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大联考湖南师大附中 2025 届高三月考试卷（一）
数学
命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组
时量：120分钟 满分：150分
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的，
1. 已知 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2. 若复数 满足 （ 是虚数单位），则 等于（ ）
A. B. C. D.
3. 已知平面向量 ，则向量 在向量 上 的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 记 为等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
A. 21 B. 19 C. 12 D. 42
5. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，
全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数 平均分/满分）为0.49，
标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若 ，记
，则 ．
.
A 136人 B. 272人 C. 328人 D. 820人
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学科网（北京）股份有限公司6. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
7. 已知 是双曲线 的左､右焦点，以 为圆心， 为半径的圆与双曲线的一条
渐近线交于 两点，若 ，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数 若关于 的方程 有且仅有两个实数根，则实数 的取值
范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9. 如图，在正方体 中， 分别为棱 的中点，点
是面 的中心，则下列结论正确的是（ ）
A. 四点共面 B. 平面 被正方体截得的截面是等腰梯形
C. 平面 D. 平面 平面
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学科网（北京）股份有限公司10. 已知函数 ，则（ ）
A. 的一个对称中心为
B. 的图象向右平移 个单位长度后得到的是奇函数的图象
C. 在区间 上单调递增
D. 若 在区间 上与 有且只有6个交点，则
11. 已知定义在 上的偶函数 和奇函数 满足 ，则（ ）
A. 的图象关于点 对称
B. 是以8为周期的周期函数
C.
D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中 的系数为______．
13. 已知函数 是定义域为 的奇函数，当 时， ，且 ，则不等式
的解集为__________.
14. 已知点 为扇形 的弧 上任意一点，且 ，若 ，则
的取值范围是__________.
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学科网（北京）股份有限公司四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
（1）求角 ；
（2）若角 的平分线 交 于点 ，求 的长．
16. 已知 为函数 的极值点．
（1）求 的值；
（2）设函数 ，若对 ，使得 ，求 的取值范围．
17. 已知四棱锥 中，平面 底面
为 的中点， 为棱 上异于 的点．
（1）证明： ；
（2）试确定点 的位置，使 与平面 所成角的余弦值为 ．
18. 在平面直角坐标系 中，抛物线 的焦点到准线的距离等于椭圆
的短轴长，点 在抛物线 上，圆 （其中 ）.
（1）若 为圆 上的动点，求线段 长度的最小值；
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学科网（北京）股份有限公司（2）设 是抛物线 上位于第一象限的一点，过 作圆 的两条切线，分别交抛物线 于点
.证明：直线 经过定点.
19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可选择A和B两个套餐之一，并
在App平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App平台10天销售优惠券情况．
日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
.
1. 2.4
销售量 千张 1.98 2.2 2.36 2.59 2.68 2.76 2.7 04
9 3
.
经计算可得：
（1）因为优惠券购买火爆，App平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，
已知销售量y和日期t呈线性关系，现剔除第10天数据，求y关于t的经验回归方程 结果中的数值用分数
表示 ；
（2）若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为 ，选择B套餐的概率为 ，并且A套餐可以用一张优惠
券，B套餐可以用两张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为 ，求 ；
（3）记（2）中所得概率 的值构成数列 .
①求 的最值；
②数列收敛的定义：已知数列 ，若对于任意给定的正数 ，总存在正整数 ，使得当 时，
，（ 是一个确定的实数），则称数列 收敛于 .根据数列收敛的定义证明数列 收敛．
参考公式： .
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