专题03平面向量-解析版_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年08月试卷_08202025版《真题题源解密-专题分类》数学

专题 03 平面向量 命题解读 考向 考查统计 平面向量的线性运算 2022·新高考Ⅰ卷，3 高考对平面向量的考查，一般为平面向 2023·新高考Ⅰ卷，3 量基本定理、坐标运算、平面向量数量 平面向量垂直的坐标运算 2024·新高考Ⅰ卷，3 积的运算、化简、证明及数量积的应用 平面向量夹角的坐标运算 2022·新高考Ⅱ卷，4 问题，如平行、垂直、距离、夹角等问 2023·新高考Ⅱ卷，13 题的计算，难度一般不高。 平面向量数量积的综合运算 2024·新高考Ⅱ卷，3 命题分析 2024年高考新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷都考查到了平面向量的垂直运算，Ⅱ卷还结合了数量积的综合运算。总体上 来说，平面向量知识点的考查难度依旧是较易的，掌握基本的知识点和拥有基本的运算能力即可。平面向 量考查应关注：平面向量基本定理、向量的坐标运算、向量数量积、向量平行与垂直、向量模等知识点， 体会数形结合思想，强化运算求解能力与转化化归能力。预计2025年高考还是主要考查向量的数量积运算、 向量的夹角、向量的模。 试题精讲 (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:20)(cid:21) 1(cid:25)(cid:26)2024(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅰ(cid:30)·3(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)a r =(0,1),b r =(2,x)(cid:36)(cid:37)b r ^(b r -4a r )(cid:36)(cid:38)x=(cid:26) (cid:31) A(cid:25)-2 B(cid:25)-1 C(cid:25)1 D(cid:25)2 (cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)D (cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:45)(cid:46)(cid:34)(cid:35)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)x(cid:49)(cid:56). r r r r r r     (cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:42)(cid:59)(cid:60)b^ b-4a (cid:36)(cid:61)(cid:62)b× b-4a =0(cid:36) r r r (cid:61)(cid:62) b 2 -4a×b=0 (cid:63)4+x2-4x=0(cid:36)(cid:64)x=2(cid:36) (cid:64)(cid:20)(cid:10)D. r r r r r  r r  r r 2(cid:25)(cid:26)2024(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅱ(cid:30)·3(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)a,b(cid:65)(cid:66) a =1, a+2b =2(cid:36)(cid:67) b-2a ^b(cid:36)(cid:38)b =(cid:26) (cid:31)1 2 3 A(cid:25) B(cid:25) C(cid:25) D(cid:25)1 2 2 2 (cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)B  r r  r r r r r r r r r r r (cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:68) b-2a ^b(cid:69) b 2 =2a×b (cid:36)(cid:70)(cid:71) a =1, a+2b =2(cid:36)(cid:69) 1+4a×b+4b 2 =1+6b 2 =4 (cid:36)(cid:68)(cid:72)(cid:63)(cid:54)(cid:69)(cid:58). r r r r r r     r r r (cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:42)(cid:59)(cid:60) b-2a ^b(cid:36)(cid:61)(cid:62) b-2a ×b=0(cid:36)(cid:63) b 2 =2a×b (cid:36) r r r (cid:73)(cid:59)(cid:60) a =1, a+2b =2(cid:36) r r r r (cid:61)(cid:62) 1+4a×b+4b 2 =1+6b 2 =4 (cid:36) r 2 (cid:74)(cid:75) b = . 2 (cid:64)(cid:20)(cid:10)B. (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:20)(cid:21) 1(cid:25)(cid:26)2022(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅰ(cid:30)·3(cid:31)(cid:76)VABC(cid:77)(cid:36)(cid:78)D(cid:76)(cid:79)AB(cid:80)(cid:36)BD=2DA(cid:25)(cid:81)C uu A ur =m r ，C uu D ur =n r (cid:36)(cid:38)C uu B ur =(cid:26) (cid:31) r r r r r r r r A(cid:25)3m-2n B(cid:25)-2m+3n C(cid:25)3m+2n D(cid:25)2m+3n (cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)B (cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:45)(cid:46)(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:62)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:89)(cid:90)(cid:52)(cid:53)(cid:63)(cid:54)(cid:58)(cid:91)(cid:25) uuur uuur uuur uuur uuur uuur   (cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:42)(cid:59)(cid:60)(cid:78)D(cid:76)(cid:79)AB(cid:80)(cid:36)BD=2DA(cid:36)(cid:61)(cid:62) BD=2DA (cid:36)(cid:63)CD-CB=2 CA-CD (cid:36) uuur uuur uuur r ur r r (cid:61)(cid:62)CB=3CD-2CA=3n-2m=-2m+3n(cid:25) (cid:64)(cid:20)(cid:10)B(cid:25) r r  r r   r r  2(cid:25)(cid:26)2023(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅰ(cid:30)·3(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)a=1,1,b=1,-1(cid:36)(cid:37) a+lb ^ a+mb (cid:36)(cid:38)(cid:26) (cid:31) A(cid:25)l+m=1 B(cid:25)l+m=-1 C(cid:25)lm=1 D(cid:25)lm=-1 (cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)D r r r r (cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:45)(cid:46)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:55)(cid:91)a+lb(cid:36)a+mb(cid:36)(cid:92)(cid:45)(cid:46)(cid:34)(cid:35)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:93)(cid:94)(cid:63)(cid:54)(cid:55)(cid:91)(cid:25) r r r r r r (cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:42)(cid:59)(cid:60)a=1,1,b=1,-1(cid:36)(cid:61)(cid:62)a+lb=1+l,1-l(cid:36)a+mb=1+m,1-m(cid:36) r r r r r r r r         (cid:68) a+lb ^ a+mb (cid:54)(cid:69)(cid:36) a+lb × a+mb =0(cid:36) (cid:63)1+l1+m+1-l1-m=0(cid:36)(cid:95)(cid:15)(cid:69)(cid:10)lm=-1(cid:25) (cid:64)(cid:20)(cid:10)D(cid:25) r r r r r r r r r 3(cid:25)(cid:26)2022(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅱ(cid:30)·4(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb(cid:36)(cid:37)=(cid:36)(cid:38)t =(cid:26) (cid:31)A(cid:25)-6 B(cid:25)-5 C(cid:25)5 D(cid:25)6 (cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)C (cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:96)(cid:97)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:52)(cid:53)(cid:98)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:99)(cid:100)(cid:49)(cid:101)(cid:102)(cid:7)(cid:103)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:104)(cid:103)(cid:16)(cid:105)(cid:63)(cid:54)(cid:55)(cid:69) r r r r 9+3t+16 3+t (cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:42)(cid:58)(cid:10)c =3+t,4,cos a,c =cos b,c ,(cid:63) r = r ,(cid:58)(cid:69)t=5, 5c c (cid:64)(cid:20)(cid:10)C (cid:106)(cid:23)(cid:107)(cid:108)(cid:21) r r r r r r r r r 1(cid:25)(cid:26)2023(cid:27)(cid:28)(cid:29)Ⅱ(cid:30)·13(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)a(cid:36)b (cid:65)(cid:66) a-b = 3(cid:36) a+b = 2a-b (cid:36)(cid:38)b = (cid:25) (cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42) 3 r r r (cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:109)(cid:22)(cid:10)(cid:45)(cid:46)(cid:21)(cid:110)(cid:70)(cid:71)(cid:34)(cid:35)(cid:13)(cid:35)(cid:111)(cid:49)(cid:52)(cid:53)(cid:112)(cid:52)(cid:53)(cid:55)(cid:58)(cid:113)(cid:109)(cid:106)(cid:10)(cid:114)(cid:115)(cid:116) c=a-b (cid:36)(cid:70)(cid:71)(cid:13)(cid:35)(cid:111)(cid:49)(cid:52)(cid:53) (cid:112)(cid:52)(cid:53)(cid:55)(cid:58). r r r r r r 2  r r 2 (cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:42)(cid:109)(cid:22)(cid:10)(cid:59)(cid:60) a+b = 2a-b (cid:36)(cid:63) a+b = 2a-b (cid:36) r r r r r r r r r r r (cid:38) a 2 +2a×b+b 2 =4a 2 -4a×b+b 2(cid:36)(cid:95)(cid:15)(cid:69) a 2 -2a×b=0 (cid:36) r r r r 2 (cid:73)(cid:59)(cid:60) a-b = 3(cid:36)(cid:63) a-b =3(cid:36) r r r r r r (cid:38) a 2 -2a×b+b 2 =b 2 =3 (cid:36)(cid:61)(cid:62) b = 3. r r r r r r r r r r r r (cid:109)(cid:106)(cid:10)(cid:117) c=a-b (cid:36)(cid:38) c = 3,a+b=c+2b,2a-b=2c+b(cid:36)  r r 2  r r 2 r r r r r r r r (cid:68)(cid:21)(cid:110)(cid:54)(cid:69)(cid:10) c+2b = 2c+b (cid:36)(cid:38) c 2 +4c×b+4b 2 =4c 2 +4c×b+b 2(cid:36) r r r r (cid:95)(cid:15)(cid:69)(cid:10) c 2 =b 2(cid:36)(cid:63) b = c = 3. (cid:64)(cid:40)(cid:41)(cid:60)(cid:10) 3. (cid:22)(cid:23)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:89)(cid:90)(cid:52)(cid:53)(cid:98)(cid:34)(cid:35)(cid:118)(cid:89)(cid:119)(cid:15) (cid:26)1(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:89)(cid:90)(cid:52)(cid:53) (cid:52)(cid:53) (cid:119)(cid:120) (cid:109)(cid:38)(cid:26)(cid:121)(cid:82)(cid:83)(cid:110)(cid:120)(cid:31) (cid:52)(cid:53)(cid:112) (cid:128)(cid:114)(cid:112) a+b (cid:55)(cid:123)(cid:124)(cid:34)(cid:35)(cid:98)(cid:49) b b a+b ①a r +b r =b r +a r (cid:122)(cid:109) (cid:52)(cid:53) a a (cid:70)(cid:71)(cid:112) r r r r r r (cid:125)(cid:100)(cid:104)(cid:109)(cid:38)(cid:87)(cid:126)(cid:127)(cid:79)(cid:104)(cid:109)(cid:38) ②(a+b)+c = a+(b+c)r r (cid:55)a(cid:130)b (cid:49)(cid:131)(cid:132) a-b b r (cid:34)(cid:35)-b (cid:49)(cid:98)(cid:49) r r r r (cid:129)(cid:109) a-b =a+(-b) r r a (cid:52)(cid:53)(cid:133)(cid:134)a(cid:130)b (cid:49)(cid:135) (cid:125)(cid:100)(cid:104)(cid:109)(cid:38) r r (cid:26)1(cid:31)|la|=|l||a| r r l(ma)=(lm)a r r (cid:55)(cid:137)(cid:13)l(cid:130)(cid:34)(cid:35) (cid:26)2(cid:31)(cid:138)l>0(cid:139)(cid:36)la(cid:130)a(cid:49)(cid:140)(cid:34)(cid:131)(cid:141)(cid:113)(cid:138) r r r (cid:13)(cid:136) (l+m)a=la+ma r r r a(cid:49)(cid:111)(cid:49)(cid:52)(cid:53) l<0(cid:139)(cid:36)la(cid:130)a(cid:49)(cid:140)(cid:34)(cid:131)(cid:141)(cid:113) r r r r l(a+b)=la+lb r (cid:138)l=0(cid:139)(cid:36)la=0 (cid:106)(cid:23)(cid:87)(cid:88)(cid:34)(cid:35)(cid:142)(cid:143)(cid:119)(cid:15)(cid:98)(cid:90)(cid:144) 1(cid:23)(cid:118)(cid:89)(cid:34)(cid:35)(cid:142)(cid:143)(cid:119)(cid:15) r r r r r r r r r r (cid:145)(cid:146)a=lb(lÎR)(cid:36)(cid:38)a//b (cid:113)(cid:132)(cid:147)(cid:36)(cid:145)(cid:146)a//b (cid:67)b ¹0(cid:36)(cid:38)(cid:22)(cid:119)(cid:148)(cid:76)(cid:149)(cid:22)(cid:49)(cid:137)(cid:13)l(cid:36)(cid:150)a=lb(cid:25)(cid:26)(cid:151)(cid:152)(cid:10) (cid:13)(cid:136)(cid:63)(cid:69)(cid:87)(cid:126)(cid:36)(cid:87)(cid:126)(cid:153)(cid:154)(cid:13)(cid:136)(cid:31)(cid:25) 2(cid:23)(cid:87)(cid:88)(cid:34)(cid:35)(cid:142)(cid:143)(cid:119)(cid:15) ur uur r (cid:145)(cid:146)e (cid:98)e (cid:155)(cid:141)(cid:22)(cid:124)(cid:87)(cid:88)(cid:156)(cid:49)(cid:123)(cid:124)(cid:157)(cid:118)(cid:89)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:87)(cid:88)(cid:156)(cid:49)(cid:163)(cid:22)(cid:34)(cid:35)a(cid:36)(cid:164)(cid:148)(cid:76)(cid:149)(cid:22)(cid:49)(cid:22)(cid:160)(cid:137)(cid:13) 1 2 r ur uur ur uur  ur uur  l,l(cid:36)(cid:150)(cid:69)a=le +le (cid:36)(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:157)(cid:118)(cid:89)(cid:34)(cid:35)e (cid:36)e (cid:133)(cid:134)(cid:93)(cid:94)(cid:168)(cid:22)(cid:87)(cid:88)(cid:156)(cid:61)(cid:154)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:22)(cid:169)(cid:142)(cid:170)(cid:36)(cid:81)(cid:60) e,e (cid:36) 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ur uur r  ur uur  le +le (cid:133)(cid:134)(cid:34)(cid:35)a(cid:3)(cid:161)(cid:142)(cid:170) e,e (cid:49)(cid:43)(cid:58)(cid:103)(cid:25) 1 1 2 2 1 2 3(cid:23)(cid:89)(cid:171)(cid:119)(cid:172)(cid:43)(cid:78)(cid:49)(cid:34)(cid:35)(cid:93)(cid:173)(cid:103) uuur uuur uuur uuur uuur AB+lAC (cid:145)(cid:174)(cid:61)(cid:94)(cid:36)(cid:76)(cid:175)ABC(cid:77)(cid:36)(cid:37)(cid:78)D(cid:155)(cid:79)BC(cid:80)(cid:49)(cid:78)(cid:36)(cid:67)BD=lDC(cid:26)l¹-1(cid:31)(cid:36)(cid:38)(cid:34)(cid:35)AD= (cid:25)(cid:76) 1+l (cid:34)(cid:35)(cid:89)(cid:90)(cid:93)(cid:94)(cid:26)(cid:52)(cid:53)(cid:31)(cid:154)(cid:3)(cid:49)(cid:176)(cid:21)(cid:77)(cid:36)(cid:37)(cid:177)(cid:178)(cid:179)(cid:96)(cid:97)(cid:72)(cid:70)(cid:180)(cid:36)(cid:181)(cid:181)(cid:177)(cid:154)“(cid:16)(cid:182)(cid:183)(cid:60)(cid:184)(cid:185)”(cid:147)(cid:186)(cid:187)(cid:36)(cid:188)(cid:189)(cid:178)(cid:179)(cid:190) (cid:191)(cid:25) A B C D 4(cid:23)(cid:125)(cid:78)(cid:118)(cid:89)(cid:119)(cid:15) uuur uuur uuur (cid:87)(cid:88)(cid:156)(cid:125)(cid:78)A(cid:36)B(cid:36)C(cid:118)(cid:89)(cid:49)(cid:192)(cid:193)(cid:84)(cid:85)(cid:155)(cid:10)(cid:148)(cid:76)(cid:137)(cid:13)l,m(cid:36)(cid:150)OC =lOA+mOB(cid:36)(cid:194)(cid:77)l+m=1(cid:36)O(cid:60)(cid:87)(cid:88) (cid:156)(cid:22)(cid:78)(cid:25)(cid:72)(cid:119)(cid:15)(cid:76)(cid:34)(cid:35)(cid:176)(cid:21)(cid:77)(cid:195)(cid:196)(cid:97)(cid:197)(cid:36)(cid:198)(cid:178)(cid:179)(cid:190)(cid:191)(cid:25) A(cid:23)B(cid:23)C(cid:125)(cid:78)(cid:118)(cid:89) uuur uuur Û(cid:148)(cid:76)(cid:149)(cid:22)(cid:49)(cid:137)(cid:13)l(cid:36)(cid:150)(cid:69)AC =lAB(cid:113) uuur uuur uuur Û(cid:148)(cid:76)(cid:149)(cid:22)(cid:49)(cid:137)(cid:13)l(cid:36)(cid:150)(cid:69)OC =OA+lAB(cid:113)uuur uuur uuur Û(cid:148)(cid:76)(cid:149)(cid:22)(cid:49)(cid:137)(cid:13)l(cid:36)(cid:150)(cid:69)OC =(1-l)OA+lOB(cid:113) uuur uuur uuur Û(cid:148)(cid:76)l+m=1(cid:36)(cid:150)(cid:69)OC =lOA+mOB(cid:25) 5(cid:23)(cid:77)(cid:89)(cid:34)(cid:35)(cid:119)(cid:15) uuur 1 uuur uuur (cid:145)(cid:174)(cid:61)(cid:94)(cid:36)(cid:76)(cid:175)ABC(cid:77)(cid:36)(cid:37)(cid:78)D(cid:155)(cid:79)BC(cid:49)(cid:77)(cid:78)(cid:36)(cid:38)(cid:77)(cid:89)(cid:34)(cid:35)AD= (AB+ AC)(cid:36)(cid:132)(cid:147)(cid:199)(cid:200)(cid:201)(cid:25) 2 A B C D (cid:125)(cid:23)(cid:87)(cid:88)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:93)(cid:94)(cid:86)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53) (cid:26)1(cid:31)(cid:87)(cid:88)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:93)(cid:94)(cid:25) r r (cid:76)(cid:87)(cid:88)(cid:48)(cid:100)(cid:50)(cid:51)(cid:77)(cid:36)(cid:43)(cid:202)(cid:203)(cid:130)x(cid:204)(cid:36)y(cid:204)(cid:200)(cid:205)(cid:204)(cid:140)(cid:34)(cid:131)(cid:141)(cid:49)(cid:123)(cid:124)(cid:24)(cid:206)(cid:34)(cid:35)i, j(cid:207)(cid:60)(cid:142)(cid:170)(cid:36)(cid:158)(cid:159)(cid:68)(cid:87)(cid:88)(cid:34)(cid:35)(cid:142) r r r r (cid:143)(cid:119)(cid:15)(cid:54)(cid:33)(cid:36)(cid:160)(cid:161)(cid:87)(cid:88)(cid:156)(cid:49)(cid:22)(cid:124)(cid:34)(cid:35)a(cid:36)(cid:154)(cid:67)(cid:208)(cid:154)(cid:22)(cid:160)(cid:137)(cid:13)x,y(cid:150)a=xi + yj(cid:36)(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:154)(cid:209)(cid:137)(cid:13)(cid:160)(x,y)(cid:133)(cid:134) r r (cid:34)(cid:35)a(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:36)(cid:81)(cid:207)a=(x,y)(cid:25) (cid:26)2(cid:31)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:93)(cid:94)(cid:98)(cid:62)(cid:50)(cid:51)(cid:210)(cid:78)(cid:60)(cid:211)(cid:78)(cid:49)(cid:34)(cid:35)(cid:155)(cid:22)(cid:22)(cid:160)(cid:198)(cid:49)(cid:36)(cid:63)(cid:154) uuur (cid:34)(cid:35)(x,y) ‡ˆˆˆ (cid:22) ˆ (cid:22) ˆ (cid:160) ˆˆ (cid:198) ˆˆ†ˆ (cid:34)(cid:35)OA ‡ˆˆˆ (cid:22) ˆ (cid:22) ˆ (cid:160) ˆˆ (cid:198) ˆˆ†ˆ (cid:78)A(x,y)(cid:25) r r r r r r (cid:26)3(cid:31)(cid:117)a=(x,y )(cid:36)b=(x ,y )(cid:36)(cid:38)a+b=(x +x ,y + y )(cid:36)a-b=(x -x ,y - y )(cid:36)(cid:63)(cid:123)(cid:124)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:98)(cid:130)(cid:135) 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:43)(cid:202)(cid:212)(cid:161)(cid:168)(cid:123)(cid:124)(cid:34)(cid:35)(cid:131)(cid:198)(cid:50)(cid:51)(cid:49)(cid:98)(cid:130)(cid:135)(cid:25) r r (cid:37)a=(x,y)(cid:36)l(cid:60)(cid:137)(cid:13)(cid:36)(cid:38)la=(lx,ly)(cid:36)(cid:63)(cid:137)(cid:13)(cid:130)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:111)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:36)(cid:212)(cid:161)(cid:97)(cid:162)(cid:137)(cid:13)(cid:136)(cid:210)(cid:213)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:131)(cid:198)(cid:50) (cid:51)(cid:25) uuur uuur uuur (cid:26)4(cid:31)(cid:117)A(x,y )(cid:36)B(x ,y )(cid:36)(cid:38)AB=OB-OA=(x -x , y - y )(cid:36)(cid:63)(cid:22)(cid:124)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:212)(cid:161)(cid:162)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:154)(cid:34)(cid:89)(cid:171) 1 1 2 2 1 2 1 2 (cid:49)(cid:214)(cid:78)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:129)(cid:215)(cid:216)(cid:78)(cid:50)(cid:51)(cid:25) (cid:26)5(cid:31)(cid:87)(cid:88)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:48)(cid:100)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53) uuur uuur (cid:32)(cid:33)(cid:78)A(x (cid:36)y )(cid:36)B(x (cid:36)y )(cid:36)(cid:38)AB=(x -x (cid:36)y - y )(cid:36)|AB|= (x -x )2 +(y - y )2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 r r r r r ①(cid:32)(cid:33)a=(x,y )(cid:36)b =(x ,y )(cid:36)(cid:38)a±b =(x ±x (cid:36)y ± y )(cid:36)la=(lx,ly )(cid:36) 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 ② a r ×b r = xx + y y (cid:36)|a r |= x2 + y2 (cid:25) 1 2 1 2 1 1 r r r r a∥b Û x y -x y =0(cid:36)a^b Û xx + y y =0 1 2 2 1 1 2 1 2 uuur uuur uuur (cid:26)5(cid:31)A(cid:23)P(cid:23)B(cid:125)(cid:78)(cid:118)(cid:89)Û OP=(1-t)OA+tOB (tÎR)(cid:36)(cid:168)(cid:155)(cid:48)(cid:89)(cid:49)(cid:34)(cid:35)(cid:103)(cid:140)(cid:217)(cid:25) (cid:127)(cid:23)(cid:13)(cid:35)(cid:111)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:53) (cid:32)(cid:33)(cid:218)(cid:219)(cid:34)(cid:35)a=(x (cid:36)y )(cid:36)b=(x (cid:36)y )(cid:36)q(cid:60)(cid:34)(cid:35)a(cid:23)b(cid:49)(cid:99)(cid:100)(cid:25) 1 1 2 2 (cid:70)(cid:180) (cid:82)(cid:83)(cid:93)(cid:94) (cid:50)(cid:51)(cid:93)(cid:94)(cid:220) |a|= a×a |a|= x2 + y2 (cid:13)(cid:35)(cid:111) a×b=|a||b|cosq a×b=xx + y y 1 2 1 2 a×b xx + y y (cid:99)(cid:100) cosq= cosq= 1 2 1 2 |a||b| x2 + y2 × x2 + y2 1 1 2 2 a^b(cid:49)(cid:192)(cid:193) a×b=0 xx + y y =0 1 2 1 2 (cid:84)(cid:85) a(cid:221)b(cid:49)(cid:192)(cid:193) a=l(cid:26)b b¹0(cid:31) x y -x y =0 1 2 2 1 (cid:84)(cid:85) |a×b|(cid:130)|a||b| |a×b|£|a||b|(cid:26)(cid:138)(cid:67)(cid:223) |xx + y y |≤ x2 + y2 × x2 + y2 (cid:49)(cid:3)(cid:222) (cid:138)a∥b(cid:139)(cid:212)(cid:9)(cid:224)(cid:225)(cid:31) 1 2 1 2 1 1 2 2 (cid:39)(cid:87)(cid:88)(cid:34)(cid:35)(cid:196)(cid:97)(cid:70)(cid:180)(cid:42) r r r r (cid:26)1(cid:31)(cid:87)(cid:88)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:13)(cid:35)(cid:111)(cid:155)(cid:22)(cid:124)(cid:137)(cid:13)(cid:36)(cid:54)(cid:200)(cid:23)(cid:54)(cid:226)(cid:23)(cid:54)(cid:60)(cid:219)(cid:36)(cid:67)|a×b|£|a||b|(cid:25) r r r r r r r r (cid:26)2(cid:31)(cid:218)(cid:219)(cid:34)(cid:35)(cid:99)(cid:100)(cid:60)(cid:227)(cid:100)(cid:26)(cid:121)(cid:228)(cid:100)(cid:31)(cid:25)(cid:138)(cid:67)(cid:223)(cid:138)a×b >0(cid:67)a¹lb(l>0)(cid:26)(cid:121)a×b <0(cid:36)(cid:67)a¹lb(l<0)) r r (cid:26)3(cid:31)b (cid:76)a(cid:80)(cid:49)(cid:229)(cid:230)(cid:155)(cid:22)(cid:124)(cid:13)(cid:35)(cid:36)(cid:231)(cid:54)(cid:62)(cid:60)(cid:200)(cid:36)(cid:54)(cid:62)(cid:60)(cid:226)(cid:36)(cid:232)(cid:54)(cid:62)(cid:212)(cid:161)0(cid:25) r r r r r r r r r r r r (cid:26)4(cid:31)(cid:13)(cid:35)(cid:111)(cid:49)(cid:52)(cid:53)(cid:193)(cid:4)(cid:110)a=0(cid:139)(cid:36)a×b =0(cid:36)(cid:233)a×b =0(cid:139)(cid:157)(cid:177)(cid:69)(cid:197)a=0(cid:121)b =0(cid:36)(cid:59)(cid:60)a ^ b (cid:139)(cid:36)(cid:232)(cid:154) r r a×b =0(cid:25) r r r r r a×b r r r r (cid:26)5(cid:31)(cid:45)(cid:46)(cid:87)(cid:88)(cid:34)(cid:35)(cid:13)(cid:35)(cid:111)(cid:49)(cid:90)(cid:144)(cid:10)|a|= a×a (cid:36)cosq= r r (cid:36)a^b Ûa×b =0(cid:212)(cid:36)(cid:61)(cid:62)(cid:87)(cid:88)(cid:34)(cid:35)(cid:13)(cid:35)(cid:111) |a||b| (cid:54)(cid:62)(cid:97)(cid:213)(cid:58)(cid:234)(cid:154)(cid:3)(cid:235)(cid:236)(cid:23)(cid:100)(cid:236)(cid:23)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:176)(cid:21)(cid:25) (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:20)(cid:21) r r uuur r r uuur r r 1(cid:25)(cid:26)2024·(cid:237)(cid:238)(cid:239)(cid:240)·(cid:125)(cid:220)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)e (cid:36)e (cid:155)(cid:87)(cid:88)(cid:80)(cid:123)(cid:124)(cid:157)(cid:118)(cid:89)(cid:49)(cid:24)(cid:206)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:67)AB=e +2e (cid:36)BC =-3e +2e (cid:36) 1 2 1 2 1 2 uuur r r DA=3e -6e (cid:36)(cid:38)(cid:26) (cid:31) 1 2 A(cid:25)A(cid:23)B(cid:23)C(cid:125)(cid:78)(cid:118)(cid:89) B(cid:25)A(cid:23)B(cid:23)D(cid:125)(cid:78)(cid:118)(cid:89) C(cid:25)A(cid:23)C(cid:23)D(cid:125)(cid:78)(cid:118)(cid:89) D(cid:25)B(cid:23)C(cid:23)D(cid:125)(cid:78)(cid:118)(cid:89) (cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)C r r r r (cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:45)(cid:46)(cid:34)(cid:35)a,b(cid:118)(cid:89)(cid:38)a=lblÎR(cid:241)(cid:242)(cid:63)(cid:54). uuur r r uuur r r uuur uuur (cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:42)(cid:160)A(cid:36)(cid:59)(cid:60)AB=e +2e (cid:36)BC =-3e +2e (cid:36)(cid:157)(cid:148)(cid:76)(cid:137)(cid:13)l(cid:150)(cid:69)AB=lBC(cid:36)(cid:64)A(cid:23)B(cid:23)C(cid:125)(cid:78)(cid:157)(cid:118) 1 2 1 2 (cid:89)(cid:36)(cid:64)A(cid:243)(cid:244)(cid:113)uuur r r uuur r r uuur uuur (cid:160)B(cid:36)(cid:59)(cid:60)AB=e +2e (cid:36)DA=3e -6e (cid:36)(cid:157)(cid:148)(cid:76)(cid:137)(cid:13)l(cid:150)(cid:69)AB=lDA(cid:36)(cid:64)A(cid:23)B(cid:23)D(cid:125)(cid:78)(cid:157)(cid:118)(cid:89)(cid:36)(cid:64)B 1 2 1 2 (cid:243)(cid:244)(cid:113) uuur uuur uuur r r uuur r r uuur 2uuur (cid:160)C(cid:36)(cid:59)(cid:60)AC = AB+BC =-2e +4e (cid:36)DA=3e -6e (cid:36)(cid:38)AC =- DA(cid:36)(cid:64)A(cid:23)C(cid:23)D(cid:125)(cid:78)(cid:118)(cid:89)(cid:36)(cid:64)C(cid:200) 1 2 1 2 3 (cid:201)(cid:113) uuur r r uuur uuur uuur uuur r r r r r r (cid:160)D(cid:36)(cid:59)(cid:60)BC =-3e +2e (cid:36)BD=-DA-AB=DA=-3e +6e -e -2e =-4e +4e (cid:36)(cid:157)(cid:148)(cid:76)(cid:137)(cid:13)l(cid:150)(cid:69) 1 2 1 2 1 2 1 2 uuur uuur BC =lBD(cid:36)(cid:64)B(cid:23)C(cid:23)D(cid:125)(cid:78)(cid:157)(cid:118)(cid:89)(cid:36)(cid:64)D(cid:243)(cid:244). (cid:64)(cid:20)(cid:10)C r r r r 2(cid:25)(cid:26)2024·(cid:237)(cid:245)·(cid:125)(cid:220)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)a=-1,3,a^b(cid:36)(cid:158)(cid:159)(cid:34)(cid:35)b (cid:54)(cid:62)(cid:155)(cid:26) (cid:31) æ 1ö A(cid:25)1,3 B(cid:25)ç-1, ÷ C(cid:25)3,-1 D(cid:25)3,1 è 3ø (cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)D (cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:45)(cid:46)(cid:87)(cid:88)(cid:34)(cid:35)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:93)(cid:94)(cid:63)(cid:54)(cid:55)(cid:58). (cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:42)(cid:160)(cid:161)A(cid:36)(cid:59)(cid:60)-1,3×1,3=-1+9=8¹0(cid:36)(cid:61)(cid:62)a r ,b r (cid:157)(cid:47)(cid:48)(cid:36)(cid:64)A(cid:243)(cid:244)(cid:113) (cid:160)(cid:161)B(cid:36)(cid:59)(cid:60)-1,3× æ ç-1, 1ö ÷=1+1=2¹0(cid:36)(cid:61)(cid:62)a r ,b r (cid:157)(cid:47)(cid:48)(cid:36)(cid:64)B(cid:243)(cid:244)(cid:113) è 3ø (cid:160)(cid:161)C(cid:36)(cid:59)(cid:60)-1,3×3,-1=-3-3=-6¹0(cid:36)(cid:61)(cid:62)a r ,b r (cid:157)(cid:47)(cid:48)(cid:36)(cid:64)C(cid:243)(cid:244)(cid:113) (cid:160)(cid:161)D(cid:36)(cid:59)(cid:60)-1,3×3,1=-3+3=0(cid:36)(cid:61)(cid:62)a r ^b r (cid:36)(cid:64)D(cid:200)(cid:201). (cid:64)(cid:20)(cid:10)D r r r r r r 3(cid:25)(cid:26)2024·(cid:246)(cid:247)·(cid:125)(cid:220)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)a=m,1(cid:36)b=m,-1(cid:36)(cid:37)3a-b(cid:130)b(cid:47)(cid:48)(cid:36)(cid:38) a (cid:212)(cid:161)(cid:26) (cid:31) A(cid:25) 2 B(cid:25) 3 C(cid:25)3 D(cid:25)6 (cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)B r r r  r r  r (cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:45)(cid:46)3a-b(cid:130)b(cid:47)(cid:48)(cid:36)(cid:54)(cid:69) 3a-b ×b=0(cid:36)(cid:63)(cid:54)(cid:55)(cid:91)m(cid:36)(cid:92)(cid:45)(cid:46)(cid:220)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:7)(cid:103)(cid:63)(cid:54)(cid:69)(cid:58). r r (cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:42)3a-b=2m,4(cid:36) r r r (cid:59)(cid:60)3a-b(cid:130)b(cid:47)(cid:48)(cid:36) r r r   (cid:61)(cid:62) 3a-b ×b=2m2-4=0(cid:36)(cid:58)(cid:69)m2 =2(cid:36) r (cid:61)(cid:62) a = m2+1= 3. (cid:64)(cid:20)(cid:10)B. r r r r r r 4(cid:25)(cid:26)2024·(cid:248)(cid:249)·(cid:125)(cid:220)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)a =(3,1),b =(-2,x)(cid:36)(cid:37)a^(a+b)(cid:36)(cid:38)|b|=(cid:26) (cid:31) 2 10 A(cid:25)2 B(cid:25)3 C(cid:25)2 5 D(cid:25) 3 (cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)Cr r (cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:96)(cid:97)(cid:32)(cid:33)(cid:84)(cid:85)(cid:98)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:47)(cid:48)(cid:3)(cid:222)(cid:55)(cid:91)(cid:250)(cid:33)(cid:35)x(cid:63)(cid:54)(cid:55)(cid:69)b (cid:36)(cid:251)(cid:75)(cid:69)|b|. r r (cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:42)(cid:59)(cid:60)a+b =1,1+x(cid:36) (cid:61)(cid:62)a r ×  a r +b r  =3+1+x=0(cid:36)Þ x=-4(cid:36)(cid:64)b r =(-2,-4)(cid:36) r (cid:61)(cid:62) b = (-2)2+(-4)2 =2 5. (cid:64)(cid:20)(cid:10)C. r r r r r r r 5(cid:25)(cid:26)2024·(cid:252)(cid:253)·(cid:125)(cid:220)(cid:31)(cid:37)|a|=1,|b|=2 ,(a-b)^a(cid:36)(cid:38)(cid:34)(cid:35)a(cid:130)b (cid:49)(cid:99)(cid:100)(cid:60)(cid:26) (cid:31) A(cid:25)30° B(cid:25)60° C(cid:25)120° D(cid:25)150° (cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)B r r r r r r r r (cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:45)(cid:46)(a-b)^a(cid:36)(cid:69)(a-b)×a=0(cid:36)(cid:70)(cid:71)(cid:13)(cid:35)(cid:111)(cid:49)(cid:52)(cid:53)(cid:112)(cid:55)(cid:91)a×b(cid:36)(cid:92)(cid:45)(cid:46)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:99)(cid:100)(cid:7)(cid:103)(cid:63)(cid:54)(cid:69)(cid:58). r r r r r r (cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:42)(cid:59)(cid:60)(a-b)^a(cid:36)(cid:61)(cid:62)(a-b)×a=0(cid:36) r r r r r r (cid:63) a 2 -a×b=0 (cid:36)(cid:61)(cid:62) a×b=a 2 =1 (cid:36) r r r r a×b 1 (cid:61)(cid:62)cosa,b = r r = (cid:36) a b 2 r r (cid:73)0°£a,b £180°(cid:36) r r (cid:61)(cid:62)(cid:34)(cid:35)a(cid:130)b (cid:49)(cid:99)(cid:100)(cid:60)60°. (cid:64)(cid:20)(cid:10)B. r r r r 6(cid:25)(cid:26)2024·(cid:254)(cid:255)(cid:256)(cid:257)·(cid:125)(cid:220)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)a=(1,-2),b =(-1,-2)(cid:36)(cid:117)a(cid:130)b (cid:49)(cid:99)(cid:100)(cid:60)q(cid:36)(cid:38)sinq=(cid:26) (cid:31) 3 3 4 4 A(cid:25)- B(cid:25) C(cid:25)- D(cid:25) 5 5 5 5 (cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)D (cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:97)(cid:99)(cid:100)(cid:7)(cid:103)(cid:258)(cid:53)(cid:91)(cid:101)(cid:102)(cid:56)(cid:259)(cid:36)(cid:92)(cid:45)(cid:46)(cid:141)(cid:100)(cid:125)(cid:100)(cid:260)(cid:13)(cid:87)(cid:140)(cid:3)(cid:222)(cid:63)(cid:54)(cid:53)(cid:91)(cid:200)(cid:102)(cid:56). r r (cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:42)(cid:59)(cid:60)a=(1,-2),b =(-1,-2)(cid:36) r r r r (cid:61)(cid:62)a×b=-3(cid:36) a = 5,b = 5(cid:36) r r a×b 3 (cid:61)(cid:62)cosq= r r =- (cid:36) a b 5 r r 4 (cid:59)(cid:60)q(cid:60)a(cid:130)b (cid:49)(cid:99)(cid:100)(cid:36)(cid:61)(cid:62)sinq= 1-cos2q= . 5 (cid:64)(cid:20)(cid:10)D ur uur ur uur 1 ur uur uur 7(cid:25)(cid:26)2024·(cid:261)(cid:252)(cid:262)(cid:263)·(cid:125)(cid:220)(cid:31)(cid:32)(cid:33)e,e (cid:155)(cid:24)(cid:206)(cid:34)(cid:35)(cid:36)e ×e =- (cid:36)(cid:38)e +2e (cid:130)e (cid:49)(cid:99)(cid:100)(cid:60)(cid:26) (cid:31) 1 2 1 2 2 1 2 2 π π π 2π A(cid:25) B(cid:25) C(cid:25) D(cid:25) 6 4 3 3(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)A ur uur ur uur uur (cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:264)(cid:258)(cid:53)(cid:34)(cid:35)e +2e (cid:49)(cid:220)(cid:36)(cid:92)(cid:258)(cid:53)e +2e (cid:130)e (cid:49)(cid:13)(cid:35)(cid:111)(cid:36)(cid:251)(cid:75)(cid:54)(cid:69)(cid:99)(cid:100)(cid:49)(cid:101)(cid:102)(cid:56)(cid:36)(cid:54)(cid:69)(cid:40)(cid:41). 1 2 1 2 2 ur uur ur ur uur uur ur uur (cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:42)  e +2e 2 =e 2 +4e ×e +4e 2 =1-2+4=3(cid:36)(cid:64) e +2e = 3(cid:25) 1 2 1 1 2 2 1 2  ur uur  uur ur uur uur 2 1 3 ur uur uur e +2e ×e =e ×e +2e =- +2= (cid:36)(cid:117)e +2e (cid:130)e (cid:49)(cid:99)(cid:100)(cid:60)q(cid:36) 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 ur uur uur 3   (cid:38) cosq= u e r 1 +2 u e ur 2 × u e ur 2 = 2 = 3 (cid:36)(cid:73)qÎ 0,π (cid:36)(cid:64)q= π (cid:36) e +2e ×e 3 2 6 1 2 2 (cid:64)(cid:20)(cid:10)A(cid:25) r r r r r r r r r  8(cid:25)(cid:26)2024·(cid:246)(cid:247)(cid:265)(cid:266)·(cid:125)(cid:220)(cid:31)(cid:32)(cid:33) a =4(cid:36)b =3(cid:36) a+b = a-b (cid:36)(cid:38)a× a-b =(cid:26) (cid:31) A(cid:25)-16 B(cid:25)16 C(cid:25)-9 D(cid:25)9 (cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)B r r r r r r r r r r r  r r  (cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:68)(cid:32)(cid:33)(cid:54)(cid:69) a 2 +2bga+b 2 =a 2 -2bga+b 2(cid:36)(cid:54)(cid:55)(cid:69)bga=0(cid:36)(cid:251)(cid:75)(cid:258)(cid:53)(cid:54)(cid:55)a× a-b . r r r r r r r r r r r r (cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:42)(cid:68) a+b = a-b (cid:36)(cid:123)(cid:79)(cid:87)(cid:140)(cid:54)(cid:69) a 2 +2bga+b 2 =a 2 -2bga+b 2(cid:36) (cid:61)(cid:62)b r ga r =0(cid:36)(cid:61)(cid:62)a r ×  a r -b r  =a r 2 -a r gb r =42-0=16. (cid:64)(cid:20)(cid:10)B. 9(cid:25)(cid:26)2024·(cid:267)(cid:245)(cid:268)(cid:269)·(cid:125)(cid:220)(cid:31)(cid:76)VABC(cid:77)(cid:36)E(cid:76)(cid:79)BC(cid:80)(cid:36)(cid:67)EC =3BE,D(cid:155)(cid:79)AB(cid:80)(cid:163)(cid:110)(cid:22)(cid:78)(cid:36)AE(cid:130)CD(cid:128) uuur uuur uuur (cid:161)(cid:78)P(cid:36)(cid:37)CP=xCA+yCB(cid:36)(cid:38)3x+4y=(cid:26) (cid:31) 3 3 A(cid:25) B(cid:25)- C(cid:25)3 D(cid:25)-3 4 4 (cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)C uuur uuur uuur uuur æ3 3 öuuur (cid:39)(cid:43)(cid:44)(cid:42)(cid:96)(cid:97)(cid:34)(cid:35)(cid:49)(cid:89)(cid:90)(cid:52)(cid:53)(cid:36)(cid:69)CP=CE+EP=tCA+ç - t÷CB(cid:36)(cid:92)(cid:96)(cid:97)(cid:87)(cid:88)(cid:34)(cid:35)(cid:142)(cid:143)(cid:119)(cid:15)(cid:36)(cid:54)(cid:69) è4 4 ø 3 3 x=t,y= - t(cid:36)(cid:270)(cid:259)(cid:271)(cid:54)(cid:69)(cid:197)(cid:70)(cid:146). 4 4 uuur uuur (cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:42)QA､P､E(cid:125)(cid:78)(cid:118)(cid:89)(cid:36)(cid:117)EP=tEA(0