23)(cid:107)(cid:108)(cid:21)
r r
19(cid:25)(cid:26)2024·(cid:127)(cid:284)·(cid:125)(cid:220)(cid:31)(cid:37)(cid:34)(cid:35)a=x,4(cid:130)(cid:34)(cid:35)b=1,x(cid:155)(cid:118)(cid:89)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:38)(cid:137)(cid:13)x= (cid:25)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)±2
(cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:45)(cid:46)(cid:34)(cid:35)(cid:118)(cid:89)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:93)(cid:94)(cid:36)(cid:299)(cid:103)(cid:258)(cid:53)(cid:36)(cid:63)(cid:69)(cid:40)(cid:41).
r r
(cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:42)(cid:59)(cid:60)a(cid:130)b(cid:118)(cid:89)(cid:36)(cid:61)(cid:62)x×x=4´1(cid:36)(cid:58)(cid:69)x=±2(cid:25)
(cid:64)(cid:40)(cid:41)(cid:60)(cid:10)±2
20(cid:25)(cid:26)2024·(cid:80)(cid:360)·(cid:125)(cid:220)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)a r (cid:23)b r (cid:65)(cid:66) a r =2(cid:36)b r =3(cid:36) a r +b r =4(cid:36)(cid:38)a r ×b r = (cid:25)
3
(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)
2
(cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:45)(cid:46)(cid:361)(cid:119)(cid:84)(cid:85)(cid:36)(cid:96)(cid:97)(cid:13)(cid:35)(cid:111)(cid:49)(cid:52)(cid:53)(cid:112)(cid:258)(cid:53)(cid:63)(cid:69).
r r r r r r r r r r r r
(cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:42)(cid:68) a =2(cid:36) b =3(cid:36) a+b =4(cid:36)(cid:69)(a+b)2 =a2+b2+2a×b =4+9+2a×b =16(cid:36)
r r 3
(cid:61)(cid:62)a×b = .
2
3
(cid:64)(cid:40)(cid:41)(cid:60)(cid:10)
2
r r r  r r  r r r
21(cid:25)(cid:26)2024·(cid:362)(cid:363)(cid:364)(cid:365)·(cid:125)(cid:220)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)a,b (cid:65)(cid:66) a =2(cid:36) 4a+b ×b =4(cid:36)(cid:38) 2a+b = .
(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)2 5
(cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:45)(cid:46)(cid:13)(cid:35)(cid:111)(cid:49)(cid:52)(cid:53)(cid:112)(cid:69)(cid:197)4a r ×b r +b r 2 =4(cid:36)(cid:92)(cid:68) 2a r +b r =  2a r +b r 2 (cid:258)(cid:53)(cid:54)(cid:69).
(cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:42)(cid:59)(cid:60)  4a r +b r  ×b r =4(cid:36)(cid:61)(cid:62)4a r ×b r +b r 2 =4(cid:36)
r
(cid:73) a =2(cid:36)
(cid:61)(cid:62) 2a r +b r =  2a r +b r 2 = 4a r 2 +4a r ×b r +b r 2
= 4´22+4 =2 5.
(cid:64)(cid:40)(cid:41)(cid:60)(cid:10)2 5
r r π r r
22(cid:25)(cid:26)2024·(cid:156)(cid:366)(cid:367)·(cid:125)(cid:220)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:206)(cid:34)(cid:35)a,b(cid:49)(cid:99)(cid:100)(cid:60) (cid:36) a-mb = 3(cid:36)(cid:38)m= .
3
(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)-1(cid:121)2
r r r r
(cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:368)(cid:264)(cid:55)(cid:91)a×b(cid:36)(cid:92)(cid:273) a-mb = 3(cid:123)(cid:79)(cid:87)(cid:140)(cid:36)(cid:45)(cid:46)(cid:13)(cid:35)(cid:111)(cid:49)(cid:52)(cid:53)(cid:112)(cid:69)(cid:197)(cid:140)(cid:217)(cid:36)(cid:58)(cid:69)(cid:63)(cid:54).
r r π r r r r π 1 1
(cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:42)(cid:59)(cid:60)(cid:24)(cid:206)(cid:34)(cid:35)a,b(cid:49)(cid:99)(cid:100)(cid:60) (cid:36)(cid:61)(cid:62)a×b= a b cos =1´1´ = (cid:36)
3 3 2 2
r r r r r r r r
(cid:73)(cid:59)(cid:60) a-mb = 3(cid:36)(cid:61)(cid:62) a-mb 2 =a 2 -2ma×b+m2b 2 =3(cid:36)
(cid:61)(cid:62)1-m+m2 =3(cid:36)(cid:58)(cid:69)m=-1(cid:121)m=2.
(cid:64)(cid:40)(cid:41)(cid:60)(cid:10)-1(cid:121)2
uuur uuur
23(cid:25)(cid:26)2024·(cid:248)(cid:249)·(cid:125)(cid:220)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:24)(cid:206)(cid:200)(cid:140)(cid:104)ABCD(cid:36)(cid:78)E(cid:155)BC(cid:79)(cid:80)(cid:22)(cid:78)(cid:36)(cid:37)BE=2CE(cid:36)(cid:38)AE×CE= .2
(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)-
9
uuur uuur uuur uuur
(cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:305)(cid:306)(cid:87)(cid:88)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:125)(cid:100)(cid:104)(cid:109)(cid:38)(cid:36)(cid:97)AB,BC(cid:207)(cid:60)(cid:142)(cid:170)(cid:36)(cid:43)(cid:202)(cid:93)(cid:94)(cid:34)(cid:35)AE,EC(cid:36)(cid:270)(cid:259)(cid:97)(cid:87)(cid:88)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:89)
(cid:90)(cid:52)(cid:53)(cid:63)(cid:54)(cid:69)(cid:58).
(cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:42)(cid:59)(cid:60)(cid:76)(cid:24)(cid:206)(cid:200)(cid:140)(cid:104)ABCD(cid:36)(cid:78)E(cid:155)BC(cid:79)(cid:80)(cid:22)(cid:78)(cid:36)(cid:73)BE=2CE(cid:36)
uuur uuur uuur uuur 2uuur uuur 1uuur
(cid:61)(cid:62)AE= AB+BE= AB+ BC(cid:36)CE=- BC(cid:36)
3 3
uuur uuur æuuur 2uuurö æ 1uuurö 1uuur uuur 2uuur 2 2
(cid:61)(cid:62)AE×CE=çAB+ BC÷×ç- BC÷=- AB×BC- BC =- (cid:36)
è 3 ø è 3 ø 3 9 9
2
(cid:64)(cid:40)(cid:41)(cid:60)(cid:10)- .
9
r r r r r r r r r
24(cid:25)(cid:26)2024·(cid:261)(cid:252)(cid:369)(cid:370)(cid:151)·(cid:125)(cid:220)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)a=(2,1),b =(2,0),c=a+lb(cid:36)(cid:37)a^c(cid:36)(cid:38)c(cid:76)b (cid:80)(cid:49)(cid:229)(cid:230)(cid:34)(cid:35)
(cid:60) (cid:25)
æ 1 ö
(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)ç- ,0÷
è 2 ø
r
(cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:45)(cid:46)(cid:34)(cid:35)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:93)(cid:94)(cid:55)(cid:91)c(cid:36)(cid:270)(cid:259)(cid:68)(cid:229)(cid:230)(cid:34)(cid:35)(cid:7)(cid:103)(cid:54)(cid:69).
(cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:42)(cid:59)(cid:60)a r =(2,1),b r =(2,0)(cid:36)(cid:61)(cid:62)c r =a r +lb r =2+2l,1(cid:36)
(cid:73)a r ^c r (cid:36)(cid:61)(cid:62)22+2l+1=0(cid:36)(cid:58)(cid:69)l=- 5 (cid:36)c r = æ ç- 1 ,1 ö ÷
4 è 2 ø
r r
c×b =- 1 r r 1 r æ 1 ö
(cid:59)(cid:60) r
2 4
(cid:36)(cid:61)(cid:62)c(cid:76)b (cid:80)(cid:49)(cid:229)(cid:230)(cid:34)(cid:35)(cid:60)- b =ç- ,0÷.
b 4 è 2 ø
æ 1 ö
(cid:64)(cid:40)(cid:41)(cid:60)(cid:10)ç- ,0÷
è 2 ø
25(cid:25)(cid:26)2024·(cid:289)(cid:188)(cid:371)(cid:257)·(cid:125)(cid:220)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)a r =1,1,b r =4(cid:36)(cid:67)b r (cid:76)a r (cid:80)(cid:49)(cid:229)(cid:230)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:60)-2,-2(cid:36)(cid:38)a r (cid:130)b r
(cid:49)(cid:99)(cid:100)(cid:60) .
3p
(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42) /135o
4
r
(cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:45)(cid:46)(cid:229)(cid:230)(cid:34)(cid:35)(cid:7)(cid:103)(cid:69)b r (cid:76)a r (cid:80)(cid:49)(cid:229)(cid:230)(cid:34)(cid:35)(cid:60) b r cosq× a r (cid:36)(cid:70)(cid:71)(cid:32)(cid:33)(cid:54)(cid:69)(cid:70)(cid:146).
a
(cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:42)(cid:117)a r (cid:130)b r (cid:49)(cid:99)(cid:100)(cid:60)q(cid:36)(cid:67)qÎ 0,π (cid:36) a r = 12+12 = 2(cid:36)
r r
r
(cid:38)b r (cid:76)a r (cid:80)(cid:49)(cid:229)(cid:230)(cid:34)(cid:35)(cid:60) b r cosq× a r =cosq× b r ×a r =cosq× b r ×1,1=-2,-2=-21,1(cid:36)
a a a
r
b
2 3π
(cid:63)cosq× r =-2(cid:36)(cid:61)(cid:62)cosq=- (cid:36)(cid:61)(cid:62)q= (cid:36)
a 2 43π
(cid:64)(cid:40)(cid:41)(cid:60)(cid:10) .
4
r r r r r r r π r r π r r
26(cid:25)(cid:26)2024·(cid:372)(cid:297)(cid:235)(cid:373)·(cid:125)(cid:220)(cid:31)(cid:87)(cid:88)(cid:34)(cid:35) a,b,c (cid:65)(cid:66)(cid:10)a^c(cid:36) a,b = (cid:36) b,c = (cid:36)(cid:67) a = c =3(cid:36)
3 6
r r r r
b =2(cid:36)(cid:38) a+b+c = .
(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)3 3+1/1+3 3
r r r r r r r r r  r r r 2
(cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:70)(cid:71)(cid:13)(cid:35)(cid:111)(cid:49)(cid:119)(cid:120)(cid:98)(cid:90)(cid:144)(cid:55)(cid:91)a×c(cid:23)a×b(cid:98)b×c(cid:36)(cid:96)(cid:97) a+b+c = a+b+c (cid:63)(cid:54)(cid:55)(cid:91)(cid:40)(cid:41).
r r r r
(cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:42)(cid:59)(cid:60)a^c(cid:36)(cid:61)(cid:62) a×c=0 (cid:36)
r r r r r π r r π
(cid:59)(cid:60) a = c =3(cid:36) b =2(cid:36) a,b = (cid:36) b,c = (cid:36)
3 6
r r r r r r π
(cid:61)(cid:62)a×b= a b cos a,b =3´2´cos =3(cid:36)
3
r r r r r r π
b×c= b c cos b,c =2´3´cos =3 3(cid:36)
6
(cid:59)(cid:60) a r +b r +c r2 =  a r +b r +c r2(cid:36)
 r r r 2 r 2 r 2 r 2  r r r r r r   2
a+b+c = a + b + c +2 a×b+a×c+b×c =28+6 3= 3 3+1 (cid:36)
r r r  r r r 2  2
(cid:61)(cid:62) a+b+c = a+b+c = 3 3+1 =3 3+1.
(cid:64)(cid:40)(cid:41)(cid:60)(cid:10)3 3+1.