文档内容
专题 08 平面向量小题全面梳理与精细分类
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：平面向量基本定理及其应用................................................................................................2
题型二：平面向量共线的充要条件及其应用....................................................................................4
题型三：平面向量的数量积................................................................................................................6
题型四：平面向量的模与夹角............................................................................................................7
题型五：等和线问题............................................................................................................................8
题型六：极化恒等式..........................................................................................................................10
题型七：矩形大法..............................................................................................................................13
题型八：平面向量范围与最值问题..................................................................................................14
题型九：等差线、等商线问题..........................................................................................................16
题型十：奔驰定理与向量四心..........................................................................................................18
题型十一：阿波罗尼斯圆问题..........................................................................................................20
题型十二：平行四边形大法..............................................................................................................23
重难点突破：向量对角线定理..........................................................................................................23
02 重难创新练....................................................................................................................................26题型一：平面向量基本定理及其应用
1．（2024·山东滨州·二模）在 中， 为 的重心， 为 上一点，且满足 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意，画出几何图形如下图所示：
根据向量加法运算可得 ,
因为G为 的重心，所以 .
又M满足 ，即 .
所以 .
故选：D.
2．在 中， 若 是 的内心， 的延长线交 于 ， 则有 称之为三角形的内角平分线定理， 现已知 ， ， 且 ， 则实数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 是 的内心， 的延长线交 于 ， ， ， ，
由角平分线定理可得 ，可得 ， ，
即 ，则 ，
又因为 ， ，且 为 的角平分线，
所以， ，所以， ，
又 ，且向量 、 不共线，所以， ，所以 .
故选：C.
3．在平行四边形 中，点 为线段 的中点，点 在线段 上，且满足 ，记
，则 （ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意： .
故选：B
题型二：平面向量共线的充要条件及其应用
4．在 中，点 满足 ，直线 与 交于点 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
设 ，
则 ，
因为 ，且 ， 共线，
所以可设 ，即
所以 ，所以 ，解得 ，所以 ，即 ，
故选：C.
5．（2024·高三·江苏南通·期中）在 中， ， ， ， .若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ， ，所以 ，
又 ，所以 ，
则 ，解得： ， .
故选：C
6．（2024·高三·安徽亳州·期中）在 中， ， ， 与 交于点
，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】因为 ，则 为 的中点，可得 ，
注意到 三点共线，可得 ，
又因为 三点共线，则 ∥ ，则存在实数 ，使得 ，即 ，
则 ，可得 ，
综上所述： ，解得 ，可得 .
故选：B.
题型三：平面向量的数量积
7．如图，在 中，两直角边 ， ，点E，F分别为斜边AB的三等分点，则
.
【答案】10
【解析】因为点 ， 分别为斜边 的三等分点，
则 ，
，
所以 .
故答案为：10
8．在边长为1的正 中， ，则 的值等于 ．
【答案】【解析】解析 ∵ ，∴ ，
∴
．
故答案为：
9．已知菱形 的边长为 2，且 ，若点 满足 ，则
.
【答案】
【解析】
.
故答案为：
题型四：平面向量的模与夹角
10．已知 ，且 ，则 .
【答案】【解析】由题意知， ，
由 ，得 .
故答案为：
11．已知向量 的夹角为 ，则 .
【答案】
【解析】因为 ， ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
12．若 是夹角为 的两个单位向量，则 与 的夹角为 .
【答案】
【解析】因为 是夹角为 的两个单位向量，所以 ，
所以 ，则 与 的夹角为 .
故答案为： .
题型五：等和线问题
13．四边形 是正方形，延长 至点 ，使得 ，若 为 中点， 为 中点，点 在
线段 上移动（包含端点），设 ，求 的取值范围 ．
【答案】【解析】
如图，建立平面直角坐标系，设 ，则 ， ，
由题意设 ， 则 ，
由 得 ，
则 ，故 ，
即 ，
故答案为：
14．（2024·湖南常德·一模）如图，四边形 是边长为1的正方形，延长CD至E，使得 ．
动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点， ，则 的取值范
围为 ．
【答案】
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系：
则 ，所以 ，当 时，有 ，即 ，此时 的取值范围为 ，
当 时，有 ，即 ，此时 的取值范围为 ，
当 时，有 ，即 ，此时 的取值范围为
，
当 时，有 ，即 ，此时 的取值范围为 ，
综上所述， 的取值范围为[0,4].
故答案为：[0,4].
15．在如图所示的直角梯形 中， 为梯形 内一动点，
且 ，若 ，则 的最大值为 .
【答案】 /
【解析】如图，以 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则 ，
且 ，可知点 在标准单位圆上，可设 ，
可得 ，
若 ，
可得 ，解得 ，
则 ，
其中 ，
当且仅当 ，即 ， 时，
，此时 为第四象限角，符合题意， 取到最大值
故答案为： .
题型六：极化恒等式
16．已知圆O的半径为2，A，B是圆O上两点，且 ， 是圆O的一条直径，若动点P满足
( ， )，且 ，则 的最小值为 .
【答案】-3
【解析】根据向量的线性运算及数量积的定义，结合题中条件，化简 ，根据 及
二次函数的性质，即可求得答案. ，
因为 是圆O的一条直径，所以 ，
所以所求 =
因为A，B是圆O上两点，且 ，
所以 ，
所以所求 = ，
因为 ，
所以当 时， 有最小值，且为-3，
故答案为：-3
17．如图，在 中， 是 的中点， ， 是 上的两个三等分点 ， ，则
的值是 .
【答案】
【解析】因为 ，
，因此 ，
故答案为： .
18．（2024·高三·上海松江·期末）已知点P为椭圆 上任意一点， 为圆 的
任意一条直径，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】圆 的圆心为 ，半径为 .
因为
．
又因为椭圆 的 ， 为椭圆的右焦点，
设P(x ,y )， ，
0 0
，
，
所以 ， ，
∴ ．
故答案为：题型七：矩形大法
19．设向量 ， ， 满足 ， ， ，则 的最小值是
（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】建立坐标系，以向量 ， 的角平分线所在的直线为 轴，使得 ， 的坐标分别为 ，
，设 的坐标为 ，
因为 ，
所以 ，化简得 ，
表示以 为圆心， 为半径的圆，
则 的最小值表示圆上的点到原点的距离的最小值，
因为圆到原点的距离为 ，所以圆上的点到原点的距离的最小值为 ，故选：B
20．（2023·河北石家庄·高三阶段练习）已知向量 ， ， 满足 ， ，若
，则 的最大值是 ．
【答案】 ．
【解析】分析题意可知，设 ， ，则 ， ，设 ，
∴ ，又∵ ，∴ ，
而 ，即点 在以 为圆心， 为半径的圆上，
∴ ，故填： ．
题型八：平面向量范围与最值问题
21．设 都是单位向量，且 ，则 的最小值为 ．
【答案】 /
【解析】因为 ， ，
则 ，所以
，
当 与 方向相同时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为：
22．已知 ， ， 为平面向量，如果 ， ， ，则 的最小值为
.
【答案】 /
【解析】在平面直角坐标系中，设 ，不妨设 ，则点A在直线 上，设
，
由 可知 ，所以 ,即
所以点B在圆 上，记该圆圆心为 ，
所以
设 关于直线 的对称点为 ，则有
解得 ，即
所以 ,
故答案为：23．（2024·上海崇明·一模）已知不平行的两个向量 满足 ， ．若对任意的 ，都有
成立，则 的最小值等于 ．
【答案】
【解析】依题意，设 与 的夹角为 ， ，
因为 ， ，所以 ，即 ，
则 ，所以 ，
因为对任意的 ，都有 成立，
所以 ，即 ，即 对于 恒成立，
故 ，又 ，解得 ，
综上， ，则 的最小值为 .
故答案为： .
题型九：等差线、等商线问题
24．（2023·全国·高三专题练习）给定两个长度为1的平面向量 和 ，它们的夹角为120°，点C在以
O为圆心的圆弧 上运动，若 ，其中x、 .则 的最大值为 ； 的取值范围是 .
【答案】 2
【解析】如图所示，以O为坐标原点， 所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则 ， ，
设 .
由于 ， ， .
根据 ，得到 从而
故 ，当 时， .
，又 ，
，即 .
故答案为：2，
25．（2023·高一单元测试）如图，在 中， ， ， ，若延长CB到点D，使
，当点E在线段AB上移动时，设 ，当 取最大值时， 的值是 .【答案】 /
【解析】 ，
，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ， ，
设 ，由于 在 上，所以 ，
又 ，
即 ，化简得 ，
由 得 ，所以 ，
（ ），所以 ，
所以 时 ， ， ．
故答案为： ．
26．（2023·山东潍坊·高三开学考试）在 中，点D满足 ，当点E在射线AD（不含点A）
上移动时，若 ，则 的最小值为 ．【答案】 /
【解析】由 ，得 ，即 ，
因为点E在射线AD（不含点A）上移动，所以 ，
又因为 ，所以 ，
则 （当且仅当 ，即 时取等号），
所以 的最小值为 .
故答案为： ．
题型十：奔驰定理与向量四心
27．奔驰定理：已知 是 内的一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，则
.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与
“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设 为三角形 内一点，且满足：
，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】 为三角形 内一点，且满足 ，
，
．
，
故选：D．
28．在 中， ， ， 是 的外心，则 的最大值为（ ）
A．2 B．
C． D．4
【答案】B
【解析】设角 所对的边分别为 ， ， ，
因为 是 的外心，记 中点为 ，则有 ，即 ，
可得
，
在 中，由正弦定理可得： ，则 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最大值为 .
故选：B.
29．若 的三边为a，b，c，有 ，则 是 的（ ）
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
【答案】B
【解析】在 ， 上分别取点 ， ，使得 ， ，则 ．
以 ， 为邻边作平行四边形 ，如图，
则四边形 是菱形，且 ．
为 的平分线． ，
，
即 ，
．
， ， 三点共线，即 在 的平分线上，
同理可得 在其它两角的平分线上，
是 的内心．
故选：B．题型十一：阿波罗尼斯圆问题
30．（2024·高三·上海闵行·开学考试）阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数
的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A，B间的距离为3，动点 满足
，则 的范围为 .
【答案】
【解析】以 中点为原点 ，以 所在直线为 轴，以 的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系
，
因为 ，所以 ， .
设 ，因为 ，所以 ，
整理得 ，即 .
.
又 ，
则 ，则 .
故答案为：
31．已知平面向量 满足 ，且 ，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】建立如图所示直角坐标系，由题意可设 ， ，
则 ， ，
由 得 ，故C在以 为圆心，半径为1的圆上，
取 ，则 在AD上，则 ，又 ，∴ ，∴ ，即
，
.
∴
故选：D
32．（2024·高三·山东日照·期中）已知平面向量 ， ， 满足 ⊥ ，且 ， ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ， ，则 ， ，
即C在以 为圆心，2为半径的圆上，
如图，取 ，则 ，又 ，
所以有 ～ ，所以 ，
又因为 ， ，
所以 ．
故选：B.
题型十二：平行四边形大法
33．（2023·浙江·模拟预测）已知 为单位向量，平面向量 ， 满足 ， 的取值范围是
____.
【答案】
【解析】建系，不妨设 ， ， ，则 ，再利用柯西不等式将所求
转化为 ，利用换元法求出最大值，最小值显然为 共线方向时取得.不妨设
， ， ，由已知，得 ， ，
，令，则 ，又显然当 ， 向量反
向时， 最小，即 ， ，此时 ，综上， 的取值范围是 .
故答案为： .
重难点突破：向量对角线定理
34．在平面四边形ABCD中,点E、F分别是边AD、BC的中点，且AB=1，EF= ,CD= ，若
，则 的值为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】B
【解析】 ，即 ，
，即 ，
故 ，即: ，
故： ，所以 ，即： ，
分别延长 和 ，交于 点，则： ，
故： ，
即： ，
而：
故：，
故选：B.
35．在四边形 中，点 分别是边 的中点，设 ， .若 ，
， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
又点 分别是边 的中点，所以 ，两式相加得 ，两边同时平方得 ，所以
则 ，代入得 即 ，
故选
36．在四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点，设 ， ，若 ，
， ，则xy的最小值为 ．
【答案】
【解析】如图所示：设 ， ，
，
两式相加得： ①．
， ， ，把①平方可得
， ．
又
，
②．
又
，
③．
根据②③可得， ，
即 ，即 ，
即 ，
所以 ，所以 ， 时，
故答案为： ．
1．如图，边长为 的等边 ，动点 在以 为直径的半圆上.若 ，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】由题意可以 所在直线为x轴， 的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
结合已知得 ，B(−2,0)， ，
半圆弧 的方程为： ，
设 ，则 ， ， ，
由 得： ，
解得： ，
所以 ，
因为 在 上，所以 ，
又 ，
则可设 ， ， ，
将 ， 代入 整理得：
，由 得 ，
所以 ， ，
故 的取值范围是 .
故选：D.
2．已知平面向量 ， ，则 在 上的投影向量为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意， ， ，
所以 在 上的投影向量为 ．
故选：B.
3．已知向量 ， ，若向量 在向量 上的投影向量 ，则 （ ）
A． B． C．3 D．7
【答案】B
【解析】因向量 在向量 上的投影向量是 ，则 ，
故 ，于是 .
故选：B.
4．已知△ABC是边长为1的正三角形， 是BN上一点且 ，则
（ ）A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】由 ，得 ，且 ，
而 三点共线，则 ，即 ，
所以 ，
所以 .
故选：A.
5．如图，在 中，点 ， 分别在 ， 边上，且 ， ，点 为 中点，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为点 为 中点，所以 ，又 ， ，
所以故选：C.
6．已知 ， 为单位向量，且 ，向量 满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ， 为单位向量，且 ，则 ，解得
，
设 的夹角为 ，则 ，解得 ，
不妨设 ， ， ，
由 ，则 ，整理可得 ，易知圆心(2,0)，半径为 ，
设 ，由 ，则 ，
易知当直线 与圆 相切时， 取得最值，
可得 ，整理可得 ，解得 ，
所以 的最大值为 .
故选：C.
7．点P在边长为1的正三角形 的外接圆上，则 的最大值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设外接圆圆心为 ，则 ， .
①一方面，我们有
.
故一定有 .
②另一方面，当 时，有 ，故 在 的外接圆
上，此时
.
综合①②两个方面，可知 的最大值是 .
故选：A.8．在半径为2的圆上任取三个不同的点 且 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在 中，由正弦定理，得 ，即 ，
所以 ，又 ，所以 或 .
当 时，设 ，则 ，
由 ，
得 ，
所以 ，
由 ，得 ，所以 ，
即 ；
当 时， .
综上所述， 的最大值为 .
故选：D.
9．（多选题）如图， 是边长为 的等边三角形， ，点 在以 为直径的半圆上（含端点），设 ，则（ ）
A． 的值不可能大于 B．
C． 的最小值为 D． 的最大值为1
【答案】BD
【解析】对于A选项，过点 作 交 延长线于 ，
过点 作 交 于 ，作图如下：
在平行四边形 中， ，由 ，则 ，故A选项错误；
对于B选项， ，故B正确；
对于C、D选项，取线段 中点 ，连接 ， ，作图如下：，
在等边三角形 中，易知 ，所以 ，
，则 ，
设 与 的夹角为 ，易知 ，则 ，
所以 ，故C选项错误，D选项正确.
故选：BD.
10．（多选题）若等边三角形 的边长为 为 的中点，且 交于点 ，
则下列说法正确的是（ ）
A．当 时，
B．若点 为 的中点，则
C． 为定值
D． 的最小值为
【答案】BCD
【解析】如下图所示：
对于A，易知当 时，可得 ，
所以 ，即A错误，对于B，若点 为 的中点，可知 ，
又可知 ，
易知 为共线向量，所以可知 ，解得 ，即B正确；
对于C，由 可知：
为定值，即C正确；
对于D，
，
又 ，可得当 时， 取得最小值为 ，即D正确.
故选：BCD
11．（多选题）已知 为 的外心， ，则（ ）
A． 与 不共线 B． 与 垂直
C． D．
【答案】BC
【解析】选项A：由 得 ，则 与 共线，故A错误．
选项B：因为 为 的外心，所以 ，所以 与 垂直，
(在 中，取 的中点 ，连接 ，则 ，所以 ，所以 )，因为 与 共线，所以 与 垂直，故B正确．
选项C：设 ，则 ，由 得 ，
所以 ，故C正确．
选项D：设 的外接圆半径为1，由 得 ，
所以 ，两边同时平方得 ，
即 ，所以 ，故D错误．
故选：BC.
12．（多选题）如图，已知 中， ， ， 是 的中点，动点 在以 为直径
的半圆弧上.则（ ）
A．
B． 最小值为-2
C． 在 上的投影向量为
D．若 的最大值为
【答案】ABD【解析】以M为原点，直线AC为 轴建立直角坐标系（如图），
设 ，则 ，在 中， ， ， 是 的中点，
所以 ， ，则
， ， ， ，
所以 ， ， ，
对于A：因为 是 的中点，所以 ，故A正确；
对于B：
因为 ，所以 ，当 时， 取得最小值 ，
所以 最小值为 ，故B正确；
对于C： 在 上的投影向量为 ，故C错误；
对于D：因为 所以 ，
则 ，当 时， 取最大值 .故D正确.
故选：ABD.
13．已知平面向量 满足： ， ，且对任意的单位向量 满足 ，则
的最大值为 .（用含 的式子表示）【答案】 或
【解析】由题意有：当 时，可得当 与 同向时， 取到最大值，
即此时 恒成立，结合 ，即 ，
此时 ；
由于 ，
所以假设 ，此时 ，不符合题意；
故 时，不妨设当 为锐角， 取到最大值，
此时 也为锐角，
此时 ，
，（其中 为辅助角）
而 ，
当 时等号成立，
依题意可得 恒成立，解得 ，
由于 在 时单调递减，故 ，
故令 ，结合 解得
即得 ， ；由于 时， ，
所以 的最大值为 或 .
故答案为： 或 .
14．在平行四边形 中， ， ，点 在边 上，满足 ，则向量 在
向量 上的投影向量为 （请用 表示）；若 ，点 ， 分别为线段 ， 上的动
点，满足 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】由 ，知 ，
因为 ， ，
所以
，
所以向量 在向量 上的投影向量为
；
若 ，则 ，
以 为原点建立空间直角坐标系，则 ，设 ，则 ， ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
是关于 的开口向上，对称轴为 的二次函数，
当 时， 取得最小值 .
故答案为： ；
15．已知点O，A，B，C均在同一平面内， ， ， ，当 取最大值时，
．
【答案】
【解析】因为 ， ,
所以 ,
在 中，设 ，
所以 ,
当余弦值最小时， 最大，
当且仅当 ，即 ， 最大，所以 满足条件.
故答案为：√2.
16．在四边形 中， ， ， ， ， ， 分别为线段 、
的中点，若设 ， ，则 可用 ， 表示为 ； .
【答案】
【解析】
由题意得， , ,
由 分别为线段 、 的中点，知 ， ，
因此，
；
延长 、 交一点 ,由 , ， ， ,且 .
,
又 ， , , ，则.
故答案为： ；
17．如图，在平面四边形 中， ，则 .
【答案】
【解析】由题意知， 全等 ,且 ，
可知 ，
根据余弦定理可知
代入可解得 或
根据正弦定理得 ，可得 ，
如图可知 ，所以 ，
根据大边对大角，所以 (舍)， ，
所以 .
故答案为：
