文档内容
专题 01 平面向量及其应用
一、知识聚焦
二、题型聚焦
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司知识点 1：平面向量的概念
1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
模的特点：（1）向量 的模 ；（2）向量不能比较大小，但 是实数，可以比较大小．
2、零向量：长度为零的向量叫零向量.记作 ，它的方向是任意的．
3、单位向量：长度等于1个单位的向量．
将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．
4、相等向量：长度相等且方向相同的向量．
5、向量的共线或平行：方向相同或相反的非零向量。规定： 与任一向量共线．
知识点 2：平面向量的运算
1、向量的加法、减法、数乘
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
交换律： ；
加法 求两个向量和的运算
结合律：
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司求 与 的相反向量
减法
的和的运算
，
当 λ>0 时， 与 的方向相
；
求实数λ与向量 的 同；
数乘
；
积的运算
当 λ<0 时， 与 的方向相
反；
当λ＝0时，
知识点 3：向量共线与基本定理
1、向量共线定理：如果 ，则 ，反之，如果 且 ，则一定存在唯一的实数 ，使
.
2、三点共线定理：平面内三点 、 、 三点共线的充要条件是：存在实数 ，使 ，
其中 ， 为平面内一点．
3、平面向量基本定理
（1）定义：如果 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一
对实数 ，使
（2）基底：若 不共线，我们把 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
（3）对平面向量基本定理的理解
①基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解
式是不同的．
②基底给定时，分解形式唯一． 是被 唯一确定的数值．
③ 是同一平面内所有向量的一组基底，
则当 与 共线时， ；当 与 共线时， ；当 时， ．
④由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量．
知识点 4：向量的数量积与向量坐标运算
1、向量的夹角
（1）定义：已知两个非零向量 和 ，作 ， ，则∠AOB就是向量 与 的夹角．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司（2）范围：设θ是向量 与 的夹角，则0°≤θ≤180°.
（3）共线与垂直：若θ＝0°，则 与 同向；若θ＝180°，则 与 反向；若θ＝90°，则 与 垂直．
2、向量的数量积
（1）定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为θ，则数量 叫做 与 的数量积(或内积)，
记作 ，即 ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即 ．
（2）几何意义：数量积 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的乘积．
（3）向量数量积的性质：设 ， 都是非零向量， 是单位向量，θ为 与 (或 )的夹角．则
① ； ② ；
③当 与 同向时， ；当 与 反向时，
特别地， 或 ；
④cos θ＝ ； ⑤
（4）向量数量积的运算律
① ；
② (λ为实数)；
③ ；
④两个向量 ， 的夹角为锐角⇔ 且 ， 不共线；
两个向量 ， 的夹角为钝角⇔ 且 ， 不共线．
⑤平面向量数量积运算的常用公式
知识点5 平面向量的坐标运算
1、向量的线性运算坐标表示
（1）已知 ，则 ， ．
结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．
（2）若 ，则a＝(x，y)
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
2、向量平行坐标表示：已知 ，则向量 ， 共线的充要条件是 ．
3、向量数量积的坐标表示
已知非零向量 ， ， 与 的夹角为θ.
结论 几何表示 坐标表示
模
夹角
的充要条件
与 的关系
4、线段的定比分点及λ
（1）定比分点坐标公式：若点 ， ， 为实数，且 ，
则点 坐标为 ，我们称 为点 分 所成的比．
（2）点 的位置与 的范围的关系：
①当 时， 与 同向共线，这时称点 为 的内分点；
②当 ( )时， 与 反向共线，这时称点 为 的外分点．
（3）若 分有向线段 所成的比为 ，点 为平面内的任一点，则 ；
特别地 为 的中点 ．
题型归纳
【题型1 平面向量的概念辨析】
满分技法
在解决向量的概念问题时，要注意两点：①不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向；②考虑零向量
是否也满足条件．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1．（22-23高一下·新疆·期中）下列说法正确的是（ ）
A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向
C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0
【答案】C
【解析】对于A，零向量的模等于零，故A错误；
对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误；
对于C，根据单位向量的定义可C知正确；
对于D，零向量有大小还有方向，而实数 只有大小没有方向，故D错误.故选：C.
2．（23-24高一下·山东泰安·月考）下列命题中，正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】C
【解析】对于A：若 ，则 只是大小相同，并不能说方向相同，A错误；
对于B：向量不能比较大小，只能相同，B错误；
对于C：若 ，则 方向相同，C 正确；
对于D：若 ，如果 为零向量，则不能推出 平行，D错误.故选：C.
3．（22-23高一下·吉林四平·月考）（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．零向量与任一向量平行 B．方向相反的两个非零向量不一定共线
C．单位向量是模为 的向量 D．方向相反的两个非零向量必不相等
【答案】ACD
【解析】对于A，零向量的方向是任意的，零向量与任一向量平行，故A项正确；
对于B，根据共线向量的定义，可知方向相反的两个非零向量一定共线，故B项错误；
对于C，根据单位向量的定义，可知C项正确；
对于D，方向相同且模相等的两个向量相等，
因此方向相反的两个非零向量一定不相等，D项正确．故选：ACD．
4．（23-24高一下·河南郑州·期中）（多选）下列结论不正确的是（ ）
A．若 与 都是单位向量，则 B．直角坐标平面上的 轴， 轴都是向量
C．若 与 是平行向量，则 D．海拔、温度、角度都不是向量
【答案】ABC
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【解析】对于A，若 与 都是单位向量，则它们的模都是1，
但方向不一定相同，即 与 不一定相等，故A符合题意；
对于B，直角坐标平面上的 轴， 轴都有方向，但是没有长度，
即直角坐标平面上的 轴， 轴不是向量，故B符合题意；
对于C，若 与 是平行向量，则它们的方向可能相反，长度也不一定相等，
即 与 不一定相等，故C符合题意；
对于D，海拔、温度、角度只有大小没有方向，故它们都不是向量，故D不符合题意.故选：
ABC.
【题型2 向量相等与向量共线】
满分技法
1、向量共线或平行的定义：方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量)。
规定： 与任一向量共线.
2、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．
5．（23-24高一下·云南·月考）如图，在 中，向量 是（ ）
A．有相同起点的向量 B．模相等的向量
C．共线向量 D．相等的向量
【答案】B
【解析】对于A，根据图形，可得向量 ， ， 不是相同起点的向量，∴A错误；
对于B，因为O是圆心，那么向量 ， ， 的模长是一样的，∴B正确；
对于C，共线向量知识点是方向相同或者相反的向量，∴C错误；
对于D，相等的向量指的是大小相等，方向相同的向量，∴D错误，故选：B．
6．（23-24高一下·湖北·月考）已知点 是平行四边形 的对角线的交点，则（ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【解析】 为相反向量，故A错误；
为相反向量，故B错误；
方向相反，故 ，C正确；
因为平行四边形 不一定为矩形，所以对角线不一定相等，故D错误.故选：C
7．（23-24高一下·重庆巴南·月考）如图，四边形 中， ，则必有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】四边形 中， ，则 且 ，
所以四边形 是平行四边形；则有 ，故A错误；
由四边形 是平行四边形，可知 是 中点，则 ，B正确；
由图可知 ，C错误；
由四边形 是平行四边形，可知 是 中点， ，D错误．故选：B．
8．（22-23高一下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在正六边形 中，点 为其中点，则下列判断错误
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A，由正六边形的性质可得四边形 为平行四边形，故 ，故A正确.
对于B，因为 ，故 ，故B正确.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司对于C，由正六边形的性质可得 ，故 ，故C正确.
对于D，因为 交于 ，故 不成立，故D错误，故选：D.
【题型3 平面向量的线性运算】
满分技法
在平面几何中，利用三角形法则和四边形法则进行向量的加减运算，需注意向量的起点。
9．（23-24高一下·山西大同·月考）如图，在矩形 中， （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在矩形 中， .故选：B
10．（23-24高一下·四川成都·月考）如图，向量 ， ， ，则向量 可以表示为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由图可知 ，故选：C
11．（23-24高一下·福建厦门·期中）已知x、y是实数，向量 不共线，若 ，则
．
【答案】3
【解析】因为向量 不共线，由 ，
得 ，即 ，所以 .
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司12．（23-24高一下·河北沧州·月考）已知 ， 是两个不共线的向量 ， ，若 与
共线，则 ．
【答案】 /
【解析】由已知 ， 是两个不共线的向量，则 ，
又因为 与 共线，则 ，
即 ，解得 .
【题型4 平面向量的基本定理应用】
满分技法
1、应用平面向量基本定理表示向量的实质是平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运
算．
2、用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量
的形式，再通过向量的运算来解决．
13．（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知 ､ 是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中不能作
为基底的一组是（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
【答案】B
【解析】因为 ､ 是平面内所有向量的一组基底，则 ､ 不共线，
对于选项A：若 、 共线，则 ，可得 ，无解，
所以 、 不共线，可以作为基底向量，故A错误；
对于选项B：因为 ，
可知 和 共线，不能作为基底向量，故B正确；
对于选项C：若 、 共线，则 ，可得 ，无解，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司所以 、 不共线，可以作为基底向量，故C错误；
对于选项D：若 、 共线，则 ，可得 ，无解，
所以 、 不共线，可以作为基底向量，故D错误；故选：B.
14．（23-24高一下·山东泰安·期中）如图， 中，点 为 边的中点，点 在 边上，且
，以 为一组基底，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由图形可知： .故选：C.
15．（23-24高一下·吉林长春·期中）在矩形 中，E，F分别为BC，CD的中点，若
（m， ），则 的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【解析】由E，F分别为BC，CD的中点，得 ，
则 ，在矩形 中， ，
因此 ，即 ，而 ，
所以 ， .故选：B
16．（23-24高一下·江苏无锡·月考）如图，在 中，点 满足 ， 是线段 的中点，过点
的直线与边 ， 分别交于点 ， .
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司（1）若 ，求 的值；
（2）若 ( )， ( )，求 的最小值.
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
因为 是线段 的中点，所以 ，
又因为 ，
设 ，则有 ，
因为 三点共线，所以 ，解得 ，
所以 ， ，所以 .
（2）因为 ， ，
由（1）可知， ，所以
因为 三点共线，所以 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 .
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【题型5 向量运算的坐标表示】
满分技法
利用向量线性运算的坐标表示解决有关问题的基本思路
1.向量的线性运算的坐标表示主要是利用加、减、数乘运算法则进行的,若已知有向线段两端点的坐标，
则应先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算,另外解题过程中要注意方程思想的运用.
2.利用向量线性运算的坐标表示解题,主要根据相等向量的坐标相同这一原则,通过列方程(组)进行求解.
3.利用坐标运算求向量的基底表示,先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出相应系数.
17．（23-24高一下·天津·开学考试）已知两点 ， ，若 ，则点 的坐标是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ，则 ， ，
又 ，所以 ，
即 ，解得 ，
所以点 的坐标是 .故选：A
18．（23-24高一下·云南昆明·月考）已知向量 ， ， ，若 ，则
.
【答案】3
【解析】因为向量 ， ， ，且 ，
所以 ，解得 ， ，所以 .
19．（23-24高一下·上海·期中）已知平面上 两点的坐标分别是 为直线 上一点，且
，则点 的坐标为 .
【答案】
【解析】设 ，由 ，即 ，可得 ，
即 ，解得 ，即 .
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司20．（23-24高一下·重庆·期中）已知 ， 是平面内两个不共线的向量，若 ， ，
，且 、 、 三点共线.
（1）求实数 的值；
（2）若 ， .
（ⅰ）求 ；
（ⅱ）若 ， ， ， ， 恰好构成平行四边形 ，求点 的坐标.
【答案】（1） ；（2）① ；②
【解析】（1）
则 则 ；
（2）（ⅰ） ，向量 的坐标为 ；
（ⅱ）设 的坐标为 ，
∵ ， ， ， 恰好为构成平行四边形
则 ， ，
解得： ，∴ 的坐标为
【题型6 向量数量积的计算】
满分技法
1、定义法求平面向量的数量积
（1）方法依据：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即
（2）适用范围：已知或可求两个向量的模和夹角。
2、基底法求平面向量的数量积
（1）方法依据：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别用这组基底
表示出来，进而根据数量级的运算律和定义求解。
（2）适用范围：直接利用定义法求数量积不可行时，可将已知模和夹角的两个不共线的向量作为基底，
采用“基底法”求解。
3、坐标法求平面向量的数量积
（1）方法依据：当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司即若 ， ，则 ；
（2）适用范围：** 错误的表达式 **已知或可求两个向量的坐标；** 错误的表达式 **已知条件中有
（或隐含）正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积。
21．（23-24高一下·辽宁·期中）在 中， ， ， ，则 等于（ ）
A．12 B．6 C．－6 D．－12
【答案】B
【解析】 ，故选：B.
22．（23-24高一下·江苏镇江·月考）在平行四边形 中，已知 ， ， ，点 在
边上，满足 ，则 （ ）
A． B．0 C． D．1
【答案】B
【解析】作出图形
设 ，由图可得： ，
所以
因为在平行四边形 中，已知 ， ， ，
所以 ，解得 ，则点 在 点，
所以 ，
则 ,故选：B
23．（23-24高一下·江苏·月考）在 中，满足 ，则 ．
【答案】
【解析】在 中，由 ，
可得 ，所以 为直角三角形，
以 为原点，以 所在的直线分别为 轴，建立平面直角坐标系，
如图所示，则 ，可得 ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司所以 .
24．（23-24高一下·辽宁·期中）如图，在四边形 中， 分别在边 上，且 ，
， ， ， 与 的夹角为 ，则 .
【答案】
【解析】由图形结合向量线性运算可得： ，
由 ， 可得 ，
由 可得 ，
由上面两式相加得： ，即
又由 ， ， 与 的夹角为 ，
可得 ，
所以 .
【题型7 投影向量问题】
满分技法
求向量的投影（或其数量）的关注点和计算方法：
1、关注点：注意 在 上的投影与 在 上的投影不投，审题时要看清；
2、向量 在 所在直线上的投影是一个向量，向量 在 所在直线上的投影的数量是一个实数；
25．（23-24高一下·福建莆田·期中）已知向量 在 的投影向量为 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【答案】D
【解析】由题意 ，所以 .故选：D.
26．（23-24高一下·广东广州·期中）已知向量 ， ，则向量 在向量 方向上的
投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得： ，则 ，
所以向量 在向量 方向上的投影向量为 .故选：D.
27．（23-24高一下·江西·月考）已知向量 ， ，若 ，则 在 上的投
影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，得 ，
两边平方解得 ，或 ，易知 ，故 舍去，
， ，
故 在 上的投影向量为 .故选：C.
28．（23-24高一下·山西·月考）已知 是单位向量， ，则向量 在 上的投影向量是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意以及投影向量定义得向量 在 上的投影向量是：
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司.故选：B.
【题型8 平面向量模有关的问题】
满分技法
1、定义法：利用 及 ，把向量的模的运算转化为数量积运算；
2、坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；
3、几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用
余弦定理等方法求解．
29．（23-24高一下·广东河源·期中）已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，得 ，
又 ，所以 ，
故 .故选：D.
30．（23-24高一下·广西南宁·期中）已知向量 ， ，若向量 在向量 上的投影向量
，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【解析】由已知可得， 在 上的投影向量为 ，
又 在 上的投影向量 ，所以 .
所以 ，D正确．故选：D.
31．（23-24高一下·江苏·月考）已知向量 满足 ，则 （ ）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司A．13 B．7 C． D．
【答案】C
【解析】由 得 ，即 ，得 ，
所以， .故选：C.
32．（23-24高一下·河南濮阳·月考）已知向量 ， 的夹角为 ， ， ，在 中，
， ， ，则 （ ）
A．2 B． C． D．6
【答案】A
【解析】因为向量 ， 的夹角为 ， ， ，
所以 ，
又因为
，
所以 .故选：A
【题型9 平面向量的夹角问题】
满分技法
1、两向量的夹角其实就是从同一起点出发的表示两个非零向量的有向线段构成的不大于平角的角；
2、求两个向量夹角的方法：求两向量的夹角，关键是利用平移的方法使表示两个向量的有向线段的起点
重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图形的知识求解向量的夹角。过程简记为“一作、二
证、三算”。
33．（23-24高一下·甘肃天水·期中）已知向量 与 是非零向量，且满足 在 上的投影为 ，
，则 与 的夹角余弦值为（ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【答案】A
【解析】设 与 的夹角为 ，
因为 在 上的投影为 ， ，
所以 ，则 ，
即 ，所以 .故选：A.
34．（23-24高一下·重庆沙坪坝·月考）已知 ， ，且 ，则 ．
【答案】
【解析】 ，即 ， ，解得 ；
故 ，又 ，故 .
35．（23-24高一下·江苏盐城·期中）设 ， 且 的夹角为钝角，实数 的取值范围是
.
【答案】
【解析】因为 的夹角为钝角，则 且 不共线，
可得 ，解得 且 ，
所以实数 的取值范围是 .
36．（23-24高一下·浙江·期中）已知 ， ，且满足
（1）求实数 的值；
（2）设 ，求非零向量 与 的夹角的余弦值．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1） ， ， ， ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司（2）设 ， ， ，所以 都不等于0，
设 与 的夹角为 ， ，
则 .
【题型10 向量平行与垂直计算】
满分技法
1、向量 ， 共线的充要条件是 ；
2、已知两向量垂直，可利用其数量积为0列出方程，通过解方程求出其中的参数值。在计算数量积时可根
据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算转化为基本的向量数量积的计算。
37．（23-24高一下·浙江·月考）已知向量 ， ，若 与 共线，则 （ ）
A． B．4 C． D． 或4
【答案】D
【解析】由两向量共线可知 ，即 ，解得 或 .故选：D.
38．（23-24高一下·福建宁德·月考）已知向量 ， ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为向量 ， ，所以 ，
又 ，所以 ，解得 .故选：C
39．（23-24高一下·安徽·月考）已知 ， ， ，且 与 垂直，则实数 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【解析】因为 ，所以 ，因为 与 垂直，
所以 ，得 ，
得 ，解得 .故选：A.
40．（23-24高一下·云南·期中）已知向量 ， ．
（1）若 与 共线，求 的值；
（2）若 与 垂直，求 的值．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）因为向量 ， ，则 ， ．
又因为 与 共线，则 ，解得 ．
（2）由题意可知： ，
因为 与 垂直，则 ，解得 ．
【题型11 利用向量判断多边形形状】
满分技法
由已知条件建立数量积、向量的长度、向量的夹角等之间的关系是关键，利用移项、平方等手段，可以得
出数量积及向量的长度的等信息，为得到边相等、变垂直指明方向。
41．（15-16高一下·河北石家庄·课后作业）在四边形 中， ， ，
，则四边形 的形状是（ ）
A．梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．矩形
【答案】A
【解析】因为 ， ， ，
所以 .
所以 ，所以 且 ，
所以四边形 为梯形..故选：A
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司42．（2011·黑龙江·三模）P是 所在平面上一点，满足 ，则 的形
状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】B
【解析】由 ，可得 ，
即 ，即 ，
将等式 两边平方，化简得 ，∴ ，
即 ，因此， 是直角三角形，故选：B．
43．（23-24高一下·山西临汾·月考）在四边形 中， ，下列对四
边形 形状描述最准确的是（ ）
A．矩形 B．平行四边形 C．菱形 D．正方形
【答案】C
【解析】因为 为四边形，且 ，故 ， // ，则四边形 为平行四边形；
又 ，即 ，即 ，四边形 的对角线垂直；
综上所述，四边形 为菱形.故选：C.
44．（23-24高一下·四川攀枝花·月考）若非零向量 与 满足 ， ，
则 为（ ）
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】D
【解析】显然 是与 分别同向的单位向量，由 ，
得 的角平分线与BC垂直，于是 ，
而 ，即 ，
又 ，因此 ，所以 是等边三角形.故选：D
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【题型12 利用向量判断三角形四心】
满分技法
1、常见重心向量式：设O是∆ABC的重心，P为平面内任意一点
** 错误的表达式 **⃗OA+⃗OB+⃗OC=0⃗
1
** 错误的表达式 ** ⃗PO= (⃗PA+⃗PB+⃗PC)
3
** 错误的表达式 **若⃗AP=λ(⃗AB+⃗AC)或⃗OP=⃗OA+λ(⃗AB+⃗AC)，λ∈[0,+∞)，则P一定经过三角形
的重心
( ⃗AB ⃗AC ) ( ⃗AB ⃗AC )
** 错误的表达式 **若 ⃗AP=λ + 或 ⃗OP=⃗OA+λ + ，
|⃗AB|sinB |⃗AC|sinC |⃗AB|sinB |⃗AC|sinC
λ∈[0,+∞)则P一定经过三角形的重心
2、常见垂心向量式：O是∆ABC的垂心，则有以下结论：
** 错误的表达式 **⃗OA∙⃗OB=⃗OB∙⃗OC=⃗OC∙⃗OA
2 2 2 2 2 2
** 错误的表达式 **|⃗OA| +|⃗BC| =|⃗OB| +|⃗CA| =|⃗OC| +|⃗AB|
( ⃗AB ⃗AC )
** 错误的表达式 **动点P满足 ⃗OP=⃗OA+λ + ，λ∈(0,+∞)，则动点P的轨迹一
|⃗AB|cosB |⃗AC|cosC
定通过∆ABC的垂心
3、常用外心向量式：O是∆ABC的外心，
** 错误的表达式 **|⃗OA|=|⃗OB|=|⃗OC|⟺⃗OA2=⃗OB2=⃗OC2
** 错误的表达式 **(⃗OA+⃗OB)∙⃗AB=(⃗OB+⃗OC)∙⃗BC=(⃗OA+⃗OC)∙⃗AC=0
⃗OB+⃗OC ( ⃗AB ⃗AC )
** 错误的表达式 **动点P满足 ⃗OP= +λ + ，λ∈(0,+∞)，则动点P的
2 |⃗AB|cosB |⃗AC|cosC
轨迹一定通过∆ABC的外心.
** 错误的表达式 **若(⃗OA+⃗OB)∙⃗AB=(⃗OB+⃗OC)∙⃗BC=(⃗OC+⃗OA)∙⃗CA=0，则O是∆ABC的外心.
4、常见内心向量式：P是∆ABC的内心，
** 错误的表达式 **|⃗AB|⃗PC+|⃗BC|⃗PA+|⃗CA|⃗PB=0⃗（或a⃗PA+b⃗PB+c⃗PC=0⃗）
其中a，b，c分别是∆ABC的三边BC、AC、AB的长，
( ⃗AB ⃗AC )
** 错误的表达式 ** ⃗AP=λ + ，λ[0,+∞)，则P一定经过三角形的内心。
|⃗AB| |⃗AC|
45．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期中）已知点 在 所在平面内，且 ，
， ，则点 依次是 的（ ）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司A．重心、外心、垂心 B．外心、重心、垂心
C．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心
【答案】B
【解析】因为 ，所以 到顶点 的距离相等，
所以点 为 的外心；
由 ，则 ，取 的中点 ，
则 ，所以 ，所以点 是 的重心；
由 ，得 ，即 ，
所以 ，同理 ，所以点 为 的垂心.故选：B.
46．（23-24高一下·天津·月考）点O是平面 上一定点，A，B，C是平面 上 的三个顶点， ，
分别是边AC，AB的对角.有以下四个命题：
①动点P满足 ，则 的外心一定在满足条件的P点集合中；
②动点P满足 ，则 的内心一定在满足条件的P点集合中；
③动点P满足 ，则 的重心一定在满足条件的P点集合中；
④动点P满足 ，则 的垂心一定在满足条件的P点集合中.
其中正确命题的个数为 .
【答案】2
【解析】①当动点P满足 时，
则点P是 的重心，所以①不正确；
②显然 在 的角平分线上，而 与 的平分线所在向量共线，
所以 的内心一定在满足条件的点P集合中，因此②正确；
③ 变形为 ，
而 ， 表示点A到 边的距离，设为 ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司所以 ，而 表示 边的中线向量，
所以 表示 边的中线向量，
因此 的重心一定在满足条件的P点集合中，所以③正确；
④当 时， 的垂心与点A重合，但显然此时垂心点P不满足公式，所以④不正确；
47．（23-24高一下·江苏苏州·月考）（多选）已知三角形ABC满足 ，则下列结论正确的是
（ ）
A．若点O为 的重心，则 ，
B．若点O为 的外心，则
C．若点O为 的垂心，则 ，
D．若点O为 的内心，则 ．
【答案】ABD
【解析】选项A：如图，点O为 的重心时， ，故A正确；
选项B：若点O为 的外心，如图， 为线段 的垂直平分线，
则 ，同理 ，
，故B正确；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司选项C：当 时，则 为 的垂心， ， 重合，此时 ，故C错误；
选项D：若点O为 的内心， 在 的平分线上，
则 ，故D正确.故选：ABD
48．（23-24高一下·重庆·月考）（多选）点 在 所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．若 ，则点 是 的重心
B．若 ，则点 是 的内心
C．若 ，则点 是 的外心
D．若 为三角形 外心，且 ，则 为 的垂心
【答案】BCD
【解析】对于A，在AB，AC上分别取点D，E，使得 ，
则 ，以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，如图，
则四边形ADFE是菱形，且 ，所以 平分 ，
因为 即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司所以 三点共线，即 在 的平分线上，
同理可得O在其它两角的平分线上，所以O为 的内心，错误；
对于B，在AB，AC上分别取点D，E，使得 ，如图，
则 ，且 ，
因为 ，即 ，又 知， 平分 ，
同理，可得 平分 ，故O为 的内心，正确；
对于C，取 的中点分别为 ，如图，
因为 ，所以 ，
即 ，所以O是 的外心，正确；
对于D，因为 ，所以 ，即O为AC中点，又 为三角形 外心，
所以 ，则 为 的垂心，正确.故选：BCD
【题型13 奔驰定理及其应用】
满分技法
O ABC
1、奔驰定理： 是 内的一点，且 ，则
2、奔驰定理推论： ，则
** 错误的表达式 **
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司** 错误的表达式 ** ， ， .
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．
3、对于三角形面积比例问题，常规的作法一般是通过向量线性运算转化出三角形之间的关系。但如果向
量关系符合奔驰定理的形式，在选择填空题当中可以迅速的地得出正确答案。
49．（23-24高一下·河南安阳·月考）设M为 内一点，且 ，则 与 的面
积之比为 ．
【答案】 /0.25
【解析】在 取中点 ，
则 ，
可知点 为 的中点，
可得 ，即 ，
所以 与 的面积之比为 .
50．（2024高三下·全国·专题练习）如图，已知 是 的垂心，且 ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 是 的垂心，延长 ， ， 分别交边 ， ， 于点 ， ， ，如图，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司则 ， ， ， ， ，
因此， ，
同理 ，
于是得 ，
又
由“奔驰定理”有
即 ，所以 ，故选：A
51．（20-21高一下·江苏常州·期末）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个
定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已
知 是 内的一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，则
.若 是锐角 内的一点， ， ， 是 的三个内角，且点 满足
.则（ ）
A． 为 的外心
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】因为 ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司同理 ， ，故 为 的垂心，故A错误；
，所以 ，
又 ，所以 ，
又 ，所以 ，故B正确；
故 ，同理 ，
延长 交 与点 ，
则 ，
同理可得 ，所以 ，故C正确；
，
同理可得 ，所以 ，
又 ，
所以 ，故D正确．故选：BCD．
52．（23-24高一下·吉林通化·月考）（多选）几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美
的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知 是
内一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，且 .以
下命题正确的有（ ）
A．若 ，则 为 的重心
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司B．若 为 的内心，则
C．若 ， ， 为 的外心，则
D．若 为 的垂心， ，则
【答案】ABC
【解析】对A：如图：
取 边中点 ，连接 ，由 ，
所以 ，所以 、 、 三点共线，且 ，
所以 为 的重心，故A正确；
对B：如图：
因为则 为 内心，可设内切圆半径为 ，
则有 ， ， ，
所以 ，故B正确；
对C：如图：
因为 为 的外心，设外接圆半径为 ，有 ， ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司所以 ， ，故 ，
所以 .
故C正确；
对D：由 为 的垂心， ，所以 .
如图：
则 ， .
设 ， ，则 ， ，
所以 .
所以 .故D错误.故选：ABC
【题型14 平面向量极化恒等式应用】
满分技法
极化恒等式：
1、平行四边形模式：平行四边形ABCD，O是对角线交点．则AB·AD＝[|AC|2－|BD|2]．
2、三角形模式：如上图，在△ABC中，设D为BC的中点，则AB·AC＝|AD|2－|BD|2．
53．（23-24高三下·湖南长沙·月考）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对
角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示， ，我们称为极化恒等式. 已
知在 中， 是 中点， ， ，则 （ ）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司A． B．16 C． D．8
【答案】A
【解析】由题设， 可以补形为平行四边形 ，
由已知得 ．故选：A．
54．（23-24高一下·福建泉州·期中）在 中， ，D为BC的中点，点P在
斜边BC的中线AD上，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题 ，
所以由点P在 斜边BC的中线AD上得 ，
故 ，故选：
A.
55．（23-24高一下·云南昆明·期中）在 中， ，点 为 三边上的动点，
是 外接圆的直径，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】如图，设外接圆的圆心为 ，半径为 ，
可得
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司因为 为 三边上的动点，可知 的最大值为 到三角形顶点的距离，即为半径 ，
且 的最小值为 到 边的距离，
过 作 ，垂足为 ，则 ，
所以 的最大值为 ，最小值为 ，
故 的取值范围是 .
56．（22-23高一下·辽宁鞍山·期中）在 中， ， ， ，P，Q是BC边上的两
个动点，且 ，则 的最大值为 ．
【答案】3
【解析】如图，取 中点 ，连接 ，
，
，
两式相减得 ，
要使 有最大值，则 最小，
当 时， ，
所以 的最大值为 .
【题型15 平面向量的最值范围问题】
满分技法
1、定义法：（1）利用向量的概念及其基本运算将所求的问题转化为相应的等式关系；（2）运用基本不
等式求其最值问题；（3）得出结论。
2、坐标法：（1）根据题意建立适当的直角坐标系，并推导关键点的坐标；（2）将平面向量的运算坐标
化；（3）运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数思想等求解。
3、基底法：（1）利用基底转化向量；（2）根据向量运算化简目标；（3）运用适当的数学方法如二次函
数、基本不等式的思想、三角函数等得出结论；
4、几何意义法：（1）结合条件进行向量关系推导；（2）利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨
迹；（3）结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围。
57．（23-24高一下·山西·月考）如图，在正方形 中， , 和 相交于点G，且F为
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司上一点（不包括端点），若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．15
【答案】B
【解析】由题可设 ，
则由题意得 ，
因为 、 、 三点共线，故 ，所以 ，
所以 ，
又 、 、 三点共线，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
故 的最小值为 .故选：B.
58．（2024·河北沧州·一模）如图，在等腰直角 中，斜边 ，点 在以BC为直径的圆上运
动，则 的最大值为（ ）
A． B．8 C． D．12
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【答案】D
【解析】如图：以 为原点，建立平面直角坐标系.
则 ， ，可设 ，
则 ，
所以
所以 .
又因为 ，所以 .故选：D
59．（23-24高一下·上海·月考）已知正三角形ABC的边长为4，D是BC边上的动点（含端点），则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以 中点为原点，建立如图所示坐标系，
则 ，
设 ，
则 ，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，
所以 的取值范围是 .故选：B.
60．（23-24高一下·河南·月考）如图，在面积为 的 中，M，N分别为 ， 的中点，点P在
上，若 ，则 的最小值是 ．
【答案】3
【解析】取 边上的中点Q，设P到 的距离为h，
由 ，所以 ，
，
.
（当且仅当 ，即 时等号成立）．
则 的最小值为3．
【题型16 平面向量在物理中的应用】
满分技法
向量在物理中的应用主要解题思路分四步
（1）转化问题：将物理问题转化为数学问题；
（2）建立模型：建立以向量为载体的数学模型；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司（3）求解参数：求向量的模长、夹角、数量积等；
（4）回答问题：把所得到的数学结论回归到物理问题。
61．（23-24高一下·河北石家庄·期中）一物体在力 的作用下，由点 移动到点 ，已知
，则 对该物体所做的功为（ ）
A． B． C．1 D．41
【答案】A
【解析】由题意可知 ， ， ，
所以 对该物体所做的功为 ．故选：A．
62．（23-24高一下·安徽宿州·期中）若同一平面内的三个力 作用于同一个物体，且该物体处于平
衡状态.已知 ，且 与 的夹角为 ，则力 的大小为（ ）
A．37 B． C．13 D．
【答案】D
【解析】由题意可知， 所以
所以
故 ，则力 的大小为 .故选：D.
63．（22-23高一下·浙江嘉兴·月考）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引
体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为 ，每只胳膊的拉力大小均为 ，则
该学生的体重（单位： ）约为（ ）
（参考数据：取重力加速度大小为 ）
A．63 B．69 C．75 D．81
【答案】B
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【解析】如图，设该学生的体重为 ,则 .
由余弦定理得 .
所以 .故选：B
64．（23-24高一下·江苏泰州·期中）（多选）长江某处的南北两岸平行，江面宽度为 ，一艘船从江南
岸边的 处出发到江北岸.已知如图，船在静水中的速度 的大小为 ，水流方向自西向东，且
速度 的大小为 .设 和 的夹角为 ，北岸的点 在 的正北方向，则
（ ）
A．当船的航行距离最短时，
B．当船的航行时间最短时，
C．当 时，船航行到达北岸的位置在 的左侧
D．当 时，船的航行距离为 .
【答案】BD
【解析】对于A，当船的航行距离最短时， 的方向与河岸垂直，
从而 ，故A错误；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司对于B，船的航行时间为 （ ），若要船的航行时间最短时，则 最大，
也就是说当且仅当 时，船的航行时间最短时，故B正确；
对于C，当 时，游船水平方向的速度大小为 ，方向水平向
右，
故最终到达北岸时游船在点 的右侧，故C错误；
对于D，由题意设位移分量为 ，位移为 ，
则 ，其中 ，
所以 （km/h），故D正确.
故选：BD.
过关检测
一、单选题
1．（23-24高一下·广东广州·期中）下列说法正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ，则
C．对任意非零向量 ， 是和它同向的一个单位向量 D．零向量没有方向
【答案】C
【解析】对于A，当 时，任意向量都与 共线，则 不一定共线，A错误；
对于B，向量不能比较大小，B错误；
对于C，对任意非零向量 ， 是和它同向的一个单位向量，C正确；
对于D，零向量有方向，其方向是任意的，D错误.故选：C
2．（23-24高一下·广东广州·期中）已知向量 ， 满足 ， ，且 ，则
（ ）
A．2 B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【解析】因为 ，则 ，解得 .故选：B.
3．（23-24高一下·四川泸州·期中）如图，在平行四边形 中，E、F分别是 边上的两个三等分点，
则下列选项错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对A：由题意知，E、F分别是 边上的两个三等分点，且 与 方向相同，
则 ，故A正确；
对B：由图可知， ， ，所以 ，故B正确；
对C： ，故C正确；
对D： ，故D错误.故选：D.
4．（23-24高一下·河北保定·月考）已知向量 ， 满足 ， ， ，则向量 在向量
方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知： ，
因为 ，则 ，
即 ，可得 ，
所以向量 在向量 方向上的投影向量为 .故选：C.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司5．（23-24高一下·湖南常德·期中）在 中， ， ，则 的形状为
（ ）
A．等腰直角三角形 B．三边均不相等的三角形
C．等边三角形 D．等腰（非直角）三角形
【答案】A
【解析】因为 ，即 ，即 ，
所以 ，即 ，则 ，
又 表示与 同向的单位向量， 表示与 同向的单位向量，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，所以 是等腰直角三角形．故选：A
6．（23-24高一下·四川成都·期中）如图，在 中，点 是 上的点且满足 ， 是 上
的点且满足 ， 与 交于 点，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，
由 ，
又由 ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司所以 ，解得 ，可得 ，
因为 ，所以 ，所以 .故选：D.
二、多选题
7．（23-24高一下·陕西西安·月考）设 ， ，则（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．向量 ， 的夹角为
【答案】BCD
【解析】因为 ， ，所以 ，
则 ，故A错误；
，所以 ，故B正确；
，
又 ，所以 ，解得 ，故C正确；
又 ， ， ，
所以 ，
又 ，所以 ，故D正确.故选：BCD
8．（23-24高一下·福建泉州·期中）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星，是革命和光明的象征．正五角星
是一个非常有趣、优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系（在如图所示的正五角星中，多边形
为正五边形， ）．则（ ）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】对于A， ，A正确；
对于B， ，B错误；
对于C， ，C错误；
对于D， ，D正确.故选：AD
9．（23-24高一下·河南安阳·月考）设点O是 所在平面内任意一点， 的内角A，B，C的对边
分别为a，b，c，已知点O不在 的边上，则下列结论正确的是（ ）
A．若点O是 的重心，则
B．若点O是 的垂心，则
C．若 ，则点O是 的外心
D．若O为 的外心，H为 的垂心，则
【答案】ACD
【解析】取 中点 ，如图，
因为点O是 的重心，所以 ，故A正确；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司因为点O是 的垂心，所以 ，
故 ，故B错误；
因为 ，所以 ，
同理可得 ，所以 ，即 为外心，故C正确；
如图，
因为 ，
所以 ，
两式相减可得 ，
同理可得 ，若 ，
该平面向量同时垂直于 ， ，显然不可能，所以 ，
即 ，故D正确.故选：ACD
三、填空题
10．（23-24高一下·四川南充·月考）已知点O是 内部一点，并且满足 ， 的
面积为 ， 的面积为 ，则 .
【答案】2
【解析】因为 ，
所以 ，所以 ，
取 的中点 ，则 ，
所以 为 的中点，如图所示，
则 的面积为 ， 的面积为 ，
,所以 .
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司11．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知向量 ， 满足 ， ， ，则 与 的夹角
为 .
【答案】
【解析】因为 ， ， ，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 .
12．（23-24高一下·陕西西安·月考）若 为边长为 等边三角形，动点 满足 ，则
的取值范围为 .
【答案】
【解析】在同一平面内动点 满足 ，则 在以 为圆心， 为半径的圆上，
， ，
，
，
， ，
，
， ，
是边长为 的等边三角形，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司向量 是与 垂直且方向向上，长度为 的一个向量，
由此可得，点 在圆 上运动，
当 与 共线同向时， 取最大值，且这个最大值为 ，
当 与 共线反向时， 取最小值，且这个最小值为 ，
故 的最大值为 ，最小值为 ．即 的取值范围是 .
四、解答题
13．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知 ， ， 与 的夹角为 .
（1）求 ；
（2）求 与 夹角的余弦值；
（3）若 ， ， ， ，求 的值.
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】（1）因为 ， ， 与 的夹角为 ，
所以 ，
所以 .
（2）因为 ，
，
，
设 与 的夹角为 ，
则 ，
即 与 夹角的余弦值为 ；
（3）因为 与 不共线，若 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司所以 ，解得 ，
又 ，所以 ，
即 ，即 ，解得 ，
所以 .
14．（23-24高一下·山东·期中）如图，在 中，点 满足 是线段 的中点，过点 的直
线与边 分别交于点 .
（1）若 ，求 和 的值；
（2）若 ，求 的最小值.
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）因为 ，所以 ，
所以 ，
又 是线段 的中点，所以 ，
又 ，且 不共线，所以 .
（2）因为 ，
，
由（1）可知， ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司因为 三点共线，所以 ，即
又 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 .
15．（23-24高一下·广东潮州·月考）阅读以下材料，解决本题：我们知道① ；②
.由①-②得 ，我们把最后推出的式
子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示
的四边形 中， ， 为 中点.
（1）若 ，求 的面积；
（2）若 ，求 的值；
（3）若 为平面 内一点，求 的最小值.
【答案】（1）10；（2）240；（3）-32.
【解析】（1）因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司（2）因为 ， ，
由极化恒等式得 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
由极化恒等式得 ；
（3）连接 ， ，取 的中点 ，连接 ，
由 ， ，
则 ，
所以当点 与 重合时， .
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司
